1. પ્રસ્તાવના

પાછલા પ્રકરણોમાં તમે શીખ્યા છો કે માહિતીના જથ્થામાંથી સારાંશ માપનો કેવી રીતે બનાવવા અને સમાન ચલોમાં ફેરફારોનો અભ્યાસ કરવો. હવે તમે બે ચલો વચ્ચેના સંબંધની તપાસ કરવાનું શીખશો. ઉનાળાની ગરમી વધે છે, ત્યારે પર્વતીય સ્થળો વધુ અને વધુ મુલાકાતીઓથી ભરાઈ જાય છે. આઇસક્રીમની વેચાણ વધુ ઝડપી બને છે. આમ, તાપમાન મુલાકાતીઓની સંખ્યા અને આઇસક્રીમની વેચાણ સાથે સંબંધિત છે. તે જ રીતે, તમારા સ્થાનિક મંડીએ ટમેટાંનો પુરવઠો વધે છે, ત્યારે તેની કિંમત ઘટે છે. જ્યારે સ્થાનિક પાક બજારમાં પહોંચવાનું શરૂ કરે છે, ત્યારે ટમેટાંની કિંમત રૂ. 40 પ્રતિ $\mathrm{kg}$ થી રૂ. 4 પ્રતિ કિલો અથવા તો તેનાથી પણ ઓછી થઈ જાય છે. આમ, પુરવઠો કિંમત સાથે સંબંધિત છે. સહસંબંધ વિશ્લેષણ એ આવા સંબંધોની વ્યવસ્થિત રીતે તપાસ કરવાનો એક માધ્યમ છે. તે નીચેના જેવા પ્રશ્નો સાથે વ્યવહાર કરે છે:

• શું બે ચલો વચ્ચે કોઈ સંબંધ છે?

• જો એક ચલનું મૂલ્ય બદલાય છે, તો શું બીજા ચલનું મૂલ્ય પણ બદલાય છે?

• શું બંને ચલો એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે?

• સંબંધ કેટલો મજબૂત છે?

2. સંબંધના પ્રકારો

ચાલો વિવિધ પ્રકારના સંબંધો જોઈએ. માંગેલી માત્રામાં ફેરફાર અને કોઈ વસ્તુની કિંમત વચ્ચેનો સંબંધ માંગના સિદ્ધાંતનો અભિન્ન ભાગ છે, જેનો તમે કક્ષા XII માં અભ્યાસ કરશો. ઓછી કૃષિ ઉત્પાદકતા ઓછી વરસાદ સાથે સંબંધિત છે. આવા સંબંધના ઉદાહરણોને કારણ અને અસરની અર્થઘટન આપી શકાય છે. અન્ય માત્ર સંયોગ હોઈ શકે છે. અભયારણ્યમાં પ્રવાસી પક્ષીઓના આગમન અને સ્થાનિક વિસ્તારમાં જન્મ દર વચ્ચેના સંબંધને કોઈ કારણ અને અસરની અર્થઘટન આપી શકાતી નથી. આ સંબંધો માત્ર સંયોગ છે. જૂતાના કદ અને તમારી જેબમાં રહેલા પૈસા વચ્ચેનો સંબંધ એ આવું બીજું ઉદાહરણ છે. ભલે સંબંધો અસ્તિત્વમાં હોય, પણ તેમને સમજાવવા મુશ્કેલ હોય છે.

બીજા એક ઉદાહરણમાં, ત્રીજા ચલની બે ચલો પર અસર બે ચલો વચ્ચે સંબંધને જન્મ આપી શકે છે. આઇસક્રીમની ઝડપી વેચાણ ડૂબવાથી થતા મૃત્યુની વધુ સંખ્યા સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે. ભોગ બનનારાઓ આઇસક્રીમ ખાવાને કારણે ડૂબતા નથી. વધતું તાપમાન આઇસક્રીમની ઝડપી વેચાણ તરફ દોરી જાય છે. વધુમાં, ગરમી ટાળવા માટે ઘણા લોકો સ્વિમિંગ પૂલમાં જવાનું શરૂ કરે છે. આના કારણે ડૂબવાથી થતા મૃત્યુની સંખ્યા વધી હોઈ શકે છે. આમ, આઇસક્રીમની વેચાણ અને ડૂબવાથી થતા મૃત્યુ વચ્ચેના ઊંચા સહસંબંધ પાછળ તાપમાન છે.

સહસંબંધ શું માપે છે?

સહસંબંધ ચલો વચ્ચેના સંબંધની દિશા અને તીવ્રતાનો અભ્યાસ અને માપન કરે છે. સહસંબંધ સહ-વિવિધતા (covariation) માપે છે, કારણત્વ (causation) નહીં. સહસંબંધનું કારણ અને અસર સંબંધ તરીકે ક્યારેય અર્થઘટન ન કરવું જોઈએ. બે ચલો $\mathrm{X}$ અને Y વચ્ચે સહસંબંધની હાજરીનો અર્થ એ થાય છે કે જ્યારે એક ચલનું મૂલ્ય એક દિશામાં બદલાતું જોવા મળે છે, ત્યારે બીજા ચલનું મૂલ્ય પણ કાં તો એ જ દિશામાં (એટલે કે સકારાત્મક ફેરફાર) અથવા વિરુદ્ધ દિશામાં (એટલે કે નકારાત્મક ફેરફાર) બદલાતું જોવા મળે છે, પરંતુ નિશ્ચિત રીતે. સરળતા માટે અહીં આપણે ધારીએ છીએ કે સહસંબંધ, જો તે અસ્તિત્વમાં હોય, તો રેખીય છે, એટલે કે બે ચલોની સાપેક્ષ ગતિને ગ્રાફ પેપર પર સીધી રેખા દોરીને દર્શાવી શકાય છે.

સહસંબંધના પ્રકારો

સહસંબંધ સામાન્ય રીતે નકારાત્મક અને સકારાત્મક સહસંબંધમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. જ્યારે ચલો એકસાથે એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે ત્યારે સહસંબંધને સકારાત્મક કહેવામાં આવે છે. જ્યારે આવક વધે છે, ત્યારે ઉપભોગ પણ વધે છે. જ્યારે આવક ઘટે છે, ત્યારે ઉપભોગ પણ ઘટે છે. આઇસક્રીમની વેચાણ અને તાપમાન એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે. જ્યારે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે ત્યારે સહસંબંધ નકારાત્મક હોય છે. જ્યારે સફરજનની કિંમત ઘટે છે ત્યારે તેની માંગ વધે છે. જ્યારે કિંમતો વધે છે ત્યારે તેની માંગ ઘટે છે. જ્યારે તમે અભ્યાસમાં વધુ સમય ખર્ચો છો, ત્યારે તમારા નાપાસ થવાની સંભાવના ઘટે છે. જ્યારે તમે તમારા અભ્યાસમાં ઓછા કલાકો ખર્ચો છો, ત્યારે ઓછા ગુણ/ગ્રેડ મેળવવાની સંભાવના વધે છે. આ નકારાત્મક સહસંબંધના ઉદાહરણો છે. ચલો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.

3. સહસંબંધ માપવાની તકનીકો

સહસંબંધના અભ્યાસ માટે વપરાતા ત્રણ મહત્વપૂર્ણ સાધનો છે સ્કેટર આકૃતિઓ, કાર્લ પીઅર્સનનો સહસંબંધ ગુણાંક અને સ્પીઅરમેનનો ક્રમ સહસંબંધ. સ્કેટર આકૃતિ કોઈ ચોક્કસ આંકડાકીય મૂલ્ય આપ્યા વિના સંબંધની પ્રકૃતિને દૃષ્ટિની રીતે રજૂ કરે છે. બે ચલો વચ્ચેના રેખીય સંબંધનું આંકડાકીય માપન કાર્લ પીઅર્સનના સહસંબંધ ગુણાંક દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો સંબંધને સીધી રેખા દ્વારા રજૂ કરી શકાય તો તેને રેખીય કહેવામાં આવે છે. સ્પીઅરમેનનો સહસંબંધ ગુણાંક વ્યક્તિગત વસ્તુઓને તેમના ગુણધર્મો અનુસાર સોંપાયેલ ક્રમો વચ્ચેના રેખીય સંબંધને માપે છે. ગુણધર્મો એવા ચલો છે જેને આંકડાકીય રીતે માપી શકાતા નથી જેમ કે લોકોની બુદ્ધિ, શારીરિક દેખાવ, ઈમાનદારી, વગેરે.

સ્કેટર આકૃતિ

સ્કેટર આકૃતિ એ કોઈ આંકડાકીય મૂલ્યની ગણતરી કર્યા વિના, દૃષ્ટિની રીતે સંબંધનું સ્વરૂપ તપાસવા માટેની ઉપયોગી તકનીક છે. આ તકનીકમાં, બે ચલોના મૂલ્યોને ગ્રાફ પેપર પર બિંદુઓ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. સ્કેટર આકૃતિમાંથી, સંબંધની પ્રકૃતિની એકદમ સારી ખ્યાલ મળી શકે છે. સ્કેટર આકૃતિમાં સ્કેટર બિંદુઓની નજીકતાની ડિગ્રી અને તેમની એકંદર દિશા આપણને સંબંધની તપાસ કરવા માટે સક્ષમ બનાવે છે. જો બધા બિંદુઓ એક રેખા પર હોય, તો સહસંબંધ સંપૂર્ણ હોય છે અને એકતામાં હોવાનું કહેવાય છે. જો સ્કેટર બિંદુઓ રેખાની આસપાસ વિસ્તૃત રીતે વિખેરાયેલા હોય, તો સહસંબંધ ઓછો હોય છે. જો સ્કેટર બિંદુઓ રેખાની નજીક અથવા રેખા પર હોય તો સહસંબંધને રેખીય કહેવામાં આવે છે.

આકૃતિ 6.1 થી આકૃતિ 6.5 સુધીની સ્કેટર આકૃતિઓ આપણને બે ચલો વચ્ચેના સંબંધનો ખ્યાલ આપે છે. આકૃતિ 6.1 ઉપરની તરફ ઉગતી રેખાની આસપાસ સ્કેટર બિંદુઓ દર્શાવે છે જે ચલોની એક જ દિશામાં ગતિ દર્શાવે છે. જ્યારે $\mathrm{X}$ વધે છે ત્યારે $\mathrm{Y}$ પણ વધશે. આ સકારાત્મક સહસંબંધ છે. આકૃતિ 6.2 માં બિંદુઓ નીચેની તરફ ઢોળાવવાળી રેખાની આસપાસ વિખેરાયેલા જોવા મળે છે. આ વખતે ચલો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. જ્યારે $\mathrm{X}$ વધે છે ત્યારે $\mathrm{Y}$ ઘટે છે અને ઊલટું. આ નકારાત્મક સહસંબંધ છે. આકૃતિ 6.3 માં કોઈ ઉપરની તરફ ઉગતી અથવા નીચેની તરફ ઢોળાવવાળી રેખા નથી જેની આસપાસ બિંદુઓ વિખેરાયેલા છે. આ કોઈ સહસંબંધ ન હોવાનું ઉદાહરણ છે. આકૃતિ 6.4 અને આકૃતિ 6.5 માં, બિંદુઓ હવે ઉપરની તરફ ઉગતી અથવા નીચેની તરફ પડતી રેખાની આસપાસ વિખેરાયેલા નથી. બિંદુઓ પોતે જ રેખાઓ પર છે. આને અનુક્રમે સંપૂર્ણ સકારાત્મક સહસંબંધ અને સંપૂર્ણ નકારાત્મક સહસંબંધ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

પ્રવૃત્તિ

• તમારા વર્ગના વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈ, વજન અને કક્ષા $X$માં કોઈ પણ બે વિષયોમાં મેળવેલ ગુણો પર માહિતી એકત્રિત કરો. આ ચલોની સ્કેટર આકૃતિ એક સમયે બે લઈને દોરો. તમને કેવા પ્રકારનો સંબંધ જોવા મળે છે?

સ્કેટર આકૃતિની સચેત અવલોકન સંબંધની પ્રકૃતિ અને તીવ્રતાનો ખ્યાલ આપે છે.

કાર્લ પીઅર્સનનો સહસંબંધ ગુણાંક

આને ઉત્પાદન ક્ષણ સહસંબંધ ગુણાંક અથવા સરળ સહસંબંધ ગુણાંક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. તે બે ચલો $\mathrm{X}$ અને $Y$ વચ્ચેના રેખીય સંબંધની ડિગ્રીનું ચોક્કસ આંકડાકીય મૂલ્ય આપે છે.

એ નોંધવું મહત્વપૂર્ણ છે કે કાર્લ પીઅર્સનનો સહસંબંધ ગુણાંક ત્યારે જ વાપરવો જોઈએ જ્યારે ચલો વચ્ચે રેખીય સંબંધ હોય. જ્યારે $\mathrm{X}$ અને $\mathrm{Y}$ વચ્ચે બિન-રેખીય સંબંધ હોય, ત્યારે કાર્લ પીઅર્સનના સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરવી ભ્રામક હોઈ શકે છે. આમ, જો સાચો સંબંધ આકૃતિ 6.1, $6.2,6.4$ અને 6.5 માં દર્શાવેલ સ્કેટર આકૃતિઓની જેમ રેખીય પ્રકારનો હોય, તો કાર્લ પીઅર્સનના સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરવી જોઈએ અને તે આપણને ચલો વચ્ચેના સંબંધની દિશા અને તીવ્રતા જણાવશે. પરંતુ જો સાચો સંબંધ આકૃતિ 6.6 અથવા 6.7 માં દર્શાવેલ સ્કેટર આકૃતિઓના પ્રકારનો હોય, તો તેનો અર્થ છે કે $\mathrm{X}$ અને $\mathrm{Y}$ વચ્ચે બિન-રેખીય સંબંધ છે અને આપણે કાર્લ પીઅર્સનના સહસંબંધ ગુણાંકનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ ન કરવો જોઈએ.

તેથી, કાર્લ પીઅર્સનના સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરતા પહેલા ચલો વચ્ચેના સંબંધની સ્કેટર આકૃતિની પ્રથમ તપાસ કરવી સલાહભર્યું છે.

$X _{1}, X _{2}, \ldots, X _{N}$ ને $N$ ના $X$ મૂલ્યો થવા દો અને $\mathrm{Y} _{1}, \mathrm{Y} _{2}, \ldots, \mathrm{Y} _{\mathrm{N}}$ ને Y ના અનુરૂપ મૂલ્યો થવા દો. આગળની રજૂઆતોમાં, સરળતા માટે એકમ સૂચવતા સબસ્ક્રિપ્ટ છોડવામાં આવ્યા છે. $\mathrm{X}$ અને $\mathrm{Y}$ ના અંકગણિત સરેરાશ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}} ; \quad \overline{\mathrm{Y}}=\frac{\sum \mathrm{Y}}{\mathrm{N}} $$

અને તેમના વિચરણ નીચે મુજબ છે

$$ \sigma^{2} x=\frac{\sum(X-\bar{X})^{2}}{N}=\frac{\sum X^{2}}{N}-\bar{X}^{2} $$

અને $$\quad \sigma^{2} \mathrm{y}=\frac{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}{\mathrm{~N}}=\frac{\sum \mathrm{Y}^{2}}{\mathrm{~N}}-\overline{\mathrm{Y}}^{2}$$

$\mathrm{X}$ અને $\mathrm{Y}$ ના પ્રમાણિત વિચલનો, અનુક્રમે, તેમના વિચરણના ધન વર્ગમૂળ છે. $\mathrm{X}$ અને $\mathrm{Y}$ નો સહવિચરણ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

$\operatorname{Cov}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\mathrm{N}}=\frac{\sum \mathrm{xy}}{\mathrm{N}}$

જ્યાં $\mathrm{x}=\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}}$ અને $\mathrm{y}=\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}}$ અનુક્રમે $i^{\text {th }}$ ના $\mathrm{X}$ અને $\mathrm{Y}$ ના મૂલ્યોનાં તેમના સરેરાશ મૂલ્યોમાંથી વિચલનો છે.

$\mathrm{X}$ અને $\mathrm{Y}$ વચ્ચેના સહવિચરણનું ચિહ્ન સહસંબંધ ગુણાંકનું ચિહ્ન નક્કી કરે છે. પ્રમાણિત વિચલનો હંમેશા ધન હોય છે. જો સહવિચરણ શૂન્ય હોય, તો સહસંબંધ ગુણાંક હંમેશા શૂન્ય હોય છે. ઉત્પાદન ક્ષણ સહસંબંધ અથવા કાર્લ પીઅર્સનનું સહસંબંધ માપ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}={ }^{\Sigma \mathrm{xy}} / N \sigma _{\mathrm{x}} \sigma _{\mathrm{y}} \tag{1} \end{equation*} $$

અથવા

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\sqrt{\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}} \sqrt{\Sigma(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}} \tag{2} \end{equation*} $$

અથવા

$$ \begin{equation*} r=\frac{\frac{\sum X Y-\left(\sum X\right)\left(\sum Y\right)}{N}}{\sqrt{\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}} \sqrt{\sum Y^{2}-\frac{\left(\sum Y\right)^{2}}{N}}}\tag{3} \end{equation*} $$

અથવા

$$ \begin{equation*} r=\frac{N \sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{N \sum X^2-(\sum X)^2} \cdot \sqrt{N \sum Y^2-(\sum Y)^2}}\tag{4} \end{equation*} $$

સહસંબંધ ગુણાંકના ગુણધર્મો

ચાલો હવે સહસંબંધ ગુણાંકના ગુણધર્મોની ચર્ચા કરીએ

• $r$ નો કોઈ એકમ નથી. તે શુદ્ધ સંખ્યા છે. તેનો અર્થ એ છે કે માપનના એકમો $r$ નો ભાગ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ફૂટમાં ઊંચાઈ અને કિલોગ્રામમાં વજન વચ્ચેનો $r$, ધારો કે 0.7 હોઈ શકે છે.
• $r$ નું નકારાત્મક મૂલ્ય વ્યસ્ત સંબંધ સૂચવે છે. એક ચલમાં ફેરફાર બીજા ચલમાં વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરફાર સાથે સંકળાયેલો છે. જ્યારે કોઈ વસ્તુની કિંમત વધે છે, ત્યારે તેની માંગ ઘટે છે. જ્યારે વ્યાજનો દર વધે છે ત્યારે ભંડોળની માંગ પણ ઘટે છે. તે એટલા માટે કે હવે ભંડોળ ખર્ચાળ બન્યું છે.
• જો $r$ ધન હોય તો બંને ચલો એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે. જ્યારે ચાના વિકલ્પ કોફીની કિંમત વધે છે ત્યારે ચાની માંગ પણ વધે છે. સિંચાઈની સુવિધાઓમાં સુધારો વધુ ઉપજ સાથે સંકળાયેલો છે. જ્યારે તાપમાન વધે છે ત્યારે આઇસક્રીમની વેચાણ ઝડપી બને છે.

• સહસંબંધ ગુણાંકનું મૂલ્ય ઓછા એક અને વત્તા એક વચ્ચે રહે છે, $-1 \leq r \leq 1$. જો, કોઈ પણ કસરતમાં, $r$ નું મૂલ્ય આ શ્રેણીની બહાર હોય તો તે ગણતરીમાં ભૂલ સૂચવે છે.
• $r$ ની તીવ્રતા મૂળમાં ફેરફાર અને સ્કેલમાં ફેરફારથી અપ્રભાવિત રહે છે. બે ચલો $\mathrm{X}$ અને $\mathrm{Y}$ આપવામાં આવે છે, ચાલો બે નવા ચલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

$\mathrm{U}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{B}} ; \mathrm{V}=\frac{\mathrm{Y}-\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$

જ્યાં $A$ અને $C$ અનુક્રમે $\mathrm{X}$ અને $\mathrm{Y}$ ના ધારેલા સરેરાશ છે. $\mathrm{B}$ અને $\mathrm{D}$ સામાન્ય અવયવો છે અને સમાન ચિહ્નના છે. પછી

$r _{x y}=r _{u v}$

આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી અત્યંત સરળ રીતે કરવા માટે થાય છે, જેમ કે પગલું વિચલન પદ્ધતિમાં.

• જો $r=0$ હોય તો બે ચલો અસહસંબંધિત છે. તેમની વચ્ચે કોઈ રેખીય સંબંધ નથી. જો કે અન્ય પ્રકારના સંબંધ હોઈ શકે છે.
• જો $r=1$ અથવા $r=-1$ હોય તો સહસંબંધ સંપૂર્ણ છે અને ચોક્કસ રેખીય સંબંધ છે.
• $r$ નું ઊંચું મૂલ્ય મજબૂત રેખીય સંબંધ સૂચવે છે. જ્યારે તે +1 અથવા -1 ની નજીક હોય ત્યારે તેનું મૂલ્ય ઊંચું કહેવાય છે.
• $r$ નું નીચું મૂલ્ય (શૂન્યની નજીક) નબળા રેખીય સંબંધનો સંકેત આપે છે. પરંતુ બિન-રેખીય સંબંધ હોઈ શકે છે.

જેમ તમે પ્રકરણ 1 માં વાંચ્યું છે, આંકડાકીય પદ્ધતિઓ સામાન્ય જ્ઞાનનો વિકલ્પ નથી. અહીં, બીજું એક ઉદાહરણ છે, જે સહસંબંધની ગણતરી અને અર્થઘટન કરતા પહેલા માહિતીને યોગ્ય રીતે સમજવાની જરૂરિયાત પર પ્રકાશ પાડે છે. એક મહામારી કેટલાંક ગામોમાં ફેલાય છે અને સરકાર ગામોમાં ડૉક્ટરોની ટીમ મોકલે છે. મૃત્યુની સંખ્યા અને ગામોમાં મોકલેલા ડૉક્ટરોની સંખ્યા વચ્ચે સહસંબંધ ધન જોવા મળે છે. સામાન્ય રીતે, ડૉક્ટરો દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવતી આરોગ્ય સેવાઓ મૃત્યુની સંખ્યા ઘટાડવાની અપેક્ષા રાખવામાં આવે છે જે નકારાત્મક સહસંબંધ દર્શાવે છે. આ અન્ય કારણોસર થયું. માહિતી ચોક્કસ સમયગાળા સાથે સંબંધિત છે. અહેવાલિત મૃત્યુમાંના ઘણાં ટર્મિનલ કેસ હોઈ શકે છે જ્યાં ડૉક્ટરો ઓછું કરી શકે. વધુમાં, ડૉક્ટરોની હાજરીનો ફાયદો થોડા સમય પછી જ દૃશ્યમાન બને છે. એ પણ શક્ય છે કે અહેવાલિત મૃત્યુ મહામારીને કારણે નથી. એક સુ