12.1 ପରିଚୟ

12.1.1 ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ଉତ୍ପାଦକ

ତୁମେ ଷଷ୍ଠ ଶ୍ରେଣୀରେ ଉତ୍ପାଦକ ବିଷୟରେ ଯାହା ଶିଖିଥିଲେ ତାହା ମନେ ପକାଅ । ଆସ ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା, ଧର 30, ନେଇ ଏହାକୁ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଭାବେ ଲେଖିବା, ଯେପରିକି

$ \begin{aligned} 30 & =2 \times 15 \\ & =3 \times 10=5 \times 6 \end{aligned} $

ଏହିପରି, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 ଏବଂ 30 ହେଉଛନ୍ତି 30ର ଉତ୍ପାଦକ । ଏଥିରୁ 2, 3 ଏବଂ 5 ହେଉଛନ୍ତି 30ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ (କାହିଁକି?)

ଏକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକର ଗୁଣଫଳ ଭାବେ ଲେଖାଗଲେ ତାହା ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ ରୂପରେ ଥାଏ; ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, 30କୁ $2 \times 3 \times 5$ ଭାବେ ଲେଖାଗଲେ ତାହା ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ ରୂପରେ ଥାଏ ।

ଆମେ ଜାଣୁ 30କୁ ଏହିପରି ମଧ୍ୟ ଲେଖାଯାଇପାରେ

$ 30=1 \times 30 $

ଏହିପରି, 1 ଏବଂ 30 ମଧ୍ୟ 30ର ଉତ୍ପାଦକ । ତୁମେ ଦେଖିବ ଯେ 1 ହେଉଛି ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $101=1 \times 101$ । ତଥାପି, ଯେତେବେଳେ ଆମେ ଏକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଉତ୍ପାଦକର ଗୁଣଫଳ ଭାବେ ଲେଖୁ, ଆମେ 1କୁ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଭାବେ ଲେଖିବୁ ନାହିଁ, ଯେପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏହା ବିଶେଷ ଭାବେ ଆବଶ୍ୟକ ହୁଏ ।

70ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ ରୂପ ହେଉଛି $2 \times 5 \times 7$ ।

90ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ ରୂପ ହେଉଛି $2 \times 3 \times 3 \times 5$, ଏବଂ ଏହିପରି ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ।

ସେହିପରି, ଆମେ ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶକୁ ଏହାର ଉତ୍ପାଦକର ଗୁଣଫଳ ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା । ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ଏହା କରିବାକୁ ଶିଖିବା ।

12.1.2 ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶର ଉତ୍ପାଦକ

ଆମେ ସପ୍ତମ ଶ୍ରେଣୀରେ ଦେଖିଛୁ ଯେ ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶରେ, ପଦଗୁଡ଼ିକ ଉତ୍ପାଦକର ଗୁଣଫଳ ଭାବେ ଗଠିତ ହୁଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶ $5 x y+3 x$ରେ ପଦ $5 x y$ ଉତ୍ପାଦକ $5, x$ ଏବଂ $y$ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ହୋଇଛି, ଅର୍ଥାତ୍,

$ 5 x y=5 \times x \times y $

ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଯେ $5 x y$ର ଉତ୍ପାଦକ 5, $x$ ଏବଂ $y$ ଆଉ ଉତ୍ପାଦକର ଗୁଣଫଳ ଭାବେ ପ୍ରକାଶିତ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ 5, $x$ ଏବଂ $y$ ହେଉଛନ୍ତି $5 x y$ର ‘ମୌଳିକ’ ଉତ୍ପାଦକ । ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶରେ, ଆମେ ‘ମୌଳିକ’ ସ୍ଥାନରେ ‘ଅପ୍ରକାଶ୍ୟ’ ଶବ୍ଦ ବ୍ୟବହାର କରୁ । ଆମେ କହୁ ଯେ $5 \times x \times y$ ହେଉଛି $5 x y$ର ଅପ୍ରକାଶ୍ୟ ରୂପ । ଧ୍ୟାନ ଦିଅ $5 \times(x y)$ ହେଉଛି ନାହିଁ $5 x y$ର ଏକ ଅପ୍ରକାଶ୍ୟ ରୂପ, କାରଣ ଉତ୍ପାଦକ $x y$ ଆଗକୁ

ଧ୍ୟାନ ଦିଅ 1 ହେଉଛି $5 x y$ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ, କାରଣ

$ 5 x y=1 \times 5 \times x \times y $

ପ୍ରକୃତରେ, 1 ହେଉଛି ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ । ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ପରି, ଯେପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏହା ବିଶେଷ ଭାବେ ଆବଶ୍ୟକ ହୁଏ, ଆମେ କୌଣସି ପଦର 1କୁ ଏକ ପୃଥକ୍ ଉତ୍ପାଦକ ଭାବେ ଦେଖାଇବୁ ନାହିଁ । $x$ ଏବଂ $y$ର ଗୁଣଫଳ ଭାବେ ପ୍ରକାଶିତ ହୋଇପାରେ, ଅର୍ଥାତ୍, $x y=x \times y$ ।

ପରବର୍ତ୍ତୀ ପ୍ରକାଶ $3 x(x+2)$ ବିଚାର କର । ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକର ଗୁଣଫଳ ଭାବେ ଲେଖାଯାଇପାରେ । $3, x$ ଏବଂ $(x+2)$

$ 3 x(x+2)=3 \times x \times(x+2) $

ଉତ୍ପାଦକ $3, x$ ଏବଂ $(x+2)$ ହେଉଛନ୍ତି $3 x(x+2)$ର ଅପ୍ରକାଶ୍ୟ ଉତ୍ପାଦକ ।

ସେହିପରି, ପ୍ରକାଶ $10 x(x+2)(y+3)$କୁ ଏହାର ଅପ୍ରକାଶ୍ୟ ଉତ୍ପାଦକ ରୂପରେ $10 x(x+2)(y+3)=2 \times 5 \times x \times(x+2) \times(y+3)$ ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଛି ।

12.2 ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କ’ଣ?

ଯେତେବେଳେ ଆମେ ଏକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରୁ, ଆମେ ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକର ଗୁଣଫଳ ଭାବେ ଲେଖୁ । ଏହି ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକ ସଂଖ୍ୟା, ବୀଜଗାଣିତିକ ଚଳରାଶି କିମ୍ବା ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶ ହୋଇପାରନ୍ତି ।

$3 x y, 5 x^{2} y, 2 x(y+2), 5(y+1)(x+2)$ ପରି ପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ବରୁ ଉତ୍ପାଦକ ରୂପରେ ଅଛି । ସେମାନଙ୍କର ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକ ସେମାନଙ୍କଠାରୁ ପଢ଼ି ନିଆଯାଇପାରେ, ଯେପରି ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ଜାଣୁ ।

ଅନ୍ୟ ପକ୍ଷରେ $2 x+4,3 x+3 y, x^{2}+5 x, x^{2}+5 x+6$ ପରି ପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ ବିଚାର କର । ସେମାନଙ୍କର ଉତ୍ପାଦକ କ’ଣ ତାହା ସ୍ପଷ୍ଟ ନୁହେଁ । ଏହି ପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରିବା ପାଇଁ, ଅର୍ଥାତ୍ ସେମାନଙ୍କର ଉତ୍ପାଦକ ଖୋଜିବା ପାଇଁ, ଆମକୁ ପ୍ରଣାଳୀଗତ ପଦ୍ଧତି ବିକଶିତ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ । ଏହା ହିଁ ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ କରିବା ।

12.2.1 ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ପଦ୍ଧତି

• ଆମେ ଏକ ସରଳ ଉଦାହରଣରୁ ଆରମ୍ଭ କରୁ: $2 x+4$କୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର ।

ଆମେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକୁ ଅପ୍ରକାଶ୍ୟ ଉତ୍ପାଦକର ଗୁଣଫଳ ଭାବେ ଲେଖିବା;

$ \begin{aligned} 2 x & =2 \times x \\ 4 & =2 \times 2 \\ 2 x+4 & =(2 \times x)+(2 \times 2) \end{aligned} $

ତେଣୁ

ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଉତ୍ପାଦକ 2 ଉଭୟ ପଦରେ ସାଧାରଣ ।

ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ଦ୍ୱାରା ଲକ୍ଷ୍ୟ କର

$ 2 \times(x+2)=(2 \times x)+(2 \times 2) $

ତେଣୁ, ଆମେ ଲେଖିପାରିବା

$ 2 x+4=2 \times(x+2)=2(x+2) $

ଏହିପରି, ପ୍ରକାଶ $2 x+4$ ହେଉଛି $2(x+2)$ ସହ ସମାନ । ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମେ ଏହାର ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକୁ ପଢ଼ି ପାରିବା: ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛନ୍ତି 2 ଏବଂ $(x+2)$ । ଏହି ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକ ଅପ୍ରକାଶ୍ୟ ।

ପରବର୍ତ୍ତୀ, $5 x y+10 x$କୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର ।

$5 x y$ ଏବଂ $10 x$ର ଅପ୍ରକାଶ୍ୟ ଉତ୍ପାଦକ ରୂପଗୁଡ଼ିକ ଯଥାକ୍ରମେ,

$ \begin{aligned} & 5 x y=5 \times x \times y \\ & 10 x=2 \times 5 \times x \end{aligned} $

ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଦୁଇଟି ପଦରେ 5 ଏବଂ $x$ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ଭାବେ ଅଛି । ବର୍ତ୍ତମାନ,

$ \begin{aligned} 5 x y+10 x & =(5 \times x \times y)+(5 \times x \times 2) \\ & =(5 x \times y)+(5 x \times 2) \end{aligned} $

ଆମେ ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ବ୍ୟବହାର କରି ଦୁଇଟି ପଦକୁ ମିଶାଇବା,

$ (5 x \times y)+(5 x \times 2)=5 x \times(y+2) $

ତେଣୁ, $5 x y+10 x=5 x(y+2)$ । (ଏହା ହେଉଛି କାମନା କରାଯାଇଥିବା ଉତ୍ପାଦକ ରୂପ ।)

ଉଦାହରଣ 1 : $12 a^{2} b+15 a b^{2}$କୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର

ସମାଧାନ: ଆମ ପାଖରେ ଅଛି $12 a^{2} b=2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times b$

$ 15 a b^{2}=3 \times 5 \times a \times b \times b $

ଦୁଇଟି ପଦରେ $3, a$ ଏବଂ $b$ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ଭାବେ ଅଛି ।

ତେଣୁ,

$ \begin{aligned} 12 a^{2} b+15 a b^{2} & =(3 \times a \times b \times 2 \times 2 \times a)+(3 \times a \times b \times 5 \times b) \\ & =3 \times a \times b \times[(2 \times 2 \times a)+(5 \times b)] \quad \text{ (ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ମିଶାଇବା) } \\ & =3 a b \times(4 a+5 b) \\ & =3 a b(4 a+5 b) \quad \text{ (ଆବଶ୍ୟକ ଉତ୍ପାଦକ ରୂପ) } \end{aligned} $

ଉଦାହରଣ 2 : $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}$କୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର

ସମାଧାନ:

$ \begin{aligned} 10 x^{2} & =2 \times 5 \times x \times x \\ 18 x^{3} & =2 \times 3 \times 3 \times x \times x \times x \\ 14 x^{4} & =2 \times 7 \times x \times x \times x \times x \end{aligned} $

ତିନୋଟି ପଦର ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛନ୍ତି $2, x$ ଏବଂ $x$ ।

ତେଣୁ, $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}=(2 \times x \times x \times 5)-(2 \times x \times x \times 3 \times 3 \times x)$

$ \begin{aligned} & +(2 \times x \times x \times 7 \times x \times x) \\ = & 2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \\ = & 2 x^{2} \times(5-9 x+7 x^{2})=2 x^{2}(7 x^{2}-9 x+5) \end{aligned} $

$ =2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \text{ (ତିନୋଟି ପଦକୁ ମିଶାଇବା) } $

ତୁମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ କି ଏକ ପ୍ରକାଶର ଉତ୍ପାଦକ ରୂପରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ପଦ ଅଛି?

ଚେଷ୍ଟା କର

ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର:

(i) $12 x+36$

(ii) $22 y-33 z$

(iii) $14 p q+35 p q r$

12.2.2 ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ପୁନଃସଜ୍ଜିତ କରି ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ

ପ୍ରକାଶ $2 x y+2 y+3 x+3$ ଦେଖ । ତୁମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିବ ଯେ ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ପଦରେ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ 2 ଏବଂ $y$ ଅଛି ଏବଂ ଶେଷ ଦୁଇଟି ପଦରେ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ 3 ଅଛି । କିନ୍ତୁ ସମସ୍ତ ପଦରେ କୌଣସି ଏକକ ଉତ୍ପାଦକ ସାଧାରଣ ନାହିଁ । ଆମେ କିପରି ଆଗେଇବା?

ଆସ $(2 x y+2 y)$କୁ ଉତ୍ପାଦକ ରୂପରେ ଲେଖୁ:

ସେହିପରି,

$ \begin{aligned} 2 x y+2 y & =(2 \times x \times y)+(2 \times y) \\ & =(2 \times y \times x)+(2 \times y \times 1) \\ & =(2 y \times x)+(2 y \times 1)=2 y(x+1) \\ 3 x+3 & =(3 \times x)+(3 \times 1) \\ & =3 \times(x+1)=3(x+1) \end{aligned} $

ତେଣୁ,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1) $

ଲକ୍ଷ୍ୟ କର, ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମ ପାଖରେ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱର ଉଭୟ ପଦରେ ଏକ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ $(x+1)$ ଅଛି । ଦୁଇଟି ପଦକୁ ମିଶାଇ,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1)=(x+1)(2 y+3) $

ପ୍ରକାଶ $2 x y+2 y+3 x+3$ ବର୍ତ୍ତମାନ ଉତ୍ପାଦକର ଗୁଣଫଳ ରୂପରେ ଅଛି । ଏହାର ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛନ୍ତି $(x+1)$ ଏବଂ $(2 y+3)$ । ଧ୍ୟାନ ଦିଅ, ଏହି ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକ ଅପ୍ରକାଶ୍ୟ ।

ପୁନଃସଜ୍ଜିତ କରିବା କ’ଣ?

ଧର, ଉପରୋକ୍ତ ପ୍ରକାଶକୁ $2 x y+3+2 y+3 x$ ଭାବେ ଦିଆଯାଇଥିଲା; ତେବେ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଦେଖିବା ସହଜ ହେବ ନାହିଁ । ପ୍ରକାଶକୁ $2 x y+2 y+3 x+3$ ଭାବେ ପୁନଃବିନ୍ୟାସ କରି, ଆମକୁ $(2 x y+2 y)$ ଏବଂ $(3 x+3)$ ଗୋଷ୍ଠୀ ଗଠନ କରିବାକୁ ଅନୁମତି ଦେଇ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରେ । ଏହା ହେଉଛି ପୁନଃସଜ୍ଜିତ କରିବା ।

ପୁନଃସଜ୍ଜିତ କରିବା ଏକାଧିକ ଉପାୟରେ ସମ୍ଭବ ହୋଇପାରେ । ଧର, ଆମେ ପ୍ରକାଶକୁ ଏହିପରି ପୁନଃସଜ୍ଜିତ କରୁ: $2 x y+3 x+2 y+3$ । ଏହା ମଧ୍ୟ ଉତ୍ପାଦକ ଆଣିବ । ଆସ ଚେଷ୍ଟା କରିବା:

$ \begin{aligned} 2 x y+3 x+2 y+3 & =2 \times x \times y+3 \times x+2 \times y+3 \\ & =x \times(2 y+3)+1 \times(2 y+3) \\ & =(2 y+3)(x+1) \end{aligned} $

ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକ ସମାନ (ଯେପରି ସେମାନେ ହେବା ଉଚିତ), ଯଦିଓ ସେମାନେ ଭିନ୍ନ କ୍ରମରେ ଦେଖାଯାନ୍ତି ।

ଉଦାହରଣ 3 : $6 x y-4 y+6-9 x$କୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର ।

ସମାଧାନ:

ପଦ 1 ଯାଞ୍ଚ କର ସମସ୍ତ ପଦ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ଅଛି କି । କିଛି ନାହିଁ ।

ପଦ 2 ଗୋଷ୍ଠୀବଦ୍ଧ କରିବା ବିଷୟରେ ଚିନ୍ତା କର । ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ପଦରେ ଏକ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ $2 y$ ଅଛି;

$$ \begin{equation*} 6 x y-4 y=2 y(3 x-2) \tag{a} \end{equation*} $$

ଶେଷ ଦୁଇଟି ପଦ ବିଷୟରେ କ’ଣ? ସେମାନଙ୍କୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର । ଯଦି ତୁମେ ସେମାନଙ୍କର କ୍ରମକୁ $-9 x+6$କୁ ବଦଳାଅ, ଉତ୍ପାଦକ $(3 x-2)$ ବାହାରି ଆସିବ;

$$ \begin{align*} -9 x+6 & =-3(3 x)+3(2) \\ & =-3(3 x-2) \tag{b} \end{align*} $$

ପଦ 3 (କ) ଏବଂ (ଖ)କୁ ମିଶାଇ,

$ \begin{aligned} 6 x y-4 y+6-9 x & =6 x y-4 y-9 x+6 \\ & =2 y(3 x-2)-3(3 x-2) \\ & =(3 x-2)(2 y-3) \end{aligned} $

$(6 x y-4 y+6-9 x)$ର ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛନ୍ତି $(3 x-2)$ ଏବଂ $(2 y-3)$ ।

ଅଭ୍ୟାସ 12.1

1. ଦିଆଯାଇଥିବା ପଦଗୁଡ଼ିକର ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ଖୋଜ ।

(i) $12 x, 36$ $\quad$ (ii) $2 y, 22 x y$ $\quad$ (iii) $14 p q, 28 p^{2} q^{2}$

(iv) $2 x, 3 x^{2}, 4$ $\quad$ (v) $6 a b c, 24 a b^{2}, 12 a^{2} b$ $\quad$ (vi) $16 x^{3},-4 x^{2}, 32 x$

(vii) $10 p q, 20 q r, 30 r p$ $\quad$ (viii) $3 x^{2} y^{3}, 10 x^{3} y^{2}, 6 x^{2} y^{2} z$

2. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର । (i) $7 x-42$ $\quad$ (ii) $6 p-12 q$ $\quad$ (iii) $7 a^{2}+14 a$

(iv) $-16 z+20 z^{3}$ $\quad$ (v) $20 l^{2} m+30 a l m$ $\quad$ (vi) $5 x^{2} y-15 x y^{2}$

(vii) $10 a^{2}-15 b^{2}+20 c^{2}$ $\quad$ (viii) $-4 a^{2}+4 a b-4 c a$ $\quad$ (ix) $x^{2} y z+x y^{2} z+x y z^{2}$

(x) $a x^{2} y+b x y^{2}+c x y z$

3. ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର । (i) $x^{2}+x y+8 x+8 y$ $\quad$ (ii) $15 x y-6 x+5 y-2$ $\quad$ (iii) $a x+b x-a y-b y$

(iv) $15 p q+15+9 q+25 p$ $\quad$ (v) $z-7+7 x y-x y z$

12.2.3 ଅଭେଦ ବ୍ୟବହାର କରି ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ

ଆମେ ଜାଣୁ

$$ \begin{align*} (a+b)^{2} & =a^{2}+2 a b+b^{2} \tag{I}\\ (a-b)^{2} & =a^{2}-2 a b+b^{2} \tag{II}\\ (a+b)(a-b) & =a^{2}-b^{2} \tag{III} \end{align*} $$

ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମାଧାନ କରାଯାଇଥିବା ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ପାଇଁ ଏହି ଅଭେଦଗୁଡ଼ିକୁ କିପରି ବ୍ୟବହାର କରାଯିବ ତାହା ଦର୍ଶାଏ । ଆମେ ଯାହା କରୁ ତାହା ହେଉଛି ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରକାଶକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିବା । ଯଦି ଏହାର ଏକ ରୂପ ଅଛି ଯାହା ଅଭେଦର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱ ସହ ମେଳ ଖାଏ, ତେବେ ଅଭେଦର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ ସହ ସମ୍ପୃକ୍ତ ପ୍ରକାଶ ଇଚ୍ଛିତ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଦେଇଥାଏ ।

ଉଦାହରଣ 4 : $x^{2}+8 x+16$କୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର

ସମାଧାନ: ପ୍ରକାଶକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର; ଏହାର ତିନୋଟି ପଦ ଅଛି । ତେଣୁ, ଏହା ଅଭେଦ III ସହ ମେଳ ଖାଏ ନାହିଁ । ଆଉ, ଏହାର ପ୍ରଥମ ଏବଂ ତୃତୀୟ ପଦ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଏବଂ ମଧ୍ୟମ ପଦ ପୂର୍ବରୁ ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ଅଛି । ତେଣୁ, ଏହା $a^{2}+2 a b+b^{2}$ ରୂପରେ ଅଛି ଯେଉଁଠାରେ $a=x$ ଏବଂ $b=4$

ଯେପରିକି

$ \begin{aligned} a^{2}+2 a b+b^{2} & =x^{2}+2(x)(4)+4^{2} \\ & =x^{2}+8 x+16 \end{aligned} $

ଯେହେତୁ

$ a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}, $

ତୁଳନା କରି $x^{2}+8 x+16=(x+4)^{2}$

(ଆବଶ୍ୟକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ)

ଉଦାହରଣ 5 : $4 y^{2}-12 y+9$କୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର

ସମାଧାନ: ଲକ୍ଷ୍ୟ କର $4 y^{2}=(2 y)^{2}, 9=3^{2}$ ଏବଂ $12 y=2 \times 3 \times(2 y)$

ତେଣୁ,

$ \begin{aligned} 4 y^{2}-12 y+9 & =(2 y)^{2}-2 \times 3 \times(2 y)+(3)^{2} \\ & =(2 y-3)^{2} \quad \text{ (ଆବଶ୍ୟକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ) } \end{aligned} $

ଉଦାହରଣ 6 : $49 p^{2}-36$କୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର

ସମାଧାନ: ଦୁଇଟି ପଦ ଅଛି; ଉଭୟ ବର୍ଗ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟଟି ଋଣାତ୍ମକ । ପ୍ରକାଶଟି $(a^{2}-b^{2})$ ରୂପରେ ଅଛି । ଅଭେଦ III ଏଠାରେ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ;

$ \begin{aligned} 49 p^{2}-36 & =(7 p)^{2}-(6)^{2} \\ & =(7 p-6)(7 p+6)(\text{ ଆବଶ୍ୟକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ) } \end{aligned} $

ଉଦାହରଣ 7 : $a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}$କୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର

ସମାଧାନ: ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରକାଶର ପ୍ରଥମ ତିନୋଟି ପଦ $(a-b)^{2}$ ଗଠନ