9.1 ഉയരങ്ങളും ദൂരങ്ങളും

മുമ്പത്തെ അദ്ധ്യായത്തിൽ, നിങ്ങൾ ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങളെക്കുറിച്ച് പഠിച്ചു. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, നമ്മുടെ ചുറ്റുമുള്ള ജീവിതത്തിൽ ത്രികോണമിതി എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു എന്നതിന്റെ ചില വഴികളെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ പഠിക്കും.

മുമ്പത്തെ അദ്ധ്യായത്തിലെ ചിത്രം 8.1 പുനഃപരിഗണിക്കാം, അത് ചിത്രം 9.1-ൽ താഴെ വീണ്ടും വരച്ചിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 9.1

ഈ ചിത്രത്തിൽ, വിദ്യാർത്ഥിയുടെ കണ്ണിൽ നിന്ന് മിനാറിന്റെ മുകളിലേക്ക് വരച്ച $\mathrm{AC}$ രേഖയെ ദൃഷ്ടിരേഖ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വിദ്യാർത്ഥി മിനാറിന്റെ മുകളിലേക്കാണ് നോക്കുന്നത്. തിരശ്ചീനത്തോടുകൂടി ദൃഷ്ടിരേഖ രൂപീകരിച്ച $\mathrm{BAC}$ കോണിനെ, വിദ്യാർത്ഥിയുടെ കണ്ണിൽ നിന്ന് മിനാറിന്റെ മുകളിലേക്കുള്ള ഉന്നതകോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, ദൃഷ്ടിരേഖ എന്നത് ഒരു നിരീക്ഷകന്റെ കണ്ണിൽ നിന്ന് നിരീക്ഷകൻ കാണുന്ന വസ്തുവിലെ ബിന്ദുവിലേക്ക് വരച്ച രേഖയാണ്. കാണപ്പെടുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ ഉന്നതകോൺ എന്നത് ദൃഷ്ടിരേഖ തിരശ്ചീനത്തോടുകൂടി രൂപീകരിക്കുന്ന കോണാണ്, കാണപ്പെടുന്ന ബിന്ദു തിരശ്ചീന നിരപ്പിന് മുകളിലായിരിക്കുമ്പോൾ, അതായത്, നമ്മൾ നമ്മുടെ തല ഉയർത്തി വസ്തുവിനെ നോക്കുമ്പോഴുള്ള സാഹചര്യം (ചിത്രം 9.2 കാണുക).

ചിത്രം 9.2

ഇപ്പോൾ, ചിത്രം 8.2-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സാഹചര്യം പരിഗണിക്കുക. ബാൽക്കണിയിൽ ഇരിക്കുന്ന പെൺകുട്ടി ക്ഷേത്രത്തിന്റെ പടികളിൽ വെച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു പൂച്ചട്ടിയിലേക്ക് താഴേക്ക് നോക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ദൃഷ്ടിരേഖ തിരശ്ചീന നിരപ്പിന് താഴെയാണ്. ദൃഷ്ടിരേഖ തിരശ്ചീനത്തോടുകൂടി രൂപീകരിക്കുന്ന ഈ കോണിനെ അവനതകോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, കാണപ്പെടുന്ന വസ്തുവിലെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ അവനതകോൺ എന്നത് ദൃഷ്ടിരേഖ തിരശ്ചീനത്തോടുകൂടി രൂപീകരിക്കുന്ന കോണാണ്, ബിന്ദു തിരശ്ചീന നിരപ്പിന് താഴെയായിരിക്കുമ്പോൾ, അതായത്, നമ്മൾ നമ്മുടെ തല താഴ്ത്തി കാണപ്പെടുന്ന ബിന്ദുവിനെ നോക്കുമ്പോഴുള്ള സാഹചര്യം (ചിത്രം 9.3 കാണുക).

ചിത്രം 9.3

ഇപ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ചിത്രം 8.3-ൽ ദൃഷ്ടിരേഖകളും, അങ്ങനെ രൂപീകരിക്കപ്പെട്ട കോണുകളും തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും. അവ ഉന്നതകോണുകളാണോ അതോ അവനതകോണുകളാണോ?

നമുക്ക് വീണ്ടും ചിത്രം 9.1 പരാമർശിക്കാം. യഥാർത്ഥത്തിൽ അളക്കാതെ തന്നെ മിനാറിന്റെ ഉയരം $\mathrm{CD}$ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, എന്ത് വിവരങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്? നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ അറിയേണ്ടതുണ്ട്:

(i) വിദ്യാർത്ഥി മിനാറിന്റെ പാദത്തിൽ നിന്ന് നിൽക്കുന്ന ദൂരം $\mathrm{DE}$

(ii) മിനാറിന്റെ മുകളിലേക്കുള്ള ഉന്നതകോൺ, $\angle \mathrm{BAC}$

(iii) വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ഉയരം $\mathrm{AE}$.

മേൽപ്പറഞ്ഞ മൂന്ന് വ്യവസ്ഥകളും അറിയാമെന്ന് കരുതി, മിനാറിന്റെ ഉയരം എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാം?

ചിത്രത്തിൽ, $\mathrm{CD}=\mathrm{CB}+\mathrm{BD}$. ഇവിടെ, $\mathrm{BD}=\mathrm{AE}$, അത് വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ഉയരമാണ്.

$\mathrm{BC}$ കണ്ടെത്താൻ, നമ്മൾ $\angle \mathrm{BAC}$ അല്ലെങ്കിൽ $\angle \mathrm{A}$ എന്നിവയുടെ ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും.

$\triangle \mathrm{ABC}$-ൽ, വശം $\mathrm{BC}$ അറിയപ്പെടുന്ന $\angle \mathrm{A}$-യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിപരീത വശമാണ്. ഇപ്പോൾ, നമുക്ക് ഏത് ത്രികോണമിതി അനുപാതം ഉപയോഗിക്കാം? അവയിൽ ഏതാണ് നമുക്കുള്ള രണ്ട് മൂല്യങ്ങളും നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കേണ്ട ഒന്നും ഉൾക്കൊള്ളുന്നത്? നമ്മുടെ തിരയൽ $\tan \mathrm{A}$ അല്ലെങ്കിൽ $\cot \mathrm{A}$ ഉപയോഗിക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു, കാരണം ഈ അനുപാതങ്ങൾ $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$ എന്നിവ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

അതിനാൽ, $\tan \mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$ അല്ലെങ്കിൽ $\cot \mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$, അത് പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് $\mathrm{BC}$ ലഭിക്കും.

$\mathrm{AE}$-നോട് $\mathrm{BC}$ കൂട്ടിക്കൊണ്ട്, നിങ്ങൾക്ക് മിനാറിന്റെ ഉയരം ലഭിക്കും.

ഇപ്പോൾ, ചില പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട്, നാം ഇപ്പോൾ ചർച്ച ചെയ്ത പ്രക്രിയ വിശദീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 : ഒരു ടവർ നിലത്ത് ലംബമായി നിൽക്കുന്നു. ടവറിന്റെ പാദത്തിൽ നിന്ന് $15 \mathrm{~m}$ അകലെയുള്ള നിലത്തുനിന്ന്, ടവറിന്റെ മുകളിലേക്കുള്ള ഉന്നതകോൺ $60^{\circ}$ ആണെന്ന് കണ്ടെത്തി. ടവറിന്റെ ഉയരം കണ്ടെത്തുക.

ചിത്രം 9.4

പരിഹാരം : ആദ്യം പ്രശ്നത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഒരു ലളിതമായ ചിത്രം വരയ്ക്കാം (ചിത്രം 9.4 കാണുക). ഇവിടെ AB ടവറിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, $\mathrm{CB}$ ടവറിൽ നിന്നുള്ള ബിന്ദുവിന്റെ ദൂരമാണ്, $\angle \mathrm{ACB}$ ഉന്നതകോണാണ്. ടവറിന്റെ ഉയരം, അതായത് AB നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. കൂടാതെ, ACB ഒരു ത്രികോണമാണ്, B-യിൽ ലംബകോണാണ്.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, നമ്മൾ ത്രികോണമിതി അനുപാതം $\tan 60^{\circ}$ (അല്ലെങ്കിൽ $\cot 60^{\circ}$ ) തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, കാരണം ഈ അനുപാതം $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$ എന്നിവ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

$\begin{array}{rlrl} & \text { Now, } & \tan 60^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ & \text { i.e., } & \sqrt{3} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{15} \\ \text { i.e., }& & \mathrm{AB} & =15 \sqrt{3}\end{array}$

അതിനാൽ, ടവറിന്റെ ഉയരം $15 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 2 : $5 \mathrm{~m}$ ഉയരമുള്ള ഒരു കമ്പിയുടെ മുകളിൽ ഒരു വൈദ്യുത തകരാറ് നന്നാക്കാൻ ഒരു ഇലക്ട്രീഷ്യന് ആവശ്യമാണ്. അവർക്ക് തകരാറ് പണി നടത്താൻ കമ്പിയുടെ മുകളിൽ നിന്ന് $1.3 \mathrm{~m}$ താഴെയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിലെത്തേണ്ടതുണ്ട് (ചിത്രം 9.5 കാണുക). തിരശ്ചീനത്തോട് $60^{\circ}$ കോണിൽ ചരിഞ്ഞാൽ, അവരെ ആവശ്യമായ സ്ഥാനത്തെത്തിക്കുന്ന, അവർ ഉപയോഗിക്കേണ്ട ഗോവണിയുടെ നീളം എത്രയായിരിക്കണം? കൂടാതെ, കമ്പിയുടെ പാദത്തിൽ നിന്ന് എത്ര ദൂരെയാണ് അവർ ഗോവണിയുടെ പാദം വയ്ക്കേണ്ടത്? (നിങ്ങൾക്ക് $\sqrt{3}=1.73$ എടുക്കാം)

ചിത്രം 9.5

പരിഹാരം : ചിത്രം 9.5-ൽ, ഇലക്ട്രീഷ്യൻ കമ്പിയിലെ $\mathrm{B}$ എന്ന ബിന്ദുവിലെത്തേണ്ടതുണ്ട് $\mathrm{AD}$.

$$ \text { So, } \quad \mathrm{BD}=\mathrm{AD}-\mathrm{AB}=(5-1.3) \mathrm{m}=3.7 \mathrm{~m} \text {. } $$

ഇവിടെ, $\mathrm{BC}$ ഗോവണിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. അതിന്റെ നീളം, അതായത്, BDC എന്ന മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കർണ്ണം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഇപ്പോൾ, നമ്മൾ ഏത് ത്രികോണമിതി അനുപാതം പരിഗണിക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ചിന്തിക്കാമോ?

അത് $\sin 60^{\circ}$ ആയിരിക്കണം.

അതിനാൽ, $\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=\sin 60^{\circ} \text { or } \dfrac{3.7}{\mathrm{BC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

അതുകൊണ്ട്, $$ \mathrm{BC}=\dfrac{3.7 \times 2}{\sqrt{3}}=4.28 \mathrm{~m} \text { (approx.) } $$

അതായത്, ഗോവണിയുടെ നീളം $4.28 \mathrm{~m}$ ആയിരിക്കണം.

ഇപ്പോൾ, $$ \dfrac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}=\cot 60^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} $$

അതായത്, $$ \mathrm{DC}=\dfrac{3.7}{\sqrt{3}}=2.14 \mathrm{~m} \text { (approx.) } $$

അതിനാൽ, അവർ ഗോവണിയുടെ പാദം കമ്പിയിൽ നിന്ന് $2.14 \mathrm{~m}$ ദൂരെ വയ്ക്കണം.

ഉദാഹരണം 3 : $1.5 \mathrm{~m}$ ഉയരമുള്ള ഒരു നിരീക്ഷകൻ ഒരു ചിമ്മിനിയിൽ നിന്ന് $28.5 \mathrm{~m}$ അകലെയാണ്. അവരുടെ കണ്ണിൽ നിന്ന് ചിമ്മിനിയുടെ മുകളിലേക്കുള്ള ഉന്നതകോൺ $45^{\circ}$ ആണ്. ചിമ്മിനിയുടെ ഉയരം എത്രയാണ്?

പരിഹാരം : ഇവിടെ, $A B$ ചിമ്മിനിയാണ്, $C D$ നിരീക്ഷകനും $\angle \mathrm{ADE}$ ഉന്നതകോണും (ചിത്രം 9.6 കാണുക). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, $A D E$ ഒരു ത്രികോണമാണ്, $\mathrm{E}$-ൽ ലംബകോണാണ്, ചിമ്മിനിയുടെ ഉയരം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ചിത്രം 9.6

നമുക്ക് ഉണ്ട് $$\mathrm{AB}=\mathrm{AE}+\mathrm{BE}=\mathrm{AE}+1.5$$

കൂടാതെ $$ \mathrm{DE}=\mathrm{CB}=28.5 \mathrm{~m} $$

AE നിർണ്ണയിക്കാൻ, നമ്മൾ ഒരു ത്രികോണമിതി അനുപാതം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അത് $\mathrm{AE}$, DE എന്നിവ രണ്ടും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. നമുക്ക് ഉന്നതകോണിന്റെ ടാൻജെന്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

ഇപ്പോൾ, $$ \begin{aligned} \tan 45^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}} \\ \end{aligned} $$

അതായത്, $$1 =\dfrac{\mathrm{AE}}{28.5}$$

അതിനാൽ, $$ \mathrm{AE}=28.5 $$

അതുകൊണ്ട് ചിമ്മിനിയുടെ ഉയരം $(A B)=(28.5+1.5) \mathrm{m}=30 \mathrm{~m}$.

ഉദാഹരണം 4 : നിലത്തുനിന്ന് $P$ അകലെയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് $10 \mathrm{~m}$ ഉയരമുള്ള ഒരു കെട്ടിടത്തിന്റെ മുകളിലേക്കുള്ള ഉന്നതകോൺ $30^{\circ}$ ആണ്. കെട്ടിടത്തിന്റെ മുകളിൽ ഒരു കൊടിക്കൂറ ഉയർത്തിയിരിക്കുന്നു, $\mathrm{P}$-ൽ നിന്ന് കൊടിക്കൂറയുടെ മുകളിലേക്കുള്ള ഉന്നതകോൺ $45^{\circ}$ ആണ്. കൊടിക്കൂറയുടെ നീളവും ബിന്ദു P-ൽ നിന്ന് കെട്ടിടത്തിലേക്കുള്ള ദൂരവും കണ്ടെത്തുക. (നിങ്ങൾക്ക് $\sqrt{3}=1.732$ എടുക്കാം)

പരിഹാരം : ചിത്രം 9.7-ൽ, AB കെട്ടിടത്തിന്റെ ഉയരത്തെയും, BD കൊടിക്കൂറയെയും, $\mathrm{P}$ നൽകിയ ബിന്ദുവിനെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. രണ്ട് മട്ടത്രികോണങ്ങൾ $\mathrm{PAB}$, $\mathrm{PAD}$ ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. കൊടിക്കൂറയുടെ നീളം, അതായത് DB, ബിന്ദു P-ൽ നിന്ന് കെട്ടിടത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം, അതായത് PA എന്നിവ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ചിത്രം 9.7

കെട്ടിടത്തിന്റെ ഉയരം $A B$ അറിയാമായതിനാൽ, നമ്മൾ ആദ്യം മട്ടത്രികോണം $\triangle \mathrm{PAB}$ പരിഗണിക്കും.

നമുക്ക് ഉണ്ട് $$ \begin{aligned} \tan 30^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AP}} \ \end{aligned} $$

അതായത്, $$\dfrac{1}{\sqrt{3}} =\dfrac{10}{\mathrm{AP}}$$

അതിനാൽ, $$ \mathrm{AP}=10 \sqrt{3} $$

അതായത്, $P$-ൽ നിന്ന് കെട്ടിടത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം $10 \sqrt{3} \mathrm{~m}=17.32 \mathrm{~m}$ ആണ്.

അടുത്തതായി, $\mathrm{DB}=x \mathrm{~m}$ എന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ $\mathrm{AD}=(10+x) \mathrm{m}$.

ഇപ്പോൾ, മട്ടത്രികോണം $\Delta \mathrm{PAD}$-ൽ,

$$ \tan 45^{\circ}=\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AP}}=\dfrac{10+x}{10 \sqrt{3}} $$

അതിനാൽ, $$ 1=\dfrac{10+x}{10 \sqrt{3}} $$

അതായത്, $$ x=10(\sqrt{3}-1)=7.32 $$

അതുകൊണ്ട്, കൊടിക്കൂറയുടെ നീളം $7.32 \mathrm{~m}$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 5 : ഒരു നിരപ്പുനിലത്ത് നിൽക്കുന്ന ഒരു ടവറിന്റെ നിഴൽ സൂര്യന്റെ ഉന്നതി $30^{\circ}$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ $60^{\circ}$ ആയിരിക്കുമ്പോൾക്കാൾ $40 \mathrm{~m}$ നീളമുള്ളതായി കണ്ടെത്തി. ടവറിന്റെ ഉയരം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : ചിത്രം 9.8-ൽ, AB ടവറാണ്, $\mathrm{BC}$ സൂര്യന്റെ ഉന്നതി $60^{\circ}$ ആയിരിക്കുമ്പോഴുള്ള നിഴലിന്റെ നീളമാണ്, അതായത്, നിഴലിന്റെ അറ്റത്തിൽ നിന്ന് ടവറിന്റെ മുകളിലേക്കുള്ള ഉന്നതകോൺ $60^{\circ}$ ആണ്, $\mathrm{DB}$ ഉന്നതകോൺ $30^{\circ}$ ആയിരിക്കുമ്പോഴുള്ള നിഴലിന്റെ നീളമാണ്.

ചിത്രം 9.8

ഇപ്പോൾ, $\mathrm{AB}$ $h \mathrm{~m}$ ആയും $\mathrm{BC}$ $x \mathrm{~m}$ ആയും എടുക്കാം. ചോദ്യത്തിനനുസരിച്ച്, $\mathrm{DB}$ $\mathrm{BC}$-നേക്കാൾ $40 \mathrm{~m}$ നീളമുള്ളതാണ്.

അതിനാൽ, $$ \mathrm{DB}=(40+x) \mathrm{m} $$

ഇപ്പോൾ, നമുക്ക് രണ്ട് മട്ടത്രികോണങ്ങൾ $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{ABD}$ ഉണ്ട്.

$\begin{array}{rlrl} \text {In } \Delta \mathrm{ABC} & \tan 60^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ \text { or } & & \sqrt{3} & =\dfrac{h}{x} \\ \text {In } \Delta \mathrm{ABD} & \tan 30^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}} \\ & \text { i.e., } & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & =\dfrac{h}{x+40}\end{array}$

(1) ൽ നിന്ന്, നമുക്ക് ഉണ്ട്

$$ h=x \sqrt{3} $$

ഈ മൂല്യം (2) ൽ ചേർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് $(x \sqrt{3}) \sqrt{3}=x+40$, അതായത് $3 x=x+40$

$$ \begin{align*} \text{ अर्थात् } \qquad\qquad & x=20 \\ \text{ इसलिए }\qquad\qquad & h=20 \sqrt{3} \tag{[From (1)]} \end{align*} $$

അതിനാൽ, ടവറിന്റെ ഉയരം $20 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 6 : $8 \mathrm{~m}$ ഉയരമുള്ള ഒരു കെട്ടിടത്തിന്റെ മുകളിൽ നിന്നും താഴെയുള്ള ഭാഗത്ത് നിന്നും ഒരു ബഹുനില കെട്ടിടത്തിന്റെ മുകളിൽ നിന്നുള്ള അവനതകോണുകൾ യഥാക്രമം $30^{\circ}$, $45^{\circ}$ ആണ്. ബഹുനില കെട്ടിടത്തിന്റെ ഉയരവും രണ്ട് കെട്ടിടങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരവും കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : ചിത്രം 9.9-ൽ, PC ബഹുനില കെട്ടിടത്തെയും $\mathrm{AB}$ $8 \mathrm{~m}$ ഉയരമുള്ള കെട്ടിടത്തെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ബഹുനില കെട്ടിടത്തിന്റെ ഉയരം, അതായത് PC, രണ്ട് കെട്ടിടങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം, അതായത് AC എന്നിവ നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. ചിത്രം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുക. $\mathrm{PB}$ സമാന്തരരേഖകളായ $\mathrm{PQ}$, $\mathrm{BD}$ എന്നിവയുടെ ഒരു ഛേദികയാണെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക. അതിനാൽ, $\angle \mathrm{QPB}$, $\angle \mathrm{PBD}$ എന്നിവ ഒന്നിടവിട്ട കോണുകളാണ്, അതിനാൽ തുല്യമാണ്. അതിനാൽ $\angle \mathrm{PBD}=30^{\circ}$. അതുപോലെ, $\quad \angle \mathrm{PAC}=45^{\circ}$. മട്ടത്രികോണം $\Delta \mathrm{PBD}$-ൽ, നമുക്ക് ഉണ്ട്

ചിത്രം 9.9

$$ \dfrac{\mathrm{PD}}{\mathrm{BD}}=\tan 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \text { or } \mathrm{BD}=\mathrm{PD} \sqrt{3} $$

മട്ടത്രികോണം $\Delta \mathrm{PAC}$-ൽ, നമുക്ക് ഉണ്ട്

$\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{AC}}=\tan 45^{\circ}=1$

അതായത്, $\quad P C=A C$

കൂടാതെ, $\quad \mathrm{PC}=\mathrm{PD}+\mathrm{DC}$, അതിനാൽ $\mathrm{PD}+\mathrm{DC}=\mathrm{AC}$.

$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$, $\mathrm{DC}=\mathrm{AB}=8 \mathrm{~m}$ ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് $\mathrm{PD}+8=\mathrm{BD}=\mathrm{PD} \sqrt{3}$ (എന്തുകൊണ്ട്?)

ഇത് നൽകുന്നത്

$ \mathrm{PD}=\dfrac{8}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{8(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=4(\sqrt{3}+1) \mathrm{m} $

അതിനാൽ, ബഹുനില കെട്ടിടത്തിന്റെ ഉയരം ${4(\sqrt{3}+1)+8} \mathrm{m}=4(3+\sqrt{3}) \mathrm{m}$ ആണ്, രണ്ട് കെട്ടിടങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരവും $4(3+\sqrt{3}) \mathrm{m}$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 7 : ഒരു നദിയുടെ ഇരുവശത്തുമുള്ള കരകളിലേക്കുള്ള അവനതകോണുകൾ ഒരു പാലത്തിൽ നിന്ന് യഥാക്രമം $30^{\circ}$, $45^{\circ}$ ആണ്. പാലം കരയിൽ നിന്ന് $3 \mathrm{~m}$ ഉയരത്തിലാണെങ്കിൽ, നദിയുടെ വീതി കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : ചിത്രം 9.10-ൽ, A, B എന്നിവ നദിയുടെ എതിർവശത്തുള്ള കരകളിലെ ബിന്ദുക്കളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതിനാൽ $\mathrm{AB}$ നദിയുടെ വീതിയാണ്. $\mathrm{P}$ പാലത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്, അത് 3 $\mathrm{m}$ ഉയരത്തിലാണ്, അതായത് $\mathrm{DP}=3 \mathrm{~m}$. നദിയുടെ വീതി, അതായത് $D A P B$ എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ വശം $A B$ ന്റെ നീളം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്.

ചിത്രം 9.10

ഇപ്പോൾ, $$ A B=A D+D B $$

മട്ടത്രികോണം $\triangle \mathrm{APD}, \angle \mathrm{A}=30^{\circ}$-ൽ.

അതിനാൽ, $\quad \tan 30^{\circ}=\dfrac{\mathrm{PD}}{\mathrm{AD}}$

അതായത്, $\quad\quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\mathrm{AD}}$ അല്ലെങ്കിൽ $\mathrm{AD}=3 \sqrt{3} \mathrm{~m}$

കൂടാതെ, മട്ടത്രികോണം $\triangle \mathrm{PBD}, \angle \mathrm{B}=45^{\circ}$-ൽ. അതിനാൽ, $\mathrm{BD}=\mathrm{PD}=3 \mathrm{~m}$.

ഇപ്പോൾ, $ \mathrm{AB}=\mathrm{BD}+\mathrm{AD}=3+3 \sqrt{3}=3(1+\sqrt{3}) \mathrm{m} . $

അതിനാൽ, നദിയുടെ വീതി $3(\sqrt{3}+1) \mathrm{m}$ ആണ്.

9.2 സംഗ്രഹം

ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന കാര്യങ്ങൾ പഠിച്ചു:

1. (i) ദൃഷ്ടിരേഖ എന്നത് ഒരു നിരീക്ഷകന്റെ കണ്ണിൽ നിന്ന് നിരീക്ഷകൻ കാണുന്ന വസ്തുവിലെ ബിന്ദുവിലേക്ക് വരച്ച രേഖയാണ്.

(ii) കാണപ്പെടുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഉന്നതകോൺ എന്നത് ദൃഷ്ടിരേഖ തിരശ്ചീനത്തോടുകൂടി രൂപീകരിക്കുന്ന കോണാണ്, അത് തിരശ്ചീന നിരപ്പിന് മുകളിലായിരിക്കുമ്പോൾ, അതായത്, നമ്മൾ നമ്മുടെ തല ഉയർത്തി വസ്തുവിനെ നോക്കുമ്പോഴുള്ള സാഹചര്യം.

(iii) കാണപ്പെടുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ അവനതകോൺ എന്നത് ദൃഷ്ടിരേഖ തിരശ്ചീനത്തോടുകൂടി രൂപീകരിക്കുന്ന കോണാണ്, അത് തിരശ്ചീന നിരപ്പിന് താഴെയായിരിക്കുമ്പോൾ, അതായത്, നമ്മൾ നമ്മുടെ തല താഴ്ത്തി വസ്തുവിനെ നോക്കുമ്പോഴുള്ള സാഹചര്യം.

2. ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഉയരം അല്ലെങ്കിൽ നീളം അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് വിദൂര വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ നിർണ്ണയിക്കാനാകും.