1. പരിചയം

മുമ്പത്തെ അദ്ധ്യായങ്ങളിൽ ഒരു കൂട്ടം ഡാറ്റയിൽ നിന്നും സമാനമായ ചരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള മാറ്റങ്ങളിൽ നിന്നും സംഗ്രഹ അളവുകൾ എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിച്ചു. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ രണ്ട് ചരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം എങ്ങനെ പരിശോധിക്കാമെന്ന് പഠിക്കും. വേനൽക്കാല ചൂട് കൂടുന്തോറും, പർവത റിസോർട്ടുകൾ കൂടുതൽ കൂടുതൽ സന്ദർശകരാൽ നിറയുന്നു. ഐസ്ക്രീം വിൽപ്പന കൂടുതൽ ചുറുചുറുക്കായി മാറുന്നു. അതിനാൽ, താപനില സന്ദർശകരുടെ എണ്ണവും ഐസ്ക്രീം വിൽപ്പനയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതുപോലെ, നിങ്ങളുടെ പ്രാദേശിക മണ്ഡിയിൽ തക്കാളിയുടെ വിതരണം വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ വില കുറയുന്നു. പ്രാദേശിക വിളവ് വിപണിയിൽ എത്താൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ, തക്കാളിയുടെ വില ഒരു $\mathrm{kg}$ ന് 40 രൂപയിൽ നിന്ന് ഒരു കിലോഗ്രാമിന് 4 രൂപയോ അതിലും കുറവോ ആയി കുറയുന്നു. അതിനാൽ വിതരണം വിലയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. സഹസംബന്ധ വിശകലനം അത്തരം ബന്ധങ്ങൾ ക്രമപ്പെടുത്തി പരിശോധിക്കാനുള്ള ഒരു മാർഗമാണ്. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു:

• രണ്ട് ചരങ്ങൾ തമ്മിൽ എന്തെങ്കിലും ബന്ധമുണ്ടോ?

• ഒരു ചരത്തിന്റെ മൂല്യം മാറുമ്പോൾ, മറ്റേ ചരത്തിന്റെ മൂല്യവും മാറുമോ?

• രണ്ട് ചരങ്ങളും ഒരേ ദിശയിലാണോ നീങ്ങുന്നത്?

• ബന്ധം എത്രത്തോളം ശക്തമാണ്?

2. ബന്ധത്തിന്റെ തരങ്ങൾ

വിവിധ തരം ബന്ധങ്ങൾ നോക്കാം. ഒരു വസ്തുവിന്റെ ആവശ്യകതയുടെ അളവിലെ മാറ്റങ്ങൾക്കും വിലയ്ക്കും ഇടയിലുള്ള ബന്ധം ആവശ്യകതാ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അവിഭാജ്യ ഘടകമാണ്, അത് നിങ്ങൾ ക്ലാസ് XII-ൽ പഠിക്കും. കുറഞ്ഞ കാർഷിക ഉൽപാദനക്ഷമത കുറഞ്ഞ മഴയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇത്തരം ബന്ധങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് കാരണവും പ്രഭാവവും വ്യാഖ്യാനിക്കാനാകും. മറ്റുള്ളവ വെറും യാദൃശ്ചികതയായിരിക്കാം. ഒരു സങ്കേതത്തിൽ കുടിയേറ്റ പക്ഷികളുടെ എത്തിച്ചേരലും ആ പ്രദേശത്തെ ജനന നിരക്കും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിന് കാരണ-പ്രഭാവ വ്യാഖ്യാനം നൽകാനാവില്ല. ഈ ബന്ധങ്ങൾ വെറും യാദൃശ്ചികതയാണ്. ഷൂസിന്റെ വലുപ്പവും നിങ്ങളുടെ പോക്കറ്റിലെ പണവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം മറ്റൊരു അത്തരം ഉദാഹരണമാണ്. ബന്ധങ്ങൾ നിലനിൽക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽപ്പോലും, അവ വിശദീകരിക്കാൻ പ്രയാസമാണ്.

മറ്റൊരു സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് ചരങ്ങളിൽ മൂന്നാമത്തെ ഒരു ചരത്തിന്റെ സ്വാധീനം ആ രണ്ട് ചരങ്ങൾ തമ്മിൽ ഒരു ബന്ധം ഉണ്ടാക്കിയേക്കാം. ഐസ്ക്രീമിന്റെ ചുറുചുറുക്കായ വിൽപ്പന മുങ്ങിമരണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുതലായതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കാം. ഐസ്ക്രീം കഴിച്ചതിനാലല്ല ഇരകൾ മുങ്ങിമരിച്ചത്. താപനില ഉയരുന്നത് ഐസ്ക്രീം വിൽപ്പനയെ ചുറുചുറുക്കാക്കുന്നു. കൂടാതെ, ധാരാളം ആളുകൾ ചൂട് തോൽപ്പിക്കാൻ നീന്തൽക്കുളങ്ങളിലേക്ക് പോകാൻ തുടങ്ങുന്നു. ഇത് മുങ്ങിമരണങ്ങളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിപ്പിച്ചിരിക്കാം. അങ്ങനെ, ഐസ്ക്രീം വിൽപ്പനയ്ക്കും മുങ്ങിമരണങ്ങൾക്കും ഇടയിലുള്ള ഉയർന്ന സഹസംബന്ധത്തിന് പിന്നിൽ താപനിലയാണ്.

സഹസംബന്ധം എന്താണ് അളക്കുന്നത്?

സഹസംബന്ധം ചരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിന്റെ ദിശയും തീവ്രതയും പഠിക്കുകയും അളക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. സഹസംബന്ധം സഹവ്യതിയാനം അളക്കുന്നു, കാരണത്വമല്ല. സഹസംബന്ധത്തെ ഒരിക്കലും കാരണ-പ്രഭാവ ബന്ധം സൂചിപ്പിക്കുന്നതായി വ്യാഖ്യാനിക്കരുത്. രണ്ട് ചരങ്ങൾ $\mathrm{X}$ ഉം Y യും തമ്മിൽ സഹസംബന്ധം ഉള്ളത് എന്നതിനർത്ഥം, ഒരു ചരത്തിന്റെ മൂല്യം ഒരു ദിശയിൽ മാറുന്നതായി കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, മറ്റേ ചരത്തിന്റെ മൂല്യവും ഒരേ ദിശയിൽ (അതായത് പോസിറ്റീവ് മാറ്റം) അല്ലെങ്കിൽ വിപരീത ദിശയിൽ (അതായത് നെഗറ്റീവ് മാറ്റം) മാറുന്നതായി കണ്ടെത്തുന്നു എന്നാണ്, പക്ഷേ ഒരു നിശ്ചിത രീതിയിൽ. ലാളിത്യത്തിനായി, സഹസംബന്ധം നിലനിൽക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, അത് രേഖീയമാണെന്ന് ഇവിടെ അനുമാനിക്കുന്നു, അതായത് രണ്ട് ചരങ്ങളുടെ ആപേക്ഷിക ചലനം ഗ്രാഫ് പേപ്പറിൽ ഒരു നേർരേഖ വരച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാനാകും.

സഹസംബന്ധത്തിന്റെ തരങ്ങൾ

സഹസംബന്ധം സാധാരണയായി നെഗറ്റീവ്, പോസിറ്റീവ് സഹസംബന്ധം എന്നിങ്ങനെ തരം തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ചരങ്ങൾ ഒരേ ദിശയിൽ ഒരുമിച്ച് നീങ്ങുമ്പോൾ സഹസംബന്ധം പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. വരുമാനം കൂടുമ്പോൾ, ഉപഭോഗവും കൂടുന്നു. വരുമാനം കുറയുമ്പോൾ, ഉപഭോഗവും കുറയുന്നു. ഐസ്ക്രീം വിൽപ്പനയും താപനിലയും ഒരേ ദിശയിൽ നീങ്ങുന്നു. അവ വിപരീത ദിശകളിൽ നീങ്ങുമ്പോൾ സഹസംബന്ധം നെഗറ്റീവ് ആണ്. ആപ്പിളിന്റെ വില കുറയുമ്പോൾ അതിന്റെ ആവശ്യകത വർദ്ധിക്കുന്നു. വിലകൾ ഉയരുമ്പോൾ അതിന്റെ ആവശ്യകത കുറയുന്നു. പഠനത്തിൽ കൂടുതൽ സമയം ചെലവഴിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ പരാജയപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത കുറയുന്നു. പഠനത്തിൽ കുറഞ്ഞ മണിക്കൂറുകൾ ചെലവഴിക്കുമ്പോൾ, കുറഞ്ഞ മാർക്ക്/ഗ്രേഡ് നേടാനുള്ള സാധ്യത വർദ്ധിക്കുന്നു. ഇവ നെഗറ്റീവ് സഹസംബന്ധത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. ചരങ്ങൾ വിപരീത ദിശയിൽ നീങ്ങുന്നു.

3. സഹസംബന്ധം അളക്കാനുള്ള സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ

സഹസംബന്ധം പഠിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന മൂന്ന് പ്രധാന ഉപകരണങ്ങൾ സ്കാറ്റർ ഡയഗ്രമുകൾ, കാൾ പിയേഴ്സന്റെ സഹസംബന്ധ ഗുണകം, സ്പിയർമാന്റെ റാങ്ക് സഹസംബന്ധം എന്നിവയാണ്. ഒരു സ്കാറ്റർ ഡയഗ്രം യാതൊരു പ്രത്യേക സംഖ്യാ മൂല്യവും നൽകാതെ സംബന്ധത്തിന്റെ സ്വഭാവം ദൃശ്യമായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു. രണ്ട് ചരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള രേഖീയ ബന്ധത്തിന്റെ ഒരു സംഖ്യാ അളവ് കാൾ പിയേഴ്സന്റെ സഹസംബന്ധ ഗുണകം നൽകുന്നു. ഒരു ബന്ധത്തെ ഒരു നേർരേഖയാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാനാകുമെങ്കിൽ അത് രേഖീയമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. സ്പിയർമാന്റെ സഹസംബന്ധ ഗുണകം വ്യക്തിഗത ഇനങ്ങൾക്ക് അവയുടെ ഗുണങ്ങൾ അനുസരിച്ച് നൽകിയ റാങ്കുകൾ തമ്മിലുള്ള രേഖീയ ബന്ധം അളക്കുന്നു. ഗുണങ്ങൾ എന്നത് സംഖ്യാപരമായി അളക്കാൻ കഴിയാത്ത ചരങ്ങളാണ്, ഉദാഹരണത്തിന് ആളുകളുടെ ബുദ്ധി, ശാരീരിക രൂപം, സത്യസന്ധത മുതലായവ.

സ്കാറ്റർ ഡയഗ്രം

ഒരു സ്കാറ്റർ ഡയഗ്രം യാതൊരു സംഖ്യാ മൂല്യവും കണക്കാക്കാതെ ദൃശ്യപരമായി ബന്ധത്തിന്റെ രൂപം പരിശോധിക്കാനുള്ള ഒരു ഉപയോഗപ്രദമായ സാങ്കേതിക വിദ്യയാണ്. ഈ സാങ്കേതിക വിദ്യയിൽ, രണ്ട് ചരങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഒരു ഗ്രാഫ് പേപ്പറിൽ പോയിന്റുകളായി പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു. ഒരു സ്കാറ്റർ ഡയഗ്രത്തിൽ നിന്ന്, ബന്ധത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച് വളരെ നല്ല ധാരണ ലഭിക്കും. ഒരു സ്കാറ്റർ ഡയഗ്രത്തിൽ, സ്കാറ്റർ പോയിന്റുകളുടെ സാമീപ്യത്തിന്റെ അളവും അവയുടെ മൊത്തത്തിലുള്ള ദിശയും ബന്ധം പരിശോധിക്കാൻ നമ്മെ പ്രാപ്തരാക്കുന്നു. എല്ലാ പോയിന്റുകളും ഒരു രേഖയിൽ കിടക്കുകയാണെങ്കിൽ, സഹസംബന്ധം പൂർണ്ണമാണ്, ഏകതയിലാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. സ്കാറ്റർ പോയിന്റുകൾ രേഖയ്ക്ക് ചുറ്റും വിശാലമായി ചിതറിക്കിടക്കുകയാണെങ്കിൽ, സഹസംബന്ധം കുറവാണ്. സ്കാറ്റർ പോയിന്റുകൾ ഒരു രേഖയ്ക്ക് സമീപം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു രേഖയിൽ കിടക്കുകയാണെങ്കിൽ സഹസംബന്ധം രേഖീയമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

ചിത്രം 6.1 മുതൽ ചിത്രം 6.5 വരെയുള്ള സ്കാറ്റർ ഡയഗ്രമുകൾ രണ്ട് ചരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ഒരു ധാരണ നൽകുന്നു. ചിത്രം 6.1 ചരങ്ങളുടെ ചലനം ഒരേ ദിശയിലാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു മുകളിലേക്ക് ഉയരുന്ന രേഖയ്ക്ക് ചുറ്റുമുള്ള ഒരു സ്കാറ്റർ കാണിക്കുന്നു. $\mathrm{X}$ ഉയരുമ്പോൾ $\mathrm{Y}$ ഉം ഉയരും. ഇത് പോസിറ്റീവ് സഹസംബന്ധമാണ്. ചിത്രം 6.2 ൽ പോയിന്റുകൾ താഴേക്ക് ചരിഞ്ഞ ഒരു രേഖയ്ക്ക് ചുറ്റും ചിതറിക്കിടക്കുന്നതായി കാണപ്പെടുന്നു. ഈ സമയം ചരങ്ങൾ വിപരീത ദിശകളിൽ നീങ്ങുന്നു. $\mathrm{X}$ ഉയരുമ്പോൾ $\mathrm{Y}$ കുറയുകയും തിരിച്ചും. ഇത് നെഗറ്റീവ് സഹസംബന്ധമാണ്. ചിത്രം 6.3 ൽ പോയിന്റുകൾ ചിതറിക്കിടക്കുന്ന മുകളിലേക്ക് ഉയരുന്ന അല്ലെങ്കിൽ താഴേക്ക് ചരിഞ്ഞ രേഖയില്ല. ഇത് സഹസംബന്ധമില്ലാത്തതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. ചിത്രം 6.4 ഉം ചിത്രം 6.5 ഉം ആയി, പോയിന്റുകൾ ഇനി മുകളിലേക്ക് ഉയരുന്ന അല്ലെങ്കിൽ താഴേക്ക് വീഴുന്ന രേഖയ്ക്ക് ചുറ്റും ചിതറിക്കിടക്കുന്നില്ല. പോയിന്റുകൾ തന്നെ രേഖകളിലാണ്. ഇത് യഥാക്രമം പൂർണ്ണ പോസിറ്റീവ് സഹസംബന്ധം, പൂർണ്ണ നെഗറ്റീവ് സഹസംബന്ധം എന്നിങ്ങനെ പരാമർശിക്കപ്പെടുന്നു.

പ്രവർത്തനം

• നിങ്ങളുടെ ക്ലാസിലെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഉയരം, ഭാരം, ക്ലാസ് $X$ ൽ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വിഷയങ്ങളിൽ നേടിയ മാർക്കുകൾ എന്നിവയുടെ ഡാറ്റ ശേഖരിക്കുക. ഈ ചരങ്ങളുടെ സ്കാറ്റർ ഡയഗ്രം ഒരു സമയം രണ്ടെണ്ണം എടുത്ത് വരയ്ക്കുക. ഏത് തരം ബന്ധമാണ് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത്?

സ്കാറ്റർ ഡയഗ്രത്തിന്റെ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വമായ നിരീക്ഷണം ബന്ധത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചും തീവ്രതയെക്കുറിച്ചും ഒരു ധാരണ നൽകുന്നു.

കാൾ പിയേഴ്സന്റെ സഹസംബന്ധ ഗുണകം

ഇത് ഉൽപ്പന്ന ക്ഷണ സഹസംബന്ധ ഗുണകം അല്ലെങ്കിൽ ലഘു സഹസംബന്ധ ഗുണകം എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. രണ്ട് ചരങ്ങൾ $\mathrm{X}$ ഉം $Y$ ഉം തമ്മിലുള്ള രേഖീയ ബന്ധത്തിന്റെ അളവിന് ഇത് കൃത്യമായ സംഖ്യാ മൂല്യം നൽകുന്നു.

ചരങ്ങൾ തമ്മിൽ ഒരു രേഖീയ ബന്ധമുള്ളപ്പോൾ മാത്രമേ കാൾ പിയേഴ്സന്റെ സഹസംബന്ധ ഗുണകം ഉപയോഗിക്കാവൂ എന്നത് പ്രധാനമാണ്. $\mathrm{X}$ ഉം $\mathrm{Y}$ ഉം തമ്മിൽ ഒരു അരേഖീയ ബന്ധമുള്ളപ്പോൾ, കാൾ പിയേഴ്സന്റെ സഹസംബന്ധ ഗുണകം കണക്കാക്കുന്നത് തെറ്റിദ്ധാരണയുണ്ടാക്കാം. അതിനാൽ, ചിത്രം 6.1, $6.2,6.4$, 6.5 എന്നിവയിലെ സ്കാറ്റർ ഡയഗ്രമുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ യഥാർത്ഥ ബന്ധം രേഖീയ തരത്തിലാണെങ്കിൽ, കാൾ പിയേഴ്സന്റെ സഹസംബന്ധ ഗുണകം കണക്കാക്കണം, അത് ചരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിന്റെ ദിശയും തീവ്രതയും നമ്മോട് പറയും. എന്നാൽ ചിത്രം 6.6 അല്ലെങ്കിൽ 6.7 എന്നിവയിലെ സ്കാറ്റർ ഡയഗ്രമുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന തരത്തിലാണ് യഥാർത്ഥ ബന്ധമെങ്കിൽ, അതിനർത്ഥം $\mathrm{X}$ ഉം $\mathrm{Y}$ ഉം തമ്മിൽ ഒരു അരേഖീയ ബന്ധമുണ്ടെന്നാണ്, കാൾ പിയേഴ്സന്റെ സഹസംബന്ധ ഗുണകം ഉപയോഗിക്കാൻ നമ്മൾ ശ്രമിക്കരുത്.

അതിനാൽ, കാൾ പിയേഴ്സന്റെ സഹസംബന്ധ ഗുണകം കണക്കാക്കുന്നതിന് മുമ്പ് ചരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിന്റെ സ്കാറ്റർ ഡയഗ്രം ആദ്യം പരിശോധിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്.

$X _{1}, X _{2}, \ldots, X _{N}$ $N$ $X$ ന്റെ മൂല്യങ്ങളായിരിക്കട്ടെ, $\mathrm{Y} _{1}, \mathrm{Y} _{2}, \ldots, \mathrm{Y} _{\mathrm{N}}$ Y യുടെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങളായിരിക്കട്ടെ. തുടർന്നുള്ള അവതരണങ്ങളിൽ, ലാളിത്യത്തിനായി യൂണിറ്റ് സൂചിപ്പിക്കുന്ന സബ്സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു. $\mathrm{X}$ ഉം $\mathrm{Y}$ ഉം എന്നിവയുടെ ഗണിത ശരാശരി ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}} ; \quad \overline{\mathrm{Y}}=\frac{\sum \mathrm{Y}}{\mathrm{N}} $$

അവയുടെ വ്യതിയാനങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്

$$ \sigma^{2} x=\frac{\sum(X-\bar{X})^{2}}{N}=\frac{\sum X^{2}}{N}-\bar{X}^{2} $$

ഒപ്പം $$\quad \sigma^{2} \mathrm{y}=\frac{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}{\mathrm{~N}}=\frac{\sum \mathrm{Y}^{2}}{\mathrm{~N}}-\overline{\mathrm{Y}}^{2}$$

$\mathrm{X}$ ഉം $\mathrm{Y}$ ഉം എന്നിവയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനുകൾ യഥാക്രമം അവയുടെ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ പോസിറ്റീവ് വർഗ്ഗമൂലങ്ങളാണ്. $\mathrm{X}$ ഉം $\mathrm{Y}$ ഉം എന്നിവയുടെ സഹവ്യതിയാനം ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു

$\operatorname{Cov}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\mathrm{N}}=\frac{\sum \mathrm{xy}}{\mathrm{N}}$

ഇവിടെ $\mathrm{x}=\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}}$ ഉം $\mathrm{y}=\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}}$ ഉം എന്നിവ യഥാക്രമം $i^{\text {th }}$ $\mathrm{X}$ ന്റെയും $\mathrm{Y}$ ന്റെയും മൂല്യങ്ങളുടെ അവയുടെ ശരാശരി മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളാണ്.

$\mathrm{X}$ ഉം $\mathrm{Y}$ ഉം തമ്മിലുള്ള സഹവ്യതിയാനത്തിന്റെ ചിഹ്നം സഹസംബന്ധ ഗുണകത്തിന്റെ ചിഹ്നം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണ്. സഹവ്യതിയാനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, സഹസംബന്ധ ഗുണകം എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യമാണ്. ഉൽപ്പന്ന ക്ഷണ സഹസംബന്ധം അല്ലെങ്കിൽ കാൾ പിയേഴ്സന്റെ സഹസംബന്ധ അളവ് ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}={ }^{\Sigma \mathrm{xy}} / N \sigma _{\mathrm{x}} \sigma _{\mathrm{y}} \tag{1} \end{equation*} $$

അല്ലെങ്കിൽ

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\sqrt{\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}} \sqrt{\Sigma(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}} \tag{2} \end{equation*} $$

അല്ലെങ്കിൽ

$$ \begin{equation*} r=\frac{\frac{\sum X Y-\left(\sum X\right)\left(\sum Y\right)}{N}}{\sqrt{\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}} \sqrt{\sum Y^{2}-\frac{\left(\sum Y\right)^{2}}{N}}}\tag{3} \end{equation*} $$

അല്ലെങ്കിൽ

$$ \begin{equation*} r=\frac{N \sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{N \sum X^2-(\sum X)^2} \cdot \sqrt{N \sum Y^2-(\sum Y)^2}}\tag{4} \end{equation*} $$

സഹസംബന്ധ ഗുണകത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ

സഹസംബന്ധ ഗുണകത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ചർച്ച ചെയ്യാം

• $r$ ന് യൂണിറ്റില്ല. ഇത് ഒരു ശുദ്ധ സംഖ്യയാണ്. അളക്കൽ യൂണിറ്റുകൾ $r$ ന്റെ ഭാഗമല്ല എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ഉദാഹരണത്തിന്, അടിയിൽ ഉയരവും കിലോഗ്രാമിൽ ഭാരവും തമ്മിലുള്ള $r$ 0.7 ആയിരിക്കാം.
• $r$ ന്റെ ഒരു നെഗറ്റീവ് മൂല്യം ഒരു വിപരീത ബന്ധത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു ചരത്തിലെ മാറ്റം മറ്റേ ചരത്തിലെ മാറ്റവുമായി വിപരീത ദിശയിൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഒരു വസ്തുവിന്റെ വില ഉയരുമ്പോൾ, അതിന്റെ ആവശ്യകത കുറയുന്നു. പലിശ നിരക്ക് ഉയരുമ്പോൾ ഫണ്ടുകളുടെ ആവശ്യകതയും കുറയുന്നു. കാരണം ഇപ്പോൾ ഫണ്ടുകൾ വിലയേറിയതായി മാറിയിരിക്കുന്നു.
• $r$ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ രണ്ട് ചരങ്ങളും ഒരേ ദിശയിൽ നീങ്ങുന്നു. ചായയുടെ പകരക്കാരനായ കാപ്പിയുടെ വില ഉയരുമ്പോൾ ചായയുടെ ആവശ്യകതയും ഉയരുന്നു. ജലസേചന സൗകര്യങ്ങളിൽ മെച്ചപ്പെടുത്തൽ ഉയർന്ന വിളവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. താപനില ഉയരുമ്പോൾ ഐസ്ക്രീം വിൽപ്പന ചുറുചുറുക്കാകുന്നു.

• സഹസംബന്ധ ഗുണകത്തിന്റെ മൂല്യം മൈനസ് വൺ, പ്ലസ് വൺ എന്നിവയ്ക്കിടയിലാണ്, $-1 \leq r \leq 1$. ഏതെങ്കിലും വ്യായാമത്തിൽ, $r$ ന്റെ മൂല്യം ഈ പരിധിക്ക് പുറത്താണെങ്കിൽ അത് കണക്കുകൂട്ടലിലെ പിശകിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
• $r$ ന്റെ പരിമാണം ഉത്ഭവത്തിലെ മാറ്റത്താൽ അല്ലെങ്കിൽ സ്കെയിലിലെ മാറ്റത്താൽ ബാധിക്കപ്പെടുന്നില്ല. രണ്ട് ചരങ്ങൾ $\mathrm{X}$ ഉം $\mathrm{Y}$ ഉം നൽകിയിരിക്കുന്നു, നമുക്ക് രണ്ട് പുതിയ ചരങ്ങൾ നിർവചിക്കാം.

$\mathrm{U}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{B}} ; \mathrm{V}=\frac{\mathrm{Y}-\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$

ഇവിടെ $A$ ഉം $C$ ഉം യഥാക്രമം $\mathrm{X}$ ഉം $\mathrm{Y}$ ഉം എന്നിവയുടെ അനുമാനിത ശ