७.१ परिचय

इयत्ता नववी मध्ये, तुम्ही अभ्यासले आहे की समतलावरील एका बिंदूचे स्थान शोधण्यासाठी, आपल्याला एक जोडी निर्देशक अक्षांची आवश्यकता असते. एका बिंदूचे $y$-अक्षापासूनचे अंतर त्याचा $\boldsymbol{{}x}$-निर्देशक, किंवा भुज असे म्हणतात. एका बिंदूचे $x$-अक्षापासूनचे अंतर त्याचा $y$-निर्देशक, किंवा कोटि असे म्हणतात. $x$-अक्षावरील बिंदूचे निर्देशक $(x, 0)$ या स्वरूपातील असतात, आणि $y$-अक्षावरील बिंदूचे निर्देशक $(0, y)$ या स्वरूपातील असतात.

तुमच्यासाठी येथे एक खेळ आहे. ग्राफ पेपरवर एक जोडी लंब अक्षांचा संच काढा. आता खालील बिंदूंना चिन्हांकित करा आणि दिलेल्या सूचनेनुसार त्यांना जोडा: बिंदू $A(4,8)$ ला $B(3,9)$ शी, $B(3,9)$ ला $C(3,8)$ शी, $C(3,8)$ ला $D(1,6)$ शी, $D(1,6)$ ला $E(1,5)$ शी, $E(1,5)$ ला $F(3,3)$ शी, $F(3,3)$ ला $G(6,3)$ शी, $G(6,3)$ ला $H(8,5)$ शी, $H(8,5)$ ला $I(8,6)$ शी, $I(8,6)$ ला $J(6,8)$ शी, $J(6,8)$ ला $K(6,9)$ शी, $K(6,9)$ ला $L(5,8)$ शी, $L(5,8)$ ला $A$ शी जोडा. नंतर बिंदू $P(3.5,7), Q(3,6)$ आणि $R(4,6)$ जोडून त्रिकोण तयार करा. तसेच बिंदू $X(5.5,7), Y(5,6)$ आणि $Z(6,6)$ जोडून त्रिकोण तयार करा. आता $S(4,5), T(4.5,4)$ आणि $U(5,5)$ जोडून त्रिकोण तयार करा. शेवटी, $S$ ला बिंदू $(0,5)$ आणि $(0,6)$ शी जोडा आणि $U$ ला बिंदू $(9,5)$ आणि $(9,6)$ शी जोडा. तुम्हाला काय चित्र मिळाले?

तसेच, तुम्ही पाहिले आहे की दोन चलांतील रेषीय समीकरण, जे $a x+b y+c=0,(a, b$ या स्वरूपातील असते (जेथे a, b एकाच वेळी शून्य नसतात), जेव्हा आलेखीय रूपात दर्शविले जाते, तेव्हा सरळ रेषा देतात. पुढे, प्रकरण २ मध्ये, तुम्ही $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ चा आलेख पाहिला आहे, जो एक परवलय आहे. खरं तर, निर्देशक भूमितीचा विकास आकृत्यांच्या भूमितीचा अभ्यास करण्यासाठी बीजगणितीय साधन म्हणून झाला आहे. हे आपल्याला बीजगणिताचा वापर करून भूमितीचा अभ्यास करण्यास आणि भूमितीच्या मदतीने बीजगणित समजून घेण्यास मदत करते. यामुळेच, निर्देशक भूमितीचा भौतिकशास्त्र, अभियांत्रिकी, नौकानयन, भूकंपविज्ञान आणि कला यासारख्या विविध क्षेत्रांत मोठ्या प्रमाणात उपयोग केला जातो!

या प्रकरणात, तुम्ही शिकाल की दिलेल्या निर्देशकांसह दोन बिंदूंमधील अंतर कसे शोधायचे, आणि तीन दिलेल्या बिंदूंनी तयार झालेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे. तसेच, दोन दिलेल्या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला दिलेल्या गुणोत्तरात विभाजित करणाऱ्या बिंदूचे निर्देशक कसे शोधायचे तेही तुम्ही अभ्यासाल.

७.२ अंतर सूत्र

चला पुढील परिस्थितीचा विचार करूया:

एक शहर B हे शहर A च्या $36 km$ पूर्वेस आणि 15 $km$ उत्तरेस स्थित आहे. शहर A पासून शहर B पर्यंतचे अंतर प्रत्यक्षात मोजल्याशिवाय तुम्ही कसे शोधाल? चला पाहूया. ही परिस्थिती आकृती ७.१ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे आलेखीय रूपात दर्शविली जाऊ शकते. हे अंतर काढण्यासाठी तुम्ही पायथागोरसचे प्रमेय वापरू शकता.

आकृती ७.१

आता, समजा दोन बिंदू $x$-अक्षावर आहेत. आपण त्यांच्यातील अंतर शोधू शकतो का? उदाहरणार्थ, आकृती ७.२ मधील दोन बिंदू $A(4,0)$ आणि $B(6,0)$ विचारात घ्या. बिंदू A आणि B $x$-अक्षावर आहेत.

आकृतीवरून तुम्ही पाहू शकता की $OA=4$ एकक आणि $OB=6$ एकक.

म्हणून, $B$ चे $A$ पासूनचे अंतर, म्हणजेच, $AB=OB-OA=6-4=2$ एकक.

तर, जर दोन बिंदू $x$-अक्षावर असतील, तर आपण त्यांच्यातील अंतर सहज काढू शकतो.

आता, समजा आपण $y$-अक्षावर असलेले दोन बिंदू घेतो. तुम्ही त्यांच्यातील अंतर शोधू शकता का? जर बिंदू $C(0,3)$ आणि $D(0,8)$ $y$-अक्षावर असतील, तर त्याचप्रमाणे आपल्याला आढळते की $CD=8-3=5$ एकक (आकृती ७.२ पहा).

आकृती ७.२

पुढे, तुम्ही A चे C पासूनचे अंतर (आकृती ७.२ मध्ये) शोधू शकता का? OA $=4$ एकक आणि $OC=3$ एकक असल्याने, $A$ चे $C$ पासूनचे अंतर, म्हणजेच, $AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ एकक. त्याचप्रमाणे, तुम्ही $B$ चे $D=BD=10$ पासूनचे अंतर एकक शोधू शकता.

आता, जर आपण निर्देशक अक्षावर नसलेले दोन बिंदू विचारात घेतले, तर आपण त्यांच्यातील अंतर शोधू शकतो का? होय! हे करण्यासाठी आपण पायथागोरसचे प्रमेय वापरणार आहोत. चला एक उदाहरण पाहू.

आकृती ७.३ मध्ये, बिंदू $P(4,6)$ आणि $Q(6,8)$ पहिल्या चरणात आहेत. त्यांच्यातील अंतर शोधण्यासाठी आपण पायथागोरसचे प्रमेय कसे वापरू? चला, P आणि Q वरून अनुक्रमे PR आणि QS हे $x$-अक्षाला लंब काढू. तसेच, $P$ वरून $QS$ वर एक लंब काढा जेणेकरून तो $QS$ ला $T$ वर भेटेल. तर, $R$ आणि $S$ चे निर्देशक अनुक्रमे $(4,0)$ आणि $(6,0)$ आहेत. म्हणून, $RS=2$ एकक. तसेच, $QS=8$ एकक आणि $TS=PR=6$ एकक.

आकृती ७.३

म्हणून, $QT=2$ एकक आणि $PT=RS=2$ एकक.

आता, पायथागोरसचे प्रमेय वापरून, आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =2^{2}+2^{2}=8 \end{aligned} $

तर, $P Q=2 \sqrt{2} \text{ units }$

दोन भिन्न चरणांमधील दोन बिंदूंमधील अंतर आपण कसे शोधू?

बिंदू $P(6,4)$ आणि $Q(-5,-3)$ विचारात घ्या (आकृती ७.४ पहा). QS हे $x$-अक्षाला लंब काढा. तसेच बिंदू $P$ वरून QS (विस्तारित) वर एक लंब PT काढा जेणेकरून तो $y$-अक्षाला R बिंदूवर भेटेल.

आकृती ७.४

तर, $\mathrm{PT}=11$ एकक आणि $\mathrm{QT}=7$ एकक. (का?)

काटकोन त्रिकोण PTQ मध्ये पायथागोरसचे प्रमेय वापरून, आपल्याला $PQ=\sqrt{11^{2}+7^{2}}=\sqrt{170}$ एकक मिळतात.

आता, कोणत्याही दोन बिंदूंमधील अंतर $P(x_1, y_1)$ आणि $Q(x_2, y_2)$ शोधू. $PR$ आणि QS हे $x$-अक्षाला लंब काढा. बिंदू $P$ वरून $QS$ वर एक लंब काढला आहे जेणेकरून तो $T$ बिंदूवर भेटेल (आकृती ७.५ पहा).

आकृती ७.५

तर, $\quad OR=x_1, OS=x_2$. म्हणून, $RS=x_2-x_1=PT$.

तसेच, $\quad SQ=y_2, \quad ST=PR=y_1 . \quad$ म्हणून, $\quad QT=y_2-y_1$.

आता, $\triangle PTQ$ मध्ये पायथागोरसचे प्रमेय लागू करून, आपल्याला मिळते

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2} \end{aligned} $

म्हणून, $P Q=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$

लक्षात ठेवा की अंतर नेहमीच अ-ऋण असल्याने, आपण फक्त धन वर्गमूळ घेतो. तर, बिंदू $P(x_1, y_1)$ आणि $Q(x_2, y_2)$ मधील अंतर आहे

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}, $

ज्याला अंतर सूत्र म्हणतात.

टिपा :

१. विशेषतः, बिंदू $P(x, y)$ चे मूळ बिंदू $O(0,0)$ पासूनचे अंतर दिले जाते

$ OP=\sqrt{x^{2}+y^{2}} . $

२. आपण $PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$ असेही लिहू शकतो. (का?)

उदाहरण १ : बिंदू $(3,2),(-2,-3)$ आणि $(2,3)$ त्रिकोण तयार करतात का? जर होय, तर तयार झालेल्या त्रिकोणाचा प्रकार सांगा.

उकल : दिलेल्या बिंदूंमधील अंतर PQ, QR आणि PR शोधण्यासाठी अंतर सूत्र लागू करू, जेथे $P(3,2), Q(-2,-3)$ आणि $R(2,3)$ दिलेले बिंदू आहेत. आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} & PQ=\sqrt{(3+2)^{2}+(2+3)^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=7.07 \text{ (अंदाजे) } \\ & QR=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-3-3)^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{52}=7.21 \text{ (अंदाजे) } \\ & PR=\sqrt{(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}=1.41 \text{ (अंदाजे) } \end{aligned} $

या अंतरांपैकी कोणत्याही दोन अंतरांची बेरीज तिसऱ्या अंतरापेक्षा मोठी असल्याने, म्हणून, बिंदू $P, Q$ आणि $R$ त्रिकोण तयार करतात.

तसेच, $PQ^{2}+PR^{2}=QR^{2}$, पायथागोरसच्या प्रमेयाच्या व्यत्यासानुसार, आपल्याकडे $\angle P=90^{\circ}$ आहे. म्हणून, $PQR$ हा काटकोन त्रिकोण आहे.

उदाहरण २ : बिंदू $(1,7),(4,2),(-1,-1)$ आणि $(-4,4)$ हे चौरसाचे शिरोबिंदू आहेत हे दाखवा.

उकल : A $(1,7), B(4,2), C(-1,-1)$ आणि $D(-4,4)$ दिलेले बिंदू मानू. $A B C D$ हा चौरस आहे हे दाखवण्याचा एक मार्ग म्हणजे त्याची सर्व बाजू समान असाव्यात आणि त्याचे दोन्ही कर्णही समान असावेत हा गुणधर्म वापरणे. आता,

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(1-4)^{2}+(7-2)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ & BC=\sqrt{(4+1)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34} \\ & CD=\sqrt{(-1+4)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ & DA=\sqrt{(1+4)^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34} \\ & AC=\sqrt{(1+1)^{2}+(7+1)^{2}}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68} \\ & BD=\sqrt{(4+4)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68} \end{aligned} $

कारण, $A B=B C=C D=D A$ आणि $A C=B D$, चौकोन $ABCD$ च्या चारही बाजू समान आहेत आणि त्याचे कर्ण $AC$ आणि $BD$ देखील समान आहेत. म्हणून, $ABCD$ हा चौरस आहे.

पर्यायी उकल : आपण वरीलप्रमाणे चार बाजू आणि एक कर्ण, म्हणजे, $AC$ शोधतो. येथे $AD^{2}+DC^{2}=$ $34+34=68=$ AC $^{2}$. म्हणून, पायथागोरसच्या प्रमेयाच्या व्यत्यासानुसार, $\angle D=90^{\circ}$. चारही बाजू समान आणि एक कोन $90^{\circ}$ असलेला चौकोन म्हणजे चौरस. तर, ABCD हा चौरस आहे.

उदाहरण ३ : आकृती ७.६ मध्ये वर्गातील डेस्कची मांडणी दाखवली आहे. अशिमा, भारती आणि कॅमेला अनुक्रमे $A(3,1)$, $B(6,4)$ आणि $C(8,6)$ येथे बसलेल्या आहेत. तुम्हाला असे वाटते का की त्या एका रेषेत बसलेल्या आहेत? तुमच्या उत्तरासाठी कारणे द्या.

आकृती ७.६

उकल : अंतर सूत्र वापरून, आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(6-3)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ & BC=\sqrt{(8-6)^{2}+(6-4)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \\ & AC=\sqrt{(8-3)^{2}+(6-1)^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2} \end{aligned} $

कारण, $A B+B C=3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}=5 \sqrt{2}=A C$, आपण असे म्हणू शकतो की बिंदू $A, B$ आणि $C$ एकरेषीय आहेत. म्हणून, त्या एका रेषेत बसलेल्या आहेत.

उदाहरण ४ : $x$ आणि $y$ यांच्यात असे संबंध शोधा की बिंदू $(x, y)$ हा बिंदू $(7,1)$ आणि $(3,5)$ पासून समदूर असेल.

उकल : समजा $P(x, y)$ हा बिंदू $A(7,1)$ आणि $B(3,5)$ पासून समदूर आहे.

आपल्याला दिले आहे की $AP=BP$. म्हणून, $AP^{2}=BP^{2}$

म्हणजेच, $\quad (x-7)^{2}+(y-1)^{2}=(x-3)^{2}+(y-5)^{2}$

म्हणजेच, $\quad x^{2}-14 x+49+y^{2}-2 y+1=x^{2}-6 x+9+y^{2}-10 y+25$

म्हणजेच, $\quad x-y=2$

जी आवश्यक संबंध आहे.

टीप : लक्षात ठेवा की समीकरण $x-y=2$ चा आलेख एक रेषा आहे. तुमच्या पूर्वीच्या अभ्यासावरून, तुम्हाला माहित आहे की A आणि B पासून समदूर असलेला बिंदू $A B$ च्या लंबदुभाजकावर असतो. म्हणून, $x-y=2$ चा आलेख $AB$ चा लंबदुभाजक आहे (आकृती ७.७ पहा).

आकृती ७.७

उदाहरण ५ : $y$-अक्षावर असा एक बिंदू शोधा जो बिंदू $A(6,5)$ आणि $B(-4,3)$ पासून समदूर असेल.

उकल : आपल्याला माहित आहे की $y$-अक्षावरील बिंदू $(0, y)$ या स्वरूपाचा असतो. तर, समजा बिंदू $P(0, y)$ हा $A$ आणि $B$ पासून समदूर आहे. तर

$$ (6-0)^{2}+(5-y)^{2}=(-4-0)^{2}+(3-y)^{2} $$

म्हणजेच, $\quad 36+25+y^{2}-10 y=16+9+y^{2}-6 y$

म्हणजेच, $\quad 4 y=36$

म्हणजेच, $\quad y=9$

तर, आवश्यक बिंदू $(0,9)$ आहे.

चला आपली उकल तपासूया : $AP=\sqrt{(6-0)^{2}+(5-9)^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$

$$ BP=\sqrt{(-4-0)^{2}+(3-9)^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52} $$

टीप : वरील टीप वापरून, आपण पाहतो की $(0,9)$ हा $y$-अक्ष आणि AB च्या लंबदुभाजकाचा छेदनबिंदू आहे.

७.३ विभाजन सूत्र

चला आपण परिच्छेद ७.२ मधील परिस्थिती आठवूया. समजा एक टेलिफोन कंपनी $P$ येथे $A$ आणि $B$ यांच्यामध्ये एक रिले टॉवर ठेवू इच्छिते अशा प्रकारे की टॉवरचे $B$ पासूनचे अंतर हे $A$ पासूनच्या अंतराच्या दुप्पट असेल. जर $P$ $AB$ वर असेल, तर तो $AB$ ला $1: 2$ या गुणोत्तरात विभाजित करेल (आकृती ७.९ पहा). जर आपण $A$ ला मूळ बिंदू $O$ मानले, आणि $1 km$ ला दोन्ही अक्षांवर एक एकक मानले, तर B चे निर्देशक $(36,15)$ असतील. टॉवरचे स्थान जाणून घेण्यासाठी, आपल्याला P चे निर्देशक माहित असणे आवश्यक आहे. हे निर्देशक आपण कसे शोधू?

आकृती ७.९

समजा $P$ चे निर्देशक $(x, y)$ आहेत. $P$ आणि $B$ वरून $x$-अक्षाला लंब काढा, जे त्याला अनुक्रमे $D$ आणि $E$ मध्ये छेदतील. PC हे BE ला लंब काढा. तर, AA समरूपता निकषानुसार, प्रकरण $6, \triangle$ मध्ये अभ्यासलेल्या प्रमाणे, $\triangle$ BPC समरूप आहेत.

म्हणून, $\dfrac{OD}{PC}=\dfrac{OP}{PB}=\dfrac{1}{2}$, आणि $\dfrac{PD}{BC}=\dfrac{OP}{PB}=\dfrac{1}{2}$

तर, $\dfrac{x}{36-x}=\dfrac{1}{2}$ आणि $\dfrac{y}{15-y}=\dfrac{1}{2}$.

ही समीकरणे $x=12$ आणि $y=5$ देतात.

तुम्ही तपासू शकता की $P(12,5)$ ही अट पूर्ण करते की $OP: PB=1: 2$.

आता, या उदाहरणाद्वारे तुम्ही विकसित केलेली समजूत सामान्य सूत्र मिळवण्यासाठी वापरू.

कोणतेही दोन बिंदू $A(x_1, y_1)$ आणि $B(x_2, y_2)$ विचारात घ्या आणि असे गृहीत धरा की $P(x, y)$ हा $AB$ ला अंतर्गत रीतीने $m_1: m_2$ या गुणोत्तरात विभाजित करतो, म्हणजेच, $\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{m_1}{m_2}$ (आकृती ७.१० पहा).

आकृती ७.१०

AR, PS आणि BT हे $x$-अक्षाला लंब काढा. AQ आणि PC हे $x$-अक्षाला समांतर काढा. तर, AA समरूपता निकषानुसार,

$ \Delta PAQ \sim \Delta BPC $

म्हणून, $\dfrac{PA}{BP}=\dfrac{AQ}{PC}=\dfrac{PQ}{BC} \tag{1}$

$ \begin{aligned} \text{आता,}\\ & AQ=RS=OS-OR=x-x_1 \\ & PC=ST=OT-OS=x_2-x \\ & PQ=PS-QS=PS-AR=y-y_1 \\ & BC=BT-CT=BT-PS=y_2-y \end{aligned} $

ही मूल्ये (1) मध्ये ठेवल्यास, आपल्याला मिळते

$ \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y} $

$ \text{घेताना} \quad \quad \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x} \text{, आपल्याला मिळते } x=\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2} $

$$ \text{Similarly, taking} \quad \quad \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y}, \text{ we get } y=\dfrac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2} $$

तर, बिंदू $P(x, y)$ चे निर्देशक, जो बिंदू $A(x_1, y_1)$ आणि $B(x_2, y_2)$ यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला अंतर्गत रीतीने $m_1: m_2$ या गुणोत्तरात विभाजित करतो, ते आहेत

$$ (\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}, \dfrac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2}) \tag{2} $$

याला विभाजन सूत्र म्हणतात.

हे A, P आणि B वरून $y$-अक्षाला लंब काढून आणि वरीलप्रमाणे पुढे जाऊनही मिळवता येते.

जर $P$ हा $AB$ ला ज्या गुणोत्तरात विभाजित करतो ते $k: 1$ असेल, तर बिंदू $P$ चे निर्देशक असतील

$ (\dfrac{k x_2+x_1}{k+1}, \dfrac{k y_2+y_1}{k+1}) $

विशेष प्रकरण : रेषाखंडाचा मध्यबिंदू त्या रेषाखंडाला $1: 1$ या गुणोत्तरात विभाजित करतो. म्हणून, बिंदू $A(x_1, y_1)$ आणि $B(x_2, y_2)$ यांच्या जोडणीच्या मध्यबिंदू $P$ चे निर्देशक आहेत

$$ (\dfrac{1 \cdot x_1+1 \cdot x_2}{1+1}, \dfrac{1 \cdot y_1+1 \cdot y_2}{1+1})=(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}) \text{. } $$

विभाजन सूत्रावर आधारित काही उदाहरणे सोडवू.

उदाहरण ६ : बिंदू $(4,-3)$ आणि $(8,5)$ यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला अंतर्गत रीतीने $3: 1$ या गुणोत्तरात विभाजित करणाऱ्या बिंदूचे निर्देशक शोधा.

उकल : समजा $P(x, y)$ हा आवश्यक बिंदू आहे. विभाजन सूत्र वापरून, आपल्याला मिळते

$ x=\dfrac{3(8)+1(4)}{3+1}=7, \quad y=\dfrac{3(5)+1(-3)}{3+1}=3 $

म्हणून, $(7,3)$ हा आवश्यक बिंदू आहे.

उदाहरण ७ : बिंदू $(-4,6)$ हा बिंदू $A(-6,10)$ आणि $B(3,-8)$ यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला कोणत्या गुणोत्तरात विभाजित करतो?

उकल : समजा $(-4,6)$ हा $A B$ ला अंतर्गत रीतीने $m_1: m_2$ या गुणोत्तरात विभाजित करतो. विभाजन सूत्र वापरून, आपल्याला मिळते

$$ (-4,6)=(\dfrac{3 m_1-6 m_2}{m_1+m_2}, \dfrac{-8 m_1+10 m_2}{m_1+m_2}) \tag{1} $$

लक्षात ठेवा की जर $(x, y)=(a, b)$ असेल तर $x=a$ आणि $y=b$.

तर, $-4=\dfrac{3 m_1-6 m_2}{m_1+m_2} \text{ and } 6=\dfrac{-8 m_1+10 m_2}{m_1+m_2}$

$$\text{Now, }\quad-4=\dfrac{3 m_1-6 m_2}{m_1+m_2} \quad \text{gives us}$$

$ -4 m_1-4 m_2=3 m_1-6 m_2 $

म्हणजेच,$7 m_1=2 m_2$

म्हणजेच,$m_1: m_2=2: 7$

$y$-निर्देशक देखील हे गुणोत्तर पूर्ण करतो हे तुम्ही तपासावे.

आता, $\begin{aligned} \quad \dfrac{-8 m_1+10 m_2}{m_1+m_2} & =\dfrac{-8 \dfrac{m_1}{m_2}+10}{\dfrac{m_1}{m_2}+1} \quad (\text{ Dividing throughout by } m_2 )\end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad =\dfrac{-8 \times \dfrac{2}{7}+10}{\dfrac{2}{7}+1}=6\end{aligned}$

म्हणून, बिंदू $(-4,6)$ हा बिंदू $A(-6,10)$ आणि $B(3,-8)$ यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला $2: 7$ या गुणोत्तरात विभाजित करतो.

पर्यायी पद्धत : गुणोत्तर $m_1: m_2$ हे $\dfrac{m_1}{m_2}: 1$, किंवा $k: 1$ असेही लिहिता येते. समजा $(-4,6)$ हा $A B$ ला अंतर्गत रीतीने $k: 1$ या गुणोत्तरात विभाजित करतो. विभाजन सूत्र वापरून, आपल्याला मिळते

$ \begin{align*} (-4,6) & =(\dfrac{3 k-6}{k+1}, \dfrac{-8 k+10}{k+1}) \tag{2} \end{align*} $

$ \begin{aligned} \text{तर, } \quad \quad & -4 =\dfrac{3 k-6}{k+1} \\ \text{म्हणजेच, } \quad \quad & -4 k-4 =3 k-6 \\ \text{म्हणजेच, } \quad \quad & 7 k =2 \\ \text{म्हणजेच, } \quad \quad & k: 1 =2: 7 \end{aligned} $

तुम्ही $y$-निर्देशकासाठी देखील तपासू शकता.

तर, बिंदू $(-4,6)$ हा बिंदू $A(-6,10)$ आणि $B(3,-8)$ यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला $2: 7$ या गुणोत्तरात विभाजित करतो.

टीप : जर तुम्हाला हे माहित असेल की $A, P$ आणि $B$ एकरेषीय आहेत, तर तुम्ही PA आणि PB ची अंतरे काढून त्यांचे गुणोत्तर घेऊन हे गुणोत्तर शोधू शकता.

उदाहरण ८ : बिंदू $A(2,-2)$ आणि $B(-7,4)$ यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचे त्रिभाजन बिंदू (म्हणजे तीन समान भागांत विभाजित करणारे बिंदू) शोधा.

उकल : समजा $P$ आणि $Q$ हे $AB$ चे त्रिभाजन बिंदू आहेत, म्हणजेच, $AP=PQ=QB$ (आकृती ७.११ पहा).

आकृती ७.११

म्हणून, $P$ हा $AB$ ला अंतर्गत रीतीने $1: 2$ या गुणोत्तरात विभाजित करतो. म्हणून, विभाजन सूत्र लागू करून, $P$ चे निर्देशक