12.1 ಪರಿಚಯ

12.1.1 ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಪವರ್ತನಗಳು

ನೀವು VI ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಕಲಿತಿರುವಿರಿ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಿರಿ. ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 30, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಇತರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ

$ \begin{aligned} 30 & =2 \times 15 \\ & =3 \times 10=5 \times 6 \end{aligned} $

ಹೀಗಾಗಿ, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 ಮತ್ತು 30 ಇವು 30 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ, 2, 3 ಮತ್ತು 5 ಇವು 30 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು (ಏಕೆ?)

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $2 \times 3 \times 5$ ಎಂದು ಬರೆಯಲ್ಪಟ್ಟ 30 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

30 ಅನ್ನು ಹೀಗೆಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ

$ 30=1 \times 30 $

ಹೀಗಾಗಿ, 1 ಮತ್ತು 30 ಕೂಡ 30 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 1 ಒಂದು ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸುವಿರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $101=1 \times 101$. ಆದರೆ, ನಾವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯುವಾಗ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, 1 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ.

70 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ರೂಪವು $2 \times 5 \times 7$ ಆಗಿದೆ.

90 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ರೂಪವು $2 \times 3 \times 3 \times 5$, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಇದೇ ರೀತಿ, ನಾವು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಲಿದ್ದೇವೆ.

12.1.2 ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಅಪವರ್ತನಗಳು

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಪದಗಳು ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ರಚಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು VII ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೀಜೋಕ್ತಿ $5 x y+3 x$ ನಲ್ಲಿ $5 x y$ ಪದವು $5, x$ ಮತ್ತು $y$ ಅಪವರ್ತನಗಳಿಂದ ರಚಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ,

$ 5 x y=5 \times x \times y $

$5 x y$ ರ ಅಪವರ್ತನಗಳಾದ 5, $x$ ಮತ್ತು $y$ ಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. 5, $x$ ಮತ್ತು $y$ ಗಳು $5 x y$ ರ ‘ಅವಿಭಾಜ್ಯ’ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ, ‘ಅವಿಭಾಜ್ಯ’ ಎಂಬ ಪದದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ‘ಅಪವರ್ತನೀಯ’ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. $5 \times x \times y$ ಎಂಬುದು $5 x y$ ರ ಅಪವರ್ತನೀಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. $5 \times(x y)$ ಎಂಬುದು $5 x y$ ರ ಅಪವರ್ತನೀಯ ರೂಪವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ $x y$ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು

$5 x y$ ಗೆ 1 ಒಂದು ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ

$ 5 x y=1 \times 5 \times x \times y $

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, 1 ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ಪದದ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಪದದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿ 1 ಅನ್ನು ತೋರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. $x$ ಮತ್ತು $y$ ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, $x y=x \times y$.

ಮುಂದೆ $3 x(x+2)$ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. $3, x$ ಮತ್ತು $(x+2)$

$ 3 x(x+2)=3 \times x \times(x+2) $

$3, x$ ಮತ್ತು $(x+2)$ ಅಪವರ್ತನಗಳು $3 x(x+2)$ ರ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು.

ಇದೇ ರೀತಿ, $10 x(x+2)(y+3)$ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಅಪವರ್ತನ ರೂಪದಲ್ಲಿ $10 x(x+2)(y+3)=2 \times 5 \times x \times(x+2) \times(y+3)$ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

12.2 ಅಪವರ್ತನ ಎಂದರೇನು?

ನಾವು ಒಂದು ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಬೀಜೀಯ ಚರಾಕ್ಷರಗಳು ಅಥವಾ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು.

$3 x y, 5 x^{2} y, 2 x(y+2), 5(y+1)(x+2)$ ನಂತಹ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಅಪವರ್ತನ ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ. ಅವುಗಳ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಅವುಗಳಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಓದಿಹೇಳಬಹುದು.

ಇನ್ನೊಂದೆಡೆ $2 x+4,3 x+3 y, x^{2}+5 x, x^{2}+5 x+6$ ನಂತಹ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅವುಗಳ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಮಗೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಈಗ ನಾವು ಮಾಡಲಿದ್ದೇವೆ.

12.2.1 ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ವಿಧಾನ

• ನಾವು ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ: $2 x+4$ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ;

$ \begin{aligned} 2 x & =2 \times x \\ 4 & =2 \times 2 \\ 2 x+4 & =(2 \times x)+(2 \times 2) \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ

ಎರಡೂ ಪದಗಳಿಗೆ 2 ಎಂಬ ಅಪವರ್ತನ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ವಿತರಣಾ ನಿಯಮದಿಂದ ಗಮನಿಸಿ

$ 2 \times(x+2)=(2 \times x)+(2 \times 2) $

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

$ 2 x+4=2 \times(x+2)=2(x+2) $

ಹೀಗಾಗಿ, $2 x+4$ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು $2(x+2)$ ನಂತೆಯೇ ಇದೆ. ಈಗ ನಾವು ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಓದಿಹೇಳಬಹುದು: ಅವು 2 ಮತ್ತು $(x+2)$. ಈ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿವೆ.

ಮುಂದೆ, $5 x y+10 x$ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

$5 x y$ ಮತ್ತು $10 x$ ಗಳ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಅಪವರ್ತನ ರೂಪಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ,

$ \begin{aligned} & 5 x y=5 \times x \times y \\ & 10 x=2 \times 5 \times x \end{aligned} $

ಎರಡು ಪದಗಳಿಗೆ 5 ಮತ್ತು $x$ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಈಗ,

$ \begin{aligned} 5 x y+10 x & =(5 \times x \times y)+(5 \times x \times 2) \\ & =(5 x \times y)+(5 x \times 2) \end{aligned} $

ನಾವು ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ,

$ (5 x \times y)+(5 x \times 2)=5 x \times(y+2) $

ಆದ್ದರಿಂದ, $5 x y+10 x=5 x(y+2)$. (ಇದು ಬೇಕಾದ ಅಪವರ್ತನ ರೂಪ.)

ಉದಾಹರಣೆ 1 : $12 a^{2} b+15 a b^{2}$ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ನಮಗೆ $12 a^{2} b=2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times b$ ಇದೆ

$ 15 a b^{2}=3 \times 5 \times a \times b \times b $

ಎರಡು ಪದಗಳಿಗೆ $3, a$ ಮತ್ತು $b$ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ,

$ \begin{aligned} 12 a^{2} b+15 a b^{2} & =(3 \times a \times b \times 2 \times 2 \times a)+(3 \times a \times b \times 5 \times b) \\ & =3 \times a \times b \times[(2 \times 2 \times a)+(5 \times b)] \quad \text{ (ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ) } \\ & =3 a b \times(4 a+5 b) \\ & =3 a b(4 a+5 b) \quad \text{ (ಬೇಕಾದ ಅಪವರ್ತನ ರೂಪ) } \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 2 : $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}$ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:

$ \begin{aligned} 10 x^{2} & =2 \times 5 \times x \times x \\ 18 x^{3} & =2 \times 3 \times 3 \times x \times x \times x \\ 14 x^{4} & =2 \times 7 \times x \times x \times x \times x \end{aligned} $

ಮೂರು ಪದಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು $2, x$ ಮತ್ತು $x$.

ಆದ್ದರಿಂದ, $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}=(2 \times x \times x \times 5)-(2 \times x \times x \times 3 \times 3 \times x)$

$ \begin{aligned} & +(2 \times x \times x \times 7 \times x \times x) \\ = & 2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \\ = & 2 x^{2} \times(5-9 x+7 x^{2})=2 x^{2}(7 x^{2}-9 x+5) \end{aligned} $

$ =2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \text{ (ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ) } $

ಒಂದು ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನ ರೂಪವು ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದಿರಾ?

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಅಪವರ್ತಿಸಿ:

(i) $12 x+36$

(ii) $22 y-33 z$

(iii) $14 p q+35 p q r$

12.2.2 ಪದಗಳನ್ನು ಪುನರ್ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಪವರ್ತನ

$2 x y+2 y+3 x+3$ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳಿಗೆ 2 ಮತ್ತು $y$ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಪದಗಳಿಗೆ 3 ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸುವಿರಿ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಒಂದೇ ಅಪವರ್ತನವಿಲ್ಲ. ನಾವು ಹೇಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಬೇಕು?

$(2 x y+2 y)$ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

ಇದೇ ರೀತಿ,

$ \begin{aligned} 2 x y+2 y & =(2 \times x \times y)+(2 \times y) \\ & =(2 \times y \times x)+(2 \times y \times 1) \\ & =(2 y \times x)+(2 y \times 1)=2 y(x+1) \\ 3 x+3 & =(3 \times x)+(3 \times 1) \\ & =3 \times(x+1)=3(x+1) \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1) $

ಗಮನಿಸಿ, ಈಗ ಬಲಭಾಗದ ಎರಡೂ ಪದಗಳಲ್ಲಿ $(x+1)$ ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವಿದೆ. ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1)=(x+1)(2 y+3) $

$2 x y+2 y+3 x+3$ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು ಈಗ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು $(x+1)$ ಮತ್ತು $(2 y+3)$. ಗಮನಿಸಿ, ಈ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿವೆ.

ಪುನರ್ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದರೇನು?

$2 x y+3+2 y+3 x$ ಎಂದು ಮೇಲಿನ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿತ್ತು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ; ಆಗ ಅಪವರ್ತನವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲ. ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು $2 x y+2 y+3 x+3$ ಎಂದು ಮರುಜೋಡಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು $(2 x y+2 y)$ ಮತ್ತು $(3 x+3)$ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಪವರ್ತನಕ್ಕೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪುನರ್ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುನರ್ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವು ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮರುಜೋಡಿಸಿದರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ: $2 x y+3 x+2 y+3$. ಇದು ಕೂಡ ಅಪವರ್ತನಗಳಿಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

$ \begin{aligned} 2 x y+3 x+2 y+3 & =2 \times x \times y+3 \times x+2 \times y+3 \\ & =x \times(2 y+3)+1 \times(2 y+3) \\ & =(2 y+3)(x+1) \end{aligned} $

ಅಪವರ್ತನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ (ಅವು ಹಾಗೇ ಇರಬೇಕಾದ್ದರಿಂದ), ಅವು ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೂ ಸಹ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : $6 x y-4 y+6-9 x$ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1 ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ.

ಹಂತ 2 ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ. ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳಿಗೆ $2 y$ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ;

$$ \begin{equation*} 6 x y-4 y=2 y(3 x-2) \tag{a} \end{equation*} $$

ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಪದಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಅವುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನೀವು ಅವುಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು $-9 x+6$ ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, $(3 x-2)$ ಅಪವರ್ತನವು ಹೊರಬರುತ್ತದೆ;

$$ \begin{align*} -9 x+6 & =-3(3 x)+3(2) \\ & =-3(3 x-2) \tag{b} \end{align*} $$

ಹಂತ 3 (a) ಮತ್ತು (b) ಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದಾಗ,

$ \begin{aligned} 6 x y-4 y+6-9 x & =6 x y-4 y-9 x+6 \\ & =2 y(3 x-2)-3(3 x-2) \\ & =(3 x-2)(2 y-3) \end{aligned} $

$(6 x y-4 y+6-9 x)$ ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು $(3 x-2)$ ಮತ್ತು $(2 y-3)$.

ಅಭ್ಯಾಸ 12.1

1. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪದಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

(i) $12 x, 36$ $\quad$ (ii) $2 y, 22 x y$ $\quad$ (iii) $14 p q, 28 p^{2} q^{2}$

(iv) $2 x, 3 x^{2}, 4$ $\quad$ (v) $6 a b c, 24 a b^{2}, 12 a^{2} b$ $\quad$ (vi) $16 x^{3},-4 x^{2}, 32 x$

(vii) $10 p q, 20 q r, 30 r p$ $\quad$ (viii) $3 x^{2} y^{3}, 10 x^{3} y^{2}, 6 x^{2} y^{2} z$

2. ಕೆಳಗಿನ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ. (i) $7 x-42$ $\quad$ (ii) $6 p-12 q$ $\quad$ (iii) $7 a^{2}+14 a$

(iv) $-16 z+20 z^{3}$ $\quad$ (v) $20 l^{2} m+30 a l m$ $\quad$ (vi) $5 x^{2} y-15 x y^{2}$

(vii) $10 a^{2}-15 b^{2}+20 c^{2}$ $\quad$ (viii) $-4 a^{2}+4 a b-4 c a$ $\quad$ (ix) $x^{2} y z+x y^{2} z+x y z^{2}$

(x) $a x^{2} y+b x y^{2}+c x y z$

3. ಅಪವರ್ತಿಸಿ. (i) $x^{2}+x y+8 x+8 y$ $\quad$ (ii) $15 x y-6 x+5 y-2$ $\quad$ (iii) $a x+b x-a y-b y$

(iv) $15 p q+15+9 q+25 p$ $\quad$ (v) $z-7+7 x y-x y z$

12.2.3 ಸರ್ವಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಪವರ್ತನ

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ

$$ \begin{align*} (a+b)^{2} & =a^{2}+2 a b+b^{2} \tag{I}\\ (a-b)^{2} & =a^{2}-2 a b+b^{2} \tag{II}\\ (a+b)(a-b) & =a^{2}-b^{2} \tag{III} \end{align*} $$

ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅಪವರ್ತನಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಸರ್ವಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ನಾವು ಮಾಡುವುದೇನೆಂದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು. ಅದು ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸರ್ವಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆ ಸರ್ವಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾದ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು ಬೇಕಾದ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : $x^{2}+8 x+16$ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಅದು ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದು ಸರ್ವಸಮೀಕರಣ III ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗೆಯೇ, ಅದರ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಪದಗಳು ಪೂರ್ಣವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಪದದ ಮುಂದೆ ಧನ ಚಿಹ್ನೆಯಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದು $a^{2}+2 a b+b^{2}$ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $a=x$ ಮತ್ತು $b=4$

ಅಂದರೆ

$ \begin{aligned} a^{2}+2 a b+b^{2} & =x^{2}+2(x)(4)+4^{2} \\ & =x^{2}+8 x+16 \end{aligned} $

ಏಕೆಂದರೆ

$ a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}, $

ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿದಾಗ $x^{2}+8 x+16=(x+4)^{2}$

(ಬೇಕಾದ ಅಪವರ್ತನ)

ಉದಾಹರಣೆ 5 : $4 y^{2}-12 y+9$ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಗಮನಿಸಿ $4 y^{2}=(2 y)^{2}, 9=3^{2}$ ಮತ್ತು $12 y=2 \times 3 \times(2 y)$

ಆದ್ದರಿಂದ,

$ \begin{aligned} 4 y^{2}-12 y+9 & =(2 y)^{2}-2 \times 3 \times(2 y)+(3)^{2} \\ & =(2 y-3)^{2} \quad \text{ (ಬೇಕಾದ ಅಪವರ್ತನ) } \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 6 : $49 p^{2}-36$ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಎರಡು ಪದಗಳಿವೆ; ಎರಡೂ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು $(a^{2}-b^{2})$ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಸರ್ವಸಮೀಕರಣ III ಇಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ;

$ \begin{aligned} 49 p^{2}-36 & =(7 p)^{2}-(6)^{2} \\ & =(7 p-6)(7 p+6)(\text{ ಬೇಕಾದ ಅಪವರ್ತನ) } \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 7 : $a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}$ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳು $(a-b)^{2}$ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ಪದವು ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, $\quad a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}=(a-b)^{2}-c^{2}$

(ಸರ್ವಸಮೀಕರಣ II ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ)

$ =[(a-b)-c)((a-b)+c)] $

$ =(a-b-c)(a-b+c) \quad \text{ (ಬೇಕಾದ ಅಪವರ್ತನ) } $

ಬೇಕಾದ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಎರಡು ಸರ್ವಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದರಂತೆ ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 8 : $m^{4}-256$ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ

$ m^{4}=(m^{2})^{2} \text{ ಮತ್ತು } 256=(16)^{2} $

ಹೀಗಾಗಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು ಸರ್ವಸಮೀಕರಣ III ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ,

$ \begin{aligned} m^{4}-256 & =(m^{2})^{2}-(16)^{2} \\ & =(m^{2}-16)(m^{2}+16) \quad[(\text{ ಸರ್ವಸಮೀಕರಣ (III) ಅನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ }] \end{aligned} $

ಈಗ, $(m^{2}+16)$ ಅನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಪವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ $(m^{2}-16)$ ಅನ್ನು ಸರ್ವಸಮೀಕರಣ III ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತೆ ಅಪವರ್ತಿಸಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ,

$ \begin{aligned} m^{2}-16 & =m^{2}-4^{2} \\ & =(m-4)(m+4) \\ m^{4}-256 & =(m-4)(m+4)(m^{2}+16) \end{aligned} $

12.2.4 $(x+a)(x+b)$ ರೂಪದ ಅಪವರ್ತನಗಳು

$x^{2}+5 x+6$, $y^{2}-7 y+12, z^{2}-4 z-12,3 m^{2}+9 m+6$, ಇತ್ಯಾದಿ ನಂತಹ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದಲ್ಲಿರುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಪವರ್ತಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ಚರ್ಚಿಸೋಣ. ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು $(a+b)^{2}$ ಅಥವಾ $(a-b)^{2}$ ರೀತಿಯವುಗಳಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಂದರೆ ಅವು ಪೂರ್ಣವರ್ಗಗಳಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $x^{2}+5 x+6$ ನಲ್ಲಿ, 6 ಪದವು ಪೂರ್ಣವರ್ಗವಲ್ಲ. ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು ಸಹ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ $(a^{2}-b^{2})$ ರೀತಿಯವುಗಳಲ್ಲ.

ಆದರೆ, ಅವು $x^{2}+(a+b) x+a b$ ರೀತಿಯವುಗಳಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಕಳೆದ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸರ್ವಸಮೀಕರಣ IV ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು:

$$ \begin{equation*} (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b \tag{IV} \end{equation*} $$

ಅದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು $x$ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೋಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 9 : $x^{2}+5 x+6$ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ನಾವು ಸರ್ವಸಮೀಕರಣ (IV) ನ ಬಲಭಾಗವನ್ನು $x^{2}+5 x+6$ ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು $a b=6$, ಮತ್ತು $a+b=5$ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದರಿಂದ, ನಾವು $a$ ಮತ್ತು $b$ ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಆಗ ಅಪವರ್ತನಗಳು $(x+a)$ ಮತ್ತು $(x+b)$ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

$a b=6$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರರ್ಥ $a$ ಮತ್ತು $b$ ಗಳು 6 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು. ನಾವು $a=6, b=1$ ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ $a+b=7$, ಮತ್ತು 5 ಅಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಆಯ್ಕೆ ಸರಿಯಲ್ಲ.

ನಾವು $a=2, b=3$ ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದಕ್ಕೆ $a+b=5$ ನಿಖರವಾಗಿ ಬೇಕಾದಂತೆ.

ಆಗ ಈ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತಿತ ರೂಪವು $(x+2)(x+3)$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $x^{2}+p x+q$ ರೀತಿಯ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು, ನಾವು $q$ (ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಪದ) ನ ಎರಡು ಅಪವರ್ತನಗಳಾದ $a$ ಮತ್ತು $b$ ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ

$ a b=q \quad \text{ ಮತ್ತು } \quad a+b=p $

ನಂತರ, ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು $\quad x^{2}+(a+b) x+a b$ ಆಗುತ್ತದೆ

ಅಥವಾ

$x^{2}+a x+b x+a b$

ಅಥವಾ

$x(x+a)+b(x+a)$

ಅಥವಾ

$(x+a)(x+b) \quad$ ಇವು ಬೇಕಾದ ಅಪವರ್ತನಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 10 : $y^{2}-7 y+12$ ರ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ $12=3 \times 4$ ಮತ್ತು $3+4=7$. ಆದ್ದರಿಂದ,

$ \begin{aligned} y^{2}-7 y+12 & =y^{2}-3 y-4 y+12 \\ & =y(y-3)-4(y-3)=(y-3)(y-4) \end{aligned} $

ಗಮನಿಸಿ, ಈ ಬಾರಿ ನಾವು $a$ ಮತ್ತು $b$ ಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರ್ವಸಮೀಕರಣ (IV) ನಲ್ಲಿರುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಿಲ್ಲ. ಸಾಕಷ್ಟು ಅಭ್ಯಾಸದ ನಂತರ, ಅಪವರ್ತನಕ್ಕಾಗಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರ್ವಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿರುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 11 : $z^{2}-4 z-12$ ರ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಇಲ್ಲಿ $a b=-12$; ಇದರರ್ಥ $a$ ಮತ್ತು $b$ ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಋಣಾತ