9.1 ಎತ್ತರಗಳು ಮತ್ತು ದೂರಗಳು

ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಿರಿ.

ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದ ಚಿತ್ರ 8.1 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರ 9.1 ರಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 9.1

ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಕಣ್ಣಿನಿಂದ ಮಿನಾರದ ಮೇಲ್ಭಾಗಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ರೇಖೆ $\mathrm{AC}$ ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಮಿನಾರದ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿದ್ದಾನೆ. ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆಯು ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸುವ ಕೋನ $\mathrm{BAC}$ ವನ್ನು, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಕಣ್ಣಿನಿಂದ ಮಿನಾರದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಉನ್ನತ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆಯು ವೀಕ್ಷಕನ ಕಣ್ಣಿನಿಂದ ವೀಕ್ಷಕನು ನೋಡುವ ವಸ್ತುವಿನ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆದ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ನೋಡಲ್ಪಡುವ ಬಿಂದುವಿನ ಉನ್ನತ ಕೋನವು ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆಯು ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ, ಆಗ ನೋಡಲ್ಪಡುವ ಬಿಂದುವು ಸಮತಲ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ವಸ್ತುವನ್ನು ನೋಡಲು ನಮ್ಮ ತಲೆಯನ್ನು ಎತ್ತಿದಾಗ (ಚಿತ್ರ 9.2 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 9.2

ಈಗ, ಚಿತ್ರ 8.2 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಬಾಲ್ಕನಿಯಲ್ಲಿ ಕುಳಿತಿರುವ ಹುಡುಗಿಯು ದೇವಾಲಯದ ಮೆಟ್ಟಿಲಿನ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಹೂದಾನಿಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೋಡುತ್ತಿದ್ದಾಳೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆಯು ಸಮತಲ ಮಟ್ಟದ ಕೆಳಗಿದೆ. ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆಯು ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸುವ ಕೋನವನ್ನು ಅವನತ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನೋಡಲ್ಪಡುವ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಅವನತ ಕೋನವು ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆಯು ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ, ಆಗ ಬಿಂದುವು ಸಮತಲ ಮಟ್ಟದ ಕೆಳಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ನೋಡಲ್ಪಡುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೋಡಲು ನಮ್ಮ ತಲೆಯನ್ನು ತಗ್ಗಿಸಿದಾಗ (ಚಿತ್ರ 9.3 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 9.3

ಈಗ, ನೀವು ಚಿತ್ರ 8.3 ರಲ್ಲಿ ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವು ರೂಪಿಸುವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಅವು ಉನ್ನತ ಕೋನಗಳೇ ಅಥವಾ ಅವನತ ಕೋನಗಳೇ?

ನಾವು ಮತ್ತೆ ಚಿತ್ರ 9.1 ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸೋಣ. ನೀವು ಮಿನಾರದ ಎತ್ತರ $\mathrm{CD}$ ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅಳೆಯದೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಿಮಗೆ ಯಾವ ಮಾಹಿತಿ ಬೇಕು? ನಿಮಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು:

(i) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಮಿನಾರದ ಪಾದದಿಂದ ನಿಂತಿರುವ ದೂರ $\mathrm{DE}$

(ii) ಮಿನಾರದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಉನ್ನತ ಕೋನ, $\angle \mathrm{BAC}$

(iii) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಎತ್ತರ $\mathrm{AE}$.

ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಮಿನಾರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು?

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, $\mathrm{CD}=\mathrm{CB}+\mathrm{BD}$. ಇಲ್ಲಿ, $\mathrm{BD}=\mathrm{AE}$, ಇದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

$\mathrm{BC}$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು $\angle \mathrm{BAC}$ ಅಥವಾ $\angle \mathrm{A}$ ನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

$\triangle \mathrm{ABC}$ ರಲ್ಲಿ, ಬದಿ $\mathrm{BC}$ ತಿಳಿದಿರುವ $\angle \mathrm{A}$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಯಾಗಿದೆ. ಈಗ, ನಾವು ಯಾವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು? ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ನಮ್ಮಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ? ನಮ್ಮ ಹುಡುಕಾಟವು $\tan \mathrm{A}$ ಅಥವಾ $\cot \mathrm{A}$ ಅನ್ನು ಬಳಸುವತ್ತ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಅನುಪಾತಗಳು $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{BC}$ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\tan \mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$ ಅಥವಾ $\cot \mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$, ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ $\mathrm{BC}$ ಸಿಗುತ್ತದೆ.

$\mathrm{AE}$ ಅನ್ನು $\mathrm{BC}$ ಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಮಿನಾರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಈಗ, ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಒಂದು ಗೋಪುರವು ನೆಲದ ಮೇಲೆ ಲಂಬವಾಗಿ ನಿಂತಿದೆ. ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಅದು ಗೋಪುರದ ಪಾದದಿಂದ $15 \mathrm{~m}$ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ, ಗೋಪುರದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಉನ್ನತ ಕೋನವು $60^{\circ}$ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರ 9.4

ಪರಿಹಾರ : ಮೊದಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ (ಚಿತ್ರ 9.4 ನೋಡಿ). ಇಲ್ಲಿ AB ಗೋಪುರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, $\mathrm{CB}$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗೋಪುರದ ದೂರ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{ACB}$ ಉನ್ನತ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ AB. ಹಾಗೆಯೇ, ACB ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ಇದು B ಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತ $\tan 60^{\circ}$ (ಅಥವಾ $\cot 60^{\circ}$ ) ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಅನುಪಾತವು $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{BC}$ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

$\begin{array}{rlrl} & \text { Now, } & \tan 60^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ & \text { i.e., } & \sqrt{3} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{15} \\ \text { i.e., }& & \mathrm{AB} & =15 \sqrt{3}\end{array}$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರವು $15 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯುತ್ ತಂತ್ರಜ್ಞನು $5 \mathrm{~m}$ ಎತ್ತರದ ಕಂಬದ ಮೇಲಿನ ವಿದ್ಯುತ್ ದೋಷವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ದುರಸ್ತಿ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಲು ಅವಳು ಕಂಬದ ಮೇಲ್ಭಾಗದಿಂದ $1.3 \mathrm{~m}$ ಕೆಳಗಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲುಪಬೇಕಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 9.5 ನೋಡಿ). ಅವಳು ಬಳಸಬೇಕಾದ ಏಣಿಯ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟಿರಬೇಕು, ಅದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ $60^{\circ}$ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಓರೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವಳು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತಲುಪಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ? ಹಾಗೆಯೇ, ಅವಳು ಕಂಬದ ಪಾದದಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಏಣಿಯ ಪಾದವನ್ನು ಇಡಬೇಕು? (ನೀವು $\sqrt{3}=1.73$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು )

ಚಿತ್ರ 9.5

ಪರಿಹಾರ : ಚಿತ್ರ 9.5 ರಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ತಂತ್ರಜ್ಞನು ಕಂಬ $\mathrm{AD}$ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದು $\mathrm{B}$ ಅನ್ನು ತಲುಪಬೇಕಾಗಿದೆ.

$$ \text { So, } \quad \mathrm{BD}=\mathrm{AD}-\mathrm{AB}=(5-1.3) \mathrm{m}=3.7 \mathrm{~m} \text {. } $$

ಇಲ್ಲಿ, $\mathrm{BC}$ ಏಣಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ BDC ನ ಕರ್ಣ.

ಈಗ, ನಾವು ಯಾವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನೀವು ಯೋಚಿಸಬಹುದು?

ಅದು $\sin 60^{\circ}$ ಆಗಿರಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=\sin 60^{\circ} \text { or } \dfrac{3.7}{\mathrm{BC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ \mathrm{BC}=\dfrac{3.7 \times 2}{\sqrt{3}}=4.28 \mathrm{~m} \text { (approx.) } $$

ಅಂದರೆ, ಏಣಿಯ ಉದ್ದವು $4.28 \mathrm{~m}$ ಆಗಿರಬೇಕು.

ಈಗ, $$ \dfrac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}=\cot 60^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} $$

ಅಂದರೆ, $$ \mathrm{DC}=\dfrac{3.7}{\sqrt{3}}=2.14 \mathrm{~m} \text { (approx.) } $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಳು ಏಣಿಯ ಪಾದವನ್ನು ಕಂಬದಿಂದ $2.14 \mathrm{~m}$ ದೂರದಲ್ಲಿ ಇಡಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : ಒಬ್ಬ ವೀಕ್ಷಕ $1.5 \mathrm{~m}$ ಎತ್ತರವುಳ್ಳವನಾಗಿದ್ದು, ಒಂದು ಚಿಮಣಿಯಿಂದ $28.5 \mathrm{~m}$ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದಾನೆ. ಅವನ ಕಣ್ಣುಗಳಿಂದ ಚಿಮಣಿಯ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಉನ್ನತ ಕೋನವು $45^{\circ}$ ಆಗಿದೆ. ಚಿಮಣಿಯ ಎತ್ತರ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ : ಇಲ್ಲಿ, $A B$ ಚಿಮಣಿಯಾಗಿದೆ, $C D$ ವೀಕ್ಷಕ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{ADE}$ ಉನ್ನತ ಕೋನವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 9.6 ನೋಡಿ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $A D E$ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ಇದು $\mathrm{E}$ ನಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಚಿಮಣಿಯ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 9.6

ನಮ್ಮಲ್ಲಿ $$\mathrm{AB}=\mathrm{AE}+\mathrm{BE}=\mathrm{AE}+1.5$$ ಇದೆ

ಮತ್ತು $$ \mathrm{DE}=\mathrm{CB}=28.5 \mathrm{~m} $$

AE ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅದು $\mathrm{AE}$ ಮತ್ತು DE ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉನ್ನತ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ.

ಈಗ, $$ \begin{aligned} \tan 45^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}} \\ \end{aligned} $$

ಅಂದರೆ, $$1 =\dfrac{\mathrm{AE}}{28.5}$$

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ \mathrm{AE}=28.5 $$

ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿಮಣಿಯ ಎತ್ತರ $(A B)=(28.5+1.5) \mathrm{m}=30 \mathrm{~m}$.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು $P$ ನಿಂದ $10 \mathrm{~m}$ ಎತ್ತರದ ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಉನ್ನತ ಕೋನವು $30^{\circ}$ ಆಗಿದೆ. ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಧ್ವಜದಂಡವನ್ನು ಹಾರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $\mathrm{P}$ ನಿಂದ ಧ್ವಜದಂಡದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಉನ್ನತ ಕೋನವು $45^{\circ}$ ಆಗಿದೆ. ಧ್ವಜದಂಡದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಬಿಂದು P ನಿಂದ ಕಟ್ಟಡದ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ನೀವು $\sqrt{3}=1.732$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು )

ಪರಿಹಾರ : ಚಿತ್ರ 9.7 ರಲ್ಲಿ, AB ಕಟ್ಟಡದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, BD ಧ್ವಜದಂಡ ಮತ್ತು $\mathrm{P}$ ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು $\mathrm{PAB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{PAD}$ ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು ಧ್ವಜದಂಡದ ಉದ್ದವನ್ನು, ಅಂದರೆ DB ಮತ್ತು ಬಿಂದು P ನಿಂದ ಕಟ್ಟಡದ ದೂರವನ್ನು, ಅಂದರೆ PA ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 9.7

ಕಟ್ಟಡದ ಎತ್ತರ $A B$ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊದಲು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $\triangle \mathrm{PAB}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಇದೆ $$ \begin{aligned} \tan 30^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AP}} \ \end{aligned} $$

ಅಂದರೆ, $$\dfrac{1}{\sqrt{3}} =\dfrac{10}{\mathrm{AP}}$$

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ \mathrm{AP}=10 \sqrt{3} $$

ಅಂದರೆ, $P$ ನಿಂದ ಕಟ್ಟಡದ ದೂರವು $10 \sqrt{3} \mathrm{~m}=17.32 \mathrm{~m}$ ಆಗಿದೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು $\mathrm{DB}=x \mathrm{~m}$ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಗ $\mathrm{AD}=(10+x) \mathrm{m}$.

ಈಗ, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $\Delta \mathrm{PAD}$ ರಲ್ಲಿ,

$$ \tan 45^{\circ}=\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AP}}=\dfrac{10+x}{10 \sqrt{3}} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ 1=\dfrac{10+x}{10 \sqrt{3}} $$

ಅಂದರೆ, $$ x=10(\sqrt{3}-1)=7.32 $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಧ್ವಜದಂಡದ ಉದ್ದವು $7.32 \mathrm{~m}$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 : ಒಂದು ಸಮತಲ ನೆಲದ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿರುವ ಗೋಪುರದ ನೆರಳು $40 \mathrm{~m}$ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ, ಸೂರ್ಯನ ಉನ್ನತಾಂಶವು $30^{\circ}$ ಆಗಿರುವಾಗ, ಅದು $60^{\circ}$ ಆಗಿರುವಾಗಕ್ಕಿಂತ. ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಚಿತ್ರ 9.8 ರಲ್ಲಿ, AB ಗೋಪುರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $\mathrm{BC}$ ಸೂರ್ಯನ ಉನ್ನತಾಂಶವು $60^{\circ}$ ಆಗಿರುವಾಗ ನೆರಳಿನ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ನೆರಳಿನ ತುದಿಯಿಂದ ಗೋಪುರದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಉನ್ನತ ಕೋನವು $60^{\circ}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು $\mathrm{DB}$ ಉನ್ನತ ಕೋನವು $30^{\circ}$ ಆಗಿರುವಾಗ ನೆರಳಿನ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 9.8

ಈಗ, $\mathrm{AB}$ ಅನ್ನು $h \mathrm{~m}$ ಎಂದು ಮತ್ತು $\mathrm{BC}$ ಅನ್ನು $x \mathrm{~m}$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಪ್ರಕಾರ, $\mathrm{DB}$ ಯು $40 \mathrm{~m}$ $\mathrm{BC}$ ಗಿಂತ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ \mathrm{DB}=(40+x) \mathrm{m} $$

ಈಗ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಎರಡು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು $\mathrm{ABC}$ ಮತ್ತು $\mathrm{ABD}$ ಇವೆ.

$\begin{array}{rlrl} \text {In } \Delta \mathrm{ABC} & \tan 60^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ \text { or } & & \sqrt{3} & =\dfrac{h}{x} \\ \text {In } \Delta \mathrm{ABD} & \tan 30^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}} \\ & \text { i.e., } & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & =\dfrac{h}{x+40}\end{array}$

(1) ರಿಂದ, ನಮಗೆ ಇದೆ

$$ h=x \sqrt{3} $$

ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (2) ರಲ್ಲಿ ಇಡುವುದರಿಂದ, ನಮಗೆ $(x \sqrt{3}) \sqrt{3}=x+40$ ಸಿಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ $3 x=x+40$

$$ \begin{align*} \text{ अर्थात् } \qquad\qquad & x=20 \\ \text{ इसलिए }\qquad\qquad & h=20 \sqrt{3} \tag{[From (1)]} \end{align*} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರವು $20 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 : ಒಂದು ಬಹುಮಹಡಿ ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲ್ಭಾಗದಿಂದ $8 \mathrm{~m}$ ಎತ್ತರದ ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಮತ್ತು ಪಾದದ ಅವನತ ಕೋನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $30^{\circ}$ ಮತ್ತು $45^{\circ}$ ಆಗಿವೆ. ಬಹುಮಹಡಿ ಕಟ್ಟಡದ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಎರಡು ಕಟ್ಟಡಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಚಿತ್ರ 9.9 ರಲ್ಲಿ, PC ಬಹುಮಹಡಿ ಕಟ್ಟಡವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\mathrm{AB}$ $8 \mathrm{~m}$ ಎತ್ತರದ ಕಟ್ಟಡವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹುಮಹಡಿ ಕಟ್ಟಡದ ಎತ್ತರವನ್ನು, ಅಂದರೆ PC ಮತ್ತು ಎರಡು ಕಟ್ಟಡಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು, ಅಂದರೆ AC ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಆಸಕ್ತರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ನೋಡಿ. $\mathrm{PB}$ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು $\mathrm{PQ}$ ಮತ್ತು $\mathrm{BD}$ ಗಳಿಗೆ ಛೇದಕ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\angle \mathrm{QPB}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{PBD}$ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ $\angle \mathrm{PBD}=30^{\circ}$. ಅದೇ ರೀತಿ, $\quad \angle \mathrm{PAC}=45^{\circ}$. ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $\Delta \mathrm{PBD}$ ರಲ್ಲಿ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಇದೆ

ಚಿತ್ರ 9.9

$$ \dfrac{\mathrm{PD}}{\mathrm{BD}}=\tan 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \text { or } \mathrm{BD}=\mathrm{PD} \sqrt{3} $$

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $\Delta \mathrm{PAC}$ ರಲ್ಲಿ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಇದೆ

$\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{AC}}=\tan 45^{\circ}=1$

ಅಂದರೆ, $\quad P C=A C$

ಹಾಗೆಯೇ, $\quad \mathrm{PC}=\mathrm{PD}+\mathrm{DC}$, ಆದ್ದರಿಂದ $\mathrm{PD}+\mathrm{DC}=\mathrm{AC}$.

$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$ ಮತ್ತು $\mathrm{DC}=\mathrm{AB}=8 \mathrm{~m}$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಮಗೆ $\mathrm{PD}+8=\mathrm{BD}=\mathrm{PD} \sqrt{3}$ ಸಿಗುತ್ತದೆ (ಏಕೆ?)

ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ

$ \mathrm{PD}=\dfrac{8}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{8(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=4(\sqrt{3}+1) \mathrm{m} $

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಮಹಡಿ ಕಟ್ಟಡದ ಎತ್ತರವು ${4(\sqrt{3}+1)+8} \mathrm{m}=4(3+\sqrt{3}) \mathrm{m}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಕಟ್ಟಡಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವೂ ಸಹ $4(3+\sqrt{3}) \mathrm{m}$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7 : ನದಿಯ ಅಡ್ಡಲಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸೇತುವೆಯ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ನದಿಯ ಎರಡು ಎದುರು ದಡಗಳ ಅವನತ ಕೋನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $30^{\circ}$ ಮತ್ತು $45^{\circ}$ ಆಗಿವೆ. ಸೇತುವೆಯು ದಡಗಳಿಂದ $3 \mathrm{~m}$ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನದಿಯ ಅಗಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಚಿತ್ರ 9.10 ರಲ್ಲಿ, A ಮತ್ತು B ನದಿಯ ಎದುರು ದಡಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ $\mathrm{AB}$ ನದಿಯ ಅಗಲವಾಗಿದೆ. $\mathrm{P}$ ಸೇತುವೆಯ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಅದು 3 $\mathrm{m}$ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ $\mathrm{DP}=3 \mathrm{~m}$. ನದಿಯ ಅಗಲವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಆಸಕ್ತರಾಗಿದ್ದೇವೆ, ಅದು $D A P B$ ನ ಬದಿ $A B$ ನ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 9.10

ಈಗ, $$ A B=A D+D B $$

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $\triangle \mathrm{APD}, \angle \mathrm{A}=30^{\circ}$ ರಲ್ಲಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \tan 30^{\circ}=\dfrac{\mathrm{PD}}{\mathrm{AD}}$

ಅಂದರೆ, $\quad\quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\mathrm{AD}}$ ಅಥವಾ $\mathrm{AD}=3 \sqrt{3} \mathrm{~m}$

ಹಾಗೆಯೇ, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $\triangle \mathrm{PBD}, \angle \mathrm{B}=45^{\circ}$ ರಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{BD}=\mathrm{PD}=3 \mathrm{~m}$.

ಈಗ, $ \mathrm{AB}=\mathrm{BD}+\mathrm{AD}=3+3 \sqrt{3}=3(1+\sqrt{3}) \mathrm{m} . $

ಆದ್ದರಿಂದ, ನದಿಯ ಅಗಲವು $3(\sqrt{3}+1) \mathrm{m}$ ಆಗಿದೆ.

9.2 ಸಾರಾಂಶ

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ:

1. (i) ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆಯು ವೀಕ್ಷಕನ ಕಣ್ಣಿನಿಂದ ವೀಕ್ಷಕನು ನೋಡುವ ವಸ್ತುವಿನ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆದ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

(ii) ನೋಡಲ್ಪಡುವ ವಸ್ತುವಿನ ಉನ್ನತ ಕೋನವು ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆಯು ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ, ಆಗ ಅದು ಸಮತಲ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ವಸ್ತುವನ್ನು ನೋಡಲು ನಮ್ಮ ತಲೆಯನ್ನು ಎತ್ತಿದಾಗ.

(iii) ನೋಡಲ್ಪಡುವ ವಸ್ತುವಿನ ಅವನತ ಕೋನವು ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆಯು ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ, ಆಗ ಅದು ಸಮತಲ ಮಟ್ಟದ ಕೆಳಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ನೋಡಲ್ಪಡುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೋಡಲು ನಮ್ಮ ತಲೆಯನ್ನು ತಗ್ಗಿಸಿದಾಗ.

2. ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಎತ್ತರ ಅಥವಾ ಉದ್ದ ಅಥವಾ ಎರಡು ದೂರದ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.