৯.১ উচ্চতা আৰু দূৰত্ব

আগৰ অধ্যায়ত, তোমালোকে ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিছিলা। এই অধ্যায়ত, তোমালোকে ত্ৰিকোণমিতি কেনেকৈ আমাৰ চাৰিপাশৰ জীৱনত ব্যৱহাৰ কৰা হয় তাৰ কিছুমান উপায়ৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিবা।

আগৰ অধ্যায়ৰ ৮.১ চিত্ৰটো আমি বিবেচনা কৰোঁ, যিটো ৯.১ চিত্ৰত তলত পুনৰ অংকন কৰা হৈছে।

চিত্ৰ ৯.১

এই চিত্ৰত, ছাত্ৰজনৰ চকুৰ পৰা মিনাৰৰ শীৰ্ষলৈ টনা ৰেখা $\mathrm{AC}$ ক দৃষ্টিৰেখা বোলা হয়। ছাত্ৰজনে মিনাৰৰ শীৰ্ষলৈ চাই আছে। দৃষ্টিৰেখাই অনুভূমিকৰ সৈতে গঠন কৰা কোণ $\mathrm{BAC}$ ক ছাত্ৰজনৰ চকুৰ পৰা মিনাৰৰ শীৰ্ষৰ উন্নতি কোণ বোলা হয়।

সেয়েহে, দৃষ্টিৰেখা হৈছে পৰ্যবেক্ষকৰ চকুৰ পৰা পৰ্যবেক্ষকে চোৱা বস্তুৰ বিন্দুলৈ টনা ৰেখা। চোৱা বিন্দুটোৰ উন্নতি কোণ হৈছে দৃষ্টিৰেখাই অনুভূমিকৰ সৈতে গঠন কৰা কোণ যেতিয়া চোৱা বিন্দুটো অনুভূমিক স্তৰৰ ওপৰত থাকে, অৰ্থাৎ যেতিয়া আমি বস্তুটোলৈ চাবলৈ মূৰ দাঙি ধৰো (চিত্ৰ ৯.২ চোৱা)।

চিত্ৰ ৯.২

এতিয়া, ৮.২ চিত্ৰত দিয়া পৰিস্থিতিটো বিবেচনা কৰা। বাৰাণ্ডাত বহি থকা ছোৱালীজনীয়ে মন্দিৰৰ খটখটিৰ এটা সিঁৰিত ৰখা ফুলৰ টোপোলালৈ তললৈ চাই আছে। এই ক্ষেত্ৰত, দৃষ্টিৰেখা অনুভূমিক স্তৰৰ তলত থাকে। দৃষ্টিৰেখাই অনুভূমিকৰ সৈতে গঠন কৰা কোণটোক অবনতি কোণ বোলা হয়।

সেয়েহে, চোৱা বস্তুৰ বিন্দু এটাৰ অবনতি কোণ হৈছে দৃষ্টিৰেখাই অনুভূমিকৰ সৈতে গঠন কৰা কোণ যেতিয়া বিন্দুটো অনুভূমিক স্তৰৰ তলত থাকে, অৰ্থাৎ যেতিয়া আমি চোৱা বিন্দুটোলৈ চাবলৈ মূৰ তললৈ কৰো (চিত্ৰ ৯.৩ চোৱা)।

চিত্ৰ ৯.৩

এতিয়া, ৮.৩ চিত্ৰত দৃষ্টিৰেখাবোৰ আৰু গঠন হোৱা কোণবোৰ চিনাক্ত কৰিব পাৰিবা। সেইবোৰ উন্নতি কোণ নে অবনতি কোণ?

আকৌ ৯.১ চিত্ৰলৈ উল্লেখ কৰোঁ। যদি তুমি মিনাৰৰ উচ্চতা $\mathrm{CD}$ প্ৰকৃততে নমাজি উলিয়াব বিচাৰা, তেন্তে তোমাক কি তথ্যৰ প্ৰয়োজন হ’ব? তোমাক তলত দিয়াবোৰ জানিবলৈ প্ৰয়োজন হ’ব:

(i) ছাত্ৰজন থকা স্থানৰ পৰা মিনাৰৰ ভেটিলৈ দূৰত্ব $\mathrm{DE}$

(ii) মিনাৰৰ শীৰ্ষৰ উন্নতি কোণ, $\angle \mathrm{BAC}$

(iii) ছাত্ৰজনৰ উচ্চতা $\mathrm{AE}$।

ওপৰৰ তিনিটা অৱস্থা জনা বুলি ধৰি ল’লে, আমি কেনেকৈ মিনাৰৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰিব পাৰোঁ?

চিত্ৰত, $\mathrm{CD}=\mathrm{CB}+\mathrm{BD}$। ইয়াত, $\mathrm{BD}=\mathrm{AE}$, যিটো হৈছে ছাত্ৰজনৰ উচ্চতা।

$\mathrm{BC}$ উলিয়াবলৈ, আমি $\angle \mathrm{BAC}$ বা $\angle \mathrm{A}$ ৰ ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত ব্যৱহাৰ কৰিম।

$\triangle \mathrm{ABC}$ ত, বাহু $\mathrm{BC}$ হৈছে জনা $\angle \mathrm{A}$ ৰ সাপেক্ষে বিপৰীত বাহু। এতিয়া, আমি কোনটো ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰোঁ? সেইবোৰৰ ভিতৰত কোনটোত আমি থকা দুটা মান আৰু নিৰ্ণয় কৰিবলগীয়া এটা মান আছে? আমাৰ সন্ধান $\tan \mathrm{A}$ বা $\cot \mathrm{A}$ ব্যৱহাৰ কৰালৈ সীমিত হয়, কাৰণ এই অনুপাতবোৰত $\mathrm{AB}$ আৰু $\mathrm{BC}$ জড়িত থাকে।

সেয়েহে, $\tan \mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$ বা $\cot \mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$, যাক সমাধান কৰিলে আমি $\mathrm{BC}$ পাম।

$\mathrm{AE}$ ক $\mathrm{BC}$ লৈ যোগ কৰিলে, তুমি মিনাৰৰ উচ্চতা পাবা।

এতিয়া, আমি কেইটামান সমস্যা সমাধান কৰি, আমি এইমাত্ৰ আলোচনা কৰা প্ৰক্ৰিয়াটো বৰ্ণনা কৰোঁ।

উদাহৰণ ১ : এটা টাৱৰ মাটিত উলম্বভাৱে থিয় হৈ আছে। মাটিৰ এটা বিন্দুৰ পৰা, যিটো টাৱৰৰ ভেটিৰ পৰা $15 \mathrm{~m}$ দূৰত, টাৱৰৰ শীৰ্ষৰ উন্নতি কোণ $60^{\circ}$ পোৱা গ’ল। টাৱৰটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।

চিত্ৰ ৯.৪

সমাধান : প্ৰথমে সমস্যাটো প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ এটা সৰল চিত্ৰ আঁকো (চিত্ৰ ৯.৪ চোৱা)। ইয়াত AB য়ে টাৱৰক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে, $\mathrm{CB}$ হৈছে বিন্দুটোৰ টাৱৰৰ পৰা দূৰত্ব আৰু $\angle \mathrm{ACB}$ হৈছে উন্নতি কোণ। আমাক টাৱৰটোৰ উচ্চতা, অৰ্থাৎ AB নিৰ্ণয় কৰিব লাগে। লগতে, ACB হৈছে B ত সমকোণী এটা ত্ৰিভূজ।

সমস্যাটো সমাধান কৰিবলৈ, আমি ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত $\tan 60^{\circ}$ (বা $\cot 60^{\circ}$) বাছি লওঁ, কাৰণ অনুপাতটোত $\mathrm{AB}$ আৰু $\mathrm{BC}$ জড়িত থাকে।

$\begin{array}{rlrl} & \text { Now, } & \tan 60^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ & \text { i.e., } & \sqrt{3} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{15} \\ \text { i.e., }& & \mathrm{AB} & =15 \sqrt{3}\end{array}$

সেয়েহে, টাৱৰটোৰ উচ্চতা হৈছে $15 \sqrt{3} \mathrm{~m}$।

উদাহৰণ ২ : এগৰাকী ইলেক্ট্ৰিচিয়ানে উচ্চতা $5 \mathrm{~m}$ ৰ খুঁটা এটাত থকা ইলেক্ট্ৰিকৰ খুঁটাটো মেৰামতি কৰিব লাগে। তাই মেৰামতিৰ কাম কৰিবলৈ খুঁটাৰ শীৰ্ষৰ পৰা $1.3 \mathrm{~m}$ তলৰ বিন্দুটোলৈ উপনীত হ’ব লাগে (চিত্ৰ ৯.৫ চোৱা)। তাই ব্যৱহাৰ কৰা জখলাটোৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান হ’ব লাগে যাতে অনুভূমিকৰ সৈতে $60^{\circ}$ কোণ কৰি হালি থাকিলে তাই প্ৰয়োজনীয় স্থানলৈ উপনীত হ’ব পাৰে? লগতে, খুঁটাৰ ভেটিৰ পৰা তাই জখলাটোৰ ভেটি কিমান দূৰত ৰাখিব লাগে? (তুমি $\sqrt{3}=1.73$ ল’ব পাৰা)

চিত্ৰ ৯.৫

সমাধান : চিত্ৰ ৯.৫ ত, ইলেক্ট্ৰিচিয়ানগৰাকীয়ে খুঁটা $\mathrm{AD}$ ৰ বিন্দু $\mathrm{B}$ লৈ উপনীত হ’ব লাগে।

$$ \text { So, } \quad \mathrm{BD}=\mathrm{AD}-\mathrm{AB}=(5-1.3) \mathrm{m}=3.7 \mathrm{~m} \text {. } $$

ইয়াত, $\mathrm{BC}$ য়ে জখলাটোক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। আমি ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্য, অৰ্থাৎ সমকোণী ত্ৰিভূজ BDC ৰ অতিভুজ উলিয়াব লাগে।

এতিয়া, তুমি ভাবিব পাৰানে আমি কোনটো ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত বিবেচনা কৰিব লাগে?

ই হ’ব লাগে $\sin 60^{\circ}$।

সেয়েহে, $\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=\sin 60^{\circ} \text { or } \dfrac{3.7}{\mathrm{BC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

সেয়েহে, $$ \mathrm{BC}=\dfrac{3.7 \times 2}{\sqrt{3}}=4.28 \mathrm{~m} \text { (approx.) } $$

অৰ্থাৎ, জখলাটোৰ দৈৰ্ঘ্য হ’ব লাগে $4.28 \mathrm{~m}$।

এতিয়া, $$ \dfrac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}=\cot 60^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} $$

অৰ্থাৎ, $$ \mathrm{DC}=\dfrac{3.7}{\sqrt{3}}=2.14 \mathrm{~m} \text { (approx.) } $$

সেয়েহে, তাই জখলাটোৰ ভেটি খুঁটাৰ পৰা $2.14 \mathrm{~m}$ দূৰত ৰাখিব লাগে।

উদাহৰণ ৩ : উচ্চতা $1.5 \mathrm{~m}$ ৰ এগৰাকী পৰ্যবেক্ষক ধোঁৱাশলৈৰ পৰা $28.5 \mathrm{~m}$ দূৰত আছে। তাইৰ চকুৰ পৰা ধোঁৱাশলৈৰ শীৰ্ষৰ উন্নতি কোণ $45^{\circ}$। ধোঁৱাশলৈটোৰ উচ্চতা কিমান?

সমাধান : ইয়াত, $A B$ হৈছে ধোঁৱাশলৈ, $C D$ হৈছে পৰ্যবেক্ষক আৰু $\angle \mathrm{ADE}$ হৈছে উন্নতি কোণ (চিত্ৰ ৯.৬ চোৱা)। এই ক্ষেত্ৰত, $A D E$ হৈছে $\mathrm{E}$ ত সমকোণী এটা ত্ৰিভূজ আৰু আমাক ধোঁৱাশলৈটোৰ উচ্চতা উলিয়াব লাগে।

চিত্ৰ ৯.৬

আমাৰ আছে $$\mathrm{AB}=\mathrm{AE}+\mathrm{BE}=\mathrm{AE}+1.5$$

আৰু $$ \mathrm{DE}=\mathrm{CB}=28.5 \mathrm{~m} $$

AE নিৰ্ণয় কৰিবলৈ, আমি এটা ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত বাছি লওঁ, যিটোত $\mathrm{AE}$ আৰু DE দুয়োটা জড়িত থাকে। উন্নতি কোণটোৰ টেনজেণ্ট বাছি লওঁ।

এতিয়া, $$ \begin{aligned} \tan 45^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}} \\ \end{aligned} $$

অৰ্থাৎ, $$1 =\dfrac{\mathrm{AE}}{28.5}$$

সেয়েহে, $$ \mathrm{AE}=28.5 $$

সেয়েহে ধোঁৱাশলৈটোৰ উচ্চতা $(A B)=(28.5+1.5) \mathrm{m}=30 \mathrm{~m}$।

উদাহৰণ ৪ : মাটিৰ পৰা $P$ বিন্দু এটাৰ পৰা উচ্চতা $10 \mathrm{~m}$ ৰ দালান এটাৰ শীৰ্ষৰ উন্নতি কোণ $30^{\circ}$। দালানটোৰ শীৰ্ষত নিশান উৰোৱা হৈছে আৰু $\mathrm{P}$ ৰ পৰা নিশানদণ্ডৰ শীৰ্ষৰ উন্নতি কোণ $45^{\circ}$। নিশানদণ্ডটোৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু বিন্দু P ৰ পৰা দালানটোৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা। (তুমি $\sqrt{3}=1.732$ ল’ব পাৰা)

সমাধান : চিত্ৰ ৯.৭ ত, AB য়ে দালানটোৰ উচ্চতা, BD য়ে নিশানদণ্ড আৰু $\mathrm{P}$ য়ে দিয়া বিন্দুটোক সূচায়। মন কৰা যে $\mathrm{PAB}$ আৰু $\mathrm{PAD}$ দুটা সমকোণী ত্ৰিভূজ আছে। আমাক নিশানদণ্ডটোৰ দৈৰ্ঘ্য, অৰ্থাৎ DB আৰু বিন্দু P ৰ পৰা দালানটোৰ দূৰত্ব, অৰ্থাৎ PA উলিয়াব লাগে।

চিত্ৰ ৯.৭

যিহেতু, আমি দালানটোৰ উচ্চতা $A B$ জানো, আমি প্ৰথমে সমকোণী $\triangle \mathrm{PAB}$ বিবেচনা কৰিম।

আমাৰ আছে $$ \begin{aligned} \tan 30^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AP}} \ \end{aligned} $$

অৰ্থাৎ, $$\dfrac{1}{\sqrt{3}} =\dfrac{10}{\mathrm{AP}}$$

সেয়েহে, $$ \mathrm{AP}=10 \sqrt{3} $$

অৰ্থাৎ, $P$ ৰ পৰা দালানটোৰ দূৰত্ব হৈছে $10 \sqrt{3} \mathrm{~m}=17.32 \mathrm{~m}$।

পৰৱৰ্তী, ধৰি লওঁ $\mathrm{DB}=x \mathrm{~m}$। তেন্তে $\mathrm{AD}=(10+x) \mathrm{m}$।

এতিয়া, সমকোণী $\Delta \mathrm{PAD}$ ত,

$$ \tan 45^{\circ}=\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AP}}=\dfrac{10+x}{10 \sqrt{3}} $$

সেয়েহে, $$ 1=\dfrac{10+x}{10 \sqrt{3}} $$

অৰ্থাৎ, $$ x=10(\sqrt{3}-1)=7.32 $$

সেয়েহে, নিশানদণ্ডটোৰ দৈৰ্ঘ্য হৈছে $7.32 \mathrm{~m}$।

উদাহৰণ ৫ : সমতল মাটিত থিয় হৈ থকা টাৱৰ এটাৰ ছাঁ সূৰ্যৰ উন্নতি কোণ $30^{\circ}$ হোৱাত $60^{\circ}$ হোৱাতকৈ $40 \mathrm{~m}$ দীঘল পোৱা গ’ল। টাৱৰটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : চিত্ৰ ৯.৮ ত, AB হৈছে টাৱৰ আৰু $\mathrm{BC}$ হৈছে ছাঁটোৰ দৈৰ্ঘ্য যেতিয়া সূৰ্যৰ উন্নতি কোণ $60^{\circ}$, অৰ্থাৎ ছাঁটোৰ আগৰ পৰা টাৱৰৰ শীৰ্ষৰ উন্নতি কোণ $60^{\circ}$ আৰু $\mathrm{DB}$ হৈছে ছাঁটোৰ দৈৰ্ঘ্য, যেতিয়া উন্নতি কোণ $30^{\circ}$।

চিত্ৰ ৯.৮

এতিয়া, ধৰি লওঁ $\mathrm{AB}$ হৈছে $h \mathrm{~m}$ আৰু $\mathrm{BC}$ হৈছে $x \mathrm{~m}$। প্ৰশ্নমতে, $\mathrm{DB}$ হৈছে $40 \mathrm{~m}$, $\mathrm{BC}$ তকৈ দীঘল।

সেয়েহে, $$ \mathrm{DB}=(40+x) \mathrm{m} $$

এতিয়া, আমাৰ দুটা সমকোণী ত্ৰিভূজ $\mathrm{ABC}$ আৰু $\mathrm{ABD}$ আছে।

$\begin{array}{rlrl} \text {In } \Delta \mathrm{ABC} & \tan 60^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ \text { or } & & \sqrt{3} & =\dfrac{h}{x} \\ \text {In } \Delta \mathrm{ABD} & \tan 30^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}} \\ & \text { i.e., } & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & =\dfrac{h}{x+40}\end{array}$

(1) ৰ পৰা, আমি পাইছো

$$ h=x \sqrt{3} $$

এই মানটো (2) ত বহুৱালে পাইছো $(x \sqrt{3}) \sqrt{3}=x+40$, অৰ্থাৎ $3 x=x+40$

$$ \begin{align*} \text{ अर्थात् } \qquad\qquad & x=20 \\ \text{ इसलिए }\qquad\qquad & h=20 \sqrt{3} \tag{[From (1)]} \end{align*} $$

সেয়েহে, টাৱৰটোৰ উচ্চতা হৈছে $20 \sqrt{3} \mathrm{~m}$।

উদাহৰণ ৬ : উচ্চতা $8 \mathrm{~m}$ ৰ দালান এটাৰ শীৰ্ষ আৰু ভেটিৰ অবনতি কোণ বহুতলীয়া দালান এটাৰ শীৰ্ষৰ পৰা ক্ৰমে $30^{\circ}$ আৰু $45^{\circ}$। বহুতলীয়া দালানটোৰ উচ্চতা আৰু দুয়োটা দালানৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : চিত্ৰ ৯.৯ ত, PC য়ে বহুতলীয়া দালানটোক আৰু $\mathrm{AB}$ য়ে উচ্চতা $8 \mathrm{~m}$ ৰ দালানটোক সূচায়। আমাক বহুতলীয়া দালানটোৰ উচ্চতা, অৰ্থাৎ PC আৰু দুয়োটা দালানৰ মাজৰ দূৰত্ব, অৰ্থাৎ AC নিৰ্ণয় কৰিবলৈ আগ্ৰহী। চিত্ৰটোলৈ সাৱধানে চোৱা। লক্ষ্য কৰা যে $\mathrm{PB}$ হৈছে সমান্তৰাল ৰেখা $\mathrm{PQ}$ আৰু $\mathrm{BD}$ ৰ এটা ছেদক। সেয়েহে, $\angle \mathrm{QPB}$ আৰু $\angle \mathrm{PBD}$ হৈছে একান্তৰ কোণ, আৰু সেয়ে সমান। গতিকে $\angle \mathrm{PBD}=30^{\circ}$। একেদৰে, $\quad \angle \mathrm{PAC}=45^{\circ}$। সমকোণী $\Delta \mathrm{PBD}$ ত, আমাৰ আছে

চিত্ৰ ৯.৯

$$ \dfrac{\mathrm{PD}}{\mathrm{BD}}=\tan 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \text { or } \mathrm{BD}=\mathrm{PD} \sqrt{3} $$

সমকোণী $\Delta \mathrm{PAC}$ ত, আমাৰ আছে

$\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{AC}}=\tan 45^{\circ}=1$

অৰ্থাৎ, $\quad P C=A C$

লগতে, $\quad \mathrm{PC}=\mathrm{PD}+\mathrm{DC}$, সেয়েহে $\mathrm{PD}+\mathrm{DC}=\mathrm{AC}$।

যিহেতু, $\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$ আৰু $\mathrm{DC}=\mathrm{AB}=8 \mathrm{~m}$, আমি পাইছো $\mathrm{PD}+8=\mathrm{BD}=\mathrm{PD} \sqrt{3}$ (কিয়?)

ইয়ে দিয়া

$ \mathrm{PD}=\dfrac{8}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{8(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=4(\sqrt{3}+1) \mathrm{m} $

সেয়েহে, বহুতলীয়া দালানটোৰ উচ্চতা হৈছে ${4(\sqrt{3}+1)+8} \mathrm{m}=4(3+\sqrt{3}) \mathrm{m}$ আৰু দুয়োটা দালানৰ মাজৰ দূৰত্বো $4(3+\sqrt{3}) \mathrm{m}$।

উদাহৰণ ৭ : নদী এখনৰ ওপৰেৰে থকা দলং এটাৰ বিন্দু এটাৰ পৰা, নদীখনৰ বিপৰীত পাৰৰ দুয়োটা পাৰৰ অবনতি কোণ ক্ৰমে $30^{\circ}$ আৰু $45^{\circ}$। যদি দলংটো পাৰৰ পৰা $3 \mathrm{~m}$ উচ্চতাত থাকে, নদীখনৰ প্ৰস্থ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : চিত্ৰ ৯.১০ ত, A আৰু B য়ে নদীখনৰ বিপৰীত পাৰৰ পাৰৰ বিন্দুবোৰ প্ৰতিনিধিত্ব কৰে, যাতে $\mathrm{AB}$ হৈছে নদীখনৰ প্ৰস্থ। $\mathrm{P}$ হৈছে দলংটোৰ ওপৰত থকা বিন্দু এটা ৩ $\mathrm{m}$ উচ্চতাত, অৰ্থাৎ $\mathrm{DP}=3 \mathrm{~m}$। আমাক নদীখনৰ প্ৰস্থ, যিটো $D A P B$ ৰ বাহু $A B$ ৰ দৈৰ্ঘ্য, নিৰ্ণয় কৰিবলৈ আগ্ৰহী।

চিত্ৰ ৯.১০

এতিয়া, $$ A B=A D+D B $$

সমকোণী $\triangle \mathrm{APD}, \angle \mathrm{A}=30^{\circ}$ ত।

সেয়েহে, $\quad \tan 30^{\circ}=\dfrac{\mathrm{PD}}{\mathrm{AD}}$

অৰ্থাৎ, $\quad\quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\mathrm{AD}}$ বা $\mathrm{AD}=3 \sqrt{3} \mathrm{~m}$

লগতে, সমকোণী $\triangle \mathrm{PBD}, \angle \mathrm{B}=45^{\circ}$ ত। সেয়েহে, $\mathrm{BD}=\mathrm{PD}=3 \mathrm{~m}$।

এতিয়া, $ \mathrm{AB}=\mathrm{BD}+\mathrm{AD}=3+3 \sqrt{3}=3(1+\sqrt{3}) \mathrm{m} . $

সেয়েহে, নদীখনৰ প্ৰস্থ হৈছে $3(\sqrt{3}+1) \mathrm{m}$।

৯.২ সাৰাংশ

এই অধ্যায়ত, তোমালোকে তলত দিয়া বিষয়বোৰ অধ্যয়ন কৰিছা:

১. (i) দৃষ্টিৰেখা হৈছে পৰ্যবেক্ষকৰ চকুৰ পৰা পৰ্যবেক্ষকে চোৱা বস্তুৰ বিন্দুলৈ টনা ৰেখা।

(ii) চোৱা বস্তু এটাৰ উন্নতি কোণ হৈছে দৃষ্টিৰেখাই অনুভূমিকৰ সৈতে গঠন কৰা কোণ যেতিয়া ই অনুভূমিক স্তৰৰ ওপৰত থাকে, অৰ্থাৎ যেতিয়া আমি বস্তুটোলৈ চাবলৈ মূৰ দাঙি ধৰো।

(iii) চোৱা বস্তু এটাৰ অবনতি কোণ হৈছে দৃষ্টিৰেখাই অনুভূমিকৰ সৈতে গঠন কৰা কোণ যেতিয়া ই অনুভূমিক স্তৰৰ তলত থাকে, অৰ্থাৎ যেতিয়া আমি বস্তুটোলৈ চাবলৈ মূৰ তললৈ কৰো।

২. বস্তু এটাৰ উচ্চতা বা দৈৰ্ঘ্য বা দুটা দূৰৰ বস্তুৰ মাজৰ দূৰত্ব ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতৰ সহায়ত নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।