১. ভূমিকা

পূৰ্বৱৰ্তী অধ্যায়সমূহত আপুনি ডাটাৰ এটা সমষ্টিৰ পৰা সংক্ষিপ্ত পৰিমাপৰ সৃষ্টি কৰা আৰু একে ধৰণৰ চলকসমূহৰ মাজৰ পৰিৱৰ্তনৰ বিষয়ে শিকিছে। এতিয়া আপুনি দুটা চলকৰ মাজৰ সম্পৰ্ক পৰীক্ষা কৰিবলৈ শিকিব। গ্ৰীষ্মকালৰ উষ্ণতা বৃদ্ধি হোৱাৰ লগে লগে, পাহাৰীয়া ঠাইসমূহ অধিক সংখ্যক ভ্ৰমণকাৰীৰে ভৰি পৰে। আইচক্ৰীমৰ বিক্ৰয় অধিক বেছি হয়। গতিকে, উষ্ণতা ভ্ৰমণকাৰীৰ সংখ্যা আৰু আইচক্ৰীমৰ বিক্ৰয়ৰ সৈতে সম্পৰ্কিত। একেদৰে, আপোনাৰ স্থানীয় মণ্ডীত টমেটোৰ যোগান বৃদ্ধি হ’লে ইয়াৰ দাম হ্ৰাস পায়। যেতিয়া স্থানীয় শস্য বজাৰলৈ আহিবলৈ আৰম্ভ কৰে, টমেটোৰ দাম প্ৰতি $\mathrm{kg}$ ৪০ টকাৰ পৰা প্ৰতি কিলোগ্ৰাম ৪ টকালৈ বা তাতকৈও কমলৈ নামি যায়। গতিকে যোগান দামৰ সৈতে সম্পৰ্কিত। সহসম্বন্ধ বিশ্লেষণ এনে সম্পৰ্কসমূহ পদ্ধতিগতভাৱে পৰীক্ষা কৰাৰ এক উপায়। ই এনে প্ৰশ্নসমূহৰ সৈতে ব্যৱহাৰ কৰে:

• দুটা চলকৰ মাজত কোনো সম্পৰ্ক আছে নেকি?

• এটা চলকৰ মান সলনি হ’লে, আনটো চলকৰ মানো সলনি হয় নেকি?

• দুয়োটা চলক একে দিশত গতি কৰে নেকি?

• সম্পৰ্কটো কিমান শক্তিশালী?

২. সম্পৰ্কৰ প্ৰকাৰ

আকৌ বিভিন্ন ধৰণৰ সম্পৰ্কলৈ চাওঁ আহক। এটা বস্তুৰ চাহিদা পৰিমাণৰ গতি আৰু দামৰ মাজৰ সম্পৰ্ক চাহিদাৰ তত্ত্বৰ এক অবিচ্ছেদ্য অংশ, যিটো আপুনি দ্বাদশ শ্ৰেণীত অধ্যয়ন কৰিব। নিম্ন কৃষি উৎপাদনশীলতা কম বৰষুণৰ সৈতে সম্পৰ্কিত। সম্পৰ্কৰ এনে উদাহৰণসমূহক কাৰণ আৰু প্ৰভাৱৰ ব্যাখ্যা দিব পাৰি। আন কিছুমান কেৱল কাকতালীয় হ’ব পাৰে। এটা অভয়াৰণ্যত পৰিভ্ৰমী চৰাইৰ আগমন আৰু স্থানীয়তাৰ জন্ম হাৰৰ মাজৰ সম্পৰ্কক কোনো কাৰণ আৰু প্ৰভাৱৰ ব্যাখ্যা দিব নোৱাৰি। সম্পৰ্কসমূহ সহজ কাকতালীয়। জোতাৰ আকাৰ আৰু আপোনাৰ জেপত থকা টকাৰ মাজৰ সম্পৰ্ক আন এনে উদাহৰণ। সম্পৰ্ক থাকিলেও, ইয়াক ব্যাখ্যা কৰাটো কঠিন।

আন এটা উদাহৰণত দুটা চলকৰ ওপৰত তৃতীয় এটা চলকৰ প্ৰভাৱে দুটা চলকৰ মাজত এটা সম্পৰ্কৰ সৃষ্টি কৰিব পাৰে। আইচক্ৰীমৰ দ্ৰুত বিক্ৰয় ডুবি মৰাৰ ফলত হোৱা মৃত্যুৰ উচ্চ সংখ্যাৰ সৈতে সম্পৰ্কিত হ’ব পাৰে। দুৰ্ঘটনাগ্ৰস্তসকল আইচক্ৰীম খোৱাৰ বাবে ডুবি মৰা নহয়। বঢ়া উষ্ণতাই আইচক্ৰীমৰ দ্ৰুত বিক্ৰয় ঘটায়। ইয়াৰ উপৰি, বহুতো মানুহে গৰম কমাবলৈ পোহৰীয়া পুখুৰীলৈ যাবলৈ আৰম্ভ কৰে। ইয়ে ডুবি মৰাৰ ফলত হোৱা মৃত্যুৰ সংখ্যা বৃদ্ধি কৰিছিল। গতিকে, উষ্ণতাই আইচক্ৰীমৰ বিক্ৰয় আৰু ডুবি মৰাৰ ফলত হোৱা মৃত্যুৰ মাজৰ উচ্চ সহসম্বন্ধৰ পিছফালে আছে।

সহসম্বন্ধে কি জুখে?

সহসম্বন্ধে চলকসমূহৰ মাজৰ সম্পৰ্কৰ দিশ আৰু তীব্ৰতা অধ্যয়ন আৰু জুখে। সহসম্বন্ধে সহ-পৰিৱৰ্তন জুখে, কাৰণত্ব নহয়। সহসম্বন্ধক কেতিয়াও কাৰণ আৰু প্ৰভাৱ সম্পৰ্ক বুজাবলৈ ব্যাখ্যা কৰিব নালাগে। দুটা চলক $\mathrm{X}$ আৰু Y ৰ মাজত সহসম্বন্ধৰ উপস্থিতিয়ে কেৱল এয়া বুজায় যে যেতিয়া এটা চলকৰ মান এটা দিশত সলনি হোৱা পোৱা যায়, আনটো চলকৰ মানটোও হয় একে দিশত (অৰ্থাৎ ধনাত্মক পৰিৱৰ্তন) বা বিপৰীত দিশত (অৰ্থাৎ ঋণাত্মক পৰিৱৰ্তন) সলনি হোৱা পোৱা যায়, কিন্তু এক নিৰ্দিষ্ট ধৰণে। সহজতে আমি ইয়াত ধৰি লওঁ যে সহসম্বন্ধ, যদি ই থাকে, ৰৈখিক, অৰ্থাৎ দুটা চলকৰ আপেক্ষিক গতিক গ্ৰাফ কাগজত এডাল সৰল ৰেখা আঁকি প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি।

সহসম্বন্ধৰ প্ৰকাৰ

সহসম্বন্ধ সাধাৰণতে ঋণাত্মক আৰু ধনাত্মক সহসম্বন্ধত শ্ৰেণীবদ্ধ কৰা হয়। যেতিয়া চলকসমূহ একে দিশত একেলগে গতি কৰে, তেতিয়া সহসম্বন্ধক ধনাত্মক বুলি কোৱা হয়। যেতিয়া আয় বৃদ্ধি পায়, ভোগো বৃদ্ধি পায়। যেতিয়া আয় হ্ৰাস পায়, ভোগো হ্ৰাস পায়। আইচক্ৰীমৰ বিক্ৰয় আৰু উষ্ণতা একে দিশত গতি কৰে। যেতিয়া সিহঁতে বিপৰীত দিশত গতি কৰে, তেতিয়া সহসম্বন্ধ ঋণাত্মক হয়। যেতিয়া আপেলৰ দাম হ্ৰাস পায় ইয়াৰ চাহিদা বৃদ্ধি পায়। যেতিয়া দাম বৃদ্ধি পায় ইয়াৰ চাহিদা হ্ৰাস পায়। যেতিয়া আপুনি অধ্যয়নত বেছি সময় ব্যয় কৰে, আপোনাৰ অনুত্তীৰ্ণ হোৱাৰ সম্ভাৱনা হ্ৰাস পায়। যেতিয়া আপুনি আপোনাৰ অধ্যয়নত কম সময় ব্যয় কৰে, কম নম্বৰ/শ্ৰেণী পোৱাৰ সম্ভাৱনা বৃদ্ধি পায়। এইবোৰ ঋণাত্মক সহসম্বন্ধৰ উদাহৰণ। চলকসমূহ বিপৰীত দিশত গতি কৰে।

৩. সহসম্বন্ধ জুখিবৰ কৌশল

সহসম্বন্ধ অধ্যয়ন কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা তিনিটা গুৰুত্বপূৰ্ণ সঁজুলি হৈছে বিক্ষেপ চিত্ৰ, কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক আৰু স্পীয়াৰমেনৰ শ্ৰেণী সহসম্বন্ধ। এটা বিক্ষেপ চিত্ৰয়ে কোনো নিৰ্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মান নিদিয়াকৈ সংলগ্নতাৰ প্ৰকৃতি দৃশ্যত উপস্থাপন কৰে। দুটা চলকৰ মাজৰ ৰৈখিক সম্পৰ্কৰ এটা সংখ্যাসূচক পৰিমাপ কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংকেৰে দিয়া হয়। এটা সম্পৰ্কক ৰৈখিক বুলি কোৱা হয় যদি ইয়াক এডাল সৰল ৰেখাৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি। স্পীয়াৰমেনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংকে ব্যক্তিগত বস্তুবোৰক সিহঁতৰ গুণ অনুসৰি দিয়া শ্ৰেণীসমূহৰ মাজৰ ৰৈখিক সংলগ্নতা জুখে। গুণসমূহ হৈছে সেই চলকসমূহ যিবোৰ সংখ্যাসূচকভাৱে জুখিব নোৱাৰি যেনে মানুহৰ বুদ্ধিমত্তা, শাৰীৰিক ৰূপ, সততা, ইত্যাদি।

বিক্ষেপ চিত্ৰ

বিক্ষেপ চিত্ৰ হৈছে কোনো সংখ্যাসূচক মান গণনা নকৰাকৈ দৃশ্যত সম্পৰ্কৰ ৰূপ পৰীক্ষা কৰাৰ এক উপযোগী কৌশল। এই কৌশলত, দুটা চলকৰ মানবোৰ গ্ৰাফ কাগজত বিন্দু হিচাপে অংকন কৰা হয়। এটা বিক্ষেপ চিত্ৰৰ পৰা, এজনে সম্পৰ্কৰ প্ৰকৃতিৰ বিষয়ে বেছ ভাল ধাৰণা পাব পাৰে। এটা বিক্ষেপ চিত্ৰত বিক্ষেপ বিন্দুবোৰৰ নিকটতাৰ ডিগ্ৰী আৰু সিহঁতৰ সামগ্ৰিক দিশে আমাক সম্পৰ্ক পৰীক্ষা কৰিবলৈ সক্ষম কৰায়। যদি সকলো বিন্দু এডাল ৰেখাত থাকে, সহসম্বন্ধ সম্পূৰ্ণ আৰু একতাত বুলি কোৱা হয়। যদি বিক্ষেপ বিন্দুবোৰ ৰেখাৰ চাৰিওফালে বহলভাৱে বিচ্ছুৰিত হৈ থাকে, সহসম্বন্ধ কম। সহসম্বন্ধক ৰৈখিক বুলি কোৱা হয় যদি বিক্ষেপ বিন্দুবোৰ ৰেখাৰ ওচৰত বা ৰেখাত থাকে।

চিত্ৰ ৬.১ ৰ পৰা চিত্ৰ ৬.৫ লৈ বিস্তৃত বিক্ষেপ চিত্ৰসমূহে আমাক দুটা চলকৰ মাজৰ সম্পৰ্কৰ ধাৰণা দিয়ে। চিত্ৰ ৬.১ এ এটা ওপৰলৈ উঠা ৰেখাৰ চাৰিওফালে এটা বিক্ষেপ দেখুৱায় যিয়ে চলকসমূহৰ একে দিশত গতি সূচায়। যেতিয়া $\mathrm{X}$ বৃদ্ধি পায় $\mathrm{Y}$ ও বৃদ্ধি পাব। এইটো ধনাত্মক সহসম্বন্ধ। চিত্ৰ ৬.২ ত বিন্দুবোৰ তললৈ ঢালু ৰেখাৰ চাৰিওফালে বিচ্ছুৰিত হৈ থকা পোৱা যায়। এইবাৰ চলকসমূহ বিপৰীত দিশত গতি কৰে। যেতিয়া $\mathrm{X}$ বৃদ্ধি পায় $\mathrm{Y}$ হ্ৰাস পায় আৰু ইয়াৰ বিপৰীত। এইটো ঋণাত্মক সহসম্বন্ধ। চিত্ৰ ৬.৩ ত কোনো ওপৰলৈ উঠা বা তললৈ নামি অহা ৰেখা নাই যাৰ চাৰিওফালে বিন্দুবোৰ বিচ্ছুৰিত হৈ আছে। এইটো সহসম্বন্ধ নথকাৰ উদাহৰণ। চিত্ৰ ৬.৪ আৰু চিত্ৰ ৬.৫ ত, বিন্দুবোৰ আৰু ওপৰলৈ উঠা বা তললৈ পৰা ৰেখাৰ চাৰিওফালে বিচ্ছুৰিত হৈ নাথাকে। বিন্দুবোৰ নিজেই ৰেখাত থাকে। এইটোক ক্ৰমে সম্পূৰ্ণ ধনাত্মক সহসম্বন্ধ আৰু সম্পূৰ্ণ ঋণাত্মক সহসম্বন্ধ বুলি কোৱা হয়।

কাৰ্য্যকলাপ

• আপোনাৰ শ্ৰেণীৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে শ্ৰেণী $X$ ত যিকোনো দুটা বিষয়ত স্কোৰ কৰা উচ্চতা, ওজন আৰু নম্বৰৰ ডাটা সংগ্ৰহ কৰক। এই চলকসমূহৰ বিক্ষেপ চিত্ৰ একেলগে দুটা লৈ আঁকক। আপুনি কি ধৰণৰ সম্পৰ্ক পায়?

বিক্ষেপ চিত্ৰৰ সাৱধান অভিবীক্ষণে সম্পৰ্কৰ প্ৰকৃতি আৰু তীব্ৰতাৰ ধাৰণা দিয়ে।

কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক

ইয়াক প্ৰডাক্ট মমেন্ট কৰিলেচন কেফিচিয়েণ্ট বা সহজ সহসম্বন্ধ গুণাংক বুলিও জনা যায়। ই দুটা চলক $\mathrm{X}$ আৰু $Y$ ৰ মাজৰ ৰৈখিক সম্পৰ্কৰ ডিগ্ৰীৰ এটা সঠিক সংখ্যাসূচক মান দিয়ে।

ইয়াক মনত ৰাখিবলগীয়া যে কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক কেৱল তেতিয়াহে ব্যৱহাৰ কৰিব লাগিব যেতিয়া চলকসমূহৰ মাজত ৰৈখিক সম্পৰ্ক থাকে। যেতিয়া $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ মাজত অ-ৰৈখিক সম্পৰ্ক থাকে, তেতিয়া কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক গণনা কৰাটো ভ্ৰান্তিকৰ হ’ব পাৰে। গতিকে, যদি সঁচা সম্পৰ্কটো ৰৈখিক প্ৰকাৰৰ হয় যেনে চিত্ৰ ৬.১, $6.2,6.4$ আৰু ৬.৫ ৰ বিক্ষেপ চিত্ৰসমূহে দেখুৱায়, তেন্তে কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক গণনা কৰিব লাগিব আৰু ই আমাক চলকসমূহৰ মাজৰ সম্পৰ্কৰ দিশ আৰু তীব্ৰতা ক’ব। কিন্তু যদি সঁচা সম্পৰ্কটো চিত্ৰ ৬.৬ বা ৬.৭ ৰ বিক্ষেপ চিত্ৰসমূহত দেখুওৱা ধৰণৰ হয়, তেন্তে ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ মাজত অ-ৰৈখিক সম্পৰ্ক আছে আৰু আমি কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰিব নালাগে।

গতিকে, কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক গণনা কৰাৰ আগতে প্ৰথমে চলকসমূহৰ মাজৰ সম্পৰ্কৰ বিক্ষেপ চিত্ৰ পৰীক্ষা কৰাটো পৰামৰ্শযোগ্য।

$X _{1}, X _{2}, \ldots, X _{N}$ ক $N$ মানৰ $X$ হ’ব দিয়ক আৰু $\mathrm{Y} _{1}, \mathrm{Y} _{2}, \ldots, \mathrm{Y} _{\mathrm{N}}$ ক Y ৰ অনুক্ৰমিক মান হ’ব দিয়ক। পৰৱৰ্তী উপস্থাপনসমূহত, সৰলতাৰ বাবে একক সূচিত কৰা সাবস্ক্ৰিপ্টসমূহ বাদ দিয়া হৈছে। $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ গাণিতিক মধ্যকসমূহ সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}} ; \quad \overline{\mathrm{Y}}=\frac{\sum \mathrm{Y}}{\mathrm{N}} $$

আৰু সিহঁতৰ প্ৰসৰণসমূহ তলত দিয়া ধৰণে

$$ \sigma^{2} x=\frac{\sum(X-\bar{X})^{2}}{N}=\frac{\sum X^{2}}{N}-\bar{X}^{2} $$

আৰু $$\quad \sigma^{2} \mathrm{y}=\frac{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}{\mathrm{~N}}=\frac{\sum \mathrm{Y}^{2}}{\mathrm{~N}}-\overline{\mathrm{Y}}^{2}$$

$\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ প্ৰমাণিত বিচ্যুতিসমূহ, ক্ৰমে, সিহঁতৰ প্ৰসৰণৰ ধনাত্মক বৰ্গমূল। $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ সহ-প্ৰসৰণ সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে

$\operatorname{Cov}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\mathrm{N}}=\frac{\sum \mathrm{xy}}{\mathrm{N}}$

য’ত $\mathrm{x}=\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}}$ আৰু $\mathrm{y}=\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}}$ হৈছে $i^{\text {th }}$ মানৰ $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ সিহঁতৰ মধ্যক মানৰ পৰা ক্ৰমে বিচ্যুতি।

$\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ মাজৰ সহ-প্ৰসৰণৰ চিহ্নই সহসম্বন্ধ গুণাংকৰ চিহ্ন নিৰ্ধাৰণ কৰে। প্ৰমাণিত বিচ্যুতিসমূহ সদায় ধনাত্মক। যদি সহ-প্ৰসৰণ শূন্য হয়, সহসম্বন্ধ গুণাংক সদায় শূন্য হয়। প্ৰডাক্ট মমেন্ট কৰিলেচন বা কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধৰ পৰিমাপ দিয়া হৈছে

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}={ }^{\Sigma \mathrm{xy}} / N \sigma _{\mathrm{x}} \sigma _{\mathrm{y}} \tag{1} \end{equation*} $$

বা

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\sqrt{\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}} \sqrt{\Sigma(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}} \tag{2} \end{equation*} $$

বা

$$ \begin{equation*} r=\frac{\frac{\sum X Y-\left(\sum X\right)\left(\sum Y\right)}{N}}{\sqrt{\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}} \sqrt{\sum Y^{2}-\frac{\left(\sum Y\right)^{2}}{N}}}\tag{3} \end{equation*} $$

বা

$$ \begin{equation*} r=\frac{N \sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{N \sum X^2-(\sum X)^2} \cdot \sqrt{N \sum Y^2-(\sum Y)^2}}\tag{4} \end{equation*} $$

সহসম্বন্ধ গুণাংকৰ ধৰ্মসমূহ

আকৌ সহসম্বন্ধ গুণাংকৰ ধৰ্মসমূহ আলোচনা কৰো আহক

• $r$ ৰ কোনো একক নাই। ই এটা বিশুদ্ধ সংখ্যা। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে পৰিমাপৰ এককসমূহ $r$ ৰ অংশ নহয়। উদাহৰণস্বৰূপে, ফুটত উচ্চতা আৰু কিলোগ্ৰামত ওজনৰ মাজৰ $r$, ধৰি ল’ব পাৰি ০.৭।
• $r$ ৰ এটা ঋণাত্মক মানই এটা বিপৰীত সম্পৰ্ক সূচায়। এটা চলকৰ পৰিৱৰ্তন আনটো চলকৰ বিপৰীত দিশত পৰিৱৰ্তনৰ সৈতে সংলগ্ন। যেতিয়া এটা বস্তুৰ দাম বৃদ্ধি পায়, ইয়াৰ চাহিদা হ্ৰাস পায়। যেতিয়া সুদৰ হাৰ বৃদ্ধি পায়, ধনৰ চাহিদাও হ্ৰাস পায়। ইয়াকৰ কাৰণ হ’ল এতিয়া ধনবোৰ বেছি দামী হৈ পৰিছে।
• যদি $r$ ধনাত্মক হয় দুটা চলক একে দিশত গতি কৰে। যেতিয়া চাহৰ বিকল্প কফিৰ দাম বৃদ্ধি পায়, চাহৰ চাহিদাও বৃদ্ধি পায়। সিঁচনিৰ সুবিধাৰ উন্নতিয়ে উচ্চ ফলনৰ সৈতে সংলগ্ন। যেতিয়া উষ্ণতা বৃদ্ধি পায় আইচক্ৰীমৰ বিক্ৰয় দ্ৰুত হয়।

• সহসম্বন্ধ গুণাংকৰ মান মাইনাছ এক আৰু প্লাছ একৰ মাজত থাকে, $-1 \leq r \leq 1$। যদি, কোনো অনুশীলনত, $r$ ৰ মান এই পৰিসৰৰ বাহিৰত হয় ই গণনাৰ ভুল সূচায়।
• $r$ ৰ পৰিমাণ উৎপত্তিৰ পৰিৱৰ্তন আৰু মাপৰ পৰিৱৰ্তনৰ দ্বাৰা অপ্ৰভাৱিত। দুটা চলক $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ দিয়া হৈছে, আকৌ দুটা নতুন চলক সংজ্ঞায়িত কৰো।

$\mathrm{U}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{B}} ; \mathrm{V}=\frac{\mathrm{Y}-\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$

য’ত $A$ আৰু $C$ ক্ৰমে $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ ধৰা লোৱা মধ্যক। $\mathrm{B}$ আৰু $\mathrm{D}$ সাধাৰণ গুণক আৰু একে চিহ্নৰ। তেতিয়া

$r _{x y}=r _{u v}$

এই ধৰ্মটো সহসম্বন্ধ গুণাংক গণনা কৰিবলৈ অতি সৰলীকৃত ধৰণে ব্যৱহাৰ কৰা হয়, যেনে পদক্ষেপ বিচ্যুতি পদ্ধতিত।

• যদি $r=0$ দুটা চলক অসহসম্বন্ধিত। সিহঁতৰ মাজত কোনো ৰৈখিক সম্পৰ্ক নাই। অৱশ্যে আন ধৰণৰ সম্পৰ্ক থাকিব পাৰে।
• যদি $r=1$ বা $r=-1$ সহসম্বন্ধ সম্পূৰ্ণ আৰু সঠিক ৰৈখিক সম্পৰ্ক আছে।
• $r$ ৰ এটা উচ্চ মানে শক্তিশালী ৰৈখিক সম্পৰ্ক সূচায়। ইয়াৰ মান উচ্চ বুলি কোৱা হয় যেতিয়া ই +1 বা -1 ৰ ওচৰত থাকে।
• $r$ ৰ এটা নিম্ন মান (শূন্যৰ ওচৰত) এটা দুৰ্বল ৰৈখিক সম্পৰ্ক সূচায়। কিন্তু এটা অ-ৰৈখিক সম্পৰ্ক থাকিব পাৰে।

আপুনি অধ্যায় ১ ত পঢ়াৰ দৰে, পৰিসংখ্যামূলক পদ্ধতিসমূহ সাধাৰণ জ্ঞানৰ বিকল্প নহয়। ইয়াত, আন এটা উদাহৰণ আছে, যিয়ে সহসম্বন্ধ গণনা আৰু ব্যাখ্যা কৰাৰ আগতে ডাটা সঠিকভাৱে বুজাৰ প্ৰয়োজনীয়তা উজ্জ্বল কৰে। এটা মহামাৰীয়ে কিছুমান গাঁৱত বিয়পি পৰে আৰু চৰকাৰে আক্ৰান্ত গাঁৱলৈ ডাক্তৰৰ এটা দল প্ৰেৰণ কৰে। মৃত্যুৰ সংখ্যা আৰু গাঁৱলৈ প্ৰেৰণ কৰা ডাক্তৰৰ সংখ্যাৰ মাজৰ সহসম্বন্ধ ধনাত্মক বুলি পোৱা যায়। সাধাৰণতে, ডাক্তৰসকলে প্ৰদান কৰা স্বাস্থ্যসেৱা সুবিধাই ঋণাত্মক সহসম্বন্ধ দেখুৱাই মৃত্যুৰ সংখ্যা হ্ৰাস কৰাৰ আশা কৰা হয়। ই আন কাৰণত হৈছিল। ডাটাসমূহ এটা নিৰ্দিষ্ট সময়ৰ সৈতে সম্পৰ্কিত। প্ৰতিবেদন কৰা মৃত্যুৰ বহুতো টাৰ্মিনেল কেছ হ’ব পাৰে য’ত ডাক্তৰসকলে কম কৰিব পাৰিছিল। ইয়াৰ উপৰি, ডাক্তৰৰ উপস্থিতিৰ সুবিধা কিছু সময়ৰ পিছতহে দৃশ্যমান হয়। ইয়াও সম্ভৱ যে প্ৰতিবেদন কৰা মৃত্যুবোৰ মহামাৰীৰ বাবে নহয়। এটা চুনামীয়ে হঠাতে ৰাজ্যত আঘাত হানে আৰু মৃত্যুৰ সংখ্যা বৃদ্ধি পায়।

চহকীসকলৰ শিক্ষাৰ বছৰ আৰু প্ৰতি একৰ বাৰ্ষিক ফলনৰ মাজৰ সম্পৰ্ক পৰীক্ষা কৰি $r$ ৰ গণনাৰ উদাহৰণ দিওঁ আহক।

উদাহৰণ ১

সূত্ৰ ১ ৰ প্ৰয়োজন $\sum \mathrm{Xy}, \sigma _{\mathrm{x}}, \sigma _{\mathrm{y}}$ ৰ মান

টেবুল ৬.১ ৰ পৰা আমি পাওঁ,

$$ \begin{aligned} & \sum \mathrm{xy}=42, \\ & \sigma _{\mathrm{x}}=\sqrt{\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}}{\mathrm{~N}}}=\sqrt{\frac{112}{7}}, \\ & \sigma _{\mathrm{y}}=\sqrt{\frac{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}{\mathrm{~N}}}=\sqrt{\frac{38}{7}} \end{aligned} $$

এই মানবোৰ সূত্ৰ (১) ত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি

$$ \mathrm{r}=\frac{42}{7 \sqrt{\frac{112}{7}} \sqrt{\frac{38}{7}}}=0.644 $$

একেই মান সূত্ৰ (২) ৰ পৰাও পাব পাৰি।

$$ \begin{gather*} \mathrm{r}=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\sqrt{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}} \sqrt{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}} \tag{2}\\ \mathrm{r}=\frac{42}{\sqrt{112} \sqrt{38}}=0.644 \end{gather*} $$

গতিকে, চহকীসকলৰ শিক্ষাৰ বছৰ আৰু প্ৰতি একৰ বাৰ্ষিক ফলন ধনাত্মকভাৱে সহসম্বন্ধিত। $r$ ৰ মান ও ডাঙৰ। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে চহকীসকলে শিক্ষাত যিমান বেছি বছৰ বিনিয়োগ কৰে, প্ৰতি একৰ ফলন সিমান বেছি হ’ব। ই চহকীসকলৰ শিক্ষাৰ গুৰুত্বৰ ওপৰত আঙুলি দিয়ে।

সূত্ৰ (৩) ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ

টেবুল ৬.১ চহকীসকলৰ শিক্ষাৰ বছৰ আৰু বাৰ্ষিক ফলনৰ মাজৰ r ৰ গণনা

$$ \begin{equation*} r=\frac{\sum X Y-\frac{(\Sigma X)\left(\sum Y\right)}{N}}{\sqrt{\Sigma X^{2}-\frac{(\Sigma X)^{2}}{N}} \sqrt{\Sigma \mathrm{Y}^{2}-\frac{(\Sigma Y)^{2}}{N}}}\tag{3} \end{equation*} $$

তলৰ অভিব্যক্তিসমূহৰ মান গণনা কৰিব লাগিব অৰ্থাৎ

$\Sigma \mathrm{XY}, \Sigma \mathrm{X}^{2}, \Sigma \mathrm{Y}^{2}$.

এতিয়া সূত্ৰ (৩) প্ৰয়োগ কৰি $r$ ৰ মান পাবলৈ।

$r$ ৰ বিভিন্ন মানৰ ব্যাখ্যা জনো আহক। ইংৰাজী আৰু পৰিসংখ্যাত সুরক্ষিত নম্বৰৰ মাজৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক, ধৰি লওঁ, ০.১। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যে যদিও দুয়োটা বিষয়ত সুরক্ষিত নম্বৰবোৰ ধনাত্মকভাৱে সহসম্বন্ধিত, সম্পৰ্কৰ শক্তি দুৰ্বল। ইংৰাজীত উচ্চ নম্বৰ পোৱা ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে পৰিসংখ্যাত তুলনামূলকভাৱে কম নম্বৰ পাব পাৰে। যদি $r$ ৰ মান, ধৰি লওঁ, ০.৯ হয়, ইংৰাজীত উচ্চ নম্বৰ পোৱা ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে সদায়ে পৰিসংখ্যাত উচ্চ নম্বৰ পাব।

ঋণাত্মক সহসম্বন্ধৰ এটা উদাহৰণ হৈছে স্থানীয় মণ্ডীত শাক-পাচলিৰ আগমন আৰু শাক-পাচলিৰ দামৰ সম্পৰ্ক। যদি $r$ -০.৯ হয়, স্থানীয় মণ্ডীত শাক-পাচলিৰ যোগান শাক-পাচলিৰ নিম্ন দামৰ সৈতে সংগত হ’ব। যদি ই -০.১ হ’লহেঁতেন, ডাঙৰ শাক-পাচলিৰ যোগান নিম্ন দামৰ সৈতে সংগত হ’লহেঁতেন, যেতিয়া $r$ -০.৯ হয় তেতিয়াৰ দামটোতকৈ ইমান নিম্ন নহয়। দাম পৰাৰ পৰিমাণ $r$ ৰ নিৰপেক্ষ মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। যদি ই শূন্য হ’লহেঁতেন, বজাৰত ডাঙৰ যোগানৰ পিছতো দামত কোনো পতন নহ’লহেঁতেন। ইয়াও এটা সম্ভাৱনা যদি যোগান বৃদ্ধি এটা ভাল পৰিবহন নেটৱৰ্কৰ দ্বাৰা ইয়াক অন্যান্য বজাৰলৈ স্থানান্তৰ কৰি চোৱা হয়।

কাৰ্য্যকলাপ

• তলৰ টেবুলখনলৈ চাওক। বৰ্তমান মূল্যত জাতীয় আয়ৰ বাৰ্ষিক বৃদ্ধি আৰু জিডিপিৰ শতাংশ হিচাপে স্থুল অভ্যন্তৰীণ সঞ্চয়ৰ মাজৰ $r$ গণনা কৰক।

সহসম্বন্ধ গুণাংক গণনা কৰিবলৈ পদক্ষেপ বিচ্যুতি পদ্ধতি।

যেতিয়া চলকসমূহৰ মান ডাঙৰ হয়, গণনাৰ বোজা $r$ ৰ এটা ধৰ্ম ব্যৱহাৰ কৰি যথেষ্ট পৰিমাণে হ্ৰাস কৰিব পাৰি। ই হ’ল যে $r$ উৎপত্তি আৰু মাপৰ পৰিৱৰ্তনৰ পৰা স্বাধীন। ইয়াক পদক্ষেপ বিচ্যুতি পদ্ধতি বুলিও জনা যায়। ই চলকসমূহ $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ ৰূপান্তৰণ জড়িত কৰে তলত দিয়া ধৰণে:

টেবুল ৬.২

উৎস: অৰ্থনৈতিক সমীক্ষা, (২০০৪-০৫) পৃষ্ঠা ৮,৯

$\mathrm{U}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{B}} ; \mathrm{V}=\frac{\mathrm{Y}-\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$

য’ত $A$ আৰু $B$ ধৰা লোৱা মধ্যক, $h$ আৰু $\mathrm{k}$ সাধাৰণ গুণক আৰু একে চিহ্নৰ।

তেতিয়া $\mathrm{r} _{\mathrm{uv}}=\mathrm{r} _{\mathrm{XY}}$

ইয়াক মূল্য সূচক আৰু ধন যোগানৰ মাজৰ সহসম্বন্ধ বিশ্লেষণৰ অনুশীলনৰ সৈতে চিত্ৰিত কৰিব পাৰি।

উদাহৰণ ২

মূল্য সূচক $(\mathrm{X})$ $ 120 \quad 150 \quad 190 \quad 220 \quad 230$

ধন যোগান টকা কোটি ত $(\mathrm{Y})$ $\quad 1800 \quad 2000 \quad 2500 \quad 2700 \quad 3000$

সৰলীকৰণ, পদক্ষেপ বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি তলত চিত্ৰিত কৰা হৈছে। $\mathrm{A}=100 ; \mathrm{h}=10 ; \mathrm{B}=1700$ আৰু $\mathrm{k}=100$ হ’ব দিয়ক

ৰূপান্তৰিত চলকসমূহৰ টেবুল তলত দিয়া ধৰণে:

পদক্ষেপ বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি মূল্য সূচক আৰু ধন যোগানৰ মাজৰ $r$ ৰ গণনা

টেবুল ৬.৩

$\Sigma \mathrm{U}=41 ; \Sigma \mathrm{U}=35 ; \Sigma \mathrm{U}^{2}=423 ;$ $\Sigma \mathrm{V}^{2}=343 ; \Sigma \mathrm{UV}=378$

এই মানবোৰ সূত্ৰ (৩) ত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি

$$ \begin{aligned} & \mathrm{r}=\frac{\Sigma \mathrm{UV}-\frac{(\Sigma \mathrm{U})(\Sigma \mathrm{U})}{\mathrm{N}}}{\sqrt{\Sigma \mathrm{U}^{2}-\frac{(\Sigma \mathrm{U})^{2}}{\mathrm{~N}}} \sqrt{\Sigma \mathrm{V}^{2}-\frac{(\Sigma \mathrm{V})^{2}}{\mathrm{~N}}}} …(3) \end{aligned} $$

$$=\frac{378-\frac{41 \times 35}{5}}{\sqrt{423-\frac{(41)^2}{5}}\sqrt{343-\frac{(35)^2}{5}}}$$

$$ \begin{aligned} & =0.98 \end{aligned} $$

মূল্য সূচক আৰু ধন যোগানৰ মাজৰ শক্তিশালী ধনাত্মক সহসম্বন্ধ হৈছে আৰ্থিক নীতিৰ এটা গুৰুত্বপূৰ্ণ ভিত্তি। যেতিয়া ধন যোগান বৃদ্ধি পায় মূল্য সূচক ও বৃদ্ধি পায়।

কাৰ্য্যকলাপ

• ভাৰতৰ জনসংখ্যা আৰু জাতীয় আয়ৰ সৈতে সম্পৰ্কিত ডাটা ব্যৱহাৰ কৰি, পদক্ষেপ বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি সিহঁতৰ মাজৰ সহসম্বন্ধ গণনা কৰক।

স্পীয়াৰমেনৰ শ্ৰ