12.1 प्रस्तावना

12.1.1 नैसर्गिक संख्यांचे गुणनखंड

तुम्हाला सहावीत गुणनखंडांबद्दल काय शिकलात ते आठवेल. एक नैसर्गिक संख्या घेऊ, समजा 30, आणि ती इतर नैसर्गिक संख्यांचा गुणाकार म्हणून लिहू, समजा

$ \begin{aligned} 30 & =2 \times 15 \\ & =3 \times 10=5 \times 6 \end{aligned} $

अशाप्रकारे, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 आणि 30 हे 30 चे गुणनखंड आहेत. यापैकी 2, 3 आणि 5 हे 30 चे मूळ गुणनखंड आहेत (का?)

एक संख्या मूळ गुणनखंडांचा गुणाकार म्हणून लिहिल्यास ती मूळ गुणनखंड रूपात आहे असे म्हटले जाते; उदाहरणार्थ, $2 \times 3 \times 5$ असे लिहिलेली 30 ही मूळ गुणनखंड रूपात आहे.

आपल्याला माहित आहे की 30 ही अशीही लिहिता येते

$ 30=1 \times 30 $

अशाप्रकारे, 1 आणि 30 हे देखील 30 चे गुणनखंड आहेत. तुमच्या लक्षात येईल की 1 हा कोणत्याही संख्येचा गुणनखंड असतो. उदाहरणार्थ, $101=1 \times 101$. तथापि, जेव्हा आपण एखादी संख्या गुणनखंडांचा गुणाकार म्हणून लिहितो, तेव्हा विशेषतः आवश्यक नसल्यास आपण 1 हा गुणनखंड म्हणून लिहित नाही.

70 चे मूळ गुणनखंड रूप $2 \times 5 \times 7$ आहे.

90 चे मूळ गुणनखंड रूप $2 \times 3 \times 3 \times 5$ आहे, आणि असेच पुढे.

त्याचप्रमाणे, आपण बीजगणितीय राशींना त्यांच्या गुणनखंडांचा गुणाकार म्हणून व्यक्त करू शकतो. या प्रकरणात आपण हेच करायला शिकणार आहोत.

12.1.2 बीजगणितीय राशींचे गुणनखंड

सातवीत आपण पाहिले आहे की बीजगणितीय राशींमध्ये, पदे गुणनखंडांचा गुणाकार म्हणून तयार होतात. उदाहरणार्थ, बीजगणितीय राशी $5 x y+3 x$ मध्ये पद $5 x y$ हे गुणनखंड $5, x$ आणि $y$ यांचा गुणाकार म्हणून तयार झाले आहे, म्हणजेच,

$ 5 x y=5 \times x \times y $

लक्षात घ्या की $5 x y$ चे गुणनखंड 5, $x$ आणि $y$ यांना गुणनखंडांचा गुणाकार म्हणून पुढे व्यक्त करता येत नाही. आपण असे म्हणू शकतो की 5, $x$ आणि $y$ हे $5 x y$ चे ‘मूळ’ गुणनखंड आहेत. बीजगणितीय राशींमध्ये, ‘मूळ’ या शब्दाऐवजी आपण ‘अपरिवर्तनीय’ हा शब्द वापरतो. आपण असे म्हणतो की $5 \times x \times y$ हे $5 x y$ चे अपरिवर्तनीय रूप आहे. लक्षात घ्या $5 \times(x y)$ हे $5 x y$ चे अपरिवर्तनीय रूप नाही, कारण गुणनखंड $x y$ पुढे

लक्षात घ्या 1 हा $5 x y$ चा गुणनखंड आहे, कारण

$ 5 x y=1 \times 5 \times x \times y $

खरेतर, 1 हा प्रत्येक पदाचा गुणनखंड असतो. नैसर्गिक संख्यांच्या बाबतीतप्रमाणे, विशेषतः आवश्यक नसल्यास, आपण कोणत्याही पदाचा स्वतंत्र गुणनखंड म्हणून 1 दाखवत नाही. $x$ आणि $y$ यांचा गुणाकार म्हणून पुढे व्यक्त करता येतो, म्हणजेच, $x y=x \times y$.

पुढे राशी $3 x(x+2)$ विचारात घ्या. ती गुणनखंडांचा गुणाकार म्हणून लिहिता येते. $3, x$ आणि $(x+2)$

$ 3 x(x+2)=3 \times x \times(x+2) $

गुणनखंड $3, x$ आणि $(x+2)$ हे $3 x(x+2)$ चे अपरिवर्तनीय गुणनखंड आहेत.

त्याचप्रमाणे, राशी $10 x(x+2)(y+3)$ ही तिच्या अपरिवर्तनीय गुणनखंड रूपात $10 x(x+2)(y+3)=2 \times 5 \times x \times(x+2) \times(y+3)$ अशी व्यक्त केली जाते.

12.2 गुणनखंडन म्हणजे काय?

जेव्हा आपण एखाद्या बीजगणितीय राशीचे गुणनखंडन करतो, तेव्हा आपण ती गुणनखंडांचा गुणाकार म्हणून लिहितो. हे गुणनखंड संख्या, बीजगणितीय चल किंवा बीजगणितीय राशी असू शकतात.

$3 x y, 5 x^{2} y, 2 x(y+2), 5(y+1)(x+2)$ सारख्या राशी आधीच गुणनखंड रूपात आहेत. त्यांचे गुणनखंड आपल्याला आधीच माहित आहेत, ते थेट वाचता येतात.

दुसरीकडे $2 x+4,3 x+3 y, x^{2}+5 x, x^{2}+5 x+6$ सारख्या राशींचा विचार करा. त्यांचे गुणनखंड काय आहेत हे स्पष्टपणे दिसत नाही. या राशींचे गुणनखंडन करण्यासाठी, म्हणजेच त्यांचे गुणनखंड शोधण्यासाठी, आपल्याला पद्धतशीर पद्धती विकसित करण्याची गरज आहे. आता आपण हेच करणार आहोत.

12.2.1 सामाईक गुणनखंडांची पद्धत

• आपण एका सोप्या उदाहरणाने सुरुवात करू: $2 x+4$ चे गुणनखंडन करा.

आपण प्रत्येक पद अपरिवर्तनीय गुणनखंडांचा गुणाकार म्हणून लिहू;

$ \begin{aligned} 2 x & =2 \times x \\ 4 & =2 \times 2 \\ 2 x+4 & =(2 \times x)+(2 \times 2) \end{aligned} $

म्हणून

लक्षात घ्या की गुणनखंड 2 हा दोन्ही पदांमध्ये सामाईक आहे.

वितरण नियमानुसार पाहा

$ 2 \times(x+2)=(2 \times x)+(2 \times 2) $

म्हणून, आपण लिहू शकतो

$ 2 x+4=2 \times(x+2)=2(x+2) $

अशाप्रकारे, राशी $2 x+4$ ही $2(x+2)$ सारखीच आहे. आता आपण तिचे गुणनखंड वाचू शकतो: ते 2 आणि $(x+2)$ आहेत. हे गुणनखंड अपरिवर्तनीय आहेत.

पुढे, $5 x y+10 x$ चे गुणनखंडन करा.

$5 x y$ आणि $10 x$ यांची अपरिवर्तनीय गुणनखंड रूपे अनुक्रमे,

$ \begin{aligned} & 5 x y=5 \times x \times y \\ & 10 x=2 \times 5 \times x \end{aligned} $

लक्षात घ्या की दोन्ही पदांमध्ये 5 आणि $x$ हे सामाईक गुणनखंड आहेत. आता,

$ \begin{aligned} 5 x y+10 x & =(5 \times x \times y)+(5 \times x \times 2) \\ & =(5 x \times y)+(5 x \times 2) \end{aligned} $

आपण वितरण नियम वापरून दोन पदे एकत्र करतो,

$ (5 x \times y)+(5 x \times 2)=5 x \times(y+2) $

म्हणून, $5 x y+10 x=5 x(y+2)$. (हे इच्छित गुणनखंड रूप आहे.)

उदाहरण 1 : $12 a^{2} b+15 a b^{2}$ चे गुणनखंडन करा

उकल: आपल्याकडे $12 a^{2} b=2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times b$

$ 15 a b^{2}=3 \times 5 \times a \times b \times b $

दोन्ही पदांमध्ये $3, a$ आणि $b$ हे सामाईक गुणनखंड आहेत.

म्हणून,

$ \begin{aligned} 12 a^{2} b+15 a b^{2} & =(3 \times a \times b \times 2 \times 2 \times a)+(3 \times a \times b \times 5 \times b) \\ & =3 \times a \times b \times[(2 \times 2 \times a)+(5 \times b)] \quad \text{ (पदे एकत्र करून) } \\ & =3 a b \times(4 a+5 b) \\ & =3 a b(4 a+5 b) \quad \text{ (आवश्यक गुणनखंड रूप) } \end{aligned} $

उदाहरण 2 : $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}$ चे गुणनखंडन करा

उकल:

$ \begin{aligned} 10 x^{2} & =2 \times 5 \times x \times x \\ 18 x^{3} & =2 \times 3 \times 3 \times x \times x \times x \\ 14 x^{4} & =2 \times 7 \times x \times x \times x \times x \end{aligned} $

तीन्ही पदांचे सामाईक गुणनखंड $2, x$ आणि $x$ आहेत.

म्हणून, $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}=(2 \times x \times x \times 5)-(2 \times x \times x \times 3 \times 3 \times x)$

$ \begin{aligned} & +(2 \times x \times x \times 7 \times x \times x) \\ = & 2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \\ = & 2 x^{2} \times(5-9 x+7 x^{2})=2 x^{2}(7 x^{2}-9 x+5) \end{aligned} $

$ =2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \text{ (तीन्ही पदे एकत्र करून) } $

तुमच्या लक्षात आले का की एखाद्या राशीच्या गुणनखंड रूपात फक्त एकच पद असते?

प्रयत्न करा

गुणनखंडन करा:

(i) $12 x+36$

(ii) $22 y-33 z$

(iii) $14 p q+35 p q r$

12.2.2 पदांचे पुनर्गटन करून गुणनखंडन

राशी $2 x y+2 y+3 x+3$ कडे पाहा. तुमच्या लक्षात येईल की पहिल्या दोन पदांमध्ये सामाईक गुणनखंड 2 आणि $y$ आहेत आणि शेवटच्या दोन पदांमध्ये सामाईक गुणनखंड 3 आहे. परंतु सर्व पदांमध्ये एकही सामाईक गुणनखंड नाही. आपण कशाप्रकारे पुढे जाऊ?

चला $(2 x y+2 y)$ हे गुणनखंड रूपात लिहू:

त्याचप्रमाणे,

$ \begin{aligned} 2 x y+2 y & =(2 \times x \times y)+(2 \times y) \\ & =(2 \times y \times x)+(2 \times y \times 1) \\ & =(2 y \times x)+(2 y \times 1)=2 y(x+1) \\ 3 x+3 & =(3 \times x)+(3 \times 1) \\ & =3 \times(x+1)=3(x+1) \end{aligned} $

म्हणून,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1) $

लक्षात घ्या, आता उजव्या बाजूच्या दोन्ही पदांमध्ये आपल्याकडे सामाईक गुणनखंड $(x+1)$ आहे. दोन्ही पदे एकत्र करून,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1)=(x+1)(2 y+3) $

राशी $2 x y+2 y+3 x+3$ आता गुणनखंडांच्या गुणाकाराच्या रूपात आहे. तिचे गुणनखंड $(x+1)$ आणि $(2 y+3)$ आहेत. लक्षात घ्या, हे गुणनखंड अपरिवर्तनीय आहेत.

पुनर्गटन म्हणजे काय?

समजा, वरील राशी $2 x y+3+2 y+3 x$ अशी दिली होती; तर गुणनखंडन करणे सोपे होणार नाही. राशीची पुनर्रचना $2 x y+2 y+3 x+3$ अशी करून, आपल्याला $(2 x y+2 y)$ आणि $(3 x+3)$ असे गट तयार करता येतात ज्यामुळे गुणनखंडन होते. हे पुनर्गटन आहे.

पुनर्गटन एकापेक्षा जास्त प्रकारे शक्य आहे. समजा, आपण राशीचे पुनर्गटन असे करतो: $2 x y+3 x+2 y+3$. यामुळे देखील गुणनखंड मिळतील. चला प्रयत्न करूया:

$ \begin{aligned} 2 x y+3 x+2 y+3 & =2 \times x \times y+3 \times x+2 \times y+3 \\ & =x \times(2 y+3)+1 \times(2 y+3) \\ & =(2 y+3)(x+1) \end{aligned} $

गुणनखंड सारखेच आहेत (जसे असायला हवेत), जरी ते वेगवेगळ्या क्रमाने दिसत असले तरी.

उदाहरण 3 : $6 x y-4 y+6-9 x$ चे गुणनखंडन करा.

उकल:

पायरी 1 सर्व पदांमध्ये सामाईक गुणनखंड आहे का ते तपासा. कोणताही नाही.

पायरी 2 गट करण्याचा विचार करा. लक्षात घ्या की पहिल्या दोन पदांमध्ये सामाईक गुणनखंड $2 y$ आहे;

$$ \begin{equation*} 6 x y-4 y=2 y(3 x-2) \tag{a} \end{equation*} $$

शेवटच्या दोन पदांचं काय? त्यांकडे पहा. जर तुम्ही त्यांचा क्रम $-9 x+6$ असा बदलला, तर गुणनखंड $(3 x-2)$ बाहेर येईल;

$$ \begin{align*} -9 x+6 & =-3(3 x)+3(2) \\ & =-3(3 x-2) \tag{b} \end{align*} $$

पायरी 3 (a) आणि (b) एकत्र करून,

$ \begin{aligned} 6 x y-4 y+6-9 x & =6 x y-4 y-9 x+6 \\ & =2 y(3 x-2)-3(3 x-2) \\ & =(3 x-2)(2 y-3) \end{aligned} $

$(6 x y-4 y+6-9 x)$ चे गुणनखंड $(3 x-2)$ आणि $(2 y-3)$ आहेत.

उदाहरणे 12.1

1. दिलेल्या पदांचे सामाईक गुणनखंड शोधा.

(i) $12 x, 36$ $\quad$ (ii) $2 y, 22 x y$ $\quad$ (iii) $14 p q, 28 p^{2} q^{2}$

(iv) $2 x, 3 x^{2}, 4$ $\quad$ (v) $6 a b c, 24 a b^{2}, 12 a^{2} b$ $\quad$ (vi) $16 x^{3},-4 x^{2}, 32 x$

(vii) $10 p q, 20 q r, 30 r p$ $\quad$ (viii) $3 x^{2} y^{3}, 10 x^{3} y^{2}, 6 x^{2} y^{2} z$

2. खालील राशींचे गुणनखंडन करा. (i) $7 x-42$ $\quad$ (ii) $6 p-12 q$ $\quad$ (iii) $7 a^{2}+14 a$

(iv) $-16 z+20 z^{3}$ $\quad$ (v) $20 l^{2} m+30 a l m$ $\quad$ (vi) $5 x^{2} y-15 x y^{2}$

(vii) $10 a^{2}-15 b^{2}+20 c^{2}$ $\quad$ (viii) $-4 a^{2}+4 a b-4 c a$ $\quad$ (ix) $x^{2} y z+x y^{2} z+x y z^{2}$

(x) $a x^{2} y+b x y^{2}+c x y z$

3. गुणनखंडन करा. (i) $x^{2}+x y+8 x+8 y$ $\quad$ (ii) $15 x y-6 x+5 y-2$ $\quad$ (iii) $a x+b x-a y-b y$

(iv) $15 p q+15+9 q+25 p$ $\quad$ (v) $z-7+7 x y-x y z$

12.2.3 ओळखींचा वापर करून गुणनखंडन

आपल्याला माहित आहे की

$$ \begin{align*} (a+b)^{2} & =a^{2}+2 a b+b^{2} \tag{I}\\ (a-b)^{2} & =a^{2}-2 a b+b^{2} \tag{II}\\ (a+b)(a-b) & =a^{2}-b^{2} \tag{III} \end{align*} $$

खाली दिलेली सोडवलेली उदाहरणे हे ओळख गुणनखंडनासाठी कशा वापरायच्या याचे दर्शन घडवतात. आपण काय करतो ते म्हणजे दिलेली राशी पाहणे. जर ती एखाद्या ओळखीच्या उजव्या बाजूसारखी असेल, तर त्या ओळखीच्या डाव्या बाजूशी संबंधित राशी इच्छित गुणनखंडन देते.

उदाहरण 4 : $x^{2}+8 x+16$ चे गुणनखंडन करा

उकल: राशीकडे पहा; तिला तीन पदे आहेत. म्हणून, ती ओळख III शी जुळत नाही. तसेच, तिचे पहिले आणि तिसरे पद परिपूर्ण वर्ग आहेत आणि मधल्या पदापूर्वी धन चिन्ह आहे. म्हणून, ती $a^{2}+2 a b+b^{2}$ या रूपाची आहे जिथे $a=x$ आणि $b=4$

असे की

$ \begin{aligned} a^{2}+2 a b+b^{2} & =x^{2}+2(x)(4)+4^{2} \\ & =x^{2}+8 x+16 \end{aligned} $

कारण

$ a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}, $

तुलना करून $x^{2}+8 x+16=(x+4)^{2}$

(आवश्यक गुणनखंडन)

उदाहरण 5 : $4 y^{2}-12 y+9$ चे गुणनखंडन करा

उकल: $4 y^{2}=(2 y)^{2}, 9=3^{2}$ आणि $12 y=2 \times 3 \times(2 y)$ लक्षात घ्या

म्हणून,

$ \begin{aligned} 4 y^{2}-12 y+9 & =(2 y)^{2}-2 \times 3 \times(2 y)+(3)^{2} \\ & =(2 y-3)^{2} \quad \text{ (आवश्यक गुणनखंडन) } \end{aligned} $

उदाहरण 6 : $49 p^{2}-36$ चे गुणनखंडन करा

उकल: दोन पदे आहेत; दोन्ही वर्ग आहेत आणि दुसरे ऋण आहे. राशी $(a^{2}-b^{2})$ या रूपाची आहे. ओळख III येथे लागू आहे;

$ \begin{aligned} 49 p^{2}-36 & =(7 p)^{2}-(6)^{2} \\ & =(7 p-6)(7 p+6)(\text{ आवश्यक गुणनखंडन) } \end{aligned} $

उदाहरण 7 : $a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}$ चे गुणनखंडन करा

उकल: दिलेल्या राशीची पहिली तीन पदे $(a-b)^{2}$ बनवतात. चौथे पद वर्ग आहे. म्हणून राशी दोन वर्गांच्या वजाबाकीपर्यंत कमी करता येते.

अशाप्रकारे, $\quad a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}=(a-b)^{2}-c^{2}$

(ओळख II लागू करून)

$ =[(a-b)-c)((a-b)+c)] $

$ =(a-b-c)(a-b+c) \quad \text{ (आवश्यक गुणनखंडन) } $

लक्षात घ्या, आवश्यक गुणनखंडन मिळवण्यासाठी आपण दोन ओळखी एकापाठोपाठ एक कशा लागू केल्या.

उदाहरण 8 : $m^{4}-256$ चे गुणनखंडन करा

उकल: आपण लक्षात घेतो

$ m^{4}=(m^{2})^{2} \text{ आणि } 256=(16)^{2} $

अशाप्रकारे, दिलेली राशी ओळख III शी जुळते.

म्हणून,

$ \begin{aligned} m^{4}-256 & =(m^{2})^{2}-(16)^{2} \\ & =(m^{2}-16)(m^{2}+16) \quad[(\text{ ओळख (III) वापरून }] \end{aligned} $

आता, $(m^{2}+16)$ चे पुढे गुणनखंडन करता येत नाही, परंतु $(m^{2}-16)$ हे ओळख III नुसार पुन्हा गुणनखंडन करता येते.

म्हणून,

$ \begin{aligned} m^{2}-16 & =m^{2}-4^{2} \\ & =(m-4)(m+4) \\ m^{4}-256 & =(m-4)(m+4)(m^{2}+16) \end{aligned} $

12.2.4 $(x+a)(x+b)$ या रूपाचे गुणनखंड

आता एका चलातील राशींचे गुणनखंडन कसे करता येते याची चर्चा करूया, जसे की $x^{2}+5 x+6$, $y^{2}-7 y+12, z^{2}-4 z-12,3 m^{2}+9 m+6$, इत्यादी. लक्षात घ्या की या राशी $(a+b)^{2}$ किंवा $(a-b)^{2}$ या प्रकारच्या नाहीत, म्हणजेच त्या परिपूर्ण वर्ग नाहीत. उदाहरणार्थ, $x^{2}+5 x+6$ मध्ये, पद 6 हा परिपूर्ण वर्ग नाही. ह्या राशी स्पष्टपणे $(a^{2}-b^{2})$ या प्रकाराशीही जुळत नाहीत.

तथापि, त्या $x^{2}+(a+b) x+a b$ या प्रकाराच्या वाटतात. म्हणून, आपण मागील प्रकरणात शिकलेली ओळख IV या राशींचे गुणनखंडन करण्यासाठी वापरण्याचा प्रयत्न करू शकतो:

$$ \begin{equation*} (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b \tag{IV} \end{equation*} $$

त्यासाठी आपल्याला $x$ चे सहगुणक आणि स्थिर पद पाहावे लागेल. हे खालील उदाहरणात कसे केले जाते ते पाहू.

उदाहरण 9 : $x^{2}+5 x+6$ चे गुणनखंडन करा

उकल: जर आपण ओळख (IV) ची उजवी बाजू $x^{2}+5 x+6$ शी तुलना केली, तर आपल्याला $a b=6$, आणि $a+b=5$ आढळते. यावरून, आपल्याला $a$ आणि $b$ मिळवायचे आहेत. मग गुणनखंड $(x+a)$ आणि $(x+b)$ असतील.

जर $a b=6$, तर त्याचा अर्थ $a$ आणि $b$ हे 6 चे गुणनखंड आहेत. चला $a=6, b=1$ प्रयत्न करूया. या मूल्यांसाठी $a+b=7$, आणि 5 नाही, म्हणून ही निवड योग्य नाही.

चला $a=2, b=3$ प्रयत्न करूया. यासाठी $a+b=5$ नक्की आवश्यकतेप्रमाणे.

मग या दिलेल्या राशीचे गुणनखंडित रूप $(x+2)(x+3)$ आहे.

सर्वसाधारणपणे, $x^{2}+p x+q$ या प्रकारच्या बीजगणितीय राशीचे गुणनखंडन करताना, आपल्याला $q$ (म्हणजे स्थिर पद) चे दोन गुणनखंड $a$ आणि $b$ असे शोधायचे असतात की

$ a b=q \quad \text{ आणि } \quad a+b=p $

मग, राशी $\quad x^{2}+(a+b) x+a b$ बनते

किंवा

$x^{2}+a x+b x+a b$

किंवा

$x(x+a)+b(x+a)$

किंवा

$(x+a)(x+b) \quad$ जे आवश्यक गुणनखंड आहेत.

उदाहरण 10 : $y^{2}-7 y+12$ चे गुणनखंड शोधा.

उकल: आपण लक्षात घेतो $12=3 \times 4$ आणि $3+4=7$. म्हणून,

$ \begin{aligned} y^{2}-7 y+12 & =y^{2}-3 y-4 y+12 \\ & =y(y-3)-4(y-3)=(y-3)(y-4) \end{aligned} $

लक्षात घ्या, यावेळी आपण $a$ आणि $b$ ओळखण्यासाठी राशीची ओळख (IV) मधील राशीशी तुलना केली नाही. पुरेशा सरावानंतर तुम्हाला गुणनखंडनासाठी दिलेल्या राशींची ओळखींमधील राशींशी तुलना करण्याची गरज राहणार नाही; त्याऐवजी तुम्ही वरीलप्रमाणे थेट पुढे जाऊ शकता.

उदाहरण 11 : $z^{2}-4 z-12$ चे गुणनखंड मिळवा.

उकल: येथे $a b=-12$; याचा अर्थ $a$ आणि $b$ पैकी एक ऋण आहे. पुढे, $a+b=-4$, याचा अर्थ संख्यात्मक दृष्ट्या मोठे मूल्य ऋण आहे. आपण $a=-4, b=3$ प्रयत्न करतो; परंतु हे कार्य करणार नाही, कारण $a+b=-1$. पुढील शक्य मूल्ये $a=-6, b=2$ आहेत, जेणेकरून $a+b=-4$ आवश्यकतेप्रमाणे.

म्हणून,

$ \begin{aligned} z^{2}-4 z-12 & =z^{2}-6 z+2 z-12 \\ & =z(z-6)+2(z-6) \\ & =(z-6)(z+2) \end{aligned} $

उदाहरण 12 : $3 m^{2}+9 m+6$ चे गुणनखंड शोधा.

उकल: आपल्या लक्षात येते की 3 हा सर्व पदांचा सामाईक गुणनखंड आहे.

म्हणून,

$$ \begin{align*} 3 m^{2}+9 m+6 & =3(m^{2}+3 m+2) \\ m^{2}+3 m+2 & =m^{2}+m+2 m+2 \\ & =m(m+1)+2(m+1) \\ & =(m+1)(m+2) \end{align*} $$

आता,

म्हणून,

$ 3 m^{2}+9 m+6=3(m+1)(m+2) $

उदाहरणे 12.2

1. खालील राशींचे गुणनखंडन करा.

(i) $a^{2}+8 a+16$ $\quad$ (ii) $p^{2}-10 p+25$ $\quad$ (iii) $25 m^{2}+30 m+9$

(iv) $49 y^{2}+84 y z+36 z^{2}$ $\quad$ (v) $4 x^{2}-8 x+4$ $\quad$ (vi) $121 b^{2}-88 b c+16 c^{2}$

(vii) $(l+m)^{2}-4 l m$ $\quad$ (सूचना: प्रथम $(l+m)^{2}$ विस्तृत करा) $\quad$ (viii) $a^{4}+2 a^{2} b^{2}+b^{4}$

2. गुणनखंडन करा.

(i) $4 p^{2}-9 q^{2}$ $\quad$ (ii) $63 a^{2}-112 b^{2}$ $\quad$ (iii) $49 x^{2}-36$

(iv) $16 x^{5}-144 x^{3}$ $\quad$ (v) $(l+m)^{2}-(l-m)^{2}$ $\quad$ (vi) $9 x^{2} y^{2}-16$

(vii) $(x^{2}-2 x y+y^{2})-z^{2}$ $\quad$ (viii) $25 a^{2}-4 b^{2}+28 b c-49 c^{2}$

3. राशींचे गुणनखंडन करा.

(i) $a x^{2}+b x$ $\quad$ (ii) $7 p^{2}+21 q^{2}$ $\quad$ (iii) $2 x^{3}+2 x y^{2}+2 x z^{2}$

(iv) $a m^{2}+b m^{2}+b n^{2}+a n^{2}$ $\quad$ (v) $(l m+l)+m+1$ $\quad$ (vi) $y(y+z)+9(y+z)$

(vii) $5 y^{2}-20 y-8 z+2 y z$ $\quad$ (viii) $10 a b+4 a+5 b+2$ $\quad$ (ix) $6 x y-4 y+6-9 x$

4. गुणनखंडन करा.

(i) $a^{4}-b^{4}$ $\quad$ (iv) $x^{4}-(x-z)^{4}$ $\quad$ (ii) $p^{4}-81$

(v) $a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}$ $\quad$ (iii) $x^{4}-(y+z)^{4}$

5. खालील राशींचे गुणनखंडन करा.

(i) $p^{2}+6 p+8$ $\quad$ (ii) $q^{2}-10 q+21$ $\quad$ (iii) $p^{2}+6 p-16$

12.3 बीजगणितीय राशींची भागाकार

बीजगणितीय राशींची बेरीज आणि वजाबाकी कशी करायची हे आपण शिकलो आहोत. दोन राशींचा गुणाकार कसा करायचा हे देखील आपल्याला माहित आहे. तथापि, एका बीजगणितीय राशीचा दुसऱ्याने भागाकार कसा करायचा हे आपण पाहिलेले नाही. या भागात आपण हेच करणार आहोत.

आपल्याला आठवते की भागाकार ही गुणाकाराची व्यस्त क्रिया आहे. अशाप्रकारे, $7 \times 8=56$ देते