9.1 اونچائیاں اور فاصلے

پچھلے باب میں، آپ نے مثلثیاتی تناسب کے بارے میں پڑھا ہے۔ اس باب میں، آپ ان کچھ طریقوں کے بارے میں پڑھیں گے جن میں مثلثیات کو آپ کے ارد گرد کی زندگی میں استعمال کیا جاتا ہے۔

آئیے ہم پچھلے باب کی شکل 8.1 پر غور کریں، جسے نیچے شکل 9.1 میں دوبارہ بنایا گیا ہے۔

شکل 9.1

اس شکل میں، طالب علم کی آنکھ سے مینار کی چوٹی تک کھینچی گئی لکیر $\mathrm{AC}$ کو نظر کی لکیر کہا جاتا ہے۔ طالب علم مینار کی چوٹی کی طرف دیکھ رہا ہے۔ زاویہ $\mathrm{BAC}$، جو نظر کی لکیر کے ساتھ افقی سے بنتا ہے، کو طالب علم کی آنکھ سے مینار کی چوٹی کا ارتفاع کا زاویہ کہا جاتا ہے۔

اس طرح، نظر کی لکیر وہ لکیر ہے جو ناظر کی آنکھ سے اس چیز کے اس نقطے تک کھینچی جاتی ہے جسے ناظر دیکھ رہا ہو۔ دیکھے جانے والے نقطے کا ارتفاع کا زاویہ وہ زاویہ ہے جو نظر کی لکیر کے ساتھ افقی سے اس وقت بنتا ہے جب دیکھا جانے والا نقطہ افقی سطح سے اوپر ہو، یعنی وہ صورت جب ہم کسی چیز کو دیکھنے کے لیے اپنا سر اٹھاتے ہیں (دیکھیے شکل 9.2)۔

شکل 9.2

اب، شکل 8.2 میں دی گئی صورت حال پر غور کریں۔ بالکونی پر بیٹھی لڑکی مندر کی سیڑھی پر رکھے گملے کی طرف نیچے دیکھ رہی ہے۔ اس صورت میں، نظر کی لکیر افقی سطح سے نیچے ہے۔ نظر کی لکیر کے ساتھ افقی سے اس طرح بننے والے زاویے کو انحطاط کا زاویہ کہا جاتا ہے۔

اس طرح، دیکھی جانے والی چیز کے کسی نقطے کا انحطاط کا زاویہ وہ زاویہ ہے جو نظر کی لکیر کے ساتھ افقی سے اس وقت بنتا ہے جب نقطہ افقی سطح سے نیچے ہو، یعنی وہ صورت جب ہم دیکھے جانے والے نقطے کو دیکھنے کے لیے اپنا سر جھکاتے ہیں (دیکھیے شکل 9.3)۔

شکل 9.3

اب، آپ شکل 8.3 میں نظر کی لکیروں اور اس طرح بننے والے زاویوں کی شناخت کر سکتے ہیں۔ کیا یہ ارتفاع کے زاویے ہیں یا انحطاط کے زاویے؟

آئیے ہم دوبارہ شکل 9.1 کی طرف رجوع کریں۔ اگر آپ مینار کی اونچائی $\mathrm{CD}$ کو اصل میں ناپے بغیر معلوم کرنا چاہتے ہیں، تو آپ کو کیا معلومات درکار ہوں گی؟ آپ کو درج ذیل چیزوں کا علم ہونا ضروری ہوگا:

(i) وہ فاصلہ $\mathrm{DE}$ جس پر طالب علم مینار کے پایہ سے کھڑا ہے

(ii) مینار کی چوٹی کا ارتفاع کا زاویہ، $\angle \mathrm{BAC}$

(iii) طالب علم کی اونچائی $\mathrm{AE}$۔

یہ فرض کرتے ہوئے کہ اوپر دی گئی تینوں شرائط معلوم ہیں، ہم مینار کی اونچائی کا تعین کیسے کر سکتے ہیں؟

شکل میں، $\mathrm{CD}=\mathrm{CB}+\mathrm{BD}$۔ یہاں، $\mathrm{BD}=\mathrm{AE}$، جو طالب علم کی اونچائی ہے۔

$\mathrm{BC}$ کو معلوم کرنے کے لیے، ہم $\angle \mathrm{BAC}$ یا $\angle \mathrm{A}$ کے مثلثیاتی تناسب استعمال کریں گے۔

$\triangle \mathrm{ABC}$ میں، ضلع $\mathrm{BC}$ معلوم $\angle \mathrm{A}$ کے حوالے سے مقابل کا ضلع ہے۔ اب، ہم کون سا مثلثیاتی تناسب استعمال کر سکتے ہیں؟ ان میں سے کون سا تناسب ان دو اقدار کو رکھتا ہے جو ہمارے پاس ہیں اور وہ ایک جسے ہمیں معلوم کرنا ہے؟ ہماری تلاق $\tan \mathrm{A}$ یا $\cot \mathrm{A}$ استعمال کرنے تک محدود ہو جاتی ہے، کیونکہ یہ تناسب $\mathrm{AB}$ اور $\mathrm{BC}$ کو شامل کرتے ہیں۔

لہٰذا، $\tan \mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$ یا $\cot \mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$، جسے حل کرنے پر ہمیں $\mathrm{BC}$ ملے گا۔

$\mathrm{AE}$ کو $\mathrm{BC}$ میں شامل کر کے، آپ کو مینار کی اونچائی مل جائے گی۔

اب آئیے ہم کچھ مسائل حل کر کے، اس عمل کی وضاحت کریں جس پر ہم نے ابھی بات کی ہے۔

مثال 1 : ایک مینار زمین پر عمودی کھڑا ہے۔ زمین کے اس نقطے سے، جو مینار کے پایہ سے $15 \mathrm{~m}$ دور ہے، مینار کی چوٹی کا ارتفاع کا زاویہ $60^{\circ}$ پایا جاتا ہے۔ مینار کی اونچائی معلوم کریں۔

شکل 9.4

حل : پہلے آئیے ہم مسئلے کو پیش کرنے کے لیے ایک سادہ خاکہ بنائیں (دیکھیے شکل 9.4)۔ یہاں AB مینار کو ظاہر کرتا ہے، $\mathrm{CB}$ نقطے سے مینار کا فاصلہ ہے اور $\angle \mathrm{ACB}$ ارتفاع کا زاویہ ہے۔ ہمیں مینار کی اونچائی معلوم کرنی ہے، یعنی AB۔ نیز، ACB ایک مثلث ہے، جو B پر قائم الزاویہ ہے۔

مسئلہ حل کرنے کے لیے، ہم مثلثیاتی تناسب $\tan 60^{\circ}$ (یا $\cot 60^{\circ}$) کا انتخاب کرتے ہیں، کیونکہ یہ تناسب $\mathrm{AB}$ اور $\mathrm{BC}$ کو شامل کرتا ہے۔

$\begin{array}{rlrl} & \text { Now, } & \tan 60^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ & \text { i.e., } & \sqrt{3} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{15} \\ \text { i.e., }& & \mathrm{AB} & =15 \sqrt{3}\end{array}$

لہٰذا، مینار کی اونچائی $15 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ ہے۔

مثال 2 : ایک بجلی کا کاریگر $5 \mathrm{~m}$ اونچائی کے ایک کھمبے پر بجلی کی خرابی کی مرمت کرنا چاہتی ہے۔ اسے مرمت کا کام کرنے کے لیے کھمبے کی چوٹی سے $1.3 \mathrm{~m}$ نیچے ایک نقطے تک پہنچنے کی ضرورت ہے (دیکھیے شکل 9.5)۔ سیڑھی کی لمبائی کتنی ہونی چاہیے جو اسے استعمال کرنی چاہیے، جو افقی سے $60^{\circ}$ کے زاویہ پر جھکی ہوئی ہو، تاکہ وہ مطلوبہ مقام تک پہنچ سکے؟ نیز، اسے کھمبے کے پایہ سے سیڑھی کا پایہ کتنی دور رکھنا چاہیے؟ (آپ $\sqrt{3}=1.73$ لے سکتے ہیں)

شکل 9.5

حل : شکل 9.5 میں، بجلی کے کاریگر کو کھمبے پر نقطہ $\mathrm{B}$ تک پہنچنا ہے۔

$$ \text { So, } \quad \mathrm{BD}=\mathrm{AD}-\mathrm{AB}=(5-1.3) \mathrm{m}=3.7 \mathrm{~m} \text {. } $$

یہاں، $\mathrm{BC}$ سیڑھی کو ظاہر کرتا ہے۔ ہمیں اس کی لمبائی معلوم کرنی ہے، یعنی قائم الزاویہ مثلث BDC کا وتر۔

اب، کیا آپ سوچ سکتے ہیں کہ ہمیں کون سا مثلثیاتی تناسب مدنظر رکھنا چاہیے؟

یہ $\sin 60^{\circ}$ ہونا چاہیے۔

لہٰذا، $\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=\sin 60^{\circ} \text { or } \dfrac{3.7}{\mathrm{BC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

اس طرح، $$ \mathrm{BC}=\dfrac{3.7 \times 2}{\sqrt{3}}=4.28 \mathrm{~m} \text { (approx.) } $$

یعنی، سیڑھی کی لمبائی $4.28 \mathrm{~m}$ ہونی چاہیے۔

اب، $$ \dfrac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}=\cot 60^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} $$

یعنی، $$ \mathrm{DC}=\dfrac{3.7}{\sqrt{3}}=2.14 \mathrm{~m} \text { (approx.) } $$

لہٰذا، اسے سیڑھی کا پایہ کھمبے سے $2.14 \mathrm{~m}$ کے فاصلے پر رکھنا چاہیے۔

مثال 3 : ایک ناظر $1.5 \mathrm{~m}$ لمبا ہے اور چمنی سے $28.5 \mathrm{~m}$ دور ہے۔ اس کی آنکھوں سے چمنی کی چوٹی کا ارتفاع کا زاویہ $45^{\circ}$ ہے۔ چمنی کی اونچائی کتنی ہے؟

حل : یہاں، $A B$ چمنی ہے، $C D$ ناظر ہے اور $\angle \mathrm{ADE}$ ارتفاع کا زاویہ ہے (دیکھیے شکل 9.6)۔ اس صورت میں، $A D E$ ایک مثلث ہے، جو $\mathrm{E}$ پر قائم الزاویہ ہے اور ہمیں چمنی کی اونچائی معلوم کرنی ہے۔

شکل 9.6

ہمارے پاس $$\mathrm{AB}=\mathrm{AE}+\mathrm{BE}=\mathrm{AE}+1.5$$ ہے

اور $$ \mathrm{DE}=\mathrm{CB}=28.5 \mathrm{~m} $$ ہے

AE کا تعین کرنے کے لیے، ہم ایک ایسا مثلثیاتی تناسب منتخب کرتے ہیں، جو $\mathrm{AE}$ اور DE دونوں کو شامل کرتا ہے۔ آئیے ہم ارتفاع کے زاویے کی ٹینجنٹ کا انتخاب کرتے ہیں۔

اب، $$ \begin{aligned} \tan 45^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}} \\ \end{aligned} $$

یعنی، $$1 =\dfrac{\mathrm{AE}}{28.5}$$

لہٰذا، $$ \mathrm{AE}=28.5 $$

اس طرح چمنی کی اونچائی $(A B)=(28.5+1.5) \mathrm{m}=30 \mathrm{~m}$ ہے۔

مثال 4 : زمین کے ایک نقطے $P$ سے ایک $10 \mathrm{~m}$ اونچی عمارت کی چوٹی کا ارتفاع کا زاویہ $30^{\circ}$ ہے۔ عمارت کی چوٹی پر ایک جھنڈا لہرایا گیا ہے اور $\mathrm{P}$ سے جھنڈے کی چوٹی کا ارتفاع کا زاویہ $45^{\circ}$ ہے۔ جھنڈے کی لمبائی اور عمارت سے نقطہ P کا فاصلہ معلوم کریں۔ (آپ $\sqrt{3}=1.732$ لے سکتے ہیں)

حل : شکل 9.7 میں، AB عمارت کی اونچائی کو ظاہر کرتا ہے، BD جھنڈے کو اور $\mathrm{P}$ دیا گیا نقطہ ہے۔ نوٹ کریں کہ دو قائم الزاویہ مثلثیں $\mathrm{PAB}$ اور $\mathrm{PAD}$ ہیں۔ ہمیں جھنڈے کی لمبائی، یعنی DB اور عمارت سے نقطہ P کا فاصلہ، یعنی PA معلوم کرنا ہے۔

شکل 9.7

چونکہ، ہمیں عمارت کی اونچائی $A B$ معلوم ہے، ہم پہلے قائم الزاویہ مثلث $\triangle \mathrm{PAB}$ پر غور کریں گے۔

ہمارے پاس ہے $$ \begin{aligned} \tan 30^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AP}} \ \end{aligned} $$

یعنی، $$\dfrac{1}{\sqrt{3}} =\dfrac{10}{\mathrm{AP}}$$

لہٰذا، $$ \mathrm{AP}=10 \sqrt{3} $$

یعنی، عمارت سے $P$ کا فاصلہ $10 \sqrt{3} \mathrm{~m}=17.32 \mathrm{~m}$ ہے۔

اگلا، فرض کریں کہ $\mathrm{DB}=x \mathrm{~m}$۔ پھر $\mathrm{AD}=(10+x) \mathrm{m}$۔

اب، قائم الزاویہ مثلث $\Delta \mathrm{PAD}$ میں،

$$ \tan 45^{\circ}=\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AP}}=\dfrac{10+x}{10 \sqrt{3}} $$

لہٰذا، $$ 1=\dfrac{10+x}{10 \sqrt{3}} $$

یعنی، $$ x=10(\sqrt{3}-1)=7.32 $$

لہٰذا، جھنڈے کی لمبائی $7.32 \mathrm{~m}$ ہے۔

مثال 5 : ایک ہموار زمین پر کھڑے مینار کا سایہ، جب سورج کا ارتفاع $30^{\circ}$ ہو، تو اس وقت کے مقابلے میں $40 \mathrm{~m}$ لمبا پایا جاتا ہے جب سورج کا ارتفاع $60^{\circ}$ ہو۔ مینار کی اونچائی معلوم کریں۔

حل : شکل 9.8 میں، AB مینار ہے اور $\mathrm{BC}$ اس وقت سایے کی لمبائی ہے جب سورج کا ارتفاع $60^{\circ}$ ہو، یعنی مینار کی چوٹی کا سایے کی نوک سے ارتفاع کا زاویہ $60^{\circ}$ ہے اور $\mathrm{DB}$ اس وقت سایے کی لمبائی ہے، جب ارتفاع کا زاویہ $30^{\circ}$ ہو۔

شکل 9.8

اب، فرض کریں کہ $\mathrm{AB}$ $h \mathrm{~m}$ ہے اور $\mathrm{BC}$ $x \mathrm{~m}$ ہے۔ سوال کے مطابق، $\mathrm{DB}$، $\mathrm{BC}$ سے $40 \mathrm{~m}$ لمبا ہے۔

لہٰذا، $$ \mathrm{DB}=(40+x) \mathrm{m} $$

اب، ہمارے پاس دو قائم الزاویہ مثلثیں $\mathrm{ABC}$ اور $\mathrm{ABD}$ ہیں۔

$\begin{array}{rlrl} \text {In } \Delta \mathrm{ABC} & \tan 60^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ \text { or } & & \sqrt{3} & =\dfrac{h}{x} \\ \text {In } \Delta \mathrm{ABD} & \tan 30^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}} \\ & \text { i.e., } & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & =\dfrac{h}{x+40}\end{array}$

(1) سے، ہمارے پاس ہے

$$ h=x \sqrt{3} $$

اس قدر کو (2) میں رکھنے سے، ہمیں ملتا ہے $(x \sqrt{3}) \sqrt{3}=x+40$، یعنی $3 x=x+40$

$$ \begin{align*} \text{ अर्थात् } \qquad\qquad & x=20 \\ \text{ इसलिए }\qquad\qquad & h=20 \sqrt{3} \tag{[From (1)]} \end{align*} $$

لہٰذا، مینار کی اونچائی $20 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ ہے۔

مثال 6 : ایک $8 \mathrm{~m}$ اونچی عمارت کی چوٹی اور پایہ کا انحطاط کا زاویہ ایک کثیر المنزلہ عمارت کی چوٹی سے بالترتیب $30^{\circ}$ اور $45^{\circ}$ ہے۔ کثیر المنزلہ عمارت کی اونچائی اور دونوں عمارتوں کے درمیان فاصلہ معلوم کریں۔

حل : شکل 9.9 میں، PC کثیر المنزلہ عمارت کو ظاہر کرتا ہے اور $\mathrm{AB}$ $8 \mathrm{~m}$ اونچی عمارت کو ظاہر کرتا ہے۔ ہم کثیر المنزلہ عمارت کی اونچائی، یعنی PC اور دونوں عمارتوں کے درمیان فاصلہ، یعنی AC کا تعین کرنے میں دلچسپی رکھتے ہیں۔ شکل کو غور سے دیکھیں۔ مشاہدہ کریں کہ $\mathrm{PB}$ متوازی لکیروں $\mathrm{PQ}$ اور $\mathrm{BD}$ کے لیے ایک ترچھی لکیر ہے۔ لہٰذا، $\angle \mathrm{QPB}$ اور $\angle \mathrm{PBD}$ متبادل زاویے ہیں، اور اس طرح برابر ہیں۔ لہٰذا $\angle \mathrm{PBD}=30^{\circ}$۔ اسی طرح، $\quad \angle \mathrm{PAC}=45^{\circ}$۔ قائم الزاویہ مثلث $\Delta \mathrm{PBD}$ میں، ہمارے پاس ہے

شکل 9.9

$$ \dfrac{\mathrm{PD}}{\mathrm{BD}}=\tan 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \text { or } \mathrm{BD}=\mathrm{PD} \sqrt{3} $$

قائم الزاویہ مثلث $\Delta \mathrm{PAC}$ میں، ہمارے پاس ہے

$\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{AC}}=\tan 45^{\circ}=1$

یعنی، $\quad P C=A C$

نیز، $\quad \mathrm{PC}=\mathrm{PD}+\mathrm{DC}$، لہٰذا $\mathrm{PD}+\mathrm{DC}=\mathrm{AC}$۔

چونکہ، $\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$ اور $\mathrm{DC}=\mathrm{AB}=8 \mathrm{~m}$، ہمیں ملتا ہے $\mathrm{PD}+8=\mathrm{BD}=\mathrm{PD} \sqrt{3}$ (کیوں؟)

یہ دیتا ہے

$ \mathrm{PD}=\dfrac{8}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{8(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=4(\sqrt{3}+1) \mathrm{m} $

لہٰذا، کثیر المنزلہ عمارت کی اونچائی ${4(\sqrt{3}+1)+8} \mathrm{m}=4(3+\sqrt{3}) \mathrm{m}$ ہے اور دونوں عمارتوں کے درمیان فاصلہ بھی $4(3+\sqrt{3}) \mathrm{m}$ ہے۔

مثال 7 : ایک دریا کے پار پل کے ایک نقطے سے، دریا کے مخالف کناروں پر کناروں کے انحطاط کے زاویے بالترتیب $30^{\circ}$ اور $45^{\circ}$ ہیں۔ اگر پل کناروں سے $3 \mathrm{~m}$ کی اونچائی پر ہے، تو دریا کی چوڑائی معلوم کریں۔

حل : شکل 9.10 میں، A اور B دریا کے مخالف کناروں پر واقع نقاط کو ظاہر کرتے ہیں، تاکہ $\mathrm{AB}$ دریا کی چوڑائی ہو۔ $\mathrm{P}$ پل پر 3 $\mathrm{m}$ کی اونچائی پر ایک نقطہ ہے، یعنی $\mathrm{DP}=3 \mathrm{~m}$۔ ہم دریا کی چوڑائی معلوم کرنے میں دلچسپی رکھتے ہیں، جو مثلث $D A P B$ کے ضلع $A B$ کی لمبائی ہے۔

شکل 9.10

اب، $$ A B=A D+D B $$

قائم الزاویہ مثلث $\triangle \mathrm{APD}, \angle \mathrm{A}=30^{\circ}$ میں۔

لہٰذا، $\quad \tan 30^{\circ}=\dfrac{\mathrm{PD}}{\mathrm{AD}}$

یعنی، $\quad\quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\mathrm{AD}}$ یا $\mathrm{AD}=3 \sqrt{3} \mathrm{~m}$

نیز، قائم الزاویہ مثلث $\triangle \mathrm{PBD}, \angle \mathrm{B}=45^{\circ}$ میں۔ لہٰذا، $\mathrm{BD}=\mathrm{PD}=3 \mathrm{~m}$۔

اب، $ \mathrm{AB}=\mathrm{BD}+\mathrm{AD}=3+3 \sqrt{3}=3(1+\sqrt{3}) \mathrm{m} . $

لہٰذا، دریا کی چوڑائی $3(\sqrt{3}+1) \mathrm{m}$ ہے۔

9.2 خلاصہ

اس باب میں، آپ نے مندرجہ ذیل نکات کا مطالعہ کیا ہے:

1. (i) نظر کی لکیر وہ لکیر ہے جو ناظر کی آنکھ سے اس چیز کے اس نقطے تک کھینچی جاتی ہے جسے ناظر دیکھ رہا ہو۔

(ii) دیکھی جانے والی کسی چیز کا ارتفاع کا زاویہ وہ زاویہ ہے جو نظر کی لکیر کے ساتھ افقی سے اس وقت بنتا ہے جب وہ افقی سطح سے اوپر ہو، یعنی وہ صورت جب ہم کسی چیز کو دیکھنے کے لیے اپنا سر اٹھاتے ہیں۔

(iii) دیکھی جانے والی کسی چیز کا انحطاط کا زاویہ وہ زاویہ ہے جو نظر کی لکیر کے ساتھ افقی سے اس وقت بنتا ہے جب وہ افقی سطح سے نیچے ہو، یعنی وہ صورت جب ہم دیکھے جانے والے نقطے کو دیکھنے کے لیے اپنا سر جھکاتے ہیں۔

2. کسی چیز کی اونچائی یا لمبائی یا دو دور دراز چیزوں کے درمیان فاصلے کا تعین مثلثیاتی تناسب کی مدد سے کیا جا سکتا ہے۔