12.1 تعارف

12.1.1 قدرتی اعداد کے عوامل

آپ کو یاد ہوگا کہ آپ نے چھٹی جماعت میں عوامل کے بارے میں کیا سیکھا تھا۔ آئیے ایک قدرتی عدد لیں، مثلاً 30، اور اسے دوسرے قدرتی اعداد کے حاصل ضرب کے طور پر لکھیں، مثلاً

$ \begin{aligned} 30 & =2 \times 15 \\ & =3 \times 10=5 \times 6 \end{aligned} $

اس طرح، 1، 2، 3، 5، 6، 10، 15 اور 30، 30 کے عوامل ہیں۔ ان میں سے 2، 3 اور 5، 30 کے اولی عوامل ہیں (کیوں؟)

ایک عدد جو اولی عوامل کے حاصل ضرب کے طور پر لکھا جائے، اولی عامل کی شکل میں کہلاتا ہے؛ مثال کے طور پر، 30 کو $2 \times 3 \times 5$ کے طور پر لکھنا اولی عامل کی شکل میں ہے۔

ہم جانتے ہیں کہ 30 کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے

$ 30=1 \times 30 $

اس طرح، 1 اور 30 بھی 30 کے عوامل ہیں۔ آپ دیکھیں گے کہ 1 کسی بھی عدد کا عامل ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، $101=1 \times 101$۔ تاہم، جب ہم کسی عدد کو عوامل کے حاصل ضرب کے طور پر لکھتے ہیں، تو ہم 1 کو عامل کے طور پر نہیں لکھیں گے، سوائے اس کے کہ خصوصی طور پر ضرورت ہو۔

70 کی اولی عامل کی شکل $2 \times 5 \times 7$ ہے۔

90 کی اولی عامل کی شکل $2 \times 3 \times 3 \times 5$ ہے، اور اسی طرح۔

اسی طرح، ہم الجبرائی عبارتوں کو ان کے عوامل کے حاصل ضرب کے طور پر ظاہر کر سکتے ہیں۔ یہی ہم اس باب میں سیکھیں گے۔

12.1.2 الجبرائی عبارتوں کے عوامل

ہم نے ساتویں جماعت میں دیکھا تھا کہ الجبرائی عبارتوں میں، رقوم عوامل کے حاصل ضرب کے طور پر بنتی ہیں۔ مثال کے طور پر، الجبرائی عبارت $5 x y+3 x$ میں رقوم $5 x y$ عوامل $5, x$ اور $y$ سے بنی ہے، یعنی،

$ 5 x y=5 \times x \times y $

غور کریں کہ $5 x y$ کے عوامل 5، $x$ اور $y$ کو مزید عوامل کے حاصل ضرب کے طور پر ظاہر نہیں کیا جا سکتا۔ ہم کہہ سکتے ہیں کہ 5، $x$ اور $y$، $5 x y$ کے ‘اولی’ عوامل ہیں۔ الجبرائی عبارتوں میں، ہم ‘اولی’ کی جگہ ‘ناقابلِ تقسیم’ کا لفظ استعمال کرتے ہیں۔ ہم کہتے ہیں کہ $5 \times x \times y$، $5 x y$ کی ناقابلِ تقسیم شکل ہے۔ نوٹ کریں $5 \times(x y)$، $5 x y$ کی ناقابلِ تقسیم شکل نہیں ہے، کیونکہ عامل $x y$ کو مزید

نوٹ کریں 1، $5 x y$ کا ایک عامل ہے، کیونکہ

$ 5 x y=1 \times 5 \times x \times y $

درحقیقت، 1 ہر رقوم کا عامل ہے۔ جیسا کہ قدرتی اعداد کے معاملے میں، سوائے اس کے کہ خصوصی طور پر ضرورت ہو، ہم کسی بھی رقوم کے علیحدہ عامل کے طور پر 1 نہیں دکھاتے۔ $x$ اور $y$ کے حاصل ضرب کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، یعنی، $x y=x \times y$۔

اب عبارت $3 x(x+2)$ پر غور کریں۔ اسے عوامل کے حاصل ضرب کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ $3, x$ اور $(x+2)$

$ 3 x(x+2)=3 \times x \times(x+2) $

عوامل $3, x$ اور $(x+2)$، $3 x(x+2)$ کے ناقابلِ تقسیم عوامل ہیں۔

اسی طرح، عبارت $10 x(x+2)(y+3)$ کو اس کی ناقابلِ تقسیم عامل کی شکل میں $10 x(x+2)(y+3)=2 \times 5 \times x \times(x+2) \times(y+3)$ کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔

12.2 تجزی کیا ہے؟

جب ہم کسی الجبرائی عبارت کا تجزی کرتے ہیں، تو ہم اسے عوامل کے حاصل ضرب کے طور پر لکھتے ہیں۔ یہ عوامل اعداد، الجبرائی متغیرات یا الجبرائی عبارتیں ہو سکتے ہیں۔

$3 x y, 5 x^{2} y, 2 x(y+2), 5(y+1)(x+2)$ جیسی عبارتیں پہلے ہی عامل کی شکل میں ہیں۔ ان کے عوامل صرف ان سے پڑھے جا سکتے ہیں، جیسا کہ ہم پہلے سے جانتے ہیں۔

دوسری طرف $2 x+4,3 x+3 y, x^{2}+5 x, x^{2}+5 x+6$ جیسی عبارتوں پر غور کریں۔ یہ واضح نہیں ہے کہ ان کے عوامل کیا ہیں۔ ہمیں ان عبارتوں کا تجزی کرنے کے لیے، یعنی ان کے عوامل تلاش کرنے کے لیے، منظم طریقے تیار کرنے کی ضرورت ہے۔ یہی ہم اب کریں گے۔

12.2.1 مشترک عوامل کا طریقہ

• ہم ایک سادہ مثال سے شروع کرتے ہیں: $2 x+4$ کا تجزی کریں۔

ہم ہر رقوم کو ناقابلِ تقسیم عوامل کے حاصل ضرب کے طور پر لکھیں گے؛

$ \begin{aligned} 2 x & =2 \times x \\ 4 & =2 \times 2 \\ 2 x+4 & =(2 \times x)+(2 \times 2) \end{aligned} $

لہذا

غور کریں کہ عامل 2 دونوں رقوم میں مشترک ہے۔

تقسیمی قانون کے مطابق غور کریں

$ 2 \times(x+2)=(2 \times x)+(2 \times 2) $

لہذا، ہم لکھ سکتے ہیں

$ 2 x+4=2 \times(x+2)=2(x+2) $

اس طرح، عبارت $2 x+4$، $2(x+2)$ کے برابر ہے۔ اب ہم اس کے عوامل پڑھ سکتے ہیں: وہ 2 اور $(x+2)$ ہیں۔ یہ عوامل ناقابلِ تقسیم ہیں۔

اب، $5 x y+10 x$ کا تجزی کریں۔

$5 x y$ اور $10 x$ کی ناقابلِ تقسیم عامل کی شکلیں بالترتیب ہیں،

$ \begin{aligned} & 5 x y=5 \times x \times y \\ & 10 x=2 \times 5 \times x \end{aligned} $

غور کریں کہ دونوں رقوم میں 5 اور $x$ مشترک عوامل ہیں۔ اب،

$ \begin{aligned} 5 x y+10 x & =(5 \times x \times y)+(5 \times x \times 2) \\ & =(5 x \times y)+(5 x \times 2) \end{aligned} $

ہم تقسیمی قانون کا استعمال کرتے ہوئے دونوں رقوم کو ملاتے ہیں،

$ (5 x \times y)+(5 x \times 2)=5 x \times(y+2) $

لہذا، $5 x y+10 x=5 x(y+2)$۔ (یہ مطلوبہ عامل کی شکل ہے۔)

مثال 1 : $12 a^{2} b+15 a b^{2}$ کا تجزی کریں

حل: ہمارے پاس $12 a^{2} b=2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times b$ ہے

$ 15 a b^{2}=3 \times 5 \times a \times b \times b $

دونوں رقوم میں $3, a$ اور $b$ مشترک عوامل ہیں۔

لہذا،

$ \begin{aligned} 12 a^{2} b+15 a b^{2} & =(3 \times a \times b \times 2 \times 2 \times a)+(3 \times a \times b \times 5 \times b) \\ & =3 \times a \times b \times[(2 \times 2 \times a)+(5 \times b)] \quad \text{ (رقوم کو ملا کر) } \\ & =3 a b \times(4 a+5 b) \\ & =3 a b(4 a+5 b) \quad \text{ (مطلوبہ عامل کی شکل) } \end{aligned} $

مثال 2 : $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}$ کا تجزی کریں

حل:

$ \begin{aligned} 10 x^{2} & =2 \times 5 \times x \times x \\ 18 x^{3} & =2 \times 3 \times 3 \times x \times x \times x \\ 14 x^{4} & =2 \times 7 \times x \times x \times x \times x \end{aligned} $

تینوں رقوم کے مشترک عوامل $2, x$ اور $x$ ہیں۔

لہذا، $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}=(2 \times x \times x \times 5)-(2 \times x \times x \times 3 \times 3 \times x)$

$ \begin{aligned} & +(2 \times x \times x \times 7 \times x \times x) \\ = & 2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \\ = & 2 x^{2} \times(5-9 x+7 x^{2})=2 x^{2}(7 x^{2}-9 x+5) \end{aligned} $

$ =2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \text{ (تینوں رقوم کو ملا کر) } $

کیا آپ دیکھتے ہیں کہ کسی عبارت کی عامل کی شکل میں صرف ایک رقوم ہوتی ہے؟

کوشش کریں

تجزی کریں:

(i) $12 x+36$

(ii) $22 y-33 z$

(iii) $14 p q+35 p q r$

12.2.2 رقوم کو دوبارہ گروپ کر کے تجزی

عبارت $2 x y+2 y+3 x+3$ پر غور کریں۔ آپ دیکھیں گے کہ پہلی دو رقوم میں مشترک عوامل 2 اور $y$ ہیں اور آخری دو رقوم میں مشترک عامل 3 ہے۔ لیکن تمام رقوم میں کوئی ایک مشترک عامل نہیں ہے۔ ہم کیسے آگے بڑھیں؟

آئیے $(2 x y+2 y)$ کو عامل کی شکل میں لکھیں:

اسی طرح،

$ \begin{aligned} 2 x y+2 y & =(2 \times x \times y)+(2 \times y) \\ & =(2 \times y \times x)+(2 \times y \times 1) \\ & =(2 y \times x)+(2 y \times 1)=2 y(x+1) \\ 3 x+3 & =(3 \times x)+(3 \times 1) \\ & =3 \times(x+1)=3(x+1) \end{aligned} $

لہذا،

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1) $

غور کریں، اب دائیں ہاتھ کی طرف دونوں رقوم میں ایک مشترک عامل $(x+1)$ ہے۔ دونوں رقوم کو ملا کر،

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1)=(x+1)(2 y+3) $

عبارت $2 x y+2 y+3 x+3$ اب عوامل کے حاصل ضرب کی شکل میں ہے۔ اس کے عوامل $(x+1)$ اور $(2 y+3)$ ہیں۔ نوٹ کریں، یہ عوامل ناقابلِ تقسیم ہیں۔

دوبارہ گروپ کرنا کیا ہے؟

فرض کریں، اوپر دی گئی عبارت $2 x y+3+2 y+3 x$ کے طور پر دی گئی تھی؛ پھر تجزی کو دیکھنا آسان نہیں ہوگا۔ عبارت کو دوبارہ ترتیب دینا، جیسے $2 x y+2 y+3 x+3$، ہمیں گروپ $(2 x y+2 y)$ اور $(3 x+3)$ بنانے کی اجازت دیتا ہے جو تجزی کی طرف لے جاتے ہیں۔ یہ دوبارہ گروپ کرنا ہے۔

دوبارہ گروپ کرنا ایک سے زیادہ طریقوں سے ممکن ہو سکتا ہے۔ فرض کریں، ہم عبارت کو اس طرح دوبارہ گروپ کرتے ہیں: $2 x y+3 x+2 y+3$۔ یہ بھی عوامل کی طرف لے جائے گا۔ آئیے کوشش کریں:

$ \begin{aligned} 2 x y+3 x+2 y+3 & =2 \times x \times y+3 \times x+2 \times y+3 \\ & =x \times(2 y+3)+1 \times(2 y+3) \\ & =(2 y+3)(x+1) \end{aligned} $

عوامل وہی ہیں (جیسا کہ ہونے چاہئیں)، حالانکہ وہ مختلف ترتیب میں ظاہر ہوتے ہیں۔

مثال 3 : $6 x y-4 y+6-9 x$ کا تجزی کریں۔

حل:

مرحلہ 1 چیک کریں کہ کیا تمام رقوم میں کوئی مشترک عامل ہے۔ کوئی نہیں ہے۔

مرحلہ 2 گروپ بنانے کے بارے میں سوچیں۔ غور کریں کہ پہلی دو رقوم میں ایک مشترک عامل $2 y$ ہے؛

$$ \begin{equation*} 6 x y-4 y=2 y(3 x-2) \tag{a} \end{equation*} $$

آخری دو رقوم کے بارے میں کیا خیال ہے؟ ان پر غور کریں۔ اگر آپ ان کی ترتیب کو $-9 x+6$ میں بدل دیں، تو عامل $(3 x-2)$ نکل آئے گا؛

$$ \begin{align*} -9 x+6 & =-3(3 x)+3(2) \\ & =-3(3 x-2) \tag{b} \end{align*} $$

مرحلہ 3 (ا) اور (ب) کو ملا کر،

$ \begin{aligned} 6 x y-4 y+6-9 x & =6 x y-4 y-9 x+6 \\ & =2 y(3 x-2)-3(3 x-2) \\ & =(3 x-2)(2 y-3) \end{aligned} $

$(6 x y-4 y+6-9 x)$ کے عوامل $(3 x-2)$ اور $(2 y-3)$ ہیں۔

مشق 12.1

1. دی گئی رقوم کے مشترک عوامل تلاش کریں۔

(i) $12 x, 36$ $\quad$ (ii) $2 y, 22 x y$ $\quad$ (iii) $14 p q, 28 p^{2} q^{2}$

(iv) $2 x, 3 x^{2}, 4$ $\quad$ (v) $6 a b c, 24 a b^{2}, 12 a^{2} b$ $\quad$ (vi) $16 x^{3},-4 x^{2}, 32 x$

(vii) $10 p q, 20 q r, 30 r p$ $\quad$ (viii) $3 x^{2} y^{3}, 10 x^{3} y^{2}, 6 x^{2} y^{2} z$

2. درج ذیل عبارتوں کا تجزی کریں۔ (i) $7 x-42$ $\quad$ (ii) $6 p-12 q$ $\quad$ (iii) $7 a^{2}+14 a$

(iv) $-16 z+20 z^{3}$ $\quad$ (v) $20 l^{2} m+30 a l m$ $\quad$ (vi) $5 x^{2} y-15 x y^{2}$

(vii) $10 a^{2}-15 b^{2}+20 c^{2}$ $\quad$ (viii) $-4 a^{2}+4 a b-4 c a$ $\quad$ (ix) $x^{2} y z+x y^{2} z+x y z^{2}$

(x) $a x^{2} y+b x y^{2}+c x y z$

3. تجزی کریں۔ (i) $x^{2}+x y+8 x+8 y$ $\quad$ (ii) $15 x y-6 x+5 y-2$ $\quad$ (iii) $a x+b x-a y-b y$

(iv) $15 p q+15+9 q+25 p$ $\quad$ (v) $z-7+7 x y-x y z$

12.2.3 سامانیت (Identities) کا استعمال کرتے ہوئے تجزی

ہم جانتے ہیں کہ

$$ \begin{align*} (a+b)^{2} & =a^{2}+2 a b+b^{2} \tag{I}\\ (a-b)^{2} & =a^{2}-2 a b+b^{2} \tag{II}\\ (a+b)(a-b) & =a^{2}-b^{2} \tag{III} \end{align*} $$

درج ذیل حل شدہ مثالیں واضح کرتی ہیں کہ تجزی کے لیے ان سامانیتوں کا استعمال کیسے کریں۔ جو ہم کرتے ہیں وہ یہ ہے کہ دی گئی عبارت کا مشاہدہ کریں۔ اگر اس کی شکل کسی ایک سامانیت کے دائیں ہاتھ کی طرف فٹ بیٹھتی ہے، تو سامانیت کے بائیں ہاتھ کی طرف والی عبارت مطلوبہ تجزی دیتی ہے۔

مثال 4 : $x^{2}+8 x+16$ کا تجزی کریں

حل: عبارت کا مشاہدہ کریں؛ اس کی تین رقوم ہیں۔ لہذا، یہ سامانیت III پر فٹ نہیں بیٹھتی۔ نیز، اس کی پہلی اور تیسری رقوم مکمل مربع ہیں اور درمیانی رقوم سے پہلے مثبت علامت ہے۔ لہذا، یہ $a^{2}+2 a b+b^{2}$ کی شکل میں ہے جہاں $a=x$ اور $b=4$

اس طرح کہ

$ \begin{aligned} a^{2}+2 a b+b^{2} & =x^{2}+2(x)(4)+4^{2} \\ & =x^{2}+8 x+16 \end{aligned} $

چونکہ

$ a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}, $

موازنہ کرنے پر $x^{2}+8 x+16=(x+4)^{2}$

(مطلوبہ تجزی)

مثال 5 : $4 y^{2}-12 y+9$ کا تجزی کریں

حل: مشاہدہ کریں $4 y^{2}=(2 y)^{2}, 9=3^{2}$ اور $12 y=2 \times 3 \times(2 y)$

لہذا،

$ \begin{aligned} 4 y^{2}-12 y+9 & =(2 y)^{2}-2 \times 3 \times(2 y)+(3)^{2} \\ & =(2 y-3)^{2} \quad \text{ (مطلوبہ تجزی) } \end{aligned} $

مثال 6 : $49 p^{2}-36$ کا تجزی کریں

حل: دو رقوم ہیں؛ دونوں مربع ہیں اور دوسری منفی ہے۔ عبارت $(a^{2}-b^{2})$ کی شکل میں ہے۔ سامانیت III یہاں لاگو ہوتی ہے؛

$ \begin{aligned} 49 p^{2}-36 & =(7 p)^{2}-(6)^{2} \\ & =(7 p-6)(7 p+6)(\text{ مطلوبہ تجزی) } \end{aligned} $

مثال 7 : $a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}$ کا تجزی کریں

حل: دی گئی عبارت کی پہلی تین رقوم $(a-b)^{2}$ بناتی ہیں۔ چوتھی رقوم ایک مربع ہے۔ لہذا عبارت کو دو مربعات کے فرق میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔

اس طرح، $\quad a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}=(a-b)^{2}-c^{2}$

(سامانیت II لاگو کرتے ہوئے)

$ =[(a-b)-c)((a-b)+c)] $

$ =(a-b-c)(a-b+c) \quad \text{ (مطلوبہ تجزی) } $

غور کریں، ہم نے مطلوبہ تجزی حاصل کرنے کے لیے کس طرح ایک کے بعد دوسری سامانیت لاگو کی۔

مثال 8 : $m^{4}-256$ کا تجزی کریں

حل: ہم نوٹ کرتے ہیں

$ m^{4}=(m^{2})^{2} \text{ اور } 256=(16)^{2} $

اس طرح، دی گئی عبارت سامانیت III پر فٹ بیٹھتی ہے۔

لہذا،

$ \begin{aligned} m^{4}-256 & =(m^{2})^{2}-(16)^{2} \\ & =(m^{2}-16)(m^{2}+16) \quad[(\text{ سامانیت (III) استعمال کرتے ہوئے }] \end{aligned} $

اب، $(m^{2}+16)$ کو مزید تجزی نہیں کیا جا سکتا، لیکن $(m^{2}-16)$ دوبارہ سامانیت III کے مطابق تجزی ہونے کے قابل ہے۔

لہذا،

$ \begin{aligned} m^{2}-16 & =m^{2}-4^{2} \\ & =(m-4)(m+4) \\ m^{4}-256 & =(m-4)(m+4)(m^{2}+16) \end{aligned} $

12.2.4 $(x+a)(x+b)$ کی شکل کے عوامل

آئیے اب بحث کریں کہ ہم ایک متغیر والی عبارتوں کا تجزی کیسے کر سکتے ہیں، جیسے $x^{2}+5 x+6$، $y^{2}-7 y+12, z^{2}-4 z-12,3 m^{2}+9 m+6$، وغیرہ۔ غور کریں کہ یہ عبارتیں $(a+b)^{2}$ یا $(a-b)^{2}$ کی قسم کی نہیں ہیں، یعنی، یہ مکمل مربع نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر، $x^{2}+5 x+6$ میں، رقوم 6 مکمل مربع نہیں ہے۔ یہ عبارتیں واضح طور پر $(a^{2}-b^{2})$ کی قسم پر بھی فٹ نہیں بیٹھتیں۔

تاہم، یہ $x^{2}+(a+b) x+a b$ کی قسم کی لگتی ہیں۔ لہذا، ہم پچھلے باب میں پڑھی گئی سامانیت IV کو ان عبارتوں کے تجزی کے لیے استعمال کرنے کی کوشش کر سکتے ہیں:

$$ \begin{equation*} (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b \tag{IV} \end{equation*} $$

اس کے لیے ہمیں $x$ کے سہ ارکان (coefficients) اور مستقل رقوم کو دیکھنا ہوگا۔ آئیے دیکھیں کہ یہ درج ذیل مثال میں کیسے کیا جاتا ہے۔

مثال 9 : $x^{2}+5 x+6$ کا تجزی کریں

حل: اگر ہم سامانیت (IV) کے دائیں ہاتھ کی طرف کا موازنہ $x^{2}+5 x+6$ سے کریں، تو ہمیں $a b=6$، اور $a+b=5$ ملتے ہیں۔ اس سے، ہمیں $a$ اور $b$ حاصل کرنے ہوں گے۔ پھر عوامل $(x+a)$ اور $(x+b)$ ہوں گے۔

اگر $a b=6$، اس کا مطلب ہے کہ $a$ اور $b$، 6 کے عوامل ہیں۔ آئیے $a=6, b=1$ آزمانے کی کوشش کریں۔ ان اقدار کے لیے $a+b=7$، اور 5 نہیں، لہذا یہ انتخاب درست نہیں ہے۔

آئیے $a=2, b=3$ آزمانے کی کوشش کریں۔ اس کے لیے $a+b=5$ بالکل مطلوبہ کے مطابق۔

اس دی گئی عبارت کی تجزی شدہ شکل پھر $(x+2)(x+3)$ ہے۔

عام طور پر، $x^{2}+p x+q$ قسم کی الجبرائی عبارت کے تجزی کے لیے، ہم $q$ (یعنی، مستقل رقوم) کے دو عوامل $a$ اور $b$ اس طرح تلاش کرتے ہیں کہ

$ a b=q \quad \text{ اور } \quad a+b=p $

پھر، عبارت بن جاتی ہے $\quad x^{2}+(a+b) x+a b$

یا

$x^{2}+a x+b x+a b$

یا

$x(x+a)+b(x+a)$

یا

$(x+a)(x+b) \quad$ جو مطلوبہ عوامل ہیں۔

مثال 10 : $y^{2}-7 y+12$ کے عوامل تلاش کریں۔

حل: ہم نوٹ کرتے ہیں $12=3 \times 4$ اور $3+4=7$۔ لہذا،

$ \begin{aligned} y^{2}-7 y+12 & =y^{2}-3 y-4 y+12 \\ & =y(y-3)-4(y-3)=(y-3)(y-4) \end{aligned} $

نوٹ کریں، اس بار ہم نے $a$ اور $b$ کی شناخت کے لیے عبارت کا موازنہ سامانیت (IV) میں دی گئی عبارت سے نہیں کیا۔ کافی مشق کے بعد آپ کو تجزی کے لیے دی گئی عبارتوں کا موازنہ سامانیتوں میں دی گئی عبارتوں سے کرنے کی ضرورت نہیں پڑے گی؛ بلکہ آپ براہ راست اس طرح آگے بڑھ سکتے ہیں جیسا ہم نے اوپر کیا۔

مثال 11 : $z^{2}-4 z-12$ کے عوامل حاصل کریں۔

حل: یہاں $a b=-12$؛ اس کا مطلب ہے کہ $a$ اور $b$ میں سے ایک منفی ہے۔ مزید، $a+b=-4$، اس کا مطلب ہے کہ عددی قدر میں بڑا والا منفی ہے۔ ہم $a=-4, b=3$ آزمانے کی کوشش کرتے ہیں؛ لیکن یہ کام نہیں کرے گا، کیونکہ $a+b=-1$۔ اگلی ممکنہ اقدار $a=-6, b=2$ ہیں، تاکہ $a+b=-4$ مطلوبہ کے مطابق ہو۔

لہذا،

$ \begin{aligned} z^{2}-4 z-12 & =z^{2}-6 z+2 z-12 \\ & =z(z-6)+2(z-6) \\ & =(z-6)(z+2) \end{aligned} $

مثال 12 : $3 m^{2}+9 m+6$ کے عوامل تلاش کریں۔

حل: ہم دیکھتے ہیں کہ 3 تمام رقوم کا ایک مشترک عامل ہے۔

لہذا،

$$ \begin{align*} 3 m^{2}+9 m+6 & =3(m^{2}+3 m+2) \\ m^{2}+3 m+2 & =m^{2}+m+2 m+2 \\ & =m(m+1)+2(m+1) \\ & =(m+1)(m+2) \end{align*} $$

اب،

لہذا،

$ 3 m^{2}+9 m+6=3(m+1)(m+2) $

مشق 12.2

1. درج ذیل عبارتوں کا تجزی کریں۔

(i) $a^{2}+8 a+16$ $\quad$ (ii) $p^{2}-10 p+25$ $\quad$ (iii) $25 m^{2}+30 m+9$

(iv) $49 y^{2}+84 y z+36 z^{2}$ $\quad$ (v) $4 x^{2}-8 x+4$ $\quad$ (vi) $121 b^{2}-88 b c+16 c^{2}$

(vii) $(l+m)^{2}-4 l m$ $\quad$ (اشارہ: پہلے $(l+m)^{2}$ کو پھیلائیں) $\quad$ (viii) $a^{4}+2 a^{2} b^{2}+b^{4}$

2. تجزی کریں۔

(i) $4 p^{2}-9 q^{2}$ $\quad$ (ii) $63 a^{2}-112 b^{2}$ $\quad$ (iii) $49 x^{2}-36$

(iv) $16 x^{5}-144 x^{3}$ $\quad$ (v) $(l+m)^{2}-(l-m)^{2}$ $\quad$ (vi) $9 x^{2} y^{2}-16$

(vii) $(x^{2}-2 x y+y^{2})-z^{2}$ $\quad$ (viii) $25 a^{2}-4 b^{2}+28 b c-49 c^{2}$

3. عبارتوں کا تجزی کریں۔

(i) $a x^{2}+b x$ $\quad$ (ii) $7 p^{2}+21 q^{2}$ $\quad$ (iii) $2 x^{3}+2 x y^{2}+2 x z^{2}$

(iv) $a m^{2}+b m^{2}+b n^{2}+a n^{2}$ $\quad$ (v) $(l m+l)+m+1$ $\quad$ (vi) $y(y+z)+9(y+z)$

(vii) $5 y^{2}-20 y-8 z+2 y z$ $\quad$ (viii) $10 a b+4 a+5 b+2$ $\quad$ (ix) $6 x y-4 y+6-9 x$

4. تجزی کریں۔

(i) $a^{4}-b^{4}$ $\quad$ (iv) $x^{4}-(x-z)^{4}$ $\quad$ (ii) $p^{4}-81$

(v) $a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}$ $\quad$ (iii) $x^{4}-(y+z)^{4}$

5. درج ذیل عبارتوں کا تجزی کریں۔

(i) $p^{2}+6 p+8$ $\quad$ (ii) $q^{2}-10 q+21$ $\quad$ (iii) $p^{2}+6 p-16$

12.3 الجبرائی عبارتوں کی تقسیم

ہم نے سیکھا ہے کہ الجبرائی عبارتوں کو کیسے جمع اور منفی کیا جاتا ہے۔ ہم یہ بھی جانتے ہیں کہ دو عبارتوں کو کیسے ضرب دی جاتی ہے۔ تاہم، ہم نے ایک الجبرائی عبارت کو دوسری سے تقسیم کرنے پر غور نہیں کیا ہے۔ یہی ہم اس حصے میں کرنا چاہتے ہیں۔

ہم یاد کرتے ہیں کہ تقسیم ضرب کا الٹ عمل ہے۔ اس طرح، $7 \times 8=56$، $56 \div 8=7$ یا $56 \div 7=8$ دیتا ہے۔

ہم اسی طرح الجبرائی عبارتوں کی تقسیم پر عمل کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر،

(i)

$ \begin{aligned} 2 x \times 3 x^{2} & =6 x^{3} \\ 6 x^{3} \div 2 x & =3 x^{2} \\ 6 x^{3} \div 3 x^{2} & =2 x \end{aligned} $

لہذا،

اور یہ بھی،

(ii)

$ 5 x(x+4)=5 x^{2}+20 x $

لہذا، $(5 x^{2}+20 x) \div 5 x=x+4$

اور یہ بھی

$ (5 x^{2}+20 x) \div(x+4)=5 x $

اب ہم قریب سے دیکھیں گے کہ ایک عبارت کو دوسری سے تقسیم کرنا کیسے کیا جا سکتا ہے۔ شروع کرنے کے لیے ہم ایک یک رقومی (monomial) کو دوسری یک رقومی سے تقسیم کرنے پر غور کریں گے۔

12.3.1 ایک یک رقومی کو دوسری یک رقومی سے تقسیم کرنا

$6 x^{3} \div 2 x$ پر غور کریں

ہم $2 x$ اور $6 x^{3}$ کو ناقابلِ تقسیم عامل کی شکلوں میں لکھ سکتے ہیں،

$ \begin{aligned} 2 x & =2 \times x \\ 6 x^{3} & =2 \times 3 \times x \times x \times x \end{aligned} $

اب ہم $6 x^{3}$ کے عوامل کو گروپ کرتے ہیں تاکہ $2 x$ کو علیحدہ کریں،

لہذا،

$ 6 x^{3}=2 \times x \times(3 \times x \times x)=(2 x) \times(3 x^{2}) $

$ 6 x^{3} \div 2 x=3 x^{2} $

مشترک عوامل کی منسوخی کو دکھانے کا ایک مختصر طریقہ وہی ہے جو ہم اعداد کی تقسیم میں کرتے ہیں:

اسی طرح،

$ \begin{aligned} 77 \div 7=\frac{77}{7} & =\frac{7 \times 11}{7}=11 \\ 6 x^{3} \div 2 x & =\frac{6 x^{3}}{2 x} \\ & =\frac{2 \times 3 \times x \times x \times x}{2 \times x}=3 \times x \times x=3 x^{2} \end{aligned} $

مثال 13 : درج ذیل تقسیمیں کریں۔ (i) $-20 x^{4} \div 10 x^{2}$ (ii) $7 x^{2} y^{2} z^{2} \div 14 x y z$

حل:

(i) $-20 x^{4}=-2 \times 2 \times 5 \times x \times x \times x \times x$

$10 x^{2}=2 \times 5 \times x \times x$

لہذا، $\quad(-20 x^{4}) \div 10 x^{2}=\frac{-2 \times 2 \times 5 \times x \times x \times x \times x}{2 \times 5 \times x \times x}=-2 \times x \times x=-2 x^{2}$

(ii) $7 x^{2} y^{2} z^{2} \div 14 x y z$

$ \begin{aligned} & =\frac{7 \times x \times x \times y \times y \times z \times z}{2 \times 7 \times x \times y \times z} \\ & =\frac{x \times y \times z}{2}=\frac{1}{2} x y z \end{aligned} $

کوشش کریں

تقسیم کریں۔ (i) $24 x y^{2} z^{3}$ کو $6 y z^{2}$ سے (ii) $63 a^{2} b^{4} c^{6}$ کو $7 a^{2} b^{2} c^{3}$ سے

12.3.2 کثیر رقومی (polynomial) کو یک رقومی (monomial) سے تقسیم کرنا

آئیے ثلاثی (trinomial) $4 y^{3}+5 y^{2}+6 y$ کو یک رقومی $2 y$ سے تقسیم کرنے پر غور کریں۔

$ 4 y^{3}+5 y^{2}+6 y=(2 \times 2 \times y \times y \times y)+(5 \times y \times y)+(2 \times 3 \times y) $

(یہاں، ہم نے کثیر رقومی کی ہر رقوم کو عامل کی شکل میں ظاہر کیا) ہم دیکھتے ہیں کہ $2 x y$ ہر رقوم میں مشترک ہے۔ لہذا، ہر رقوم سے $2 x y$ کو علیحدہ کرتے ہوئے۔ ہمیں ملتا ہے

$ \begin{aligned} 4 y^{3}+5 y^{2}+6 y & =2 \times y \times(2 \times y \times y)+2 \times y \times(\frac{5}{2} \times y)+2 \times y \times 3 \\ & =2 y(2 y^{2})+2 y(\frac{5}{2} y)+2 y(3) \\ & =2 y(2 y^{2}+\frac{5}{2} y+3) \text{ (مشترک عامل } 2 y \text{ علیحدہ دکھایا گیا ہے۔ } \end{aligned} $

لہذا، $(4 y^{3}+5 y^{2}+6 y) \div 2 y$

$ =\frac{4 y^{3}+5 y^{2}+6 y}{2 y}=\frac{2 y(2 y^{2}+\frac{5}{2} y+3)}{2 y}=2 y^{