৭.১ পৰিচয়

নৱম শ্ৰেণীত, তোমালোকে অধ্যয়ন কৰিছিলা যে সমতলত এটা বিন্দুৰ স্থান নিৰ্ণয় কৰিবলৈ, আমি এক জোড়া স্থানাংক অক্ষৰ প্ৰয়োজন হয়। এটা বিন্দুৰ $y$-অক্ষৰ পৰা দূৰত্বক তাৰ $\boldsymbol{{}x}$-স্থানাংক, বা ভুজ বুলি কোৱা হয়। এটা বিন্দুৰ $x$-অক্ষৰ পৰা দূৰত্বক তাৰ $y$-স্থানাংক, বা কোটি বুলি কোৱা হয়। $x$-অক্ষত থকা বিন্দুৰ স্থানাংকৰ আকৃতি $(x, 0)$, আৰু $y$-অক্ষত থকা বিন্দুৰ স্থানাংকৰ আকৃতি $(0, y)$।

ইয়াত তোমাৰ বাবে এটা খেল আছে। এখন গ্ৰাফ কাগজত এক জোড়া লম্ব অক্ষৰ এটা ছেট আঁকা। এতিয়া তলৰ বিন্দুবোৰ প্লট কৰা আৰু নিৰ্দেশনা অনুসৰি সংযোগ কৰা: বিন্দু $A(4,8)$ ক $B(3,9)$ লৈ, $B(3,9)$ ক $C(3,8)$ লৈ, $C(3,8)$ ক $D(1,6)$ লৈ, $D(1,6)$ ক $E(1,5)$ লৈ, $E(1,5)$ ক $F(3,3)$ লৈ, $F(3,3)$ ক $G(6,3)$ লৈ, $G(6,3)$ ক $H(8,5)$ লৈ, $H(8,5)$ ক $I(8,6)$ লৈ, $I(8,6)$ ক $J(6,8)$ লৈ, $J(6,8)$ ক $K(6,9)$ লৈ, $K(6,9)$ ক $L(5,8)$ লৈ, $L(5,8)$ ক $A$ লৈ সংযোগ কৰা। তাৰ পিছত বিন্দু $P(3.5,7), Q(3,6)$ আৰু $R(4,6)$ সংযোগ কৰি এটা ত্ৰিভূজ গঠন কৰা। লগতে বিন্দু $X(5.5,7), Y(5,6)$ আৰু $Z(6,6)$ সংযোগ কৰি এটা ত্ৰিভূজ গঠন কৰা। এতিয়া $S(4,5), T(4.5,4)$ আৰু $U(5,5)$ সংযোগ কৰি এটা ত্ৰিভূজ গঠন কৰা। শেষত $S$ ক বিন্দু $(0,5)$ আৰু $(0,6)$ লৈ সংযোগ কৰা আৰু $U$ ক বিন্দু $(9,5)$ আৰু $(9,6)$ লৈ সংযোগ কৰা। তোমালোকে কি ছবি পাইছা?

আৰু, তোমালোকে দেখিছা যে দুটা চলকত থকা ৰৈখিক সমীকৰণৰ আকৃতি $a x+b y+c=0,(a, b$ (য’ত a আৰু b একে সময়তে শূন্য নহয়), যেতিয়া গ্ৰাফিকভাৱে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়, এডাল সৰল ৰেখা দিয়ে। ইয়াৰ উপৰি, দ্বিতীয় অধ্যায়ত, তোমালোকে $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ ৰ গ্ৰাফ দেখিছা, যি এটা পেৰাব’লা। প্ৰকৃততে, স্থানাংক জ্যামিতি জ্যামিতিক চিত্ৰৰ জ্যামিতি অধ্যয়ন কৰাৰ বাবে এটা বীজগণিতিক সঁজুলি হিচাপে বিকশিত হৈছে। ই জ্যামিতিৰ সহায়ত বীজগণিত বুজিবলৈ আৰু বীজগণিতৰ সহায়ত জ্যামিতি অধ্যয়ন কৰাত আমাক সহায় কৰে। ইয়াৰ বাবেই, স্থানাংক জ্যামিতি পদাৰ্থ বিজ্ঞান, অভিযান্ত্ৰিকী, নেভিগেশ্যন, ভূকম্পন বিজ্ঞান আৰু কলা আদি বিভিন্ন ক্ষেত্ৰত বহুলভাৱে প্ৰয়োগ কৰা হয়!

এই অধ্যায়ত, তোমালোকে শিকিবা যে দিয়া স্থানাংক থকা দুটা বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব কেনেকৈ উলিয়াব লাগে, আৰু তিনিটা দিয়া বিন্দুৰে গঠিত ত্ৰিভূজৰ কালি কেনেকৈ উলিয়াব লাগে। তোমালোকে এটা ৰেখাখণ্ডক দুটা দিয়া বিন্দুক সংযোগ কৰোঁতে দিয়া অনুপাতত ভাগ কৰা বিন্দুটোৰ স্থানাংক কেনেকৈ উলিয়াব লাগে তাকো অধ্যয়ন কৰিবা।

৭.২ দূৰত্বৰ সূত্ৰ

আহক, তলৰ পৰিস্থিতিটো বিবেচনা কৰোঁ:

এখন চহৰ B অৱস্থিত চহৰ A ৰ পৰা $36 km$ পূব আৰু 15 $km$ উত্তৰত। তুমি কেনেকৈ চহৰ A ৰ পৰা চহৰ B লৈ দূৰত্ব প্ৰকৃততে নমজা নকৰাকৈ উলিয়াবা? আহক চাওঁ। এই পৰিস্থিতিটো চিত্ৰ ৭.১ ত দেখুওৱাৰ দৰে গ্ৰাফিকভাৱে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি। তুমি পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি এই দূৰত্ব গণনা কৰিব পাৰা।

চিত্ৰ ৭.১

এতিয়া, ধৰা হওক দুটা বিন্দু $x$-অক্ষত অৱস্থিত। আমি সেইবোৰৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিয়াব পাৰোনে? উদাহৰণস্বৰূপে, চিত্ৰ ৭.২ ত থকা দুটা বিন্দু $A(4,0)$ আৰু $B(6,0)$ বিবেচনা কৰা। A আৰু B বিন্দু দুটা $x$-অক্ষত অৱস্থিত।

চিত্ৰৰ পৰা তুমি দেখিব পাৰা যে $OA=4$ একক আৰু $OB=6$ একক।

সেয়েহে, $B$ ৰ পৰা $A$ লৈ দূৰত্ব, অৰ্থাৎ $AB=OB-OA=6-4=2$ একক।

গতিকে, যদি দুটা বিন্দু $x$-অক্ষত অৱস্থিত, আমি সহজেই সেইবোৰৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিয়াব পাৰোঁ।

এতিয়া, ধৰা হওক আমি $y$-অক্ষত অৱস্থিত দুটা বিন্দু লওঁ। তুমি সেইবোৰৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিয়াব পাৰানে? যদি বিন্দু $C(0,3)$ আৰু $D(0,8)$ $y$-অক্ষত অৱস্থিত, একেদৰে আমি পাম যে $CD=8-3=5$ একক (চিত্ৰ ৭.২ চোৱা)।

চিত্ৰ ৭.২

পৰৱৰ্তী, তুমি A ৰ পৰা C লৈ দূৰত্ব উলিয়াব পাৰানে (চিত্ৰ ৭.২ ত)? যিহেতু OA $=4$ একক আৰু $OC=3$ একক, $A$ ৰ পৰা $C$ লৈ দূৰত্ব, অৰ্থাৎ $AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ একক। একেদৰে, তুমি $B$ ৰ পৰা $D=BD=10$ লৈ দূৰত্ব উলিয়াব পাৰা।

এতিয়া, যদি আমি স্থানাংক অক্ষত নথকা দুটা বিন্দু বিবেচনা কৰোঁ, আমি সেইবোৰৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিয়াব পাৰোনে? হয়! আমি ইয়াক কৰিবলৈ পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰিম। আহক এটা উদাহৰণ চাওঁ।

চিত্ৰ ৭.৩ ত, বিন্দু $P(4,6)$ আৰু $Q(6,8)$ প্ৰথম পাদত অৱস্থিত। আমি পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য কেনেকৈ ব্যৱহাৰ কৰি সেইবোৰৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিয়াব পাৰোঁ? আহক $x$-অক্ষলৈ $P$ আৰু $Q$ ৰ পৰা ক্ৰমে PR আৰু QS লম্ব আঁকো। লগতে, $P$ ৰ পৰা $QS$ লৈ এডাল লম্ব টনা যাতে $QS$ ক $T$ ত লগ পায়। তেতিয়া $R$ আৰু $S$ ৰ স্থানাংক ক্ৰমে $(4,0)$ আৰু $(6,0)$ হয়। গতিকে, $RS=2$ একক। লগতে, $QS=8$ একক আৰু $TS=PR=6$ একক।

চিত্ৰ ৭.৩

সেয়েহে, $QT=2$ একক আৰু $PT=RS=2$ একক।

এতিয়া, পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =2^{2}+2^{2}=8 \end{aligned} $

গতিকে, $P Q=2 \sqrt{2} \text{ units }$

আমি কেনেকৈ দুটা ভিন্ন পাদত থকা দুটা বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিয়াব পাৰোঁ?

বিন্দু $P(6,4)$ আৰু $Q(-5,-3)$ বিবেচনা কৰা (চিত্ৰ ৭.৪ চোৱা)। $x$-অক্ষলৈ QS লম্ব আঁকা। লগতে বিন্দু $P$ ৰ পৰা QS (বৰ্ধিত) লৈ এডাল লম্ব PT আঁকা যাতে $y$-অক্ষক R বিন্দুত লগ পায়।

চিত্ৰ ৭.৪

তেতিয়া $\mathrm{PT}=11$ একক আৰু $\mathrm{QT}=7$ একক। (কিয়?)

সোঁকোণা ত্ৰিভূজ PTQ ত পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য প্ৰয়োগ কৰি, আমি পাওঁ $PQ=\sqrt{11^{2}+7^{2}}=\sqrt{170}$ একক।

এতিয়া আহক যিকোনো দুটা বিন্দু $P(x_1, y_1)$ আৰু $Q(x_2, y_2)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিয়াওঁ। $PR$ আৰু QS $x$-অক্ষলৈ লম্ব আঁকা। বিন্দু $P$ ৰ পৰা $QS$ লৈ এডাল লম্ব টনা হয় যাতে ইয়াক বিন্দু $T$ ত লগ পায় (চিত্ৰ ৭.৫ চোৱা)।

চিত্ৰ ৭.৫

তেতিয়া, $\quad OR=x_1, OS=x_2$। গতিকে, $RS=x_2-x_1=PT$।

লগতে, $\quad SQ=y_2, \quad ST=PR=y_1 . \quad$। গতিকে, $\quad QT=y_2-y_1$।

এতিয়া, $\triangle PTQ$ ত পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য প্ৰয়োগ কৰি, আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2} \end{aligned} $

সেয়েহে, $P Q=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$

মনত ৰাখিবা যে যিহেতু দূৰত্ব সদায় অঋণাত্মক, আমি কেৱল ধনাত্মক বৰ্গমূল লওঁ। গতিকে, বিন্দু $P(x_1, y_1)$ আৰু $Q(x_2, y_2)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব হ’ল

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}, $

যাক দূৰত্বৰ সূত্ৰ বুলি কোৱা হয়।

মন্তব্য :

১. বিশেষকৈ, বিন্দু $P(x, y)$ ৰ পৰা মূলবিন্দু $O(0,0)$ লৈ দূৰত্ব দিয়া হয়

$ OP=\sqrt{x^{2}+y^{2}} . $

২. আমি লিখিব পাৰোঁ, $PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$। (কিয়?)

উদাহৰণ ১ : বিন্দু $(3,2),(-2,-3)$ আৰু $(2,3)$ এটা ত্ৰিভূজ গঠন কৰেনে? যদি হয়, গঠিত ত্ৰিভূজৰ প্ৰকাৰটো নামকৰণ কৰা।

সমাধান : দূৰত্বৰ সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰি PQ, QR আৰু PR দূৰত্ব উলিয়াওঁ, য’ত $P(3,2), Q(-2,-3)$ আৰু $R(2,3)$ দিয়া বিন্দুবোৰ। আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} & PQ=\sqrt{(3+2)^{2}+(2+3)^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=7.07 \text{ (প্ৰায়) } \\ & QR=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-3-3)^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{52}=7.21 \text{ (প্ৰায়) } \\ & PR=\sqrt{(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}=1.41 \text{ (প্ৰায়) } \end{aligned} $

যিহেতু এই দূৰত্ববোৰৰ যিকোনো দুটাৰ যোগফল তৃতীয় দূৰত্বতকৈ ডাঙৰ, গতিকে, বিন্দু $P, Q$ আৰু $R$ এটা ত্ৰিভূজ গঠন কৰে।

লগতে, $PQ^{2}+PR^{2}=QR^{2}$, পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্যৰ বিপৰীতটোৰ দ্বাৰা, আমি পাওঁ $\angle P=90^{\circ}$। সেয়েহে, $PQR$ এটা সমকোণী ত্ৰিভূজ।

উদাহৰণ ২ : দেখুওৱা যে বিন্দু $(1,7),(4,2),(-1,-1)$ আৰু $(-4,4)$ এটা বৰ্গৰ শীৰ্ষবিন্দু।

সমাধান : ধৰা হওক A $(1,7), B(4,2), C(-1,-1)$ আৰু $D(-4,4)$ দিয়া বিন্দুবোৰ। $A B C D$ এটা বৰ্গ হোৱা দেখুওৱাৰ এটা উপায় হ’ল এই ধৰ্মটো ব্যৱহাৰ কৰা যে ইয়াৰ সকলো বাহু সমান হ’ব লাগে আৰু ইয়াৰ দুয়োটা কৰ্ণো সমান হ’ব লাগে। এতিয়া,

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(1-4)^{2}+(7-2)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ & BC=\sqrt{(4+1)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34} \\ & CD=\sqrt{(-1+4)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ & DA=\sqrt{(1+4)^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34} \\ & AC=\sqrt{(1+1)^{2}+(7+1)^{2}}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68} \\ & BD=\sqrt{(4+4)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68} \end{aligned} $

যিহেতু, $A B=B C=C D=D A$ আৰু $A C=B D$, চতুৰ্ভূজ $ABCD$ ৰ চাৰিওটা বাহু সমান আৰু ইয়াৰ কৰ্ণ $AC$ আৰু $BD$ ও সমান। গতিকে, $ABCD$ এটা বৰ্গ।

বিকল্প সমাধান : আমি ওপৰৰ দৰে চাৰিটা বাহু আৰু এটা কৰ্ণ, ধৰা হওক, $AC$ উলিয়াওঁ। ইয়াত $AD^{2}+DC^{2}=$ $34+34=68=$ AC $^{2}$। সেয়েহে, পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্যৰ বিপৰীতটোৰ দ্বাৰা, $\angle D=90^{\circ}$। চাৰিওটা বাহু সমান আৰু এটা কোণ $90^{\circ}$ থকা চতুৰ্ভূজটো এটা বৰ্গ। গতিকে, ABCD এটা বৰ্গ।

উদাহৰণ ৩ : চিত্ৰ ৭.৬ ত শ্ৰেণীকোঠাত ডেস্কবোৰৰ বিন্যাস দেখুওৱা হৈছে। আশিমা, ভাৰতী আৰু কেমেল্লা ক্ৰমে $A(3,1)$, $B(6,4)$ আৰু $C(8,6)$ ত বহি আছে। তুমি ভাবানে যে সিহঁত এডাল ৰেখাত বহি আছে? তোমাৰ উত্তৰৰ কাৰণ দিয়া।

চিত্ৰ ৭.৬

সমাধান : দূৰত্বৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(6-3)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ & BC=\sqrt{(8-6)^{2}+(6-4)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \\ & AC=\sqrt{(8-3)^{2}+(6-1)^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2} \end{aligned} $

যিহেতু, $A B+B C=3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}=5 \sqrt{2}=A C$, আমি ক’ব পাৰোঁ যে বিন্দু $A, B$ আৰু $C$ সমৰেখীয়। সেয়েহে, সিহঁত এডাল ৰেখাত বহি আছে।

উদাহৰণ ৪ : $x$ আৰু $y$ ৰ মাজত এটা সম্পৰ্ক উলিওৱা যাতে বিন্দু $(x, y)$ বিন্দু $(7,1)$ আৰু $(3,5)$ ৰ পৰা সমদূৰত্বত থাকে।

সমাধান : ধৰা হওক $P(x, y)$ বিন্দু $A(7,1)$ আৰু $B(3,5)$ ৰ পৰা সমদূৰত্বত থাকে।

আমি দিয়া আছে যে $AP=BP$। গতিকে, $AP^{2}=BP^{2}$

অৰ্থাৎ, $\quad (x-7)^{2}+(y-1)^{2}=(x-3)^{2}+(y-5)^{2}$

অৰ্থাৎ, $\quad x^{2}-14 x+49+y^{2}-2 y+1=x^{2}-6 x+9+y^{2}-10 y+25$

অৰ্থাৎ, $\quad x-y=2$

যি আৱশ্যকীয় সম্পৰ্ক।

মন্তব্য : মনত ৰাখিবা যে সমীকৰণ $x-y=2$ ৰ গ্ৰাফ এডাল ৰেখা। তোমাৰ আগৰ অধ্যয়নৰ পৰা, তুমি জানা যে A আৰু B ৰ পৰা সমদূৰত্বত থকা বিন্দু এটা $A B$ ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকত থাকে। গতিকে, $x-y=2$ ৰ গ্ৰাফ হ’ল $AB$ ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক (চিত্ৰ ৭.৭ চোৱা)।

চিত্ৰ ৭.৭

উদাহৰণ ৫ : $y$-অক্ষত এটা বিন্দু উলিওৱা যি বিন্দু $A(6,5)$ আৰু $B(-4,3)$ ৰ পৰা সমদূৰত্বত থাকে।

সমাধান : আমি জানো যে $y$-অক্ষত থকা বিন্দুৰ আকৃতি $(0, y)$। গতিকে, ধৰা হওক বিন্দু $P(0, y)$ $A$ আৰু $B$ ৰ পৰা সমদূৰত্বত থাকে। তেতিয়া

$$ (6-0)^{2}+(5-y)^{2}=(-4-0)^{2}+(3-y)^{2} $$

অৰ্থাৎ, $\quad 36+25+y^{2}-10 y=16+9+y^{2}-6 y$

অৰ্থাৎ, $\quad 4 y=36$

অৰ্থাৎ, $\quad y=9$

গতিকে, প্ৰয়োজনীয় বিন্দুটো হ’ল $(0,9)$।

আহক আমাৰ সমাধান পৰীক্ষা কৰোঁ: $AP=\sqrt{(6-0)^{2}+(5-9)^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$

$$ BP=\sqrt{(-4-0)^{2}+(3-9)^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52} $$

টোকা : ওপৰৰ মন্তব্য ব্যৱহাৰ কৰি, আমি দেখো যে $(0,9)$ হ’ল $y$-অক্ষ আৰু AB ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ ছেদবিন্দু।

৭.৩ খণ্ডন সূত্ৰ

আহক আমি ৭.২ অনুচ্ছেদৰ পৰিস্থিতিটো মনত পেলাওঁ। ধৰা হওক এটা টেলিফোন কোম্পানীয়ে এটা ৰিলে টাৱাৰ $P$ ত স্থাপন কৰিব বিচাৰে যিটো $A$ আৰু $B$ ৰ মাজত এনেদৰে যে টাৱাৰটোৰ দূৰত্ব $B$ ৰ পৰা ইয়াৰ দূৰত্বৰ পৰা $A$ দুগুণ। যদি $P$ $AB$ ত থাকে, ই $AB$ ক $1: 2$ অনুপাতত ভাগ কৰিব (চিত্ৰ ৭.৯ চোৱা)। যদি আমি $A$ ক মূলবিন্দু $O$ হিচাপে লওঁ, আৰু $1 km$ ক দুয়োটা অক্ষত এক একক হিচাপে লওঁ, B ৰ স্থানাংক হ’ব $(36,15)$। টাৱাৰটোৰ অৱস্থান জানিবলৈ, আমি P ৰ স্থানাংক জানিব লাগিব। আমি এই স্থানাংকবোৰ কেনেকৈ উলিয়াওঁ?

চিত্ৰ ৭.৯

ধৰা হওক $P$ ৰ স্থানাংক $(x, y)$ হয়। $P$ আৰু $B$ ৰ পৰা $x$-অক্ষলৈ লম্ব আঁকা, যিয়ে ইয়াক ক্ৰমে $D$ আৰু $E$ ত ছেদ কৰে। PC লম্ব BE লৈ আঁকা। তেতিয়া, AA সাদৃশ্য নিকষ অনুসৰি, $6, \triangle$ অধ্যায়ত অধ্যয়ন কৰা, POD আৰু $\triangle$ BPC সদৃশ।

সেয়েহে, $\dfrac{OD}{PC}=\dfrac{OP}{PB}=\dfrac{1}{2}$, আৰু $\dfrac{PD}{BC}=\dfrac{OP}{PB}=\dfrac{1}{2}$

গতিকে, $\dfrac{x}{36-x}=\dfrac{1}{2}$ আৰু $\dfrac{y}{15-y}=\dfrac{1}{2}$।

এই সমীকৰণবোৰে দিয়ে $x=12$ আৰু $y=5$।

তুমি পৰীক্ষা কৰিব পাৰা যে $P(12,5)$ য়ে চৰ্ত পূৰণ কৰে যে $OP: PB=1: 2$।

এতিয়া আহক এই উদাহৰণৰ জৰিয়তে তুমি বিকশিত কৰা বুজাবুজি ব্যৱহাৰ কৰি সাধাৰণ সূত্ৰটো পোৱা যাওক।

যিকোনো দুটা বিন্দু $A(x_1, y_1)$ আৰু $B(x_2, y_2)$ বিবেচনা কৰা আৰু ধৰা হওক যে $P(x, y)$ য়ে $AB$ ক আভ্যন্তৰীণভাৱে $m_1: m_2$ অনুপাতত ভাগ কৰে, অৰ্থাৎ, $\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{m_1}{m_2}$ (চিত্ৰ ৭.১০ চোৱা)।

চিত্ৰ ৭.১০

AR, PS আৰু BT $x$-অক্ষলৈ লম্ব আঁকা। AQ আৰু PC $x$-অক্ষৰ সমান্তৰালকৈ আঁকা। তেতিয়া, AA সাদৃশ্য নিকষ অনুসৰি,

$ \Delta PAQ \sim \Delta BPC $

সেয়েহে, $\dfrac{PA}{BP}=\dfrac{AQ}{PC}=\dfrac{PQ}{BC} \tag{1}$

$ \begin{aligned} \text{এতিয়া,}\\ & AQ=RS=OS-OR=x-x_1 \\ & PC=ST=OT-OS=x_2-x \\ & PQ=PS-QS=PS-AR=y-y_1 \\ & BC=BT-CT=BT-PS=y_2-y \end{aligned} $

(1) ত এই মানবোৰ প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি, আমি পাওঁ

$ \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y} $

$ \text{লৈ,} \quad \quad \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x} \text{, আমি পাওঁ } x=\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2} $

$$ \text{Similarly, taking} \quad \quad \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y}, \text{ we get } y=\dfrac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2} $$

গতিকে, বিন্দু $P(x, y)$ ৰ স্থানাংক যিয়ে বিন্দু $A(x_1, y_1)$ আৰু $B(x_2, y_2)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডক আভ্যন্তৰীণভাৱে $m_1: m_2$ অনুপাতত ভাগ কৰে, সেইবোৰ হ’ল

$$ (\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}, \dfrac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2}) \tag{2} $$

ইয়াক খণ্ডন সূত্ৰ বুলি জনা যায়।

ইয়াক A, P আৰু B ৰ পৰা $y$-অক্ষলৈ লম্ব আঁকি আৰু ওপৰৰ দৰে আগবাঢ়িও উলিয়াব পাৰি।

যদি $P$ য়ে $AB$ ক ভাগ কৰা অনুপাত $k: 1$ হয়, তেন্তে বিন্দু $P$ ৰ স্থানাংক হ’ব

$ (\dfrac{k x_2+x_1}{k+1}, \dfrac{k y_2+y_1}{k+1}) $

বিশেষ ক্ষেত্ৰ : এটা ৰেখাখণ্ডৰ মধ্যবিন্দুৱে ৰেখাখণ্ডক $1: 1$ অনুপাতত ভাগ কৰে। সেয়েহে, বিন্দু $A(x_1, y_1)$ আৰু $B(x_2, y_2)$ ৰ সংযোগৰ মধ্যবিন্দু $P$ ৰ স্থানাংক হ’ল

$$ (\dfrac{1 \cdot x_1+1 \cdot x_2}{1+1}, \dfrac{1 \cdot y_1+1 \cdot y_2}{1+1})=(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}) \text{. } $$

খণ্ডন সূত্ৰৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি কেইটামান উদাহৰণ সমাধান কৰোঁ আহক।

উদাহৰণ ৬ : বিন্দুটোৰ স্থানাংক উলিওৱা যিয়ে বিন্দু $(4,-3)$ আৰু $(8,5)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডক $3: 1$ অনুপাতত আভ্যন্তৰীণভাৱে ভাগ কৰে।

সমাধান : ধৰা হওক $P(x, y)$ হ’ল প্ৰয়োজনীয় বিন্দু। খণ্ডন সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ

$ x=\dfrac{3(8)+1(4)}{3+1}=7, \quad y=\dfrac{3(5)+1(-3)}{3+1}=3 $

সেয়েহে, $(7,3)$ হ’ল প্ৰয়োজনীয় বিন্দু।

উদাহৰণ ৭ : বিন্দু $(-4,6)$ য়ে বিন্দু $A(-6,10)$ আৰু $B(3,-8)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডক কি অনুপাতত ভাগ কৰে?

সমাধান : ধৰা হওক $(-4,6)$ য়ে $A B$ ক আভ্যন্তৰীণভাৱে $m_1: m_2$ অনুপাতত ভাগ কৰে। খণ্ডন সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ

$$ (-4,6)=(\dfrac{3 m_1-6 m_2}{m_1+m_2}, \dfrac{-8 m_1+10 m_2}{m_1+m_2}) \tag{1} $$

মনত পেলাওঁ যে যদি $(x, y)=(a, b)$ তেন্তে $x=a$ আৰু $y=b$।

গতিকে, $-4=\dfrac{3 m_1-6 m_2}{m_1+m_2} \text{ and } 6=\dfrac{-8 m_1+10 m_2}{m_1+m_2}$

$$\text{Now, }\quad-4=\dfrac{3 m_1-6 m_2}{m_1+m_2} \quad \text{gives us}$$

$ -4 m_1-4 m_2=3 m_1-6 m_2 $

অৰ্থাৎ, $7 m_1=2 m_2$

অৰ্থাৎ, $m_1: m_2=2: 7$

তুমি পৰীক্ষা কৰিব লাগিব যে অনুপাতটোৱে $y$-স্থানাংকটোও সন্তুষ্ট কৰে।

এতিয়া, $\begin{aligned} \quad \dfrac{-8 m_1+10 m_2}{m_1+m_2} & =\dfrac{-8 \dfrac{m_1}{m_2}+10}{\dfrac{m_1}{m_2}+1} \quad (\text{ Dividing throughout by } m_2 )\end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad =\dfrac{-8 \times \dfrac{2}{7}+10}{\dfrac{2}{7}+1}=6\end{aligned}$

সেয়েহে, বিন্দু $(-4,6)$ য়ে বিন্দু $A(-6,10)$ আৰু $B(3,-8)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডক $2: 7$ অনুপাতত ভাগ কৰে।

বিকল্পভাৱে : অনুপাত $m_1: m_2$ ক $\dfrac{m_1}{m_2}: 1$, বা $k: 1$ হিচাপেও লিখিব পাৰি। ধৰা হওক $(-4,6)$ য়ে $A B$ ক আভ্যন্তৰীণভাৱে $k: 1$ অনুপাতত ভাগ কৰে। খণ্ডন সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ

$ \begin{align*} (-4,6) & =(\dfrac{3 k-6}{k+1}, \dfrac{-8 k+10}{k+1}) \tag{2} \end{align*} $

$ \begin{aligned} \text{গতিকে, } \quad \quad & -4 =\dfrac{3 k-6}{k+1} \\ \text{অৰ্থাৎ, } \quad \quad & -4 k-4 =3 k-6 \\ \text{অৰ্থাৎ, } \quad \quad & 7 k =2 \\ \text{অৰ্থাৎ, } \quad \quad & k: 1 =2: 7 \end{aligned} $

তুমি $y$-স্থানাংকৰ বাবেও পৰীক্ষা কৰিব পাৰা।

গতিকে, বিন্দু $(-4,6)$ য়ে বিন্দু $A(-6,10)$ আৰু $B(3,-8)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডক $2: 7$ অনুপাতত ভাগ কৰে।

টোকা : তুমি PA আৰু PB দূৰত্ব গণনা কৰি আৰু সেইবোৰৰ অনুপাত লৈও এই অনুপাত উলিয়াব পাৰা যদি তুমি জানা যে $A, P$ আৰু $B$ সমৰেখীয়।

উদাহৰণ ৮ : বিন্দু $A(2,-2)$ আৰু $B(-7,4)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডৰ ত্ৰিখণ্ডন বিন্দু (অৰ্থাৎ, তিনিটা সমান ভাগত ভাগ কৰা বিন্দু)ৰ স্থানাংক উলিওৱা।

সমাধান : ধৰা হওক $P$ আৰু $Q$ হ’ল $AB$ ৰ ত্ৰিখণ্ডন বিন্দু, অৰ্থাৎ, $AP=PQ=QB$ (চিত্ৰ ৭.১১ চোৱা)।

চিত্ৰ ৭.১১

সেয়েহে, $P$ য়ে $AB$ ক আভ্যন্তৰীণভাৱে $1: 2$ অনুপাতত ভাগ কৰে। গতিকে, খণ্ডন সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰি, $P$ ৰ স্থানাংক হ’ল

$ (\dfrac{1(-7)+2(2)}{1+2}, \dfrac{1(4)+2(-2)}{1+2}) \text{, অৰ্থাৎ }(-1,0) $

এতিয়া, $Q$ য়েও $AB$ ক ২ : ১ অনুপাতত আভ্যন্তৰীণভাৱে ভাগ কৰে। গতিকে, $Q$ ৰ স্থানাংক হ’ল

$ (\dfrac{2(-7)+1(2)}{2+1}, \dfrac{2(4)+1(-2)}{2+1}) \text{, অৰ্থাৎ }(-4,2) $

সেয়েহে, A আৰু B ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডৰ ত্ৰিখণ্ডন বিন্দুৰ স্থানাংক হ’ল $(-1,0)$ আৰু $(-4,2)$।

টোকা : আমি Q ক ই PB ৰ মধ্যবিন্দু হিচাপে লক্ষ্য কৰিও পাব পাৰিলোহেঁতেন। গতিকে, আমি মধ্যবিন্দু সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি ইয়াৰ স্থানাংক পাব পাৰিলোহেঁতেন।

উদাহৰণ ৯ : $y$-অক্ষই বিন্দু $(5,-6)$ আৰু $(-1,-4)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডক কি অনুপাতত ভাগ কৰে। লগতে ছেদবিন্দুটোও উলিওৱা।

সমাধান : ধৰা হওক অনুপাতটো $k: 1$। তেতিয়া খণ্ডন সূত্ৰৰ দ্বাৰা, বিন্দুটোৰ স্থানাংক যিয়ে $AB$ ক $k: 1$ অনুপাতত ভাগ কৰে, সেইবোৰ হ’ল $(\dfrac{-k+5}{k+1}, \dfrac{-4 k-6}{k+1})$।

এই বিন্দুটো $y$-অক্ষত থাকে, আৰু আমি জানো যে $y$-অক্ষত ভুজ ০ হয়।

সেয়েহে, $\dfrac{-k+5}{k+1}=0$

গতিকে, $k=5$

অৰ্থাৎ, অনুপাতটো হ’ল $5: 1$।