7.1 పరిచయం

తరగతి IX లో, మీరు ఒక తలంపై బిందువు యొక్క స్థానాన్ని గుర్తించడానికి, మనకు ఒక జత నిరూపక అక్షాలు అవసరమని అధ్యయనం చేశారు. ఒక బిందువు యొక్క దూరం $y$-అక్షం నుండి దాని $\boldsymbol{{}x}$-నిరూపకం, లేదా భుజం అంటారు. ఒక బిందువు యొక్క దూరం $x$-అక్షం నుండి దాని $y$-నిరూపకం, లేదా కోటి అంటారు. ఒక బిందువు యొక్క నిరూపకాలు $x$-అక్షం పై $(x, 0)$ రూపంలో ఉంటాయి, మరియు ఒక బిందువు యొక్క నిరూపకాలు $y$-అక్షం పై $(0, y)$ రూపంలో ఉంటాయి.

ఇక్కడ మీ కోసం ఒక ఆట ఉంది. గ్రాఫ్ కాగితంపై ఒక జత లంబ అక్షాల సమితిని గీయండి. ఇప్పుడు కింది బిందువులను గుర్తించండి మరియు సూచించిన విధంగా వాటిని కలపండి: బిందువు $A(4,8)$ ను $B(3,9)$ కు, $C(3,8)$ కు, $D(1,6)$ కు, $E(1,5)$ కు, $F(3,3)$ కు, $G(6,3)$ కు, $H(8,5)$ కు, $I(8,6)$ కు, $J(6,8)$ కు, $K(6,9)$ కు, $L(5,8)$ కు, $A$ కు కలపండి. తర్వాత బిందువులు $P(3.5,7), Q(3,6)$ మరియు $R(4,6)$ ను కలిపి ఒక త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచండి. బిందువులు $X(5.5,7), Y(5,6)$ మరియు $Z(6,6)$ ను కలిపి ఒక త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచండి. ఇప్పుడు $S(4,5), T(4.5,4)$ మరియు $U(5,5)$ ను కలిపి ఒక త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచండి. చివరగా $S$ ను బిందువులు $(0,5)$ మరియు $(0,6)$ కు కలపండి మరియు $U$ ను బిందువులు $(9,5)$ మరియు $(9,6)$ కు కలపండి. మీకు ఏ చిత్రం వచ్చింది?

అలాగే, మీరు రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణం యొక్క రూపం $a x+b y+c=0,(a, b$ ఏకకాలంలో సున్నా కాదు), గ్రాఫికల్గా చిత్రించినప్పుడు, ఒక సరళ రేఖను ఇస్తుందని చూశారు. తరువాత, అధ్యాయం 2 లో, మీరు $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ యొక్క గ్రాఫ్, ఒక పరావలయం అని చూశారు. వాస్తవానికి, నిరూపక జ్యామితి, జ్యామితీయ ఆకృతుల జ్యామితిని అధ్యయనం చేయడానికి ఒక బీజగణిత సాధనంగా అభివృద్ధి చేయబడింది. ఇది జ్యామితిని బీజగణితం ఉపయోగించి అధ్యయనం చేయడంలో మాకు సహాయపడుతుంది, మరియు బీజగణితాన్ని జ్యామితి సహాయంతో అర్థం చేసుకోవడంలో సహాయపడుతుంది. దీని కారణంగా, నిరూపక జ్యామితి భౌతిక శాస్త్రం, ఇంజనీరింగ్, నావిగేషన్, భూకంప శాస్త్రం మరియు కళ వంటి వివిధ రంగాలలో విస్తృతంగా వర్తింపజేయబడుతుంది!

ఈ అధ్యాయంలో, మీరు ఇవ్వబడిన నిరూపకాలు ఉన్న రెండు బిందువుల మధ్య దూరాన్ని ఎలా కనుగొనాలో, మరియు మూడు ఇవ్వబడిన బిందువులచే ఏర్పడిన త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకుంటారు. ఇవ్వబడిన నిష్పత్తిలో రెండు ఇవ్వబడిన బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని విభజించే బిందువు యొక్క నిరూపకాలను ఎలా కనుగొనాలో కూడా మీరు అధ్యయనం చేస్తారు.

7.2 దూర సూత్రం

కింది పరిస్థితిని పరిశీలిద్దాం:

ఒక పట్టణం B, పట్టణం A యొక్క $36 km$ తూర్పు మరియు 15 $km$ ఉత్తరంగా ఉంది. వాస్తవంగా కొలవకుండా పట్టణం A నుండి పట్టణం B కు దూరాన్ని మీరు ఎలా కనుగొంటారు. చూద్దాం. ఈ పరిస్థితిని Fig. 7.1 లో చూపినట్లుగా గ్రాఫికల్గా చిత్రించవచ్చు. మీరు ఈ దూరాన్ని లెక్కించడానికి పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

Fig. 7.1

ఇప్పుడు, రెండు బిందువులు $x$-అక్షం పై ఉన్నాయని అనుకుందాం. మనం వాటి మధ్య దూరాన్ని కనుగొనగలమా? ఉదాహరణకు, Fig. 7.2 లో రెండు బిందువులు $A(4,0)$ మరియు $B(6,0)$ ను పరిగణించండి. బిందువులు A మరియు B $x$-అక్షం పై ఉన్నాయి.

చిత్రం నుండి మీరు చూడగలిగినట్లుగా $OA=4$ యూనిట్లు మరియు $OB=6$ యూనిట్లు.

అందువల్ల, $B$ యొక్క దూరం $A$ నుండి, అంటే, $AB=OB-OA=6-4=2$ యూనిట్లు.

కాబట్టి, రెండు బిందువులు $x$-అక్షం పై ఉంటే, మనం వాటి మధ్య దూరాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు.

ఇప్పుడు, మనం రెండు బిందువులు $y$-అక్షం పై ఉన్నాయని తీసుకుందాం. మీరు వాటి మధ్య దూరాన్ని కనుగొనగలరా. బిందువులు $C(0,3)$ మరియు $D(0,8)$ $y$-అక్షం పై ఉంటే, అదేవిధంగా మనం $CD=8-3=5$ యూనిట్లు అని కనుగొంటాము (Fig. 7.2 చూడండి).

Fig. 7.2

తర్వాత, మీరు A నుండి C కు దూరాన్ని కనుగొనగలరా (Fig. 7.2 లో)? OA $=4$ యూనిట్లు మరియు $OC=3$ యూనిట్లు కాబట్టి, $A$ యొక్క దూరం $C$ నుండి, అంటే, $AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ యూనిట్లు. అదేవిధంగా, మీరు $B$ యొక్క దూరం $D=BD=10$ యూనిట్లు అని కనుగొనవచ్చు.

ఇప్పుడు, మనం రెండు బిందువులు నిరూపక అక్షంపై లేని సందర్భాన్ని పరిగణిస్తే, మనం వాటి మధ్య దూరాన్ని కనుగొనగలమా? అవును! మనం దీన్ని చేయడానికి పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

Fig. 7.3 లో, బిందువులు $P(4,6)$ మరియు $Q(6,8)$ మొదటి పాదంలో ఉన్నాయి. వాటి మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి మనం పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము? $x$-అక్షానికి $P$ మరియు $Q$ నుండి వరుసగా PR మరియు QS లంబాలను గీయండి. అలాగే, $P$ నుండి $QS$ పైకి ఒక లంబాన్ని గీయండి, అది $QS$ ను $T$ వద్ద కలుస్తుంది. అప్పుడు $R$ మరియు $S$ యొక్క నిరూపకాలు వరుసగా $(4,0)$ మరియు $(6,0)$. కాబట్టి, $RS=2$ యూనిట్లు. అలాగే, $QS=8$ యూనిట్లు మరియు $TS=PR=6$ యూనిట్లు.

Fig. 7.3

అందువల్ల, $QT=2$ యూనిట్లు మరియు $PT=RS=2$ యూనిట్లు. ఉంది

ఇప్పుడు, పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మనకు

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =2^{2}+2^{2}=8 \end{aligned} $

కాబట్టి, $P Q=2 \sqrt{2} \text{ units }$

రెండు వేర్వేరు పాదాలలో ఉన్న రెండు బిందువుల మధ్య దూరాన్ని మనం ఎలా కనుగొంటాము?

బిందువులు $P(6,4)$ మరియు $Q(-5,-3)$ ను పరిగణించండి (Fig. 7.4 చూడండి). $x$-అక్షానికి QS లంబాన్ని గీయండి. బిందువు $P$ నుండి QS (విస్తరించిన) పైకి ఒక లంబం PT ను గీయండి, అది $y$-అక్షాన్ని R బిందువు వద్ద కలుస్తుంది.

Fig. 7.4

అప్పుడు $\mathrm{PT}=11$ యూనిట్లు మరియు $\mathrm{QT}=7$ యూనిట్లు. (ఎందుకు?)

లంబకోణ త్రిభుజం PTQ కి పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తే, మనకు $PQ=\sqrt{11^{2}+7^{2}}=\sqrt{170}$ యూనిట్లు వస్తాయి.

ఇప్పుడు ఏదైనా రెండు బిందువులు $P(x_1, y_1)$ మరియు $Q(x_2, y_2)$ మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి. $PR$ మరియు QS లను $x$-అక్షానికి లంబంగా గీయండి. బిందువు $P$ నుండి $QS$ పైకి ఒక లంబాన్ని గీయండి, అది దానిని బిందువు $T$ వద్ద కలుస్తుంది (Fig. 7.5 చూడండి).

Fig. 7.5

అప్పుడు, $\quad OR=x_1, OS=x_2$. కాబట్టి, $RS=x_2-x_1=PT$.

అలాగే, $\quad SQ=y_2, \quad ST=PR=y_1 . \quad$ కాబట్టి, $\quad QT=y_2-y_1$.

ఇప్పుడు, $\triangle PTQ$ లో పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తే, మనకు లభిస్తుంది

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2} \end{aligned} $

అందువల్ల, $P Q=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$

దూరం ఎల్లప్పుడూ అనుకూలంగా ఉంటుందని గమనించండి, కాబట్టి మనం ధనాత్మక వర్గమూలాన్ని మాత్రమే తీసుకుంటాము. కాబట్టి, బిందువులు $P(x_1, y_1)$ మరియు $Q(x_2, y_2)$ మధ్య దూరం

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}, $

దీనిని దూర సూత్రం అంటారు.

వివరణలు :

1. ప్రత్యేకంగా, ఒక బిందువు $P(x, y)$ యొక్క దూరం మూలబిందువు $O(0,0)$ నుండి దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$ OP=\sqrt{x^{2}+y^{2}} . $

2. మనం ఇలా కూడా రాయవచ్చు, $PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$. (ఎందుకు?)

ఉదాహరణ 1 : బిందువులు $(3,2),(-2,-3)$ మరియు $(2,3)$ ఒక త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయా? అయితే, ఏర్పడిన త్రిభుజం రకాన్ని పేర్కొనండి.

పరిష్కారం : దూరాలు PQ, QR మరియు PR ను కనుగొనడానికి దూర సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం, ఇక్కడ $P(3,2), Q(-2,-3)$ మరియు $R(2,3)$ ఇవ్వబడిన బిందువులు. మనకు ఉన్నాయి

$ \begin{aligned} & PQ=\sqrt{(3+2)^{2}+(2+3)^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=7.07 \text{ (సుమారు) } \\ & QR=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-3-3)^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{52}=7.21 \text{ (సుమారు) } \\ & PR=\sqrt{(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}=1.41 \text{ (సుమారు) } \end{aligned} $

ఈ దూరాలలో ఏదైనా రెండింటి మొత్తం మూడవ దూరం కంటే ఎక్కువగా ఉన్నందున, బిందువులు $P, Q$ మరియు $R$ ఒక త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

అలాగే, $PQ^{2}+PR^{2}=QR^{2}$, పైథాగరస్ సిద్ధాంతం యొక్క విపర్యయం ద్వారా, మనకు $\angle P=90^{\circ}$ ఉంది. అందువల్ల, $PQR$ ఒక లంబకోణ త్రిభుజం.

ఉదాహరణ 2 : బిందువులు $(1,7),(4,2),(-1,-1)$ మరియు $(-4,4)$ ఒక చతురస్రం యొక్క శీర్షాలు అని చూపండి.

పరిష్కారం : A $(1,7), B(4,2), C(-1,-1)$ మరియు $D(-4,4)$ ఇవ్వబడిన బిందువులు అనుకుందాం. $A B C D$ ఒక చతురస్రం అని చూపించడానికి ఒక మార్గం ఏమిటంటే, దాని అన్ని భుజాలు సమానంగా ఉండాలి మరియు దాని రెండు కర్ణాలు కూడా సమానంగా ఉండాలి. ఇప్పుడు,

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(1-4)^{2}+(7-2)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ & BC=\sqrt{(4+1)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34} \\ & CD=\sqrt{(-1+4)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ & DA=\sqrt{(1+4)^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34} \\ & AC=\sqrt{(1+1)^{2}+(7+1)^{2}}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68} \\ & BD=\sqrt{(4+4)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68} \end{aligned} $

అయినప్పటికి, $A B=B C=C D=D A$ మరియు $A C=B D$, చతుర్భుజం $ABCD$ యొక్క నాలుగు భుజాలు సమానం మరియు దాని కర్ణాలు $AC$ మరియు $BD$ కూడా సమానం. అందువల్ల, $ABCD$ ఒక చతురస్రం.

ప్రత్యామ్నాయ పరిష్కారం : మనం నాలుగు భుజాలు మరియు ఒక కర్ణం, ఉదాహరణకు, $AC$ ను పైన ఉన్నట్లుగా కనుగొంటాము. ఇక్కడ $AD^{2}+DC^{2}=$ $34+34=68=$ AC $^{2}$. అందువల్ల, పైథాగరస్ సిద్ధాంతం యొక్క విపర్యయం ద్వారా, $\angle D=90^{\circ}$. నాలుగు భుజాలు సమానంగా ఉండి మరియు ఒక కోణం $90^{\circ}$ ఉన్న చతుర్భుజం ఒక చతురస్రం. కాబట్టి, ABCD ఒక చతురస్రం.

ఉదాహరణ 3 : Fig. 7.6 ఒక తరగతి గదిలో డెస్క్ల అమరికను చూపిస్తుంది. అశిమ, భారతి మరియు కమెల్లా వరుసగా $A(3,1)$, $B(6,4)$ మరియు $C(8,6)$ వద్ద కూర్చున్నారు. వారు ఒకే రేఖలో కూర్చున్నారని మీరు అనుకుంటున్నారా? మీ సమాధానానికి కారణాలు ఇవ్వండి.

Fig. 7.6

పరిష్కారం : దూర సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మనకు ఉన్నాయి

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(6-3)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ & BC=\sqrt{(8-6)^{2}+(6-4)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \\ & AC=\sqrt{(8-3)^{2}+(6-1)^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2} \end{aligned} $

అయినప్పటికి, $A B+B C=3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}=5 \sqrt{2}=A C$, బిందువులు $A, B$ మరియు $C$ సరేఖీయంగా ఉన్నాయని మనం చెప్పగలం. అందువల్ల, వారు ఒకే రేఖలో కూర్చున్నారు.

ఉదాహరణ 4 : $x$ మరియు $y$ మధ్య ఒక సంబంధాన్ని కనుగొనండి, అంటే బిందువు $(x, y)$ బిందువులు $(7,1)$ మరియు $(3,5)$ నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది.

పరిష్కారం : $P(x, y)$ బిందువులు $A(7,1)$ మరియు $B(3,5)$ నుండి సమాన దూరంలో ఉండనివ్వండి.

మనకు ఇవ్వబడింది $AP=BP$. కాబట్టి, $AP^{2}=BP^{2}$

అంటే, $\quad (x-7)^{2}+(y-1)^{2}=(x-3)^{2}+(y-5)^{2}$

అంటే, $\quad x^{2}-14 x+49+y^{2}-2 y+1=x^{2}-6 x+9+y^{2}-10 y+25$

అంటే, $\quad x-y=2$

ఇది కావలసిన సంబంధం.

వివరణ : సమీకరణం $x-y=2$ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక రేఖ అని గమనించండి. మీ మునుపటి అధ్యయనాల నుండి, A మరియు B నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువు $A B$ యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖపై ఉంటుంది. అందువల్ల, $x-y=2$ యొక్క గ్రాఫ్ $AB$ యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ (Fig. 7.7 చూడండి).

Fig. 7.7

ఉదాహరణ 5 : $y$-అక్షంపై ఒక బిందువును కనుగొనండి, అది బిందువులు $A(6,5)$ మరియు $B(-4,3)$ నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది.

పరిష్కారం : $y$-అక్షంపై ఉన్న బిందువు $(0, y)$ రూపంలో ఉంటుందని మనకు తెలుసు. కాబట్టి, బిందువు $P(0, y)$ $A$ మరియు $B$ నుండి సమాన దూరంలో ఉండనివ్వండి. అప్పుడు

$$ (6-0)^{2}+(5-y)^{2}=(-4-0)^{2}+(3-y)^{2} $$

అంటే, $\quad 36+25+y^{2}-10 y=16+9+y^{2}-6 y$

అంటే, $\quad 4 y=36$

అంటే, $\quad y=9$

కాబట్టి, కావలసిన బిందువు $(0,9)$.

మన పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేద్దాం : $AP=\sqrt{(6-0)^{2}+(5-9)^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$

$$ BP=\sqrt{(-4-0)^{2}+(3-9)^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52} $$

గమనిక : పైన ఉన్న వివరణను ఉపయోగించి, $(0,9)$ $y$-అక్షం మరియు AB యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ యొక్క ఖండన బిందువు అని మనం చూస్తాము.

7.3 విభాగ సూత్రం

మనం Section 7.2 లోని పరిస్థితిని గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం. ఒక టెలిఫోన్ కంపెనీ $P$ వద్ద ఒక రిలే టవర్ను $A$ మరియు $B$ మధ్య ఉంచాలనుకుంటుంది, అంటే టవర్ యొక్క దూరం $B$ నుండి దాని దూరం కంటే రెండు రెట్లు $A$ నుండి. $P$ $AB$ పై ఉంటే, అది $AB$ ని నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది $1: 2$ (Fig. 7.9 చూడండి). మనం $A$ ని మూలబిందువుగా తీసుకుంటే $O$, మరియు $1 km$ ని రెండు అక్షాలపై ఒక యూనిట్గా తీసుకుంటే, B యొక్క నిరూపకాలు $(36,15)$ అవుతాయి. టవర్ యొక్క స్థానాన్ని తెలుసుకోవడానికి, మనం P యొక్క నిరూపకాలను తెలుసుకోవాలి. ఈ నిరూపకాలను మనం ఎలా కనుగొంటాము?

Fig. 7.9

$P$ యొక్క నిరూపకాలు $(x, y)$ అనుకుందాం. $P$ మరియు $B$ నుండి $x$-అక్షానికి లంబాలను గీయండి, అవి దానిని వరుసగా $D$ మరియు $E$ లో కలుస్తాయి. PC ని BE కి లంబంగా గీయండి. అప్పుడు, AA సారూప్యత ప్రమాణం ద్వారా, అధ్యాయంలో అధ్యయనం చేసినట్లుగా $6, \triangle$ POD మరియు $\triangle$ BPC సరూపాలు.

అందువల్ల , $\dfrac{OD}{PC}=\dfrac{OP}{PB}=\dfrac{1}{2}$, మరియు $\dfrac{PD}{BC}=\dfrac{OP}{PB}=\dfrac{1}{2}$

కాబట్టి, $\dfrac{x}{36-x}=\dfrac{1}{2}$ మరియు $\dfrac{y}{15-y}=\dfrac{1}{2}$.

ఈ సమీకరణాలు $x=12$ మరియు $y=5$ ను ఇస్తాయి.

$P(12,5)$ $OP: PB=1: 2$ అనే షరతును తీరుస్తుందని మీరు తనిఖీ చేయవచ్చు.

ఇప్పుడు మీరు ఈ ఉదాహరణ ద్వారా అభివృద్ధి చేసుకున్న అవగాహనను సాధారణ సూత్రాన్ని పొందడానికి ఉపయోగిద్దాం.

ఏదైనా రెండు బిందువులు $A(x_1, y_1)$ మరియు $B(x_2, y_2)$ ను పరిగణించండి మరియు $P(x, y)$ అంతర్గతంగా $AB$ ని నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందని ఊహించండి $m_1: m_2$, అంటే, $\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{m_1}{m_2}$ (Fig. 7.10 చూడండి).

Fig. 7.10

AR, PS మరియు BT లను $x$-అక్షానికి లంబంగా గీయండి. AQ మరియు PC లను $x$-అక్షానికి సమాంతరంగా గీయండి. అప్పుడు, AA సారూప్యత ప్రమాణం ద్వారా,

$ \Delta PAQ \sim \Delta BPC $

అందువల్ల, $\dfrac{PA}{BP}=\dfrac{AQ}{PC}=\dfrac{PQ}{BC} \tag{1}$

$ \begin{aligned} \text{ఇప్పుడు,}\\ & AQ=RS=OS-OR=x-x_1 \\ & PC=ST=OT-OS=x_2-x \\ & PQ=PS-QS=PS-AR=y-y_1 \\ & BC=BT-CT=BT-PS=y_2-y \end{aligned} $

ఈ విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, మనకు లభిస్తుంది

$ \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y} $

$ \text{తీసుకుంటే} \quad \quad \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x} \text{, మనకు లభిస్తుంది } x=\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2} $

$$ \text{Similarly, taking} \quad \quad \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y}, \text{ we get } y=\dfrac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2} $$

కాబట్టి, బిందువు $P(x, y)$ యొక్క నిరూపకాలు, ఇది బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని విభజిస్తుంది $A(x_1, y_1)$ మరియు $B(x_2, y_2)$, అంతర్గతంగా, నిష్పత్త