7.1 ಪರಿಚಯ

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಒಂದು ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ನಮಗೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ನಿರ್ದೇಶಾಕ್ಷಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ದೂರವು $y$-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಅದರ $\boldsymbol{{}x}$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ, ಅಥವಾ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ದೂರವು $x$-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಅದರ $y$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ, ಅಥವಾ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(x, 0)$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು $y$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(0, y)$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

ಇಲ್ಲಿ ನಿಮಗಾಗಿ ಒಂದು ಆಟವಿದೆ. ಒಂದು ಗ್ರಾಫ್ ಪೇಪರ್ನ ಮೇಲೆ ಲಂಬ ಅಕ್ಷಗಳ ಒಂದು ಜೋಡಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಈಗ ಕೆಳಗಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ: ಬಿಂದು $A(4,8)$ ನಿಂದ $B(3,9)$ ಗೆ, ನಂತರ $C(3,8)$ ಗೆ, ನಂತರ $D(1,6)$ ಗೆ, ನಂತರ $E(1,5)$ ಗೆ, ನಂತರ $F(3,3)$ ಗೆ, ನಂತರ $G(6,3)$ ಗೆ, ನಂತರ $H(8,5)$ ಗೆ, ನಂತರ $I(8,6)$ ಗೆ, ನಂತರ $J(6,8)$ ಗೆ, ನಂತರ $K(6,9)$ ಗೆ, ನಂತರ $L(5,8)$ ಗೆ, ನಂತರ $A$ ಗೆ ಸೇರಿಸಿ. ನಂತರ ಬಿಂದುಗಳು $P(3.5,7), Q(3,6)$ ಮತ್ತು $R(4,6)$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಂದುಗಳು $X(5.5,7), Y(5,6)$ ಮತ್ತು $Z(6,6)$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಈಗ $S(4,5), T(4.5,4)$ ಮತ್ತು $U(5,5)$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಕೊನೆಯದಾಗಿ $S$ ಅನ್ನು ಬಿಂದುಗಳು $(0,5)$ ಮತ್ತು $(0,6)$ ಗೆ ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು $U$ ಅನ್ನು ಬಿಂದುಗಳು $(9,5)$ ಮತ್ತು $(9,6)$ ಗೆ ಸೇರಿಸಿ. ನೀವು ಯಾವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ?

ಅಲ್ಲದೆ, ನೀವು ನೋಡಿರುವಂತೆ, ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು $a x+b y+c=0,(a, b$ ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ (ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ), ಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ಆಗಿ ನಿರೂಪಿಸಿದಾಗ, ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಅಧ್ಯಾಯ 2 ರಲ್ಲಿ, ನೀವು $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ, ಅದು ಒಂದು ಪರಾವಲಯವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಾಧನವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದು ನಮಗೆ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ನ್ಯಾವಿಗೇಷನ್, ಸಿಸ್ಮಾಲಜಿ ಮತ್ತು ಕಲೆ ಮುಂತಾದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ!

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ, ಮತ್ತು ಮೂರು ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ರಚಿತವಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ಕಲಿಯುವಿರಿ. ನೀವು ಎರಡು ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ಕೂಡ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಿರಿ.

7.2 ದೂರ ಸೂತ್ರ

ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಒಂದು ಪಟ್ಟಣ B ಅನ್ನು ಪಟ್ಟಣ A ಯಿಂದ $36 km$ ಪೂರ್ವ ಮತ್ತು 15 $km$ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೇರವಾಗಿ ಅಳೆಯದೆ ಪಟ್ಟಣ A ಯಿಂದ ಪಟ್ಟಣ B ಗೆ ದೂರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಿರಿ? ನೋಡೋಣ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರ 7.1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ಆಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಈ ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀವು ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 7.1

ಈಗ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವುದನ್ನು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರ 7.2 ರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು $A(4,0)$ ಮತ್ತು $B(6,0)$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಬಿಂದುಗಳು A ಮತ್ತು B ಗಳು $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇವೆ.

ಚಿತ್ರದಿಂದ ನೀವು ನೋಡಬಹುದು $OA=4$ ಏಕಮಾನಗಳು ಮತ್ತು $OB=6$ ಏಕಮಾನಗಳು.

ಆದ್ದರಿಂದ, $B$ ನಿಂದ $A$ ಗೆ ಇರುವ ದೂರ, ಅಂದರೆ, $AB=OB-OA=6-4=2$ ಏಕಮಾನಗಳು.

ಹಾಗಾಗಿ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಈಗ, ನಾವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು $y$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಭಾವಿಸೋಣ. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಲ್ಲಿರಾ? ಬಿಂದುಗಳು $C(0,3)$ ಮತ್ತು $D(0,8)$ ಗಳು $y$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದೇ ರೀತಿ ನಾವು $CD=8-3=5$ ಏಕಮಾನಗಳು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 7.2 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 7.2

ಮುಂದೆ, A ಯಿಂದ C ಗೆ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಲ್ಲಿರಾ (ಚಿತ್ರ 7.2 ರಲ್ಲಿ)? OA $=4$ ಏಕಮಾನಗಳು ಮತ್ತು $OC=3$ ಏಕಮಾನಗಳು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, $A$ ನಿಂದ $C$ ಗೆ ಇರುವ ದೂರ, ಅಂದರೆ, $AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ ಏಕಮಾನಗಳು. ಅದೇ ರೀತಿ, ನೀವು $B$ ನಿಂದ $D=BD=10$ ಗೆ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಈಗ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ? ಹೌದು! ಅದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಚಿತ್ರ 7.3 ರಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುಗಳು $P(4,6)$ ಮತ್ತು $Q(6,8)$ ಗಳು ಮೊದಲ ಚತುರ್ಥಾಂಶದಲ್ಲಿವೆ. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ? $x$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ $P$ ಮತ್ತು $Q$ ಗಳಿಂದ ಕ್ರಮವಾಗಿ PR ಮತ್ತು QS ಲಂಬಗಳನ್ನು ಎಳೆಯೋಣ. ಹಾಗೆಯೇ, $P$ ನಿಂದ $QS$ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಲಂಬವನ್ನು ಎಳೆದು ಅದು $QS$ ಅನ್ನು $T$ ನಲ್ಲಿ ಭೇಟಿ ಮಾಡಲಿ. ನಂತರ $R$ ಮತ್ತು $S$ ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $(4,0)$ ಮತ್ತು $(6,0)$ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $RS=2$ ಏಕಮಾನಗಳು. ಹಾಗೆಯೇ, $QS=8$ ಏಕಮಾನಗಳು ಮತ್ತು $TS=PR=6$ ಏಕಮಾನಗಳು.

ಚಿತ್ರ 7.3

ಆದ್ದರಿಂದ, $QT=2$ ಏಕಮಾನಗಳು ಮತ್ತು $PT=RS=2$ ಏಕಮಾನಗಳು.

ಈಗ, ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =2^{2}+2^{2}=8 \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $P Q=2 \sqrt{2} \text{ units }$

ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಚತುರ್ಥಾಂಶಗಳಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಿರಿ?

ಬಿಂದುಗಳು $P(6,4)$ ಮತ್ತು $Q(-5,-3)$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 7.4 ನೋಡಿ). QS ಅನ್ನು $x$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ. ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಂದು $P$ ನಿಂದ QS (ವಿಸ್ತರಿತ) ಮೇಲೆ ಒಂದು ಲಂಬ PT ಅನ್ನು ಎಳೆದು ಅದು $y$-ಅಕ್ಷವನ್ನು R ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಭೇಟಿ ಮಾಡಲಿ.

ಚಿತ್ರ 7.4

ನಂತರ $\mathrm{PT}=11$ ಏಕಮಾನಗಳು ಮತ್ತು $\mathrm{QT}=7$ ಏಕಮಾನಗಳು. (ಏಕೆ?)

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ PTQ ಗೆ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $PQ=\sqrt{11^{2}+7^{2}}=\sqrt{170}$ ಏಕಮಾನಗಳು.

ಈಗ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು $P(x_1, y_1)$ ಮತ್ತು $Q(x_2, y_2)$ ಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. $PR$ ಮತ್ತು QS ಅನ್ನು $x$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ. ಬಿಂದು $P$ ನಿಂದ $QS$ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಲಂಬವನ್ನು ಎಳೆದು ಅದು $T$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಭೇಟಿ ಮಾಡಲಿ (ಚಿತ್ರ 7.5 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 7.5

ನಂತರ, $\quad OR=x_1, OS=x_2$. ಆದ್ದರಿಂದ, $RS=x_2-x_1=PT$.

ಹಾಗೆಯೇ, $\quad SQ=y_2, \quad ST=PR=y_1 . \quad$. ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad QT=y_2-y_1$.

ಈಗ, $\triangle PTQ$ ಗೆ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2} \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $P Q=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$

ದೂರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದದ್ದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ, ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗಾಗಿ, ಬಿಂದುಗಳು $P(x_1, y_1)$ ಮತ್ತು $Q(x_2, y_2)$ ಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}, $

ಇದನ್ನು ದೂರ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು :

1. ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ಒಂದು ಬಿಂದು $P(x, y)$ ನಿಂದ ಮೂಲ ಬಿಂದು $O(0,0)$ ಗೆ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು

$ OP=\sqrt{x^{2}+y^{2}} . $

ಎಂದು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ನಾವು $PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$ ಎಂದು ಕೂಡ ಬರೆಯಬಹುದು. (ಏಕೆ?)

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಬಿಂದುಗಳು $(3,2),(-2,-3)$ ಮತ್ತು $(2,3)$ ಗಳು ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆಯೇ? ಹಾಗಿದ್ದರೆ, ರಚಿತವಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : PQ, QR ಮತ್ತು PR ಗಳ ದೂರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ದೂರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ, ಇಲ್ಲಿ $P(3,2), Q(-2,-3)$ ಮತ್ತು $R(2,3)$ ಗಳು ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} & PQ=\sqrt{(3+2)^{2}+(2+3)^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=7.07 \text{ (ಸುಮಾರು) } \\ & QR=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-3-3)^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{52}=7.21 \text{ (ಸುಮಾರು) } \\ & PR=\sqrt{(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}=1.41 \text{ (ಸುಮಾರು) } \end{aligned} $

ಈ ಮೂರು ದೂರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡರ ಮೊತ್ತವು ಮೂರನೇ ದೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬಿಂದುಗಳು $P, Q$ ಮತ್ತು $R$ ಗಳು ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆ.

ಹಾಗೆಯೇ, $PQ^{2}+PR^{2}=QR^{2}$, ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮದಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $\angle P=90^{\circ}$. ಆದ್ದರಿಂದ, $PQR$ ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಬಿಂದುಗಳು $(1,7),(4,2),(-1,-1)$ ಮತ್ತು $(-4,4)$ ಗಳು ಒಂದು ಚೌಕದ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : A $(1,7), B(4,2), C(-1,-1)$ ಮತ್ತು $D(-4,4)$ ಗಳು ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. $A B C D$ ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡೂ ಕರ್ಣಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಈಗ,

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(1-4)^{2}+(7-2)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ & BC=\sqrt{(4+1)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34} \\ & CD=\sqrt{(-1+4)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ & DA=\sqrt{(1+4)^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34} \\ & AC=\sqrt{(1+1)^{2}+(7+1)^{2}}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68} \\ & BD=\sqrt{(4+4)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68} \end{aligned} $

$A B=B C=C D=D A$ ಮತ್ತು $A C=B D$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಚತುರ್ಭುಜ $ABCD$ ನ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕರ್ಣಗಳು $AC$ ಮತ್ತು $BD$ ಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $ABCD$ ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ಪರಿಹಾರ : ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕರ್ಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $AC$ ಅನ್ನು ಮೇಲಿನಂತೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ $AD^{2}+DC^{2}=$ $34+34=68=$ AC $^{2}$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮದಿಂದ, $\angle D=90^{\circ}$. ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೋನ $90^{\circ}$ ಆಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜವು ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾಗಿ, ABCD ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : ಚಿತ್ರ 7.6 ರಲ್ಲಿ ತರಗತಿಯ ಡೆಸ್ಕ್ ಗಳ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಶಿಮಾ, ಭಾರತಿ ಮತ್ತು ಕಮೆಲ್ಲಾ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $A(3,1)$, $B(6,4)$ ಮತ್ತು $C(8,6)$ ಗಳಲ್ಲಿ ಕುಳಿತಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಒಂದೇ ಸರಳರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕುಳಿತಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಾ? ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಕಾರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.

ಚಿತ್ರ 7.6

ಪರಿಹಾರ : ದೂರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(6-3)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ & BC=\sqrt{(8-6)^{2}+(6-4)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \\ & AC=\sqrt{(8-3)^{2}+(6-1)^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2} \end{aligned} $

$A B+B C=3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}=5 \sqrt{2}=A C$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬಿಂದುಗಳು $A, B$ ಮತ್ತು $C$ ಗಳು ಸರಳರೇಖೀಯವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವರು ಒಂದೇ ಸರಳರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕುಳಿತಿದ್ದಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : $x$ ಮತ್ತು $y$ ಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಇದರಿಂದ ಬಿಂದು $(x, y)$ ಬಿಂದುಗಳು $(7,1)$ ಮತ್ತು $(3,5)$ ಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ : $P(x, y)$ ಬಿಂದುಗಳು $A(7,1)$ ಮತ್ತು $B(3,5)$ ಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರಲಿ.

ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ $AP=BP$. ಆದ್ದರಿಂದ, $AP^{2}=BP^{2}$

ಅಂದರೆ, $\quad (x-7)^{2}+(y-1)^{2}=(x-3)^{2}+(y-5)^{2}$

ಅಂದರೆ, $\quad x^{2}-14 x+49+y^{2}-2 y+1=x^{2}-6 x+9+y^{2}-10 y+25$

ಅಂದರೆ, $\quad x-y=2$

ಇದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ : $x-y=2$ ಸಮೀಕರಣದ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಯನಗಳಿಂದ, A ಮತ್ತು B ಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವು $A B$ ನ ಲಂಬ ಸಮದ್ವಿಖಂಡಕದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $x-y=2$ ನ ಗ್ರಾಫ್ $AB$ ನ ಲಂಬ ಸಮದ್ವಿಖಂಡಕವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 7.7 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 7.7

ಉದಾಹರಣೆ 5 : $y$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅದು ಬಿಂದುಗಳು $A(6,5)$ ಮತ್ತು $B(-4,3)$ ಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ : $y$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವು $(0, y)$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಿಂದು $P(0, y)$ $A$ ಮತ್ತು $B$ ಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರಲಿ. ನಂತರ

$$ (6-0)^{2}+(5-y)^{2}=(-4-0)^{2}+(3-y)^{2} $$

ಅಂದರೆ, $\quad 36+25+y^{2}-10 y=16+9+y^{2}-6 y$

ಅಂದರೆ, $\quad 4 y=36$

ಅಂದರೆ, $\quad y=9$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಬಿಂದುವು $(0,9)$ ಆಗಿದೆ.

ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ : $AP=\sqrt{(6-0)^{2}+(5-9)^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$

$$ BP=\sqrt{(-4-0)^{2}+(3-9)^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52} $$

ಗಮನಿಸಿ : ಮೇಲಿನ ಟಿಪ್ಪಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, $(0,9)$ ಯು $y$-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು AB ಯ ಲಂಬ ಸಮದ್ವಿಖಂಡಕದ ಛೇದನ ಬಿಂದು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

7.3 ವಿಭಾಗ ಸೂತ್ರ

ನಾವು ಭಾಗ 7.2 ರಲ್ಲಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಮರಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಒಂದು ಟೆಲಿಫೋನ್ ಕಂಪನಿಯು $P$ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ರಿಲೇ ಟವರ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಇದು $A$ ಮತ್ತು $B$ ಗಳ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಟವರ್ ನ ದೂರವು $B$ ನಿಂದ ಅದರ ದೂರದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು $A$ ನಿಂದ ಇರುತ್ತದೆ. $P$ ಯು $AB$ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದು $AB$ ಅನ್ನು $1: 2$ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 7.9 ನೋಡಿ). ನಾವು $A$ ಅನ್ನು ಮೂಲ ಬಿಂದು $O$ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಮತ್ತು $1 km$ ಅನ್ನು ಎರಡೂ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಏಕಮಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, B ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(36,15)$ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಟವರ್ ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತಿಳಿಯಲು, ನಾವು P ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಿರಿ?

ಚಿತ್ರ 7.9

$P$ ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(x, y)$ ಆಗಿರಲಿ. $P$ ಮತ್ತು $B$ ಗಳಿಂದ $x$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಎಳೆದು, ಅದನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ $D$ ಮತ್ತು $E$ ಗಳಲ್ಲಿ ಭೇಟಿ ಮಾಡಲಿ. PC ಅನ್ನು BE ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ. ನಂತರ, AA ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಮಾನದಂಡದಿಂದ, ಅಧ್ಯಾಯ $6, \triangle$ ರಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದಂತೆ, POD ಮತ್ತು $\triangle$ BPC ಗಳು ಸಮರೂಪಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ , $\dfrac{OD}{PC}=\dfrac{OP}{PB}=\dfrac{1}{2}$, ಮತ್ತು $\dfrac{PD}{BC}=\dfrac{OP}{PB}=\dfrac{1}{2}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\dfrac{x}{36-x}=\dfrac{1}{2}$ ಮತ್ತು $\dfrac{y}{15-y}=\dfrac{1}{2}$.

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು $x=12$ ಮತ್ತು $y=5$ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.

$P(12,5)$ ಯು $OP: PB=1: 2$ ಎಂಬ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಈಗ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿರಬಹುದಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ.

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು $A(x_1, y_1)$ ಮತ್ತು $B(x_2, y_2)$ ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು $P(x, y)$ ಯು $AB$ ಅನ್ನು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ $m_1: m_2$ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, $\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{m_1}{m_2}$ (ಚಿತ್ರ 7.10 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 7.10

AR, PS ಮತ್ತು BT ಗಳನ್ನು $x$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ. AQ ಮತ್ತು PC ಗಳನ್ನು $x$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ. ನಂತರ, AA ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಮಾನದಂಡದಿಂದ,

$ \Delta PAQ \sim \Delta BPC $

ಆದ್ದರಿಂದ, $\dfrac{PA}{BP}=\dfrac{AQ}{PC}=\dfrac{PQ}{BC} \tag{1}$

$ \begin{aligned} \text{ಈಗ,}\\ & AQ=RS=OS-OR=x-x_1 \\ & PC=ST=OT-OS=x_2-x \\ & PQ=PS-QS=PS-AR=y-y_1 \\ & BC=BT-CT=BT-PS=y_2-y \end{aligned} $

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (1) ರಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y} $

$ \text{ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ} \quad \quad \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x} \text{, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ } x=\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2} $

$$ \text{Similarly, taking} \quad \quad \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y}, \text{ we get } y=\dfrac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಿಂದುಗಳು $P(x, y)$ ಮತ್ತು $A(x_1, y_1)$ ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ $B(x_2, y_2)$ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಬಿಂದು $m_1: m_2$ ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

$$ (\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}, \dfrac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2}) \tag{2} $$

ಇದನ್ನು ವಿಭಾಗ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು A, P ಮತ್ತು B ಗಳಿಂದ $y$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಎಳೆದು ಮೇಲಿನಂತೆ ಮುಂದುವರೆಸುವ ಮೂಲಕ ಕೂಡ ಪಡೆಯಬಹುದು.

$P$ ಯು $AB$ ಅನ್ನು ವಿಭಾಗಿಸುವ ಅನುಪಾತವು $k: 1$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬಿಂದು $P$ ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

$ (\dfrac{k x_2+x_1}{k+1}, \dfrac{k y_2+y_1}{k+1}) $

ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭ : ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವು ರೇಖಾಖ