১২.১ ভূমিকা

১২.১.১ স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ উৎপাদক

তুমি ষষ্ঠ শ্ৰেণীত উৎপাদক সম্পৰ্কে যি শিকিছিলা তাক মনত পেলোৱা। এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা, ধৰা ৩০ লোৱা হ’ল আৰু ইয়াক আন স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে লিখা হ’ল, যেনে

$ \begin{aligned} 30 & =2 \times 15 \\ & =3 \times 10=5 \times 6 \end{aligned} $

এইদৰে, ১, ২, ৩, ৫, ৬, ১০, ১৫ আৰু ৩০ হৈছে ৩০ ৰ উৎপাদক। ইয়াৰে ২, ৩ আৰু ৫ হৈছে ৩০ ৰ মৌলিক উৎপাদক (কিয়?)

এটা সংখ্যাক মৌলিক উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে লিখিলে তাক মৌলিক উৎপাদক ৰূপত বুলি কোৱা হয়; উদাহৰণস্বৰূপে, ৩০ ক $2 \times 3 \times 5$ হিচাপে লিখিলে ই মৌলিক উৎপাদক ৰূপত থাকে।

আমি জানো যে ৩০ ক এনেদৰেও লিখিব পাৰি

$ 30=1 \times 30 $

এইদৰে, ১ আৰু ৩০ ও ৩০ ৰ উৎপাদক। তুমি লক্ষ্য কৰিবা যে ১ যিকোনো সংখ্যাৰ এটা উৎপাদক। উদাহৰণস্বৰূপে, $101=1 \times 101$। অৱশ্যে, যেতিয়া আমি এটা সংখ্যাক উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে লিখো, বিশেষকৈ প্ৰয়োজন নহ’লে আমি ১ ক উৎপাদক হিচাপে নিলিখো।

৭০ ৰ মৌলিক উৎপাদক ৰূপ হৈছে $2 \times 5 \times 7$।

৯০ ৰ মৌলিক উৎপাদক ৰূপ হৈছে $2 \times 3 \times 3 \times 5$, ইত্যাদি।

এনেদৰে, আমি বীজগণিতীয় ৰাশিকো ইয়াৰ উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰো। এই অধ্যায়ত আমি এইটো কৰিবলৈ শিকিম।

১২.১.২ বীজগণিতীয় ৰাশিৰ উৎপাদক

সপ্তম শ্ৰেণীত আমি দেখিছো যে বীজগণিতীয় ৰাশিত, পদবোৰ উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে গঠিত হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, বীজগণিতীয় ৰাশি $5 x y+3 x$ ত পদ $5 x y$ টো উৎপাদক $5, x$ আৰু $y$ ৰ দ্বাৰা গঠিত হৈছে, অৰ্থাৎ,

$ 5 x y=5 \times x \times y $

লক্ষ্য কৰা যে $5 x y$ ৰ উৎপাদক ৫, $x$ আৰু $y$ ক উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে আৰু প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি। আমি ক’ব পাৰো যে ৫, $x$ আৰু $y$ হৈছে $5 x y$ ৰ ‘মৌলিক’ উৎপাদক। বীজগণিতীয় ৰাশিত, আমি ‘মৌলিক’ৰ সলনি ‘অপৰিৱৰ্তনীয়’ শব্দটো ব্যৱহাৰ কৰো। আমি কওঁ যে $5 \times x \times y$ হৈছে $5 x y$ ৰ অপৰিৱৰ্তনীয় ৰূপ। লক্ষ্য কৰা $5 \times(x y)$ হৈছে $5 x y$ ৰ অপৰিৱৰ্তনীয় ৰূপ নহয়, কাৰণ উৎপাদক $x y$ ক আৰু

লক্ষ্য কৰা ১ হৈছে $5 x y$ ৰ এটা উৎপাদক, কাৰণ

$ 5 x y=1 \times 5 \times x \times y $

প্ৰকৃততে, ১ হৈছে প্ৰতিটো পদৰ এটা উৎপাদক। স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ দৰেই, বিশেষকৈ প্ৰয়োজন নহ’লে, আমি যিকোনো পদৰ এটা পৃথক উৎপাদক হিচাপে ১ ক দেখুওৱা নাই। $x$ আৰু $y$ ৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, অৰ্থাৎ, $x y=x \times y$।

এতিয়া ৰাশি $3 x(x+2)$ টো বিবেচনা কৰা। ইয়াক উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে লিখিব পাৰি। $3, x$ আৰু $(x+2)$

$ 3 x(x+2)=3 \times x \times(x+2) $

উৎপাদক $3, x$ আৰু $(x+2)$ হৈছে $3 x(x+2)$ ৰ অপৰিৱৰ্তনীয় উৎপাদক।

এনেদৰে, ৰাশি $10 x(x+2)(y+3)$ টো ইয়াৰ অপৰিৱৰ্তনীয় উৎপাদক ৰূপত $10 x(x+2)(y+3)=2 \times 5 \times x \times(x+2) \times(y+3)$ হিচাপে প্ৰকাশ কৰা হৈছে।

১২.২ উৎপাদক বিশ্লেষণ কি?

যেতিয়া আমি এটা বীজগণিতীয় ৰাশিৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰো, আমি ইয়াক উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে লিখো। এই উৎপাদকবোৰ সংখ্যা, বীজগণিতীয় চলক বা বীজগণিতীয় ৰাশি হ’ব পাৰে।

$3 x y, 5 x^{2} y, 2 x(y+2), 5(y+1)(x+2)$ ৰ দৰে ৰাশিবোৰ ইতিমধ্যে উৎপাদক ৰূপত আছে। ইহতৰ উৎপাদকবোৰ আমি ইতিমধ্যে জনাৰ দৰে সিহতৰ পৰা পঢ়িব পাৰি।

আনহাতে $2 x+4,3 x+3 y, x^{2}+5 x, x^{2}+5 x+6$ ৰ দৰে ৰাশিবোৰ বিবেচনা কৰা। ইহতৰ উৎপাদক কি তাক স্পষ্টভাৱে দেখা নাযায়। এই ৰাশিবোৰৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাৰ অৰ্থাৎ ইহতৰ উৎপাদক বিচাৰিবলৈ আমি পদ্ধতিগত পদ্ধতি বিকশিত কৰাৰ প্ৰয়োজন। এতিয়া আমি এইটোৱেই কৰিম।

১২.২.১ সাধাৰণ উৎপাদকৰ পদ্ধতি

• আমি এটা সৰল উদাহৰণৰ সৈতে আৰম্ভ কৰো: $2 x+4$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।

আমি প্ৰতিটো পদক অপৰিৱৰ্তনীয় উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে লিখিম;

$ \begin{aligned} 2 x & =2 \times x \\ 4 & =2 \times 2 \\ 2 x+4 & =(2 \times x)+(2 \times 2) \end{aligned} $

সেয়েহে

লক্ষ্য কৰা যে উৎপাদক ২ টো দুয়োটা পদতে সাধাৰণ।

লক্ষ্য কৰা, বিতৰণ বিধিৰ দ্বাৰা

$ 2 \times(x+2)=(2 \times x)+(2 \times 2) $

সেয়েহে, আমি লিখিব পাৰো

$ 2 x+4=2 \times(x+2)=2(x+2) $

এইদৰে, ৰাশি $2 x+4$ টো $2(x+2)$ ৰ সৈতে একে। এতিয়া আমি ইয়াৰ উৎপাদকবোৰ পঢ়িব পাৰো: সেইবোৰ হৈছে ২ আৰু $(x+2)$। এই উৎপাদকবোৰ অপৰিৱৰ্তনীয়।

পৰৱৰ্তী, $5 x y+10 x$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।

$5 x y$ আৰু $10 x$ ৰ অপৰিৱৰ্তনীয় উৎপাদক ৰূপবোৰ ক্ৰমে,

$ \begin{aligned} & 5 x y=5 \times x \times y \\ & 10 x=2 \times 5 \times x \end{aligned} $

লক্ষ্য কৰা যে দুয়োটা পদৰ ৫ আৰু $x$ সাধাৰণ উৎপাদক হিচাপে আছে। এতিয়া,

$ \begin{aligned} 5 x y+10 x & =(5 \times x \times y)+(5 \times x \times 2) \\ & =(5 x \times y)+(5 x \times 2) \end{aligned} $

আমি বিতৰণ বিধি ব্যৱহাৰ কৰি দুয়োটা পদ একেলগ কৰো,

$ (5 x \times y)+(5 x \times 2)=5 x \times(y+2) $

সেয়েহে, $5 x y+10 x=5 x(y+2)$। (এইটোৱেই প্ৰয়োজনীয় উৎপাদক ৰূপ।)

উদাহৰণ ১ : $12 a^{2} b+15 a b^{2}$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা

সমাধান: আমি পাইছো $12 a^{2} b=2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times b$

$ 15 a b^{2}=3 \times 5 \times a \times b \times b $

দুয়োটা পদৰ $3, a$ আৰু $b$ সাধাৰণ উৎপাদক হিচাপে আছে।

সেয়েহে,

$ \begin{aligned} 12 a^{2} b+15 a b^{2} & =(3 \times a \times b \times 2 \times 2 \times a)+(3 \times a \times b \times 5 \times b) \\ & =3 \times a \times b \times[(2 \times 2 \times a)+(5 \times b)] \quad \text{ (পদবোৰ একেলগ কৰা) } \\ & =3 a b \times(4 a+5 b) \\ & =3 a b(4 a+5 b) \quad \text{ (প্ৰয়োজনীয় উৎপাদক ৰূপ) } \end{aligned} $

উদাহৰণ ২ : $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা

সমাধান:

$ \begin{aligned} 10 x^{2} & =2 \times 5 \times x \times x \\ 18 x^{3} & =2 \times 3 \times 3 \times x \times x \times x \\ 14 x^{4} & =2 \times 7 \times x \times x \times x \times x \end{aligned} $

তিনিটা পদৰ সাধাৰণ উৎপাদকবোৰ হৈছে $2, x$ আৰু $x$।

সেয়েহে, $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}=(2 \times x \times x \times 5)-(2 \times x \times x \times 3 \times 3 \times x)$

$ \begin{aligned} & +(2 \times x \times x \times 7 \times x \times x) \\ = & 2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \\ = & 2 x^{2} \times(5-9 x+7 x^{2})=2 x^{2}(7 x^{2}-9 x+5) \end{aligned} $

$ =2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \text{ (তিনিটা পদ একেলগ কৰা) } $

তুমি লক্ষ্য কৰিছানে যে এটা ৰাশিৰ উৎপাদক ৰূপত কেৱল এটা পদ থাকে?

চেষ্টা কৰা

উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা:

(i) $12 x+36$

(ii) $22 y-33 z$

(iii) $14 p q+35 p q r$

১২.২.২ পদবোৰ পুনৰ্গঠন কৰি উৎপাদক বিশ্লেষণ

$2 x y+2 y+3 x+3$ ৰাশিটোলৈ চোৱা। তুমি লক্ষ্য কৰিবা যে প্ৰথম দুটা পদৰ সাধাৰণ উৎপাদক ২ আৰু $y$ আৰু শেহৰ দুটা পদৰ এটা সাধাৰণ উৎপাদক ৩। কিন্তু সকলো পদতে সাধাৰণ এটা উৎপাদক নাই। আমি কেনেদৰে আগবাঢ়িম?

$(2 x y+2 y)$ ক উৎপাদক ৰূপত লিখো:

এনেদৰে,

$ \begin{aligned} 2 x y+2 y & =(2 \times x \times y)+(2 \times y) \\ & =(2 \times y \times x)+(2 \times y \times 1) \\ & =(2 y \times x)+(2 y \times 1)=2 y(x+1) \\ 3 x+3 & =(3 \times x)+(3 \times 1) \\ & =3 \times(x+1)=3(x+1) \end{aligned} $

সেয়েহে,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1) $

লক্ষ্য কৰা, এতিয়া সোঁহাতৰ ফালৰ দুয়োটা পদত এটা সাধাৰণ উৎপাদক $(x+1)$ আছে। দুয়োটা পদ একেলগ কৰি,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1)=(x+1)(2 y+3) $

ৰাশি $2 x y+2 y+3 x+3$ টো এতিয়া উৎপাদকৰ গুণফলৰ ৰূপত আছে। ইয়াৰ উৎপাদকবোৰ হৈছে $(x+1)$ আৰু $(2 y+3)$। লক্ষ্য কৰা, এই উৎপাদকবোৰ অপৰিৱৰ্তনীয়।

পুনৰ্গঠন কি?

ধৰা, ওপৰৰ ৰাশিটো $2 x y+3+2 y+3 x$ হিচাপে দিয়া আছিল; তেন্তে উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাটো সহজ নহ’ব। ৰাশিটো সজাই-পৰাই, $2 x y+2 y+3 x+3$ হিচাপে, আমাক $(2 x y+2 y)$ আৰু $(3 x+3)$ গোট গঠন কৰিবলৈ অনুমতি দিয়ে যিয়ে উৎপাদক বিশ্লেষণলৈ নিয়ে। এইটোৱেই হৈছে পুনৰ্গঠন।

পুনৰ্গঠন একাধিক ধৰণেৰে সম্ভৱ হ’ব পাৰে। ধৰা, আমি ৰাশিটো এনেদৰে পুনৰ্গঠন কৰো: $2 x y+3 x+2 y+3$। ইয়েও উৎপাদকলৈ নিব। চেষ্টা কৰো:

$ \begin{aligned} 2 x y+3 x+2 y+3 & =2 \times x \times y+3 \times x+2 \times y+3 \\ & =x \times(2 y+3)+1 \times(2 y+3) \\ & =(2 y+3)(x+1) \end{aligned} $

উৎপাদকবোৰ একেই (কাৰণ সিহত একেই হ’ব লাগিব), যদিও সিহত বেলেগ বেলেগ ক্ৰমত উপস্থিত হয়।

উদাহৰণ ৩ : $6 x y-4 y+6-9 x$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।

সমাধান:

পদক্ষেপ ১ সকলো পদৰ মাজত সাধাৰণ উৎপাদক আছে নে নাই পৰীক্ষা কৰা। কোনো নাই।

পদক্ষেপ ২ গোট কৰাৰ কথা ভাবা। লক্ষ্য কৰা যে প্ৰথম দুটা পদৰ এটা সাধাৰণ উৎপাদক $2 y$ আছে;

$$ \begin{equation*} 6 x y-4 y=2 y(3 x-2) \tag{a} \end{equation*} $$

শেহৰ দুটা পদৰ বিষয়ে কি? সিহতলৈ লক্ষ্য কৰা। যদি তুমি সিহতৰ ক্ৰম $-9 x+6$ লৈ সলনি কৰা, উৎপাদক $(3 x-2)$ ওলাই আহিব;

$$ \begin{align*} -9 x+6 & =-3(3 x)+3(2) \\ & =-3(3 x-2) \tag{b} \end{align*} $$

পদক্ষেপ ৩ (ক) আৰু (খ) একেলগ কৰি,

$ \begin{aligned} 6 x y-4 y+6-9 x & =6 x y-4 y-9 x+6 \\ & =2 y(3 x-2)-3(3 x-2) \\ & =(3 x-2)(2 y-3) \end{aligned} $

$(6 x y-4 y+6-9 x)$ ৰ উৎপাদকবোৰ হৈছে $(3 x-2)$ আৰু $(2 y-3)$।

অনুশীলনী ১২.১

১. দিয়া পদবোৰৰ সাধাৰণ উৎপাদকবোৰ নিৰ্ণয় কৰা।

(i) $12 x, 36$ $\quad$ (ii) $2 y, 22 x y$ $\quad$ (iii) $14 p q, 28 p^{2} q^{2}$

(iv) $2 x, 3 x^{2}, 4$ $\quad$ (v) $6 a b c, 24 a b^{2}, 12 a^{2} b$ $\quad$ (vi) $16 x^{3},-4 x^{2}, 32 x$

(vii) $10 p q, 20 q r, 30 r p$ $\quad$ (viii) $3 x^{2} y^{3}, 10 x^{3} y^{2}, 6 x^{2} y^{2} z$

২. তলৰ ৰাশিবোৰৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা। (i) $7 x-42$ $\quad$ (ii) $6 p-12 q$ $\quad$ (iii) $7 a^{2}+14 a$

(iv) $-16 z+20 z^{3}$ $\quad$ (v) $20 l^{2} m+30 a l m$ $\quad$ (vi) $5 x^{2} y-15 x y^{2}$

(vii) $10 a^{2}-15 b^{2}+20 c^{2}$ $\quad$ (viii) $-4 a^{2}+4 a b-4 c a$ $\quad$ (ix) $x^{2} y z+x y^{2} z+x y z^{2}$

(x) $a x^{2} y+b x y^{2}+c x y z$

৩. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা। (i) $x^{2}+x y+8 x+8 y$ $\quad$ (ii) $15 x y-6 x+5 y-2$ $\quad$ (iii) $a x+b x-a y-b y$

(iv) $15 p q+15+9 q+25 p$ $\quad$ (v) $z-7+7 x y-x y z$

১২.২.৩ অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি উৎপাদক বিশ্লেষণ

আমি জানো যে

$$ \begin{align*} (a+b)^{2} & =a^{2}+2 a b+b^{2} \tag{I}\\ (a-b)^{2} & =a^{2}-2 a b+b^{2} \tag{II}\\ (a+b)(a-b) & =a^{2}-b^{2} \tag{III} \end{align*} $$

তলৰ সমাধান কৰা উদাহৰণবোৰে উৎপাদক বিশ্লেষণৰ বাবে এই অভেদবোৰ কেনেদৰে ব্যৱহাৰ কৰিব লাগে তাক স্পষ্ট কৰে। আমি যি কৰো সেয়া হৈছে দিয়া ৰাশিটো লক্ষ্য কৰা। যদি ইয়াৰ এটা ৰূপ আছে যি অভেদবোৰৰ এটাৰ সোঁহাতৰ ফালৰ ৰূপৰ সৈতে মিলে, তেন্তে অভেদটোৰ বাঁওহাতৰ ফালৰ সৈতে মিলা ৰাশিটোৱে প্ৰয়োজনীয় উৎপাদক বিশ্লেষণ দিয়ে।

উদাহৰণ ৪ : $x^{2}+8 x+16$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা

সমাধান: ৰাশিটোলৈ লক্ষ্য কৰা; ইয়াৰ তিনিটা পদ আছে। সেয়েহে, ই অভেদ III ৰ সৈতে মিল নাখায়। লগতে, ইয়াৰ প্ৰথম আৰু তৃতীয় পদ পূৰ্ণ বৰ্গ আৰু মধ্যম পদৰ আগত ধনাত্মক চিন আছে। সেয়েহে, ই $a^{2}+2 a b+b^{2}$ ৰ ৰূপৰ য’ত $a=x$ আৰু $b=4$

যেনে

$ \begin{aligned} a^{2}+2 a b+b^{2} & =x^{2}+2(x)(4)+4^{2} \\ & =x^{2}+8 x+16 \end{aligned} $

কাৰণ

$ a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}, $

তুলনা কৰি $x^{2}+8 x+16=(x+4)^{2}$

(প্ৰয়োজনীয় উৎপাদক বিশ্লেষণ)

উদাহৰণ ৫ : $4 y^{2}-12 y+9$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা

সমাধান: লক্ষ্য কৰা $4 y^{2}=(2 y)^{2}, 9=3^{2}$ আৰু $12 y=2 \times 3 \times(2 y)$

সেয়েহে,

$ \begin{aligned} 4 y^{2}-12 y+9 & =(2 y)^{2}-2 \times 3 \times(2 y)+(3)^{2} \\ & =(2 y-3)^{2} \quad \text{ (প্ৰয়োজনীয় উৎপাদক বিশ্লেষণ) } \end{aligned} $

উদাহৰণ ৬ : $49 p^{2}-36$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা

সমাধান: দুটা পদ আছে; দুয়োটা বৰ্গ আৰু দ্বিতীয়টো ঋণাত্মক। ৰাশিটো $(a^{2}-b^{2})$ ৰ ৰূপৰ। অভেদ III ইয়াত প্ৰযোজ্য;

$ \begin{aligned} 49 p^{2}-36 & =(7 p)^{2}-(6)^{2} \\ & =(7 p-6)(7 p+6)(\text{ প্ৰয়োজনীয় উৎপাদক বিশ্লেষণ) } \end{aligned} $

উদাহৰণ ৭ : $a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা

সমাধান: দিয়া ৰাশিৰ প্ৰথম তিনিটা পদে $(a-b)^{2}$ গঠন কৰে। চতুৰ্থ পদটো এটা বৰ্গ। সেয়েহে ৰাশিটো দুটা বৰ্গৰ পাৰ্থক্যলৈ হ্ৰাস কৰিব পাৰি।

এইদৰে, $\quad a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}=(a-b)^{2}-c^{2}$

(অভেদ II প্ৰয়োগ কৰি)

$ =[(a-b)-c)((a-b)+c)] $

$ =(a-b-c)(a-b+c) \quad \text{ (প্ৰয়োজনীয় উৎপাদক বিশ্লেষণ) } $

লক্ষ্য কৰা, কেনেদৰে আমি প্ৰয়োজনীয় উৎপাদক বিশ্লেষণ পাবলৈ ক্ৰমে দুটা অভেদ প্ৰয়োগ কৰিলো।

উদাহৰণ ৮ : $m^{4}-256$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা

সমাধান: আমি লক্ষ্য কৰো

$ m^{4}=(m^{2})^{2} \text{ আৰু } 256=(16)^{2} $

এইদৰে, দিয়া ৰাশিটো অভেদ III ৰ সৈতে মিলে।

সেয়েহে,

$ \begin{aligned} m^{4}-256 & =(m^{2})^{2}-(16)^{2} \\ & =(m^{2}-16)(m^{2}+16) \quad[(\text{ অভেদ (III) ব্যৱহাৰ কৰি }] \end{aligned} $

এতিয়া, $(m^{2}+16)$ ক আৰু উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰিব নোৱাৰি, কিন্তু $(m^{2}-16)$ অভেদ III অনুসৰি আকৌ উৎপাদক বিশ্লেষণযোগ্য।

সেয়েহে,

$ \begin{aligned} m^{2}-16 & =m^{2}-4^{2} \\ & =(m-4)(m+4) \\ m^{4}-256 & =(m-4)(m+4)(m^{2}+16) \end{aligned} $

১২.২.৪ $(x+a)(x+b)$ ৰ ৰূপৰ উৎপাদক

এতিয়া আমি আলোচনা কৰো যে কেনেদৰে আমি এটা চলকত থকা ৰাশি, যেনে $x^{2}+5 x+6$, $y^{2}-7 y+12, z^{2}-4 z-12,3 m^{2}+9 m+6$, আদিৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰিব পাৰো। লক্ষ্য কৰা যে এই ৰাশিবোৰ $(a+b)^{2}$ বা $(a-b)^{2}$ ৰ ধৰণৰ নহয়, অৰ্থাৎ, সিহত পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়। উদাহৰণস্বৰূপে, $x^{2}+5 x+6$ ত, পদ ৬ টো পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়। এই ৰাশিবোৰে স্পষ্টভাৱে $(a^{2}-b^{2})$ ৰ ধৰণৰ সৈতেও মিল নাখায়।

তথাপিও, সিহত $x^{2}+(a+b) x+a b$ ৰ ধৰণৰ যেন লাগে। সেয়েহে, আমি গত অধ্যায়ত অধ্যয়ন কৰা অভেদ IV ব্যৱহাৰ কৰি এই ৰাশিবোৰৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰিব পাৰো:

$$ \begin{equation*} (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b \tag{IV} \end{equation*} $$

তাৰ বাবে আমি $x$ ৰ সহগ আৰু ধ্ৰুৱক পদটোলৈ চাব লাগিব। তলৰ উদাহৰণত কেনেদৰে কৰা হয় চাওঁ আহা।

উদাহৰণ ৯ : $x^{2}+5 x+6$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা

সমাধান: যদি আমি অভেদ (IV) ৰ সোঁহাতৰ ফাল $x^{2}+5 x+6$ ৰ সৈতে তুলনা কৰো, আমি পাইছো $a b=6$, আৰু $a+b=5$। ইয়াৰ পৰা, আমি $a$ আৰু $b$ পাব লাগিব। তেতিয়া উৎপাদকবোৰ হ’ব $(x+a)$ আৰু $(x+b)$।

যদি $a b=6$, ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে $a$ আৰু $b$ হৈছে ৬ ৰ উৎপাদক। $a=6, b=1$ চেষ্টা কৰো। এই মানবোৰৰ বাবে $a+b=7$, আৰু ৫ নহয়, সেয়েহে এই বাছনি শুদ্ধ নহয়।

$a=2, b=3$ চেষ্টা কৰো। ইয়াৰ বাবে $a+b=5$ হুবহু প্ৰয়োজনীয় ধৰণে।

দিয়া ৰাশিৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ ৰূপ তেতিয়া $(x+2)(x+3)$।

সাধাৰণতে, $x^{2}+p x+q$ ৰ ধৰণৰ বীজগণিতীয় ৰাশিৰ উৎপাদক বিশ্লেষণৰ বাবে, আমি $q$ (অৰ্থাৎ ধ্ৰুৱক পদ) ৰ দুটা উৎপাদক $a$ আৰু $b$ বিচাৰো যেনে

$ a b=q \quad \text{ আৰু } \quad a+b=p $

তেতিয়া, ৰাশিটো হয় $\quad x^{2}+(a+b) x+a b$

বা

$x^{2}+a x+b x+a b$

বা

$x(x+a)+b(x+a)$

বা

$(x+a)(x+b) \quad$ যিবোৰ প্ৰয়োজনীয় উৎপাদক।

উদাহৰণ ১০ : $y^{2}-7 y+12$ ৰ উৎপাদকবোৰ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান: আমি লক্ষ্য কৰো $12=3 \times 4$ আৰু $3+4=7$। সেয়েহে,

$ \begin{aligned} y^{2}-7 y+12 & =y^{2}-3 y-4 y+12 \\ & =y(y-3)-4(y-3)=(y-3)(y-4) \end{aligned} $

লক্ষ্য কৰা, এইবাৰ আমি $a$ আৰু $b$ চিনাক্ত কৰিবলৈ অভেদ (IV) ৰ সৈতে ৰাশিটো তুলনা কৰা নাই। পৰ্যাপ্ত অনুশীলনৰ পিছত তুমি উৎপাদক বিশ্লেষণৰ বাবে দিয়া ৰাশিবোৰক অভেদবোৰত থকা ৰাশিৰ সৈতে তুলনা নকৰাকৈয়ে ওপৰত কৰাৰ দৰে পোনপটীয়াকৈ আগবাঢ়িব পাৰা।

উদাহৰণ ১১ : $z^{2}-4 z-12$ ৰ উৎপাদকবোৰ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান: ইয়াত $a b=-12$; ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে $a$ আৰু $b$ ৰ এটা ঋণাত্মক। আৰু, $a+b=-4$, ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে সংখ্যাগত মান ডাঙৰটো ঋণাত্মক। আমি $a=-4, b=3$ চেষ্টা কৰো; কিন্তু এইটোৱে কাম নকৰিব, কাৰণ $a+b=-1$। পৰৱৰ্তী সম্ভাৱ্য মানবোৰ হৈছে $a=-6, b=2$, যাতে $a+b=-4$ প্ৰয়োজনীয় ধৰণে।

সেয়েহে,

$ \begin{aligned} z^{2}-4 z-12 & =z^{2}-6 z+2 z-12 \\ & =z(z-6)+2(z-6) \\ & =(z-6)(z+2) \end{aligned} $

উদাহৰণ ১২ : $3 m^{2}+9 m+6$ ৰ উৎপাদকবোৰ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান: আমি লক্ষ্য কৰো যে ৩ হৈছে সকলো পদৰ এটা সাধাৰণ উৎপাদক।

সেয়েহে,

$$ \begin{align*} 3 m^{2}+9 m+6 & =3(m^{2}+3 m+2) \\ m^{2}+3 m+2 & =m^{2}+m+2 m+2 \\ & =m(m+1)+2(m+1) \\ & =(m+1)(m+2) \end{align*} $$

এতিয়া,

সেয়েহে,

$ 3 m^{2}+9 m+6=3(m+1)(m+2) $

অনুশীলনী ১২.২

১. তলৰ ৰাশিবোৰৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।

(i) $a^{2}+8 a+16$ $\quad$ (ii) $p^{2}-10 p+25$ $\quad$ (iii) $25 m^{2}+30 m+9$

(iv) $49 y^{2}+84 y z+36 z^{2}$ $\quad$ (v) $4 x^{2}-8 x+4$ $\quad$ (vi) $121 b^{2}-88 b c+16 c^{2}$

(vii) $(l+m)^{2}-4 l m$ $\quad$ (ইংগিত: প্ৰথমে $(l+m)^{2}$ বিস্তাৰ কৰা) $\quad$ (viii) $a^{4}+2 a^{2} b^{2}+b^{4}$

২. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।

(i) $4 p^{2}-9 q^{2}$ $\quad$ (ii) $63 a^{2}-112 b^{2}$ $\quad$ (iii) $49 x^{2}-36$

(iv) $16 x^{5}-144 x^{3}$ $\quad$ (v) $(l+m)^{2}-(l-m)^{2}$ $\quad$ (vi) $9 x^{2} y^{2}-16$

(vii) $(x^{2}-2 x y+y^{2})-z^{2}$ $\quad$ (viii) $25 a^{2}-4 b^{2}+28 b c-49 c^{2}$

৩. ৰাশিবোৰৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।

(i) $a x^{2}+b x$ $\quad$ (ii) $7 p^{2}+21 q^{2}$ $\quad$ (iii) $2 x^{3}+2 x y^{2}+2 x z^{2}$

(iv) $a m^{2}+b m^{2}+b n^{2}+a n^{2}$ $\quad$ (v) $(l m+l)+m+1$ $\quad$ (vi) $y(y+z)+9(y+z)$

(vii) $5 y^{2}-20 y-8 z+2 y z$ $\quad$ (viii) $10 a b+4 a+5 b+2$ $\quad$ (ix) $6 x y-4 y+6-9 x$

৪. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।

(i) $a^{4}-b^{4}$ $\quad$ (iv) $x^{4}-(x-z)^{4}$ $\quad$ (ii) $p^{4}-81$

(v) $a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}$ $\quad$ (iii) $x^{4}-(y+z)^{4}$

৫. তলৰ ৰাশিবোৰৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।

(i) $p^{2}+6 p+8$ $\quad$ (ii) $q^{2}-10 q+21$ $\quad$ (iii) $p^{2}+6 p-16$

১২.৩ বীজগণিতীয় ৰাশিৰ হৰণ

বীজগণিতীয় ৰাশি কেনেদৰে যোগ আৰু বিয়োগ কৰিব লাগে আমি শিকিছো। আমি দুটা ৰাশি কেনেদৰে পূৰণ কৰিব লাগে তাকো জানো। অৱশ্যে, এটা বীজগণিতীয় ৰাশিক আন এটাৰে হৰণ কৰাটো আমি চোৱা নাই। এই অংশত আমি এইটোৱেই কৰিব বিচাৰো।

আমি মনত পেলাও যে হৰণ হৈছে পূৰণৰ বিপৰীত ক্ৰিয়া। এইদৰে, $7 \times 8=56$ ৰ পৰা পোৱা যায় $56 \div 8=7$ বা $56 \div 7=8$।

আমি বীজগণিতীয় ৰাশিৰ হৰণো একেদৰে অনুসৰণ কৰিব পাৰো। উদাহৰণস্বৰূপে,

(i)

$ \begin{aligned} 2 x \times 3 x^{2} & =6 x^{3} \\ 6 x^{3} \div 2 x & =3 x^{2} \\ 6 x^{3} \div 3 x^{2} & =2 x \end{aligned} $

সেয়েহে,

আৰু লগতে,

(ii)

$ 5 x(x+4)=5 x^{2}+20 x $

সেয়েহে, $(5 x^{2}+20 x) \div 5 x=x+4$

আৰু লগতে

$ (5 x^{2}+20 x) \div(x+4)=5 x $

এতিয়া আমি কাষকৈ চাম যে কেনেদৰে এটা ৰাশিক আন এটাৰে হৰণ কৰিব পাৰি। আৰম্ভণিতে আমি এটা একপদ ৰাশিক আন এটা একপদ ৰাশিৰে হৰণ কৰাটো বিবেচনা কৰিম।

১২.৩.১ এটা একপদ ৰাশিক আন এটা একপদ ৰাশিৰে হৰণ

$6 x^{3} \div 2 x$ বিবেচনা কৰা

আমি $2 x$ আৰু $6 x^{3}$ ক অপৰিৱৰ্তনীয় উৎপাদক ৰূপত লিখিব পাৰো,

$ \begin{aligned} 2 x & =2 \times x \\ 6 x^{3} & =2 \times 3 \times x \times x \times x \end{aligned} $

এতিয়া আমি $6 x^{3}$ ৰ উৎপাদকবোৰ $2 x$ পৃথক কৰিবলৈ গোট কৰো,

সেয়েহে,

$ 6 x^{3}=2 \times x \times(3 \times x \times x)=(2 x) \times(3 x^{2}) $

$