১. ভূমিকা

পূর্ববর্তী অধ্যায়গুলিতে আপনি শিখেছেন কিভাবে বিপুল পরিমাণ তথ্য থেকে সারসংক্ষেপ পরিমাপ তৈরি করতে হয় এবং একই ধরনের চলকের মধ্যে পরিবর্তনগুলি বোঝা যায়। এখন আপনি শিখবেন কিভাবে দুটি চলকের মধ্যে সম্পর্ক পরীক্ষা করা যায়। গ্রীষ্মের তাপমাত্রা বৃদ্ধির সাথে সাথে পাহাড়ি স্টেশনগুলি আরও বেশি দর্শনার্থীতে ভরে ওঠে। আইসক্রিমের বিক্রি বেড়ে যায়। সুতরাং, তাপমাত্রা দর্শনার্থীর সংখ্যা এবং আইসক্রিমের বিক্রির সাথে সম্পর্কিত। একইভাবে, আপনার স্থানীয় মণ্ডিতে টমেটোর সরবরাহ বাড়লে তার দাম কমে যায়। যখন স্থানীয় ফসল বাজারে পৌঁছাতে শুরু করে, তখন টমেটোর দাম প্রতি $\mathrm{kg}$ ৪০ টাকা থেকে প্রতি কেজি ৪ টাকা বা তারও কমে নেমে আসে। সুতরাং সরবরাহ দামের সাথে সম্পর্কিত। সম্পর্ক বিশ্লেষণ হল এই ধরনের সম্পর্কগুলি পদ্ধতিগতভাবে পরীক্ষা করার একটি উপায়। এটি নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির সাথে সম্পর্কিত:

• দুটি চলকের মধ্যে কোন সম্পর্ক আছে কি?

• একটি চলকের মান পরিবর্তিত হলে, অপর চলকের মানও কি পরিবর্তিত হয়?

• উভয় চলক কি একই দিকে অগ্রসর হয়?

• সম্পর্কটি কতটা শক্তিশালী?

২. সম্পর্কের প্রকারভেদ

আসুন বিভিন্ন ধরনের সম্পর্ক দেখি। কোনো পণ্যের চাহিদার পরিমাণের পরিবর্তন এবং তার দামের মধ্যে সম্পর্ক চাহিদা তত্ত্বের একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ, যা আপনি দ্বাদশ শ্রেণীতে পড়বেন। কৃষি উৎপাদনশীলতা কম বৃষ্টিপাতের সাথে সম্পর্কিত। সম্পর্কের এই ধরনের উদাহরণগুলিকে কারণ ও প্রভাবের ব্যাখ্যা দেওয়া যেতে পারে। অন্যরা কেবল কাকতালীয় হতে পারে। একটি অভয়ারণ্যে পরিযায়ী পাখির আগমন এবং ঐ এলাকায় জন্মহারের মধ্যে সম্পর্ককে কোনো কারণ ও প্রভাবের ব্যাখ্যা দেওয়া যায় না। সম্পর্কগুলি সহজ কাকতালীয়তা। জুতোর আকার এবং আপনার পকেটের টাকার মধ্যে সম্পর্ক আরেকটি এমন উদাহরণ। সম্পর্ক থাকলেও তা ব্যাখ্যা করা কঠিন।

অন্য একটি উদাহরণে, দুটি চলকের উপর তৃতীয় একটি চলকের প্রভাব ঐ দুটি চলকের মধ্যে একটি সম্পর্কের সৃষ্টি করতে পারে। আইসক্রিমের দ্রুত বিক্রি ডুবে মৃত্যুর উচ্চ সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত হতে পারে। আইসক্রিম খাওয়ার কারণে শিকারীরা ডুবে মারা যায় না। তাপমাত্রা বৃদ্ধি আইসক্রিমের বিক্রি বাড়িয়ে দেয়। তাছাড়া, প্রচুর মানুষ গরম থেকে রক্ষা পেতে সাঁতারের পুলে যেতে শুরু করে। এর ফলে ডুবে মৃত্যুর সংখ্যা বেড়ে থাকতে পারে। সুতরাং, তাপমাত্রাই আইসক্রিমের বিক্রি এবং ডুবে মৃত্যুর মধ্যে উচ্চ সম্পর্কের পেছনে রয়েছে।

সম্পর্ক কী পরিমাপ করে?

সম্পর্ক অধ্যয়ন করে এবং চলকগুলির মধ্যে সম্পর্কের দিক ও তীব্রতা পরিমাপ করে। সম্পর্ক সহ-পরিবর্তন পরিমাপ করে, কার্যকারণ নয়। সম্পর্ককে কখনই কারণ ও প্রভাব সম্পর্ক বোঝায় এমনভাবে ব্যাখ্যা করা উচিত নয়। দুটি চলক $\mathrm{X}$ এবং Y এর মধ্যে সম্পর্কের উপস্থিতি কেবলমাত্র এই অর্থ বহন করে যে যখন একটি চলকের মান এক দিকে পরিবর্তিত হতে দেখা যায়, তখন অপর চলকের মানও হয় একই দিকে (অর্থাৎ ধনাত্মক পরিবর্তন) বা বিপরীত দিকে (অর্থাৎ ঋণাত্মক পরিবর্তন) পরিবর্তিত হতে দেখা যায়, তবে একটি নির্দিষ্ট উপায়ে। সরলতার জন্য আমরা এখানে ধরে নিচ্ছি যে সম্পর্ক, যদি থাকে, তা রৈখিক, অর্থাৎ দুটি চলকের আপেক্ষিক গতিকে গ্রাফ পেপারে একটি সরল রেখা আঁকিয়ে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

সম্পর্কের প্রকারভেদ

সম্পর্ক সাধারণত ঋণাত্মক এবং ধনাত্মক সম্পর্কে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। যখন চলকগুলি একই দিকে একসাথে চলে তখন সম্পর্ককে ধনাত্মক বলা হয়। যখন আয় বৃদ্ধি পায়, ভোগও বৃদ্ধি পায়। যখন আয় কমে, ভোগও কমে। আইসক্রিমের বিক্রি এবং তাপমাত্রা একই দিকে চলে। যখন তারা বিপরীত দিকে চলে তখন সম্পর্ক ঋণাত্মক হয়। যখন আপেলের দাম কমে যায় তখন তার চাহিদা বাড়ে। যখন দাম বাড়ে তখন তার চাহিদা কমে। আপনি পড়াশোনায় বেশি সময় ব্যয় করলে, আপনার ফেল করার সম্ভাবনা কমে। আপনি পড়াশোনায় কম সময় ব্যয় করলে, কম নম্বর/গ্রেড পাওয়ার সম্ভাবনা বাড়ে। এগুলি ঋণাত্মক সম্পর্কের উদাহরণ। চলকগুলি বিপরীত দিকে চলে।

৩. সম্পর্ক পরিমাপের কৌশল

সম্পর্ক অধ্যয়নে ব্যবহৃত তিনটি গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার হল বিক্ষেপ চিত্র, কার্ল পিয়ারসনের সম্পর্ক সহগ এবং স্পিয়ারম্যানের ক্রম সম্পর্ক। একটি বিক্ষেপ চিত্র কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মান না দিয়েই সংযোগের প্রকৃতি দৃশ্যত উপস্থাপন করে। দুটি চলকের মধ্যে রৈখিক সম্পর্কের একটি সংখ্যাসূচক পরিমাপ দেওয়া হয় কার্ল পিয়ারসনের সম্পর্ক সহগ দ্বারা। একটি সম্পর্ককে রৈখিক বলা হয় যদি তা একটি সরল রেখা দ্বারা উপস্থাপন করা যায়। স্পিয়ারম্যানের সম্পর্ক সহগ পৃথক বিষয়গুলিকে তাদের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী নির্ধারিত ক্রমগুলির মধ্যে রৈখিক সংযোগ পরিমাপ করে। বৈশিষ্ট্য হল সেইসব চলক যা সংখ্যাগতভাবে পরিমাপ করা যায় না যেমন মানুষের বুদ্ধিমত্তা, শারীরিক চেহারা, সততা ইত্যাদি।

বিক্ষেপ চিত্র

বিক্ষেপ চিত্র হল কোনো সংখ্যাসূচক মান গণনা না করেই দৃশ্যত সম্পর্কের রূপ পরীক্ষা করার একটি উপযোগী কৌশল। এই কৌশলে, দুটি চলকের মানগুলি একটি গ্রাফ পেপারে বিন্দু হিসাবে স্থাপন করা হয়। একটি বিক্ষেপ চিত্র থেকে, সম্পর্কের প্রকৃতি সম্পর্কে মোটামুটি ভাল ধারণা পাওয়া যায়। একটি বিক্ষেপ চিত্রে বিক্ষিপ্ত বিন্দুগুলির নিকটবর্তিতার মাত্রা এবং তাদের সামগ্রিক দিক আমাদের সম্পর্ক পরীক্ষা করতে সক্ষম করে। যদি সব বিন্দু একটি রেখায় অবস্থান করে, তবে সম্পর্ক নিখুঁত এবং একত্বে বলে ধরা হয়। যদি বিক্ষিপ্ত বিন্দুগুলি রেখার চারপাশে ব্যাপকভাবে ছড়িয়ে থাকে, তবে সম্পর্ক কম। যদি বিক্ষিপ্ত বিন্দুগুলি একটি রেখার কাছাকাছি বা রেখার উপর অবস্থান করে তবে সম্পর্ককে রৈখিক বলা হয়।

চিত্র ৬.১ থেকে চিত্র ৬.৫ পর্যন্ত বিস্তৃত বিক্ষেপ চিত্রগুলি আমাদের দুটি চলকের মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে একটি ধারণা দেয়। চিত্র ৬.১ একটি ঊর্ধ্বগামী রেখার চারপাশে বিক্ষেপ দেখায় যা চলকগুলির একই দিকে গতিবিধি নির্দেশ করে। যখন $\mathrm{X}$ বৃদ্ধি পায় $\mathrm{Y}$ও বৃদ্ধি পাবে। এটি ধনাত্মক সম্পর্ক। চিত্র ৬.২-এ বিন্দুগুলি একটি নিম্নগামী রেখার চারপাশে ছড়িয়ে থাকতে দেখা যায়। এবার চলকগুলি বিপরীত দিকে চলে। যখন $\mathrm{X}$ বৃদ্ধি পায় $\mathrm{Y}$ হ্রাস পায় এবং তদ্বিপরীত। এটি ঋণাত্মক সম্পর্ক। চিত্র ৬.৩-এ কোন ঊর্ধ্বগামী বা নিম্নগামী রেখা নেই যার চারপাশে বিন্দুগুলি ছড়িয়ে আছে। এটি কোন সম্পর্ক নেই এর উদাহরণ। চিত্র ৬.৪ এবং চিত্র ৬.৫-এ, বিন্দুগুলি আর ঊর্ধ্বগামী বা নিম্নগামী রেখার চারপাশে ছড়িয়ে নেই। বিন্দুগুলি নিজেরাই রেখার উপর রয়েছে। এটিকে যথাক্রমে নিখুঁত ধনাত্মক সম্পর্ক এবং নিখুঁত ঋণাত্মক সম্পর্ক হিসাবে উল্লেখ করা হয়।

কর্মকাণ্ড

• আপনার শ্রেণীর শিক্ষার্থীদের উচ্চতা, ওজন এবং $X$ শ্রেণীর যেকোনো দুটি বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বরের তথ্য সংগ্রহ করুন। এই চলকগুলির বিক্ষেপ চিত্র দুইটি করে নিয়ে আঁকুন। আপনি কী ধরনের সম্পর্ক খুঁজে পান?

বিক্ষেপ চিত্রের সতর্ক পর্যবেক্ষণ সম্পর্কের প্রকৃতি ও তীব্রতার ধারণা দেয়।

কার্ল পিয়ারসনের সম্পর্ক সহগ

এটি গুণফল ভিত্তিক সম্পর্ক সহগ বা সরল সম্পর্ক সহগ হিসাবেও পরিচিত। এটি দুটি চলক $\mathrm{X}$ এবং $Y$ এর মধ্যে রৈখিক সম্পর্কের মাত্রার একটি সুনির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মান দেয়।

এটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে কার্ল পিয়ারসনের সম্পর্ক সহগ শুধুমাত্র তখনই ব্যবহার করা উচিত যখন চলকগুলির মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক থাকে। যখন $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর মধ্যে একটি অ-রৈখিক সম্পর্ক থাকে, তখন কার্ল পিয়ারসনের সম্পর্ক সহগ গণনা করা বিভ্রান্তিকর হতে পারে। সুতরাং, যদি প্রকৃত সম্পর্ক চিত্র ৬.১, $6.2,6.4$ এবং ৬.৫-এ দেখানো বিক্ষেপ চিত্রগুলির মতো রৈখিক ধরনের হয়, তবে কার্ল পিয়ারসনের সম্পর্ক সহগ গণনা করা উচিত এবং এটি আমাদের চলকগুলির মধ্যে সম্পর্কের দিক ও তীব্রতা বলবে। কিন্তু যদি প্রকৃত সম্পর্ক চিত্র ৬.৬ বা ৬.৭-এর বিক্ষেপ চিত্রগুলিতে দেখানো ধরনের হয়, তবে এর অর্থ হল $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর মধ্যে একটি অ-রৈখিক সম্পর্ক রয়েছে এবং আমাদের কার্ল পিয়ারসনের সম্পর্ক সহগ ব্যবহার করার চেষ্টা করা উচিত নয়।

অতএব, কার্ল পিয়ারসনের সম্পর্ক সহগ গণনা করার আগে চলকগুলির মধ্যে সম্পর্কের বিক্ষেপ চিত্র প্রথমে পরীক্ষা করা উচিত।

ধরা যাক $X _{1}, X _{2}, \ldots, X _{N}$ হল $N$ এর মান এবং $\mathrm{Y} _{1}, \mathrm{Y} _{2}, \ldots, \mathrm{Y} _{\mathrm{N}}$ হল Y এর সংশ্লিষ্ট মান। পরবর্তী উপস্থাপনায়, সরলতার জন্য একক নির্দেশকারী সাবস্ক্রিপ্টগুলি বাদ দেওয়া হয়েছে। $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর গাণিতিক গড় সংজ্ঞায়িত করা হয়

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}} ; \quad \overline{\mathrm{Y}}=\frac{\sum \mathrm{Y}}{\mathrm{N}} $$

এবং তাদের প্রকরণ নিম্নরূপ

$$ \sigma^{2} x=\frac{\sum(X-\bar{X})^{2}}{N}=\frac{\sum X^{2}}{N}-\bar{X}^{2} $$

এবং $$\quad \sigma^{2} \mathrm{y}=\frac{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}{\mathrm{~N}}=\frac{\sum \mathrm{Y}^{2}}{\mathrm{~N}}-\overline{\mathrm{Y}}^{2}$$

$\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর প্রমিত বিচ্যুতি, যথাক্রমে, তাদের প্রকরণের ধনাত্মক বর্গমূল। $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর সহ-প্রকরণ সংজ্ঞায়িত করা হয়

$\operatorname{Cov}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\mathrm{N}}=\frac{\sum \mathrm{xy}}{\mathrm{N}}$

যেখানে $\mathrm{x}=\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}}$ এবং $\mathrm{y}=\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}}$ হল $i^{\text {th }}$ তম মানের $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর গড় মান থেকে যথাক্রমে বিচ্যুতি।

$\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর মধ্যে সহ-প্রকরণের চিহ্ন সম্পর্ক সহগের চিহ্ন নির্ধারণ করে। প্রমিত বিচ্যুতি সর্বদা ধনাত্মক। যদি সহ-প্রকরণ শূন্য হয়, সম্পর্ক সহগ সর্বদা শূন্য। গুণফল ভিত্তিক সম্পর্ক বা কার্ল পিয়ারসনের সম্পর্ক পরিমাপ দেওয়া হয়

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}={ }^{\Sigma \mathrm{xy}} / N \sigma _{\mathrm{x}} \sigma _{\mathrm{y}} \tag{1} \end{equation*} $$

বা

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\sqrt{\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}} \sqrt{\Sigma(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}} \tag{2} \end{equation*} $$

বা

$$ \begin{equation*} r=\frac{\frac{\sum X Y-\left(\sum X\right)\left(\sum Y\right)}{N}}{\sqrt{\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}} \sqrt{\sum Y^{2}-\frac{\left(\sum Y\right)^{2}}{N}}}\tag{3} \end{equation*} $$

বা

$$ \begin{equation*} r=\frac{N \sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{N \sum X^2-(\sum X)^2} \cdot \sqrt{N \sum Y^2-(\sum Y)^2}}\tag{4} \end{equation*} $$

সম্পর্ক সহগের বৈশিষ্ট্য

আসুন এখন সম্পর্ক সহগের বৈশিষ্ট্যগুলি আলোচনা করি

• $r$ এর কোনো একক নেই। এটি একটি বিশুদ্ধ সংখ্যা। এর অর্থ পরিমাপের একক $r$ এর অংশ নয়। উদাহরণস্বরূপ, ফুটে উচ্চতা এবং কিলোগ্রামে ওজনের মধ্যে $r$ হতে পারে, ধরা যাক ০.৭।
• $r$ এর একটি ঋণাত্মক মান একটি বিপরীত সম্পর্ক নির্দেশ করে। একটি চলকের পরিবর্তন অপর চলকের পরিবর্তনের সাথে বিপরীত দিতে যুক্ত। যখন একটি পণ্যের দাম বৃদ্ধি পায়, তার চাহিদা কমে যায়। যখন সুদের হার বৃদ্ধি পায়, তহবিলের চাহিদাও কমে যায়। কারণ এখন তহবিল বেশি ব্যয়বহুল হয়ে গেছে।
• যদি $r$ ধনাত্মক হয় তবে দুটি চলক একই দিকে চলে। যখন চায়ের বিকল্প কফির দাম বৃদ্ধি পায়, চায়ের চাহিদাও বৃদ্ধি পায়। সেচ সুবিধার উন্নতি উচ্চ ফলনের সাথে যুক্ত। যখন তাপমাত্রা বৃদ্ধি পায়, আইসক্রিমের বিক্রি দ্রুত হয়।

• সম্পর্ক সহগের মান বিয়োগ এক এবং প্লাস একের মধ্যে থাকে, $-1 \leq r \leq 1$। যদি কোনো অনুশীলনে $r$ এর মান এই সীমার বাইরে হয় তবে এটি গণনার ত্রুটি নির্দেশ করে।
• $r$ এর মাত্রা উৎপত্তি পরিবর্তন এবং স্কেল পরিবর্তন দ্বারা অপ্রভাবিত থাকে। দুটি চলক $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ দেওয়া আছে, আসুন দুটি নতুন চলক সংজ্ঞায়িত করি।

$\mathrm{U}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{B}} ; \mathrm{V}=\frac{\mathrm{Y}-\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$

যেখানে $A$ এবং $C$ যথাক্রমে $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর অনুমিত গড়। $\mathrm{B}$ এবং $\mathrm{D}$ হল সাধারণ উৎপাদক এবং একই চিহ্নের। তাহলে

$r _{x y}=r _{u v}$

এই বৈশিষ্ট্যটি ধাপ বিচ্যুতি পদ্ধতির মতো অত্যন্ত সরলীকৃত পদ্ধতিতে সম্পর্ক সহগ গণনা করতে ব্যবহৃত হয়।

• যদি $r=0$ হয় তবে দুটি চলক অসম্পর্কিত। তাদের মধ্যে কোনো রৈখিক সম্পর্ক নেই। তবে অন্যান্য ধরনের সম্পর্ক থাকতে পারে।
• যদি $r=1$ বা $r=-1$ হয় তবে সম্পর্ক নিখুঁত এবং সেখানে সঠিক রৈখিক সম্পর্ক রয়েছে।
• $r$ এর একটি উচ্চ মান শক্তিশালী রৈখিক সম্পর্ক নির্দেশ করে। এর মানকে উচ্চ বলা হয় যখন এটি +1 বা -1 এর কাছাকাছি হয়।
• $r$ এর একটি নিম্ন মান (শূন্যের কাছাকাছি) একটি দুর্বল রৈখিক সম্পর্ক নির্দেশ করে। কিন্তু একটি অ-রৈখিক সম্পর্ক থাকতে পারে।

আপনি অধ্যায় ১-এ পড়েছেন, পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি সাধারণ জ্ঞানের বিকল্প নয়। এখানে আরেকটি উদাহরণ রয়েছে, যা সম্পর্ক গণনা ও ব্যাখ্যা করার আগে সঠিকভাবে তথ্য বোঝার প্রয়োজনীয়তা তুলে ধরে। একটি মহামারী কিছু গ্রামে ছড়িয়ে পড়ে এবং সরকার আক্রান্ত গ্রামগুলিতে ডাক্তারদের একটি দল পাঠায়। মৃত্যুর সংখ্যা এবং গ্রামে পাঠানো ডাক্তারের সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক ধনাত্মক পাওয়া যায়। সাধারণত, ডাক্তারদের দ্বারা প্রদত্ত স্বাস্থ্যসেবা সুবিধাগুলি মৃত্যুর সংখ্যা কমিয়ে দেয় বলে আশা করা হয় যা একটি ঋণাত্মক সম্পর্ক দেখায়। অন্যান্য কারণে এটি ঘটেছে। তথ্যগুলি একটি নির্দিষ্ট সময়ের সাথে সম্পর্কিত। রিপোর্ট করা মৃত্যুর অনেকগুলি টার্মিনাল কেস হতে পারে যেখানে ডাক্তাররা খুব কমই করতে পারেন। তাছাড়া, ডাক্তারদের উপস্থিতির সুবিধা কিছু সময় পরে দৃশ্যমান হয়। এটিও সম্ভব যে রিপোর্ট করা মৃত্যুগুলি মহামারীর কারণে নয়। একটি সুনামি হঠাৎ রাজ্যে আঘাত হানে এবং মৃত্যুর সংখ্যা বেড়ে যায়।

চলুন কৃষকদের শিক্ষার বছর এবং প্রতি একর বার্ষিক ফলনের মধ্যে সম্পর্ক পরীক্ষা করে $r$ এর গণনা ব্যাখ্যা করি।

উদাহরণ ১

সূত্র ১ এর জন্য $\sum \mathrm{Xy}, \sigma _{\mathrm{x}}, \sigma _{\mathrm{y}}$ এর মান প্রয়োজন

সারণী ৬.১ থেকে আমরা পাই,

$$ \begin{aligned} & \sum \mathrm{xy}=42, \\ & \sigma _{\mathrm{x}}=\sqrt{\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}}{\mathrm{~N}}}=\sqrt{\frac{112}{7}}, \\ & \sigma _{\mathrm{y}}=\sqrt{\frac{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}{\mathrm{~N}}}=\sqrt{\frac{38}{7}} \end{aligned} $$

এই মানগুলি সূত্র (1) এ প্রতিস্থাপন করে

$$ \mathrm{r}=\frac{42}{7 \sqrt{\frac{112}{7}} \sqrt{\frac{38}{7}}}=0.644 $$

একই মান সূত্র (2) থেকেও পাওয়া যাবে।

$$ \begin{gather*} \mathrm{r}=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\sqrt{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}} \sqrt{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}} \tag{2}\\ \mathrm{r}=\frac{42}{\sqrt{112} \sqrt{38}}=0.644 \end{gather*} $$

সুতরাং, কৃষকদের শিক্ষার বছর এবং প্রতি একর বার্ষিক ফলন ধনাত্মকভাবে সম্পর্কিত। $r$ এর মানও বড়। এটি বোঝায় যে কৃষকরা শিক্ষায় যত বেশি বছর বিনিয়োগ করবেন, প্রতি একর ফলন তত বেশি হবে। এটি কৃষকদের শিক্ষার গুরুত্ব তুলে ধরে।

সূত্র (3) ব্যবহার করতে

সারণী ৬.১ কৃষকদের শিক্ষার বছর এবং বার্ষিক ফলনের মধ্যে r এর গণনা

$$ \begin{equation*} r=\frac{\sum X Y-\frac{(\Sigma X)\left(\sum Y\right)}{N}}{\sqrt{\Sigma X^{2}-\frac{(\Sigma X)^{2}}{N}} \sqrt{\Sigma \mathrm{Y}^{2}-\frac{(\Sigma Y)^{2}}{N}}}\tag{3} \end{equation*} $$

নিম্নলিখিত রাশিগুলির মান গণনা করতে হবে অর্থাৎ

$\Sigma \mathrm{XY}, \Sigma \mathrm{X}^{2}, \Sigma \mathrm{Y}^{2}$.

এখন সূত্র (3) প্রয়োগ করে $r$ এর মান পান।

$r$ এর বিভিন্ন মানের ব্যাখ্যা জানা যাক। ইংরেজি এবং পরিসংখ্যানে প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যে সম্পর্ক সহগ, ধরা যাক, ০.১। এর অর্থ যদিও দুটি বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর ধনাত্মকভাবে সম্পর্কিত, সম্পর্কের শক্তি দুর্বল। ইংরেজিতে উচ্চ নম্বর প্রাপ্ত শিক্ষার্থীরা পরিসংখ্যানে তুলনামূলকভাবে কম নম্বর পেতে পারে। যদি $r$ এর মান, ধরা যাক, ০.৯ হত, ইংরেজিতে উচ্চ নম্বর প্রাপ্ত শিক্ষার্থীরা অবশ্যই পরিসংখ্যানে উচ্চ নম্বর পেত।

ঋণাত্মক সম্পর্কের একটি উদাহরণ হল স্থানীয় মণ্ডিতে শাকসবজির আগমন এবং শাকসবজির দামের মধ্যে সম্পর্ক। যদি $r$ হয় -০.৯, স্থানীয় মণ্ডিতে শাকসবজির সরবরাহ শাকসবজির দাম কমার সাথে যুক্ত হবে। যদি এটি -০.১ হত, বড় শাকসবজির সরবরাহ কম দামের সাথে যুক্ত হবে, কিন্তু $r$ যখন -০.৯ তখনকার দামের মতো কম নয়। দাম পড়ার মাত্রা $r$ এর পরম মানের উপর নির্ভর করে। যদি এটি শূন্য হত, বাজারে বড় সরবরাহের পরেও দামে কোন পতন হত না। এটি একটি সম্ভাবনা যদি সরবরাহ বৃদ্ধি একটি ভাল পরিবহন নেটওয়ার্ক দ্বারা অন্য বাজারে স্থানান্তরিত করে মোকাবেলা করা হয়।

কর্মকাণ্ড

• নিচের সারণিটি দেখুন। চল মূল্যে জাতীয় আয়ের বার্ষিক বৃদ্ধি এবং জিডিপির শতাংশ হিসাবে স্থূল অভ্যন্তরীণ সঞ্চয়ের মধ্যে $r$ গণনা করুন।

সম্পর্ক সহগ গণনার ধাপ বিচ্যুতি পদ্ধতি।

যখন চলকগুলির মান বড় হয়, $r$ এর একটি বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে গণনার বোঝা উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করা যেতে পারে। এটি হল যে $r$ উৎপত্তি এবং স্কেল পরিবর্তন থেকে স্বাধীন। এটি ধাপ বিচ্যুতি পদ্ধতি হিসাবেও পরিচিত। এটি চলক $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর নিম্নরূপ রূপান্তর জড়িত:

সারণী ৬.২

উৎস: ইকোনমিক সার্ভে, (2004-05) পৃষ্ঠা ৮,৯

$\mathrm{U}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{B}} ; \mathrm{V}=\frac{\mathrm{Y}-\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$

যেখানে $A$ এবং $B$ অনুমিত গড়, $h$ এবং $\mathrm{k}$ সাধারণ উৎপাদক এবং একই চিহ্নযুক্ত।

তাহলে $\mathrm{r} _{\mathrm{uv}}=\mathrm{r} _{\mathrm{XY}}$

এটি মূল্য সূচক এবং অর্থ সরবরাহের মধ্যে সম্পর্ক বিশ্লেষণের অনুশীলনের সাথে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।

উদাহরণ ২

মূল্য সূচক $(\mathrm{X})$ $ 120 \quad 150 \quad 190 \quad 220 \quad 230$

টাকা কোটিতে অর্থ সরবরাহ $(\mathrm{Y})$ $\quad 1800 \quad 2000 \quad 2500 \quad 2700 \quad 3000$

সরলীকরণ, ধাপ বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যবহার করে নিচে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। ধরা যাক $\mathrm{A}=100 ; \mathrm{h}=10 ; \mathrm{B}=1700$ এবং $\mathrm{k}=100$

রূপান্তরিত চলকগুলির সারণী নিম্নরূপ:

ধাপ বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যবহার করে মূল্য সূচক এবং অর্থ সরবরাহের মধ্যে $r$ এর গণনা

সারণী ৬.৩

$\Sigma \mathrm{U}=41 ; \Sigma \mathrm{U}=35 ; \Sigma \mathrm{U}^{2}=423 ;$ $\Sigma \mathrm{V}^{2}=343 ; \Sigma \mathrm{UV}=378$

সূত্র (3) এ এই মানগুলি প্রতিস্থাপন করে

$$ \begin{aligned} & \mathrm{r}=\frac{\Sigma \mathrm{UV}-\frac{(\Sigma \mathrm{U})(\Sigma \mathrm{U})}{\mathrm{N}}}{\sqrt{\Sigma \mathrm{U}^{2}-\frac{(\Sigma \mathrm{U})^{2}}{\mathrm{~N}}} \sqrt{\Sigma \mathrm{V}^{2}-\frac{(\Sigma \mathrm{V})^{2}}{\mathrm{~N}}}} …(3) \end{aligned} $$

$$=\frac{378-\frac{41 \times 35}{5}}{\sqrt{423-\frac{(41)^2}{5}}\sqrt{343-\frac{(35)^2}{5}}}$$

$$ \begin{aligned} & =0.98 \end{aligned} $$

মূল্য সূচক এবং অর্থ সরবরাহের মধ্যে শক্তিশালী ধনাত্মক সম্পর্ক হল মুদ্রানীতির একটি গুরুত্বপূর্ণ ভিত্তি। যখন অর্থ সরবরাহ বৃদ্ধি পায়, মূল্য সূচকও বৃদ্ধি পায়।

কর্মকাণ্ড

• ভারতের জনসংখ্যা এবং জাতীয় আয় সম্পর্কিত তথ্য ব্যবহার করে, ধাপ বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যবহার করে তাদের মধ্যে সম্পর্ক গণনা করুন।

স্পিয়ারম্যানের ক্রম সম্পর্ক

স্পিয়ারম্যানের ক্রম সম্পর্ক ব্রিটিশ মনোবিজ্ঞানী সি.ই. স্পিয়ারম্যান দ্বারা উন্নত করা হয়েছিল। এটি নিম্নলিখিত পরিস্থিতিতে ব্যবহৃত হয়:

১. ধরা যাক আমরা একটি দূরবর্তী গ্রামের শিক্ষার্থীদের উচ্চতা এবং ওজনের মধ্যে সম্পর্ক অনুমান করার চেষ্টা করছি যেখানে পরিমাপক রড বা ওজন মেশিন কোনটিই পাওয়া যায় না। এই ধরনের পরিস্থিতিতে, আমরা উচ্চতা বা ওজন পরিমাপ করতে পারি না, কিন্তু আমরা অবশ্যই শিক্ষার্থীদের ওজন এবং উচ্চতা অনুযায়ী ক্রম নির্ধারণ করতে পারি। তারপর এই ক্রমগুলি স্পিয়ারম্যানের ক্রম সম্পর্ক সহগ গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ২. ধরা যাক আমরা ন্যায্যতা, সততা বা সৌন্দর্যের মতো বিষয়গুলির সাথে কাজ করছি। এগুলি আয়, ওজন বা উচ্চতার মতো একইভাবে পরিমাপ করা যায় না। সর্বাধিক, এই বিষয়গুলি আপেক্ষিকভাবে পরিমাপ করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, আমরা সৌন্দর্য অনুযায়ী মানুষদের ক্রম নির্ধারণ করতে সক্ষম হতে পারি (কেউ কেউ যুক্তি দিতে পারে যে এমনকি এটিও সম্ভব নয় কারণ সৌন্দর্যের মানদণ্ড এবং মান ব্যক্তি থেকে ব্যক্তি এবং সংস্কৃতি থেকে সংস্কৃতিতে ভিন্ন হতে পারে)। যদি আমরা চলকগুলির মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে বের করতে চাই, যার মধ্যে অন্তত একটি এই ধরনের, তাহলে স্পিয়ারম্যানের ক্রম সম্পর্ক সহগ ব্যবহার করতে হবে। ৩. স্পিয়ারম্যানের ক্রম সম্পর্ক সহগ কিছু ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে একটি সম্পর্ক রয়েছে যার দিক স্পষ্ট কিন্তু যা অ-রৈখিক যেমন দেখানো হয়েছে যখন বিক্ষেপ চিত্রগুলি চিত্র ৬.৬ এবং ৬.৭-এ দেখানো ধরনের হয়। ৪. স্পিয়ারম্যানের সম্পর্ক সহগ চরম মান দ্বারা প্রভাবিত হয় না। এই দিক থেকে, এটি কার্ল পিয়ারসনের সম্পর্ক সহগের চেয়ে ভাল। সুতরাং যদি তথ্যগুলিতে কিছু চরম মান থাকে, স্পিয়ারম্যানের সম্পর্ক সহগ খুব উপযোগী হতে পারে।

ক্রম সম্পর্ক সহগ এবং সরল সম্পর্ক সহগের একই ব্যাখ্যা রয়েছে। এর সূত্রটি সরল সম্পর্ক সহগ থেকে উদ্ভূত হয়েছে যেখানে পৃথক মানগুলিকে ক্রম দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়েছে। এই ক্রমগুলি সম্পর্ক গণনার জন্য ব্যবহৃত হয়। এই সহগটি এই এককগুলিকে নির্ধারিত ক্রমগুলির মধ্যে রৈখিক সংযোগের একটি পরিমাপ প্রদান করে, তাদের মান নয়। স্পিয়ারম্যানের ক্রম সম্পর্ক সূত্র হল

$$ \begin{equation*} r _{a}=1-\frac{6 \sum D^{2}}{n^{3}-n} \tag{4} \end{equation*} $$

যেখানে $n$ হল পর্যবেক্ষণের সংখ্যা এবং $\mathrm{D}$ হল একটি চলককে নির্ধারিত ক্রম থেকে অন্য চলককে নির্ধারিত ক্রমের বিচ্যুতি।

সরল সম্পর্ক সহগের সমস্ত বৈশিষ্ট্য এখানে প্রযোজ্য। পিয়ারসোনিয়ান সম্পর্ক সহগের মতো এটি ১ এবং -১ এর মধ্যে থাকে। তবে, সাধারণত এটি সাধারণ পদ্ধতির মতো সঠিক নয়। এটি এই কারণে যে তথ্য সম্পর্কিত সমস্ত তথ্য ব্যবহার করা হয় না।

প্রথম পার্থক্য হল ধারাবাহিক মানের পার্থক্য। ক্রমবর্ধমান মান অনুসারে সাজানো সিরিজের বিষয়গুলির মানের প্রথম পার্থক্যগুলি প্রায় কখনই ধ্রুবক নয়। সাধারণত তথ্যগুলি কেন্দ্রীয় মানগুলির চারপাশে ছোট পার্থক্য সহ মাঝখানে জমা হয়।

যদি প্রথম পার্থক্যগুলি ধ্রুবক হত, তাহলে $r$ এবং $r _{\mathrm{k}}$ অভিন্ন ফলাফল দিত। সাধারণভাবে $r _{\mathrm{k}}$, $r$ এর চেয়ে কম বা সমান।

ক্রম সম্পর্ক সহগের গণনা

ক্রম সম্পর্কের গণনা তিনটি পরিস্থিতিতে ব্যাখ্যা করা হবে।

১. ক্রমগুলি দেওয়া আছে। ২. ক্রমগুলি দেওয়া নেই। সেগুলি তথ্য থেকে বের করতে হবে। ৩. ক্রমগুলি পুনরাবৃত্তি হয়েছে।

কেস ১: যখন ক্রমগুলি দেওয়া আছে

উদাহরণ ৩

পাঁচজন ব্যক্তিকে তিনজন বিচারক একটি সৌন্দর্য প্রতিযোগিতায় মূল্যায়ন করেন। আমাদের বের করতে হবে কোন জুটি বিচারকের সৌন্দর্যের সাধারণ উপলব্ধির নিকটতম দৃষ্টিভঙ্গি রয়েছে।

প্রতিযোগী

৩ জোড়া বিচারক রয়েছে যার জন্য তিনবার ক্রম সম্পর্ক গণনা করা প্রয়োজন। সূত্র (4) ব্যবহার করা হবে।

$$ \begin{equation*} \mathrm{r} _{\mathrm{s}}=1-\frac{6 \Sigma \mathrm{D}^{2}}{\mathrm{n}^{3}-\mathrm{n}} \tag{4} \end{equation*} $$

$A$ এবং $B$ এর মধ্যে ক্রম সম্পর্ক নিম্নরূপ গণনা করা হয়:

সূত্র (4) এ এই মানগুলি প্রতিস্থাপন করে

$$ \begin{equation*} r _{s}=1-\frac{6 \Sigma D^{2}}{n^{3}-n} \tag{4} \end{equation*} $$

$=1-\frac{6 \times 14}{5^{3}-5}=1-\frac{84}{120}=1-0.7=0.3$

$A$ এবং $\mathrm{C}$ এর মধ্যে ক্রম সম্পর্ক নিম্নরূপ গণনা করা হয়:

সূত্র (4) এ এই মানগুলি প্রতিস্থাপন করে ক্রম সম্পর্ক হল ০.৫। একইভাবে, বিচারক $\mathrm{B}$ এবং $\mathrm{C}$ এর ক্রম নির্ধারণের মধ্যে ক্রম সম্পর্ক হল ০.৯। সুতরাং, বিচারক $A$ এবং C এর উপলব্ধি সবচেয়ে কাছাকাছি। বিচারক B এবং C এর রুচি খুব ভিন্ন।

কেস ২: যখন ক্রমগুলি দেওয়া নেই

উদাহরণ ৪

আমাদের অর্থনীতি এবং পরিসংখ্যানে ৫ জন শিক্ষার্থীর দ্বারা প্রাপ্ত নম্বরের শতাংশ দেওয়া হয়েছে। তারপর ক্রম নির্ধারণ করতে হবে এবং ক্রম সম্পর্ক গণনা করতে হবে।

একবার ক্রম নির্ধারণ সম্পন্ন হলে সূত্র (4) ব্যবহার করে ক্রম সম্পর্ক গণনা করা হয়।

কেস ৩: যখন ক্রমগুলি পুনরাবৃত্তি হয়েছে এবং ক্রম দেওয়া নেই

**উদাহরণ