1. పరిచయం

మునుపటి అధ్యాయాలలో మీరు డేటా సమూహం నుండి సారాంశ కొలతలను మరియు ఇలాంటి వేరియబుల్స్ మధ్య మార్పులను ఎలా నిర్మించాలో నేర్చుకున్నారు. ఇప్పుడు మీరు రెండు వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధాన్ని ఎలా పరిశీలించాలో నేర్చుకుంటారు. వేసవి ఉష్ణోగ్రత పెరిగేకొద్దీ, పర్వతప్రదేశాలు, ఎక్కువ మంది సందర్శకులతో నిండిపోతాయి. ఐస్ క్రీమ్ అమ్మకాలు మరింత చురుకుగా మారతాయి. అందువల్ల, ఉష్ణోగ్రత సందర్శకుల సంఖ్య మరియు ఐస్ క్రీమ్ల అమ్మకాలకు సంబంధించినది. అదేవిధంగా, మీ స్థానిక మండిలో టమోటాల సరఫరా పెరిగినప్పుడు, దాని ధర తగ్గుతుంది. స్థానిక పంట మార్కెట్లోకి చేరడం ప్రారంభించినప్పుడు, టమోటాల ధర కిలోకు రూ. 40 నుండి రూ. 4 కి లేదా అంతకంటే తక్కువగా పడిపోతుంది. అందువల్ల సరఫరా ధరకు సంబంధించినది. సహసంబంధ విశ్లేషణ అటువంటి సంబంధాలను క్రమబద్ధంగా పరిశీలించే మార్గం. ఇది ఈ క్రింది ప్రశ్నలతో వ్యవహరిస్తుంది:

• రెండు వేరియబుల్స్ మధ్య ఏదైనా సంబంధం ఉందా?

• ఒక వేరియబుల్ విలువ మారినట్లయితే, మరొక వేరియబుల్ విలువ కూడా మారుతుందా?

• రెండు వేరియబుల్స్ కూడా ఒకే దిశలో కదులుతాయా?

• సంబంధం ఎంత బలంగా ఉంది?

2. సంబంధం రకాలు

వివిధ రకాల సంబంధాలను చూద్దాం. ఒక వస్తువు యొక్క డిమాండ్ చేయబడిన పరిమాణం మరియు ధరలోని కదలికల మధ్య సంబంధం డిమాండ్ సిద్ధాంతం యొక్క అవిభాజ్య భాగం, దానిని మీరు క్లాస్ XII లో అధ్యయనం చేస్తారు. తక్కువ వ్యవసాయ ఉత్పాదకత తక్కువ వర్షపాతానికి సంబంధించినది. సంబంధం యొక్క అటువంటి ఉదాహరణలకు కారణం మరియు ప్రభావ వివరణ ఇవ్వవచ్చు. ఇతరులు కేవలం యాదృచ్ఛికం కావచ్చు. ఒక అభయారణ్యంలో వలస పక్షుల రాక మరియు ఆ ప్రాంతంలో జనన రేట్ల మధ్య సంబంధానికి ఏదైనా కారణం మరియు ప్రభావ వివరణ ఇవ్వలేము. సంబంధాలు సాధారణ యాదృచ్ఛికం. షూల పరిమాణం మరియు మీ జేబులోని డబ్బు మధ్య సంబంధం మరొక అటువంటి ఉదాహరణ. సంబంధాలు ఉన్నప్పటికీ, వాటిని వివరించడం కష్టం.

మరొక సందర్భంలో, రెండు వేరియబుల్స్పై మూడవ వేరియబుల్ ప్రభావం ఆ రెండు వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధాన్ని కలిగిస్తుంది. ఐస్ క్రీమ్ల బిసినెస్ అమ్మకం మునిగిపోవడం వల్ల మరణాల సంఖ్యకు సంబంధించి ఉండవచ్చు. ఐస్ క్రీమ్లు తినడం వల్ల బాధితులు మునిగిపోరు. పెరిగే ఉష్ణోగ్రత ఐస్ క్రీమ్ల బిసినెస్ అమ్మకానికి దారి తీస్తుంది. అంతేకాకుండా, ఎక్కువ మంది ప్రజలు వేడిని ఓడించడానికి స్విమ్మింగ్ పూల్కి వెళ్లడం ప్రారంభిస్తారు. ఇది మునిగిపోవడం వల్ల మరణాల సంఖ్యను పెంచి ఉండవచ్చు. అందువల్ల, ఐస్ క్రీమ్ల అమ్మకం మరియు మునిగిపోవడం వల్ల మరణాల మధ్య అధిక సహసంబంధం వెనుక ఉష్ణోగ్రత ఉంది.

సహసంబంధం ఏమి కొలుస్తుంది?

సహసంబంధం వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధం యొక్క దిశ మరియు తీవ్రతను అధ్యయనం చేస్తుంది మరియు కొలుస్తుంది. సహసంబంధం సహవిచరణను కొలుస్తుంది, కారణాన్ని కాదు. సహసంబంధాన్ని ఎప్పటికీ కారణం మరియు ప్రభావ సంబంధాన్ని సూచిస్తుందని అర్థం చేసుకోకూడదు. రెండు వేరియబుల్స్ $\mathrm{X}$ మరియు Y మధ్య సహసంబంధం ఉనికి కేవలం ఒక వేరియబుల్ విలువ ఒక దిశలో మారినట్లు కనుగొనబడినప్పుడు, మరొక వేరియబుల్ విలువ కూడా ఒకే దిశలో (అనగా సానుకూల మార్పు) లేదా వ్యతిరేక దిశలో (అనగా ప్రతికూల మార్పు) మారినట్లు కనుగొనబడుతుంది, కానీ ఖచ్చితమైన మార్గంలో. సరళత కోసం మేము ఇక్కడ సహసంబంధం, అది ఉన్నట్లయితే, సరళమైనది అని భావిస్తాము, అనగా రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క సాపేక్ష కదలికను గ్రాఫ్ పేపర్పై సరళ రేఖను గీయడం ద్వారా సూచించవచ్చు.

సహసంబంధం రకాలు

సహసంబంధం సాధారణంగా ప్రతికూల మరియు సానుకూల సహసంబంధంగా వర్గీకరించబడుతుంది. వేరియబుల్స్ ఒకే దిశలో కలిసి కదులుతున్నప్పుడు సహసంబంధం సానుకూలంగా ఉంటుంది. ఆదాయం పెరిగినప్పుడు, వినియోగం కూడా పెరుగుతుంది. ఆదాయం తగ్గినప్పుడు, వినియోగం కూడా తగ్గుతుంది. ఐస్ క్రీమ్ అమ్మకం మరియు ఉష్ణోగ్రత ఒకే దిశలో కదులుతాయి. అవి వ్యతిరేక దిశలో కదులుతున్నప్పుడు సహసంబంధం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ఆపిల్ ధర పడిపోయినప్పుడు దాని డిమాండ్ పెరుగుతుంది. ధరలు పెరిగినప్పుడు దాని డిమాండ్ తగ్గుతుంది. మీరు చదవడంలో ఎక్కువ సమయం గడిపినప్పుడు, మీరు ఫెయిల్ అయ్యే అవకాశాలు తగ్గుతాయి. మీరు మీ చదువులో తక్కువ గంటలు గడిపినప్పుడు, తక్కువ మార్కులు/గ్రేడ్లు సాధించే అవకాశాలు పెరుగుతాయి. ఇవి ప్రతికూల సహసంబంధం యొక్క ఉదాహరణలు. వేరియబుల్స్ వ్యతిరేక దిశలో కదులుతాయి.

3. సహసంబంధాన్ని కొలిచే పద్ధతులు

సహసంబంధాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి ఉపయోగించే మూడు ముఖ్యమైన సాధనాలు స్కాటర్ డయాగ్రమ్లు, కార్ల్ పియర్సన్ యొక్క సహసంబంధ గుణకం మరియు స్పియర్మన్ యొక్క ర్యాంక్ సహసంబంధం. స్కాటర్ డయాగ్రం ఏదైనా నిర్దిష్ట సంఖ్యా విలువను ఇవ్వకుండా అసోసియేషన్ స్వభావాన్ని దృశ్యమానంగా ప్రదర్శిస్తుంది. రెండు వేరియబుల్స్ మధ్య సరళ సంబంధం యొక్క సంఖ్యా కొలత కార్ల్ పియర్సన్ యొక్క సహసంబంధ గుణకం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. ఒక సంబంధాన్ని సరళ రేఖ ద్వారా సూచించగలిగితే అది సరళంగా చెప్పబడుతుంది. స్పియర్మన్ యొక్క సహసంబంధ గుణకం వ్యక్తిగత వస్తువులకు వాటి లక్షణాల ప్రకారం కేటాయించబడిన ర్యాంకుల మధ్య సరళ అసోసియేషన్ను కొలుస్తుంది. లక్షణాలు అనేవి సంఖ్యాపరంగా కొలవలేని వేరియబుల్స్, ఉదాహరణకు ప్రజల బుద్ధి, భౌతిక రూపం, నిజాయితీ మొదలైనవి.

స్కాటర్ డయాగ్రం

స్కాటర్ డయాగ్రం ఏదైనా సంఖ్యా విలువను లెక్కించకుండా, దృశ్యమానంగా సంబంధం యొక్క రూపాన్ని పరిశీలించడానికి ఉపయోగకరమైన పద్ధతి. ఈ పద్ధతిలో, రెండు వేరియబుల్స్ విలువలు గ్రాఫ్ పేపర్పై పాయింట్లుగా ప్లాట్ చేయబడతాయి. స్కాటర్ డయాగ్రం నుండి, ఒకరు సంబంధం యొక్క స్వభావం గురించి చాలా మంచి ఆలోచన పొందవచ్చు. స్కాటర్ డయాగ్రంలో స్కాటర్ పాయింట్ల దగ్గరికి మరియు వాటి మొత్తం దిశ యొక్క సామీప్యం మాకు సంబంధాన్ని పరిశీలించడానికి అనుమతిస్తుంది. అన్ని పాయింట్లు ఒక రేఖపై ఉంటే, సహసంబంధం పరిపూర్ణంగా ఉంటుంది మరియు ఏకత్వంలో ఉందని చెప్పబడుతుంది. స్కాటర్ పాయింట్లు రేఖ చుట్టూ విస్తృతంగా చెదరగొట్టబడితే, సహసంబంధం తక్కువగా ఉంటుంది. స్కాటర్ పాయింట్లు ఒక రేఖ దగ్గర లేదా రేఖపై ఉంటే సహసంబంధం సరళంగా ఉంటుంది.

Fig. 6.1 నుండి Fig. 6.5 వరకు విస్తరించిన స్కాటర్ డయాగ్రమ్లు రెండు వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధం గురించి మాకు ఒక ఆలోచనను ఇస్తాయి. Fig. 6.1 వేరియబుల్స్ యొక్క కదలికను ఒకే దిశలో సూచించే పైకి లేచే రేఖ చుట్టూ ఒక స్కాటర్ను చూపుతుంది. $\mathrm{X}$ పెరిగినప్పుడు $\mathrm{Y}$ కూడా పెరుగుతుంది. ఇది సానుకూల సహసంబంధం. Fig. 6.2 లో పాయింట్లు క్రిందికి వాలు గల రేఖ చుట్టూ చెదరగొట్టబడినట్లు కనుగొనబడ్డాయి. ఈసారి వేరియబుల్స్ వ్యతిరేక దిశలో కదులుతాయి. $\mathrm{X}$ పెరిగినప్పుడు $\mathrm{Y}$ పడిపోతుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా. ఇది ప్రతికూల సహసంబంధం. Fig.6.3 లో పాయింట్లు చెదరగొట్టబడిన పైకి లేచే లేదా క్రిందికి వాలు గల రేఖ లేదు. ఇది సహసంబంధం లేని ఉదాహరణ. Fig. 6.4 మరియు Fig. 6.5 లో, పాయింట్లు ఇకపై పైకి లేచే లేదా క్రిందికి పడే రేఖ చుట్టూ చెదరగొట్టబడవు. పాయింట్లు తమను తాము రేఖలపై ఉంచుకుంటాయి. దీనిని వరుసగా పరిపూర్ణ సానుకూల సహసంబంధం మరియు పరిపూర్ణ ప్రతికూల సహసంబంధం అని సూచిస్తారు.

కృత్యం

• మీ తరగతిలోని విద్యార్థుల ఎత్తు, బరువు మరియు క్లాస్ $X$ లోని ఏదైనా రెండు సబ్జెక్టులలో సాధించిన మార్కుల డేటాను సేకరించండి. ఒక సమయంలో రెండు తీసుకొని ఈ వేరియబుల్స్ యొక్క స్కాటర్ డయాగ్రాన్ని గీయండి. మీరు ఏ రకమైన సంబంధాన్ని కనుగొంటారు?

స్కాటర్ డయాగ్రం యొక్క జాగ్రత్తగా గమనించడం వల్ల సంబంధం యొక్క స్వభావం మరియు తీవ్రత గురించి ఒక ఆలోచన వస్తుంది.

కార్ల్ పియర్సన్ యొక్క సహసంబంధ గుణకం

ఇది ప్రొడక్ట్ మొమెంట్ కొరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ లేదా సింపుల్ కొరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ అని కూడా పిలువబడుతుంది. ఇది రెండు వేరియబుల్స్ $\mathrm{X}$ మరియు $Y$ మధ్య సరళ సంబంధం యొక్క డిగ్రీకి ఖచ్చితమైన సంఖ్యా విలువను ఇస్తుంది.

వేరియబుల్స్ మధ్య సరళ సంబంధం ఉన్నప్పుడు మాత్రమే కార్ల్ పియర్సన్ యొక్క సహసంబంధ గుణకం ఉపయోగించబడాలని గమనించడం ముఖ్యం. $\mathrm{X}$ మరియు $\mathrm{Y}$ మధ్య సరళేతర సంబంధం ఉన్నప్పుడు, కార్ల్ పియర్సన్ యొక్క సహసంబంధ గుణకాన్ని లెక్కించడం తప్పుదారి పట్టించవచ్చు. అందువల్ల, స్కాటర్ డయాగ్రమ్లలో చూపిన విధంగా నిజమైన సంబంధం సరళ రకం అయితే figures 6.1 , $6.2,6.4$ మరియు 6.5 , అప్పుడు కార్ల్ పియర్సన్ యొక్క సహసంబంధ గుణకం లెక్కించబడాలి మరియు అది వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధం యొక్క దిశ మరియు తీవ్రతను మాకు తెలియజేస్తుంది. కానీ నిజమైన సంబంధం Figures 6.6 లేదా 6.7 లోని స్కాటర్ డయాగ్రమ్లలో చూపిన రకం అయితే, అప్పుడు $\mathrm{X}$ మరియు $\mathrm{Y}$ మధ్య సరళేతర సంబంధం ఉందని అర్థం మరియు మేము కార్ల్ పియర్సన్ యొక్క సహసంబంధ గుణకాన్ని ఉపయోగించడానికి ప్రయత్నించకూడదు.

కాబట్టి, కార్ల్ పియర్సన్ యొక్క సహసంబంధ గుణకాన్ని లెక్కించే ముందు వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధం యొక్క స్కాటర్ డయాగ్రాన్ని మొదట పరిశీలించడం మంచిది.

$X _{1}, X _{2}, \ldots, X _{N}$ ను $N$ విలువలు $X$ మరియు $\mathrm{Y} _{1}, \mathrm{Y} _{2}, \ldots, \mathrm{Y} _{\mathrm{N}}$ గా ఉండనివ్వండి Y యొక్క సంబంధిత విలువలుగా ఉండనివ్వండి. తదుపరి ప్రదర్శనలలో, సరళత కోసం యూనిట్ను సూచించే సబ్స్క్రిప్ట్లు వదిలివేయబడతాయి. $\mathrm{X}$ మరియు $\mathrm{Y}$ యొక్క అంకగణిత సగటులు ఇలా నిర్వచించబడ్డాయి

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}} ; \quad \overline{\mathrm{Y}}=\frac{\sum \mathrm{Y}}{\mathrm{N}} $$

మరియు వాటి వైవిధ్యాలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి

$$ \sigma^{2} x=\frac{\sum(X-\bar{X})^{2}}{N}=\frac{\sum X^{2}}{N}-\bar{X}^{2} $$

మరియు $$\quad \sigma^{2} \mathrm{y}=\frac{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}{\mathrm{~N}}=\frac{\sum \mathrm{Y}^{2}}{\mathrm{~N}}-\overline{\mathrm{Y}}^{2}$$

$\mathrm{X}$ మరియు $\mathrm{Y}$ యొక్క ప్రామాణిక విచలనాలు, వరుసగా, వాటి వైవిధ్యాల యొక్క సానుకూల వర్గమూలాలు. $\mathrm{X}$ మరియు $\mathrm{Y}$ యొక్క సహవిచరణ ఇలా నిర్వచించబడింది

$\operatorname{Cov}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\mathrm{N}}=\frac{\sum \mathrm{xy}}{\mathrm{N}}$

ఇక్కడ $\mathrm{x}=\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}}$ మరియు $\mathrm{y}=\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}}$ వరుసగా $i^{\text {th }}$ విలువ $\mathrm{X}$ మరియు $\mathrm{Y}$ యొక్క వాటి సగటు విలువల నుండి విచలనాలు.

$\mathrm{X}$ మరియు $\mathrm{Y}$ మధ్య సహవిచరణ యొక్క సంకేతం సహసంబంధ గుణకం యొక్క సంకేతాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. ప్రామాణిక విచలనాలు ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటాయి. సహవిచరణ సున్నా అయితే, సహసంబంధ గుణకం ఎల్లప్పుడూ సున్నా అవుతుంది. ప్రొడక్ట్ మొమెంట్ కొరిలేషన్ లేదా కార్ల్ పియర్సన్ యొక్క సహసంబంధ కొలత ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}={ }^{\Sigma \mathrm{xy}} / N \sigma _{\mathrm{x}} \sigma _{\mathrm{y}} \tag{1} \end{equation*} $$

లేదా

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\sqrt{\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}} \sqrt{\Sigma(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}} \tag{2} \end{equation*} $$

లేదా

$$ \begin{equation*} r=\frac{\frac{\sum X Y-\left(\sum X\right)\left(\sum Y\right)}{N}}{\sqrt{\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}} \sqrt{\sum Y^{2}-\frac{\left(\sum Y\right)^{2}}{N}}}\tag{3} \end{equation*} $$

లేదా

$$ \begin{equation*} r=\frac{N \sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{N \sum X^2-(\sum X)^2} \cdot \sqrt{N \sum Y^2-(\sum Y)^2}}\tag{4} \end{equation*} $$

సహసంబంధ గుణకం యొక్క లక్షణాలు

ఇప్పుడు సహసంబంధ గుణకం యొక్క లక్షణాలను చర్చిద్దాం

• $r$ కు యూనిట్ లేదు. ఇది శుద్ధ సంఖ్య. దీని అర్థం కొలత యూనిట్లు $r$లో భాగం కావు. ఉదాహరణకు, అడుగులలో ఎత్తు మరియు కిలోగ్రాములలో బరువు మధ్య $r$ 0.7 అని చెప్పవచ్చు.
• $r$ యొక్క ప్రతికూల విలువ విలోమ సంబంధాన్ని సూచిస్తుంది. ఒక వేరియబుల్లో మార్పు మరొక వేరియబుల్లో వ్యతిరేక దిశలో మార్పుతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. ఒక వస్తువు ధర పెరిగినప్పుడు, దాని డిమాండ్ తగ్గుతుంది. వడ్డీ రేటు పెరిగినప్పుడు ఫండ్ల డిమాండ్ కూడా తగ్గుతుంది. ఇప్పుడు ఫండ్లు ఖరీదైనవి కాబట్టి ఇది జరుగుతుంది.
• $r$ సానుకూలంగా ఉంటే రెండు వేరియబుల్స్ ఒకే దిశలో కదులుతాయి. టీకి ప్రత్యామ్నాయమైన కాఫీ ధర పెరిగినప్పుడు టీ డిమాండ్ కూడా పెరుగుతుంది. నీటిపారుదల సౌకర్యాల మెరుగుదల అధిక దిగుబడికి సంబంధించినది. ఉష్ణోగ్రత పెరిగినప్పుడు ఐస్ క్రీమ్ల అమ్మకాలు బిసినెస్ అవుతాయి.

• సహసంబంధ గుణకం విలువ మైనస్ వన్ మరియు ప్లస్ వన్ మధ్య ఉంటుంది, $-1 \leq r \leq 1$. ఏదైనా వ్యాయామంలో, $r$ విలువ ఈ పరిధికి వెలుపల ఉంటే అది లెక్కలలో లోపాన్ని సూచిస్తుంది.
• $r$ యొక్క పరిమాణం మూలం మార్పు మరియు స్కేల్ మార్పు ద్వారా ప్రభావితం కాదు. రెండు వేరియబుల్స్ $\mathrm{X}$ మరియు $\mathrm{Y}$ ఇవ్వబడ్డాయి, రెండు కొత్త వేరియబుల్స్ను నిర్వచిద్దాం.

$\mathrm{U}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{B}} ; \mathrm{V}=\frac{\mathrm{Y}-\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$

ఇక్కడ $A$ మరియు $C$ వరుసగా $\mathrm{X}$ మరియు $\mathrm{Y}$ యొక్క ఊహించబడిన సగటులు. $\mathrm{B}$ మరియు $\mathrm{D}$ సాధారణ కారకాలు మరియు ఒకే సంకేతం. అప్పుడు

$r _{x y}=r _{u v}$

ఈ లక్షణం స్టెప్ డీవియేషన్ పద్ధతిలో వలె, అత్యంత సరళీకృత పద్ధతిలో సహసంబంధ గుణకాన్ని లెక్కించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

• $r=0$ అయితే రెండు వేరియబుల్స్ అసంబద్ధంగా ఉంటాయి. వాటి మధ్య సరళ సంబంధం లేదు. అయితే ఇతర రకాల సంబంధాలు ఉండవచ్చు.
• $r=1$ లేదా $r=-1$ అయితే సహసంబంధం పరిపూర్ణంగా ఉంటుంది మరియు ఖచ్చితమైన సరళ సంబంధం ఉంటుంది.
• $r$ యొక్క అధిక విలువ బలమైన సరళ సంబంధాన్ని సూచిస్తుంది. ఇది +1 లేదా -1 కి దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు దాని విలువ అధికంగా ఉంటుంది.
• $r$ యొక్క తక్కువ విలువ (సున్నాకి దగ్గరగా) బలహీనమైన సరళ సంబంధాన్ని సూచిస్తుంది. కానీ సరళేతర సంబంధం ఉండవచ్చు.

మీరు చాప్టర్ 1 లో చదివినట్లుగా, గణాంక పద్ధతులు కామన్ సెన్స్కి ప్రత్యామ్నాయం కావు. ఇక్కడ, మరొక ఉదాహరణ ఉంది, ఇది సహసంబంధం లెక్కించబడి వివరించబడే ముందు డేటాను సరిగ్గా అర్థం చేసుకోవాల్సిన అవసరాన్ని హైలైట్ చేస్తుంది. ఒక మహమ్మారి కొన్ని గ్రామాలలో వ్యాపిస్తుంది మరియు ప్రభుత్వం బాధిత గ్రామాలకు వైద్యుల బృందాన్ని పంపుతుంది. మరణాల సంఖ్య మరియు గ్రామాలకు పంపబడిన వైద్యుల సంఖ్య మధ్య సహసంబంధం సానుకూలంగా ఉందని కనుగొనబడింది. సాధారణంగా, వైద్యులు అందించే ఆరోగ్య సంరక్షణ సౌకర్యాలు ప్రతికూల సహసంబంధాన్ని చూపుతూ మరణాల సంఖ్యను తగ్గించాలని భావిస్తారు. ఇది ఇతర కారణాల వల్ల జరిగింది. డేటా ఒక నిర్దిష్ట కాలానికి సంబంధించినది. నివే