৯.১ উচ্চতা ও দূরত্ব

পূর্ববর্তী অধ্যায়ে, আপনি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সম্পর্কে অধ্যয়ন করেছেন। এই অধ্যায়ে, আপনি ত্রিকোণমিতি কীভাবে আমাদের চারপাশের জীবনে ব্যবহৃত হয় তার কিছু পদ্ধতি নিয়ে অধ্যয়ন করবেন।

আসুন আমরা পূর্ববর্তী অধ্যায়ের চিত্র ৮.১ বিবেচনা করি, যা নিচে চিত্র ৯.১-এ পুনরায় আঁকা হয়েছে।

চিত্র ৯.১

এই চিত্রে, ছাত্রের চোখ থেকে মিনারের শীর্ষ পর্যন্ত টানা রেখা $\mathrm{AC}$ দৃষ্টিরেখা নামে পরিচিত। ছাত্রটি মিনারের শীর্ষের দিকে তাকিয়ে আছে। দৃষ্টিরেখা অনুভূমিক রেখার সাথে যে কোণ $\mathrm{BAC}$ গঠন করে, তাকে ছাত্রের চোখ থেকে মিনারের শীর্ষের উন্নতি কোণ বলে।

সুতরাং, দৃষ্টিরেখা হল পর্যবেক্ষকের চোখ থেকে পর্যবেক্ষক দ্বারা দেখা বস্তুর বিন্দু পর্যন্ত টানা রেখা। দেখা বিন্দুর উন্নতি কোণ হল দৃষ্টিরেখা অনুভূমিক রেখার সাথে গঠিত সেই কোণ যখন দেখা বিন্দুটি অনুভূমিক তল থেকে উপরে থাকে, অর্থাৎ, যখন আমরা বস্তুর দিকে তাকাতে মাথা উপরে তুলি (চিত্র ৯.২ দেখুন)।

চিত্র ৯.২

এখন, চিত্র ৮.২-এ প্রদত্ত অবস্থাটি বিবেচনা করুন। বারান্দায় বসে থাকা মেয়েটি মন্দিরের একটি সিঁড়িতে রাখা ফুলের টবের দিকে নিচে তাকাচ্ছে। এই ক্ষেত্রে, দৃষ্টিরেখা অনুভূমিক তল থেকে নিচে অবস্থিত। দৃষ্টিরেখা অনুভূমিক রেখার সাথে এইভাবে গঠিত কোণটিকে অবনতি কোণ বলে।

সুতরাং, দেখা বস্তুর একটি বিন্দুর অবনতি কোণ হল দৃষ্টিরেখা অনুভূমিক রেখার সাথে গঠিত সেই কোণ যখন বিন্দুটি অনুভূমিক তল থেকে নিচে থাকে, অর্থাৎ, যখন আমরা দেখা বিন্দুর দিকে তাকাতে মাথা নিচু করি (চিত্র ৯.৩ দেখুন)।

চিত্র ৯.৩

এখন, আপনি চিত্র ৮.৩-এ দৃষ্টিরেখা এবং সেখানে গঠিত কোণগুলি চিহ্নিত করতে পারেন। সেগুলি উন্নতি কোণ নাকি অবনতি কোণ?

আসুন আমরা আবার চিত্র ৯.১-এর দিকে ফিরে যাই। আপনি যদি প্রকৃতপক্ষে মাপ না নিয়ে মিনারের উচ্চতা $\mathrm{CD}$ নির্ণয় করতে চান, তাহলে আপনার কী তথ্য প্রয়োজন? আপনার নিম্নলিখিত বিষয়গুলি জানা প্রয়োজন:

(i) ছাত্রটি মিনারের পাদদেশ থেকে যে দূরত্বে $\mathrm{DE}$ দাঁড়িয়ে আছে

(ii) মিনারের শীর্ষের উন্নতি কোণ, $\angle \mathrm{BAC}$

(iii) ছাত্রের উচ্চতা $\mathrm{AE}$।

উপরের তিনটি শর্ত জানা আছে ধরে নিলে, আমরা কীভাবে মিনারের উচ্চতা নির্ণয় করতে পারি?

চিত্রে, $\mathrm{CD}=\mathrm{CB}+\mathrm{BD}$। এখানে, $\mathrm{BD}=\mathrm{AE}$, যা হল ছাত্রের উচ্চতা।

$\mathrm{BC}$ নির্ণয় করতে, আমরা $\angle \mathrm{BAC}$ বা $\angle \mathrm{A}$ এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ব্যবহার করব।

$\triangle \mathrm{ABC}$-এ, বাহু $\mathrm{BC}$ হল পরিচিত $\angle \mathrm{A}$-এর সাপেক্ষে বিপরীত বাহু। এখন, আমরা কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ব্যবহার করতে পারি? তাদের মধ্যে কোনটিতে আমাদের কাছে বিদ্যমান দুটি মান এবং আমাদের নির্ণয় করতে হবে এমন একটি মান রয়েছে? আমাদের অনুসন্ধান $\tan \mathrm{A}$ বা $\cot \mathrm{A}$ ব্যবহার করার দিকে সীমিত হয়ে আসে, কারণ এই অনুপাতগুলি $\mathrm{AB}$ এবং $\mathrm{BC}$ কে জড়িত করে।

অতএব, $\tan \mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$ বা $\cot \mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$, যা সমাধান করলে আমাদের $\mathrm{BC}$ দেবে।

$\mathrm{AE}$-এর সাথে $\mathrm{BC}$ যোগ করে, আপনি মিনারের উচ্চতা পাবেন।

এখন আসুন আমরা কিছু সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে, আমরা এইমাত্র যে প্রক্রিয়াটি আলোচনা করেছি তা ব্যাখ্যা করি।

উদাহরণ ১: একটি মিনার ভূমিতে উল্লম্বভাবে দাঁড়িয়ে আছে। ভূমির একটি বিন্দু থেকে, যা মিনারের পাদদেশ থেকে $15 \mathrm{~m}$ দূরে অবস্থিত, মিনারের শীর্ষের উন্নতি কোণ $60^{\circ}$ পাওয়া গেছে। মিনারের উচ্চতা নির্ণয় করো।

চিত্র ৯.৪

সমাধান: প্রথমে সমস্যাটি উপস্থাপনের জন্য একটি সরল চিত্র আঁকি (চিত্র ৯.৪ দেখুন)। এখানে AB মিনারকে নির্দেশ করে, $\mathrm{CB}$ হল বিন্দুটির মিনার থেকে দূরত্ব এবং $\angle \mathrm{ACB}$ হল উন্নতি কোণ। আমাদের মিনারের উচ্চতা, অর্থাৎ AB নির্ণয় করতে হবে। এছাড়াও, ACB হল B-তে সমকোণী একটি ত্রিভুজ।

সমস্যাটি সমাধান করতে, আমরা ত্রিকোণমিতিক অনুপাত $\tan 60^{\circ}$ (বা $\cot 60^{\circ}$) বেছে নিই, কারণ অনুপাতটি $\mathrm{AB}$ এবং $\mathrm{BC}$ কে জড়িত করে।

$\begin{array}{rlrl} & \text { Now, } & \tan 60^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ & \text { i.e., } & \sqrt{3} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{15} \\ \text { i.e., }& & \mathrm{AB} & =15 \sqrt{3}\end{array}$

সুতরাং, মিনারের উচ্চতা হল $15 \sqrt{3} \mathrm{~m}$।

উদাহরণ ২: একজন বিদ্যুৎ কর্মীকে $5 \mathrm{~m}$ উচ্চতার একটি খুঁটিতে একটি বৈদ্যুতিক ত্রুটি মেরামত করতে হবে। মেরামতের কাজটি সম্পাদন করতে তাকে খুঁটির শীর্ষ থেকে $1.3 \mathrm{~m}$ নিচের একটি বিন্দুতে পৌঁছাতে হবে (চিত্র ৯.৫ দেখুন)। তার ব্যবহার করা মইটির দৈর্ঘ্য কত হওয়া উচিত যা অনুভূমিকের সাথে $60^{\circ}$ কোণে হেলানো থাকলে তাকে প্রয়োজনীয় অবস্থানে পৌঁছাতে সক্ষম করবে? আর, খুঁটির পাদদেশ থেকে কত দূরে তাকে মইটির পাদদেশ রাখা উচিত? (আপনি $\sqrt{3}=1.73$ নিতে পারেন)

চিত্র ৯.৫

সমাধান: চিত্র ৯.৫-এ, বিদ্যুৎ কর্মীকে খুঁটি $\mathrm{AD}$-এর B বিন্দুতে পৌঁছাতে হবে।

$$ \text { So, } \quad \mathrm{BD}=\mathrm{AD}-\mathrm{AB}=(5-1.3) \mathrm{m}=3.7 \mathrm{~m} \text {. } $$

এখানে, $\mathrm{BC}$ মইটিকে নির্দেশ করে। আমাদের এর দৈর্ঘ্য, অর্থাৎ সমকোণী ত্রিভুজ BDC-এর অতিভুজ নির্ণয় করতে হবে।

এখন, আপনি কি ভাবতে পারেন আমরা কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বিবেচনা করা উচিত?

এটি হওয়া উচিত $\sin 60^{\circ}$।

সুতরাং, $\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=\sin 60^{\circ} \text { or } \dfrac{3.7}{\mathrm{BC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

অতএব, $$ \mathrm{BC}=\dfrac{3.7 \times 2}{\sqrt{3}}=4.28 \mathrm{~m} \text { (approx.) } $$

অর্থাৎ, মইটির দৈর্ঘ্য হওয়া উচিত $4.28 \mathrm{~m}$।

এখন, $$ \dfrac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}=\cot 60^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} $$

অর্থাৎ, $$ \mathrm{DC}=\dfrac{3.7}{\sqrt{3}}=2.14 \mathrm{~m} \text { (approx.) } $$

অতএব, তাকে মইটির পাদদেশ খুঁটির পাদদেশ থেকে $2.14 \mathrm{~m}$ দূরত্বে রাখা উচিত।

উদাহরণ ৩: একজন পর্যবেক্ষক $1.5 \mathrm{~m}$ লম্বা একটি চিমনির থেকে $28.5 \mathrm{~m}$ দূরে আছেন। তার চোখ থেকে চিমনির শীর্ষের উন্নতি কোণ $45^{\circ}$। চিমনির উচ্চতা কত?

সমাধান: এখানে, $A B$ হল চিমনি, $C D$ হল পর্যবেক্ষক এবং $\angle \mathrm{ADE}$ হল উন্নতি কোণ (চিত্র ৯.৬ দেখুন)। এই ক্ষেত্রে, $A D E$ হল একটি ত্রিভুজ, যা $\mathrm{E}$-এ সমকোণী এবং আমাদের চিমনির উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।

চিত্র ৯.৬

আমাদের আছে $$\mathrm{AB}=\mathrm{AE}+\mathrm{BE}=\mathrm{AE}+1.5$$

এবং $$ \mathrm{DE}=\mathrm{CB}=28.5 \mathrm{~m} $$

AE নির্ণয় করতে, আমরা একটি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বেছে নিই, যা $\mathrm{AE}$ এবং DE উভয়কেই জড়িত করে। আসুন আমরা উন্নতি কোণের ট্যানজেন্ট বেছে নিই।

এখন, $$ \begin{aligned} \tan 45^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}} \\ \end{aligned} $$

অর্থাৎ, $$1 =\dfrac{\mathrm{AE}}{28.5}$$

অতএব, $$ \mathrm{AE}=28.5 $$

সুতরাং চিমনির উচ্চতা $(A B)=(28.5+1.5) \mathrm{m}=30 \mathrm{~m}$।

উদাহরণ ৪: ভূমির একটি বিন্দু $P$ থেকে একটি $10 \mathrm{~m}$ লম্বা ভবনের শীর্ষের উন্নতি কোণ $30^{\circ}$। ভবনের শীর্ষে একটি পতাকা উত্তোলন করা হয়েছে এবং $\mathrm{P}$ থেকে পতাকাদণ্ডের শীর্ষের উন্নতি কোণ $45^{\circ}$। পতাকাদণ্ডের দৈর্ঘ্য এবং বিন্দু P থেকে ভবনের দূরত্ব নির্ণয় করো। (আপনি $\sqrt{3}=1.732$ নিতে পারেন)

সমাধান: চিত্র ৯.৭-এ, AB ভবনের উচ্চতা নির্দেশ করে, BD পতাকাদণ্ড এবং $\mathrm{P}$ প্রদত্ত বিন্দু। লক্ষ্য করুন যে এখানে দুটি সমকোণী ত্রিভুজ $\mathrm{PAB}$ এবং $\mathrm{PAD}$ রয়েছে। আমাদের পতাকাদণ্ডের দৈর্ঘ্য, অর্থাৎ DB এবং বিন্দু P থেকে ভবনের দূরত্ব, অর্থাৎ PA নির্ণয় করতে হবে।

চিত্র ৯.৭

যেহেতু, আমরা ভবনের উচ্চতা $A B$ জানি, আমরা প্রথমে সমকোণী $\triangle \mathrm{PAB}$ বিবেচনা করব।

আমাদের আছে $$ \begin{aligned} \tan 30^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AP}} \ \end{aligned} $$

অর্থাৎ, $$\dfrac{1}{\sqrt{3}} =\dfrac{10}{\mathrm{AP}}$$

অতএব, $$ \mathrm{AP}=10 \sqrt{3} $$

অর্থাৎ, $P$ থেকে ভবনের দূরত্ব হল $10 \sqrt{3} \mathrm{~m}=17.32 \mathrm{~m}$।

পরবর্তীতে, ধরি $\mathrm{DB}=x \mathrm{~m}$। তাহলে $\mathrm{AD}=(10+x) \mathrm{m}$।

এখন, সমকোণী $\Delta \mathrm{PAD}$-এ,

$$ \tan 45^{\circ}=\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AP}}=\dfrac{10+x}{10 \sqrt{3}} $$

অতএব, $$ 1=\dfrac{10+x}{10 \sqrt{3}} $$

অর্থাৎ, $$ x=10(\sqrt{3}-1)=7.32 $$

সুতরাং, পতাকাদণ্ডের দৈর্ঘ্য হল $7.32 \mathrm{~m}$।

উদাহরণ ৫: একটি সমতল ভূমিতে দাঁড়িয়ে থাকা একটি মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য সূর্যের উন্নতি কোণ $30^{\circ}$ এর চেয়ে $60^{\circ}$ হলে $40 \mathrm{~m}$ বেশি পাওয়া যায়। মিনারের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: চিত্র ৯.৮-এ, AB হল মিনার এবং $\mathrm{BC}$ হল ছায়ার দৈর্ঘ্য যখন সূর্যের উন্নতি কোণ $60^{\circ}$, অর্থাৎ ছায়ার প্রান্ত থেকে মিনারের শীর্ষের উন্নতি কোণ $60^{\circ}$ এবং $\mathrm{DB}$ হল ছায়ার দৈর্ঘ্য, যখন উন্নতি কোণ $30^{\circ}$।

চিত্র ৯.৮

এখন, ধরি $\mathrm{AB}$ হল $h \mathrm{~m}$ এবং $\mathrm{BC}$ হল $x \mathrm{~m}$। প্রশ্ন অনুসারে, $\mathrm{DB}$ হল $40 \mathrm{~m}$ $\mathrm{BC}$-এর চেয়ে বেশি।

সুতরাং, $$ \mathrm{DB}=(40+x) \mathrm{m} $$

এখন, আমাদের দুটি সমকোণী ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$ এবং $\mathrm{ABD}$ রয়েছে।

$\begin{array}{rlrl} \text {In } \Delta \mathrm{ABC} & \tan 60^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ \text { or } & & \sqrt{3} & =\dfrac{h}{x} \\ \text {In } \Delta \mathrm{ABD} & \tan 30^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}} \\ & \text { i.e., } & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & =\dfrac{h}{x+40}\end{array}$

(1) থেকে, আমরা পাই

$$ h=x \sqrt{3} $$

এই মান (2)-এ বসালে, আমরা পাই $(x \sqrt{3}) \sqrt{3}=x+40$, অর্থাৎ $3 x=x+40$

$$ \begin{align*} \text{ अर्थात् } \qquad\qquad & x=20 \\ \text{ इसलिए }\qquad\qquad & h=20 \sqrt{3} \tag{[From (1)]} \end{align*} $$

অতএব, মিনারের উচ্চতা হল $20 \sqrt{3} \mathrm{~m}$।

উদাহরণ ৬: একটি বহুতল ভবনের শীর্ষ থেকে একটি $8 \mathrm{~m}$ লম্বা ভবনের শীর্ষ ও পাদদেশের অবনতি কোণ যথাক্রমে $30^{\circ}$ এবং $45^{\circ}$। বহুতল ভবনের উচ্চতা এবং দুটি ভবনের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান: চিত্র ৯.৯-এ, PC বহুতল ভবন নির্দেশ করে এবং $\mathrm{AB}$ $8 \mathrm{~m}$ লম্বা ভবন নির্দেশ করে। আমরা বহুতল ভবনের উচ্চতা, অর্থাৎ PC এবং দুটি ভবনের মধ্যবর্তী দূরত্ব, অর্থাৎ AC নির্ণয় করতে আগ্রহী। চিত্রটি মনোযোগ সহকারে দেখুন। লক্ষ্য করুন যে $\mathrm{PB}$ সমান্তরাল রেখা $\mathrm{PQ}$ এবং $\mathrm{BD}$-এর একটি ছেদক। অতএব, $\angle \mathrm{QPB}$ এবং $\angle \mathrm{PBD}$ একান্তর কোণ, এবং তাই সমান। সুতরাং $\angle \mathrm{PBD}=30^{\circ}$। একইভাবে, $\quad \angle \mathrm{PAC}=45^{\circ}$। সমকোণী $\Delta \mathrm{PBD}$-এ, আমাদের আছে

চিত্র ৯.৯

$$ \dfrac{\mathrm{PD}}{\mathrm{BD}}=\tan 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \text { or } \mathrm{BD}=\mathrm{PD} \sqrt{3} $$

সমকোণী $\Delta \mathrm{PAC}$-এ, আমাদের আছে

$\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{AC}}=\tan 45^{\circ}=1$

অর্থাৎ, $\quad P C=A C$

এছাড়াও, $\quad \mathrm{PC}=\mathrm{PD}+\mathrm{DC}$, অতএব $\mathrm{PD}+\mathrm{DC}=\mathrm{AC}$।

যেহেতু, $\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$ এবং $\mathrm{DC}=\mathrm{AB}=8 \mathrm{~m}$, আমরা পাই $\mathrm{PD}+8=\mathrm{BD}=\mathrm{PD} \sqrt{3}$ (কেন?)

এটি দেয়

$ \mathrm{PD}=\dfrac{8}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{8(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=4(\sqrt{3}+1) \mathrm{m} $

সুতরাং, বহুতল ভবনের উচ্চতা হল ${4(\sqrt{3}+1)+8} \mathrm{m}=4(3+\sqrt{3}) \mathrm{m}$ এবং দুটি ভবনের মধ্যবর্তী দূরত্বও হল $4(3+\sqrt{3}) \mathrm{m}$।

উদাহরণ ৭: একটি নদীর উপর একটি সেতুর একটি বিন্দু থেকে, নদীর বিপরীত তীরের দুটি তীরের অবনতি কোণ যথাক্রমে $30^{\circ}$ এবং $45^{\circ}$। যদি সেতুটি তীর থেকে $3 \mathrm{~m}$ উচ্চতায় থাকে, তবে নদীর প্রস্থ নির্ণয় করো।

সমাধান: চিত্র ৯.১০-এ, A এবং B নদীর বিপরীত তীরের দুটি বিন্দু নির্দেশ করে, যাতে $\mathrm{AB}$ হল নদীর প্রস্থ। $\mathrm{P}$ হল সেতুর উপর একটি বিন্দু যা 3 $\mathrm{m}$ উচ্চতায় অবস্থিত, অর্থাৎ $\mathrm{DP}=3 \mathrm{~m}$। আমরা নদীর প্রস্থ নির্ণয় করতে আগ্রহী, যা $D A P B$-এর বাহু $A B$-এর দৈর্ঘ্য।

চিত্র ৯.১০

এখন, $$ A B=A D+D B $$

সমকোণী $\triangle \mathrm{APD}, \angle \mathrm{A}=30^{\circ}$-এ।

সুতরাং, $\quad \tan 30^{\circ}=\dfrac{\mathrm{PD}}{\mathrm{AD}}$

অর্থাৎ, $\quad\quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\mathrm{AD}}$ বা $\mathrm{AD}=3 \sqrt{3} \mathrm{~m}$

এছাড়াও, সমকোণী $\triangle \mathrm{PBD}, \angle \mathrm{B}=45^{\circ}$-এ। সুতরাং, $\mathrm{BD}=\mathrm{PD}=3 \mathrm{~m}$।

এখন, $ \mathrm{AB}=\mathrm{BD}+\mathrm{AD}=3+3 \sqrt{3}=3(1+\sqrt{3}) \mathrm{m} . $

অতএব, নদীর প্রস্থ হল $3(\sqrt{3}+1) \mathrm{m}$।

৯.২ সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে, আপনি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছেন:

১. (i) দৃষ্টিরেখা হল পর্যবেক্ষকের চোখ থেকে পর্যবেক্ষক দ্বারা দেখা বস্তুর বিন্দু পর্যন্ত টানা রেখা।

(ii) দেখা কোনো বস্তুর উন্নতি কোণ হল দৃষ্টিরেখা অনুভূমিক রেখার সাথে গঠিত সেই কোণ যখন এটি অনুভূমিক তল থেকে উপরে থাকে, অর্থাৎ, যখন আমরা বস্তুর দিকে তাকাতে মাথা উপরে তুলি।

(iii) দেখা কোনো বস্তুর অবনতি কোণ হল দৃষ্টিরেখা অনুভূমিক রেখার সাথে গঠিত সেই কোণ যখন এটি অনুভূমিক তল থেকে নিচে থাকে, অর্থাৎ, যখন আমরা বস্তুর দিকে তাকাতে মাথা নিচু করি।

২. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সাহায্যে কোনো বস্তুর উচ্চতা বা দৈর্ঘ্য অথবা দুটি দূরবর্তী বস্তুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করা যায়।