7.1 ആമുഖം

ഒൻപതാം ക്ലാസ്സിൽ, ഒരു തലത്തിൽ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ സ്ഥാനം കണ്ടുപിടിക്കാൻ നമുക്ക് ഒരു ജോടി കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ $y$-അക്ഷത്തിൽ നിന്നുള്ള ദൂരത്തെ അതിന്റെ $\boldsymbol{{}x}$-കോർഡിനേറ്റ്, അഥവാ അബ്സിസ്സ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ $x$-അക്ഷത്തിൽ നിന്നുള്ള ദൂരത്തെ അതിന്റെ $y$-കോർഡിനേറ്റ്, അഥവാ ഓർഡിനേറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. $x$-അക്ഷത്തിലുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ $(x, 0)$ എന്ന രൂപത്തിലും, $y$-അക്ഷത്തിലുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ $(0, y)$ എന്ന രൂപത്തിലും ആയിരിക്കും.

ഇതാ നിങ്ങൾക്കായി ഒരു കളി. ഒരു ഗ്രാഫ് പേപ്പറിൽ ഒരു ജോടി ലംബ അക്ഷങ്ങൾ വരയ്ക്കുക. ഇനി താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്ത് നിർദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ചേർക്കുക: ബിന്ദു $A(4,8)$ മുതൽ $B(3,9)$ വരെ, $C(3,8)$ വരെ, $D(1,6)$ വരെ, $E(1,5)$ വരെ, $F(3,3)$ വരെ, $G(6,3)$ വരെ, $H(8,5)$ വരെ, $I(8,6)$ വരെ, $J(6,8)$ വരെ, $K(6,9)$ വരെ, $L(5,8)$ വരെ, $A$ വരെ ചേർക്കുക. പിന്നെ ബിന്ദുക്കൾ $P(3.5,7), Q(3,6)$ ഉം $R(4,6)$ ഉം ചേർത്ത് ഒരു ത്രികോണം രൂപപ്പെടുത്തുക. ബിന്ദുക്കൾ $X(5.5,7), Y(5,6)$ ഉം $Z(6,6)$ ഉം ചേർത്ത് ഒരു ത്രികോണം രൂപപ്പെടുത്തുക. ഇനി $S(4,5), T(4.5,4)$ ഉം $U(5,5)$ ഉം ചേർത്ത് ഒരു ത്രികോണം രൂപപ്പെടുത്തുക. അവസാനമായി $S$ മുതൽ ബിന്ദുക്കൾ $(0,5)$ ഉം $(0,6)$ ഉം വരെയും $U$ മുതൽ ബിന്ദുക്കൾ $(9,5)$ ഉം $(9,6)$ ഉം വരെയും ചേർക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് ചിത്രം കിട്ടി?

കൂടാതെ, $a x+b y+c=0,(a, b$ എന്ന രൂപത്തിലുള്ള രണ്ട് ചരങ്ങളിലുള്ള ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം (a, b എന്നിവ ഒരേസമയം പൂജ്യമല്ല), ഗ്രാഫ് രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ ഒരു നേർരേഖ നൽകുന്നതായി നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ട്. കൂടുതലായി, രണ്ടാം അദ്ധ്യായത്തിൽ, നിങ്ങൾ $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരാബോള ആണെന്ന് കണ്ടിട്ടുണ്ട്. വാസ്തവത്തിൽ, രേഖാഗണിത രൂപങ്ങളുടെ ജ്യാമിതി പഠിക്കാനുള്ള ഒരു ബീജഗണിത ഉപകരണമായി കോർഡിനേറ്റ് ജ്യാമിതി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്. ഇത് ജ്യാമിതി ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് പഠിക്കാനും, ബീജഗണിതം ജ്യാമിതിയുടെ സഹായത്തോടെ മനസ്സിലാക്കാനും നമ്മെ സഹായിക്കുന്നു. ഇതിന്റെ ഫലമായി, കോർഡിനേറ്റ് ജ്യാമിതി ഭൗതികശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, നാവിഗേഷൻ, സീസ്മോളജി, കല എന്നിങ്ങനെ വിവിധ മേഖലകളിൽ വ്യാപകമായി പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്നു!

ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കാം, മൂന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കാം എന്നിവ നിങ്ങൾ പഠിക്കും. രണ്ട് നൽകിയിരിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളെ ചേർക്കുന്ന ഒരു വരിയുടെ ഖണ്ഡത്തെ ഒരു നിശ്ചിത അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കാം എന്നും നിങ്ങൾ പഠിക്കും.

7.2 ദൂര സൂത്രവാക്യം

നമുക്ക് താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സാഹചര്യം പരിഗണിക്കാം:

ഒരു നഗരം B, നഗരം A യ്ക്ക് $36 km$ കിഴക്കും 15 $km$ വടക്കുമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. യഥാർത്ഥത്തിൽ അളക്കാതെ നഗരം A മുതൽ നഗരം B വരെയുള്ള ദൂരം നിങ്ങൾ എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കും? നോക്കാം. ഈ സാഹചര്യം ചിത്രം 7.1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഗ്രാഫ് രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഈ ദൂരം കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാം.

ചിത്രം 7.1

ഇപ്പോൾ, രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ $x$-അക്ഷത്തിൽ കിടക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക. അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരം നമുക്ക് കണ്ടുപിടിക്കാമോ? ഉദാഹരണത്തിന്, ചിത്രം 7.2 ൽ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ $A(4,0)$ ഉം $B(6,0)$ ഉം പരിഗണിക്കുക. A, B എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ $x$-അക്ഷത്തിൽ കിടക്കുന്നു.

ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാം $OA=4$ യൂണിറ്റുകളും $OB=6$ യൂണിറ്റുകളും.

അതിനാൽ, $B$ മുതൽ $A$ വരെയുള്ള ദൂരം, അതായത്, $AB=OB-OA=6-4=2$ യൂണിറ്റുകൾ.

അതിനാൽ, രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ $x$-അക്ഷത്തിൽ കിടക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരം നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടുപിടിക്കാം.

ഇപ്പോൾ, രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ $y$-അക്ഷത്തിൽ കിടക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക. അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരം നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടുപിടിക്കാമോ? ബിന്ദുക്കൾ $C(0,3)$ ഉം $D(0,8)$ ഉം $y$-അക്ഷത്തിൽ കിടക്കുകയാണെങ്കിൽ, സമാനമായി നമുക്ക് $CD=8-3=5$ യൂണിറ്റുകൾ എന്ന് കണ്ടെത്താം (ചിത്രം 7.2 കാണുക).

ചിത്രം 7.2

അടുത്തതായി, A മുതൽ C വരെയുള്ള ദൂരം നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടുപിടിക്കാമോ (ചിത്രം 7.2 ൽ)? OA $=4$ യൂണിറ്റുകളും $OC=3$ യൂണിറ്റുകളും ആയതിനാൽ, $A$ മുതൽ $C$ വരെയുള്ള ദൂരം, അതായത്, $AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ യൂണിറ്റുകൾ. സമാനമായി, നിങ്ങൾക്ക് $B$ മുതൽ $D=BD=10$ വരെയുള്ള ദൂരം യൂണിറ്റുകളിൽ കണ്ടെത്താം.

ഇപ്പോൾ, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ കിടക്കാത്ത രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരം നമുക്ക് കണ്ടുപിടിക്കാമോ? കഴിയും! അതിനായി നമ്മൾ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കും. നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ചിത്രം 7.3 ൽ, ബിന്ദുക്കൾ $P(4,6)$ ഉം $Q(6,8)$ ഉം ആദ്യ ചതുര്ത്ഥാംശത്തിൽ കിടക്കുന്നു. അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടുപിടിക്കാൻ നമ്മൾ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കും? $x$-അക്ഷത്തിലേക്ക് $P$, $Q$ എന്നിവയിൽ നിന്ന് യഥാക്രമം PR, QS എന്നിവ ലംബമായി വരയ്ക്കാം. കൂടാതെ, $P$ മുതൽ $QS$ വരെ ഒരു ലംബം വരച്ച് $QS$ നെ $T$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ കണ്ടുമുട്ടിക്കാം. അപ്പോൾ $R$, $S$ എന്നിവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ യഥാക്രമം $(4,0)$, $(6,0)$ എന്നിവയാണ്. അതിനാൽ, $RS=2$ യൂണിറ്റുകൾ. കൂടാതെ, $QS=8$ യൂണിറ്റുകളും $TS=PR=6$ യൂണിറ്റുകളും.

ചിത്രം 7.3

അതിനാൽ, $QT=2$ യൂണിറ്റുകളും $PT=RS=2$ യൂണിറ്റുകളും.

ഇപ്പോൾ, പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക്

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =2^{2}+2^{2}=8 \end{aligned} $

അതിനാൽ, $P Q=2 \sqrt{2} \text{ units }$

വ്യത്യസ്ത ചതുര്ത്ഥാംശങ്ങളിലുള്ള രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം നമ്മൾ എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കും?

ബിന്ദുക്കൾ $P(6,4)$ ഉം $Q(-5,-3)$ ഉം പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 7.4 കാണുക). $x$-അക്ഷത്തിലേക്ക് QS ലംബമായി വരയ്ക്കുക. കൂടാതെ, ബിന്ദു $P$ മുതൽ QS (വിപുലീകരിച്ചത്) വരെ ഒരു ലംബം PT വരച്ച് $y$-അക്ഷത്തെ R എന്ന ബിന്ദുവിൽ കണ്ടുമുട്ടിക്കുക.

ചിത്രം 7.4

അപ്പോൾ $\mathrm{PT}=11$ യൂണിറ്റുകളും $\mathrm{QT}=7$ യൂണിറ്റുകളും. (എന്തുകൊണ്ട്?)

ലംബ ത്രികോണം PTQ യിൽ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് $PQ=\sqrt{11^{2}+7^{2}}=\sqrt{170}$ യൂണിറ്റുകൾ ലഭിക്കും.

ഇപ്പോൾ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ $P(x_1, y_1)$ ഉം $Q(x_2, y_2)$ ഉം തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടുപിടിക്കാം. $PR$, QS എന്നിവ $x$-അക്ഷത്തിലേക്ക് ലംബമായി വരയ്ക്കുക. ബിന്ദു $P$ മുതൽ $QS$ വരെ ഒരു ലംബം വരച്ച് അതിനെ ബിന്ദു $T$ ൽ കണ്ടുമുട്ടിക്കുക (ചിത്രം 7.5 കാണുക).

ചിത്രം 7.5

അപ്പോൾ, $\quad OR=x_1, OS=x_2$. അതിനാൽ, $RS=x_2-x_1=PT$.

കൂടാതെ, $\quad SQ=y_2, \quad ST=PR=y_1 . \quad$. അതിനാൽ, $\quad QT=y_2-y_1$.

ഇപ്പോൾ, $\triangle PTQ$ ൽ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2} \end{aligned} $

അതിനാൽ, $P Q=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$

ദൂരം എപ്പോഴും നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ, നമ്മൾ പോസിറ്റീവ് വർഗ്ഗമൂലം മാത്രമേ എടുക്കൂ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനാൽ, ബിന്ദുക്കൾ $P(x_1, y_1)$ ഉം $Q(x_2, y_2)$ ഉം തമ്മിലുള്ള ദൂരം

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}, $

ആണ്, ഇതിനെ ദൂര സൂത്രവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ശ്രദ്ധിക്കുക :

1. പ്രത്യേകിച്ചും, ഒരു ബിന്ദു $P(x, y)$ മുതൽ ഉത്ഭവം $O(0,0)$ വരെയുള്ള ദൂരം നൽകുന്നത്

$ OP=\sqrt{x^{2}+y^{2}} . $

2. നമുക്ക് $PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$ എന്നും എഴുതാം. (എന്തുകൊണ്ട്?)

ഉദാഹരണം 1 : ബിന്ദുക്കൾ $(3,2),(-2,-3)$ ഉം $(2,3)$ ഉം ഒരു ത്രികോണം രൂപപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ? അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, രൂപപ്പെടുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ തരം പറയുക.

പരിഹാരം : PQ, QR, PR എന്നീ ദൂരങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കാൻ ദൂര സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കാം, ഇവിടെ $P(3,2), Q(-2,-3)$, $R(2,3)$ എന്നിവ നൽകിയിരിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളാണ്. നമുക്കുള്ളത്

$ \begin{aligned} & PQ=\sqrt{(3+2)^{2}+(2+3)^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=7.07 \text{ (ഏകദേശം) } \\ & QR=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-3-3)^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{52}=7.21 \text{ (ഏകദേശം) } \\ & PR=\sqrt{(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}=1.41 \text{ (ഏകദേശം) } \end{aligned} $

ഈ ദൂരങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും രണ്ടിന്റെ ആകെത്തുക മൂന്നാമത്തെ ദൂരത്തേക്കാൾ വലുതായതിനാൽ, ബിന്ദുക്കൾ $P, Q$, $R$ എന്നിവ ഒരു ത്രികോണം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

കൂടാതെ, $PQ^{2}+PR^{2}=QR^{2}$, പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വിപരീതം പ്രകാരം, നമുക്ക് $\angle P=90^{\circ}$ ഉണ്ട്. അതിനാൽ, $PQR$ ഒരു ലംബ ത്രികോണമാണ്.

ഉദാഹരണം 2 : ബിന്ദുക്കൾ $(1,7),(4,2),(-1,-1)$, $(-4,4)$ എന്നിവ ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ ശീർഷങ്ങളാണെന്ന് കാണിക്കുക.

പരിഹാരം : A $(1,7), B(4,2), C(-1,-1)$, $D(-4,4)$ എന്നിവ നൽകിയിരിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളായിരിക്കട്ടെ. $A B C D$ ഒരു സമചതുരമാണെന്ന് കാണിക്കാനുള്ള ഒരു മാർഗ്ഗം അതിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും തുല്യമായിരിക്കണം, അതിന്റെ രണ്ട് വികർണ്ണങ്ങളും തുല്യമായിരിക്കണം എന്ന ഗുണം ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ്. ഇപ്പോൾ,

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(1-4)^{2}+(7-2)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ & BC=\sqrt{(4+1)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34} \\ & CD=\sqrt{(-1+4)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ & DA=\sqrt{(1+4)^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34} \\ & AC=\sqrt{(1+1)^{2}+(7+1)^{2}}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68} \\ & BD=\sqrt{(4+4)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68} \end{aligned} $

$A B=B C=C D=D A$, $A C=B D$ എന്നിവയായതിനാൽ, ചതുർഭുജം $ABCD$ ന്റെ നാല് വശങ്ങളും തുല്യമാണ്, അതിന്റെ വികർണ്ണങ്ങൾ $AC$, $BD$ എന്നിവയും തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, $ABCD$ ഒരു സമചതുരമാണ്.

മറ്റൊരു പരിഹാരം : മുകളിലെപ്പോലെ നാല് വശങ്ങളും ഒരു വികർണ്ണവും, ഉദാഹരണത്തിന്, $AC$ കണ്ടുപിടിക്കാം. ഇവിടെ $AD^{2}+DC^{2}=$ $34+34=68=$ AC $^{2}$. അതിനാൽ, പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വിപരീതം പ്രകാരം, $\angle D=90^{\circ}$. നാല് വശങ്ങളും തുല്യവും ഒരു കോൺ $90^{\circ}$ ഉള്ള ഒരു ചതുർഭുജം ഒരു സമചതുരമാണ്. അതിനാൽ, ABCD ഒരു സമചതുരമാണ്.

ഉദാഹരണം 3 : ഒരു ക്ലാസ്സ് മുറിയിലെ ഡെസ്കുകളുടെ ക്രമീകരണം ചിത്രം 7.6 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. അശിമ, ഭാർത്തി, കമല എന്നിവർ യഥാക്രമം $A(3,1)$, $B(6,4)$, $C(8,6)$ എന്നിവിടങ്ങളിൽ ഇരിക്കുന്നു. അവർ ഒരു വരിയിൽ ഇരിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നുണ്ടോ? നിങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തിന് കാരണങ്ങൾ നൽകുക.

ചിത്രം 7.6

പരിഹാരം : ദൂര സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്കുള്ളത്

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(6-3)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ & BC=\sqrt{(8-6)^{2}+(6-4)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \\ & AC=\sqrt{(8-3)^{2}+(6-1)^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2} \end{aligned} $

$A B+B C=3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}=5 \sqrt{2}=A C$ ആയതിനാൽ, ബിന്ദുക്കൾ $A, B$, $C$ എന്നിവ ഒരേ രേഖയിലാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അതിനാൽ, അവർ ഒരു വരിയിൽ ഇരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 4 : $x$, $y$ എന്നിവ തമ്മിൽ ഒരു ബന്ധം കണ്ടുപിടിക്കുക, അതായത് ബിന്ദു $(x, y)$ ബിന്ദുക്കൾ $(7,1)$, $(3,5)$ എന്നിവയിൽ നിന്ന് സമദൂരത്തിൽ ആയിരിക്കണം.

പരിഹാരം : $P(x, y)$ ബിന്ദുക്കൾ $A(7,1)$, $B(3,5)$ എന്നിവയിൽ നിന്ന് സമദൂരത്തിൽ ആയിരിക്കട്ടെ.

$AP=BP$ ആണെന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, $AP^{2}=BP^{2}$

അതായത്, $\quad (x-7)^{2}+(y-1)^{2}=(x-3)^{2}+(y-5)^{2}$

അതായത്, $\quad x^{2}-14 x+49+y^{2}-2 y+1=x^{2}-6 x+9+y^{2}-10 y+25$

അതായത്, $\quad x-y=2$

ഇതാണ് ആവശ്യമായ ബന്ധം.

ശ്രദ്ധിക്കുക : $x-y=2$ എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു നേർരേഖയാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. നിങ്ങളുടെ മുൻ പഠനങ്ങളിൽ നിന്ന്, A, B എന്നിവയിൽ നിന്ന് സമദൂരത്തിൽ ഉള്ള ഒരു ബിന്ദു $A B$ യുടെ ലംബ സമഭാജിയിലാണ് കിടക്കുന്നത് എന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം. അതിനാൽ, $x-y=2$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് $AB$ യുടെ ലംബ സമഭാജിയാണ് (ചിത്രം 7.7 കാണുക).

ചിത്രം 7.7

ഉദാഹരണം 5 : $y$-അക്ഷത്തിൽ ഒരു ബിന്ദു കണ്ടുപിടിക്കുക, അത് ബിന്ദുക്കൾ $A(6,5)$, $B(-4,3)$ എന്നിവയിൽ നിന്ന് സമദൂരത്തിൽ ആയിരിക്കണം.

പരിഹാരം : $y$-അക്ഷത്തിലുള്ള ഒരു ബിന്ദു $(0, y)$ എന്ന രൂപത്തിലാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, ബിന്ദു $P(0, y)$ $A$, $B$ എന്നിവയിൽ നിന്ന് സമദൂരത്തിൽ ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ

$$ (6-0)^{2}+(5-y)^{2}=(-4-0)^{2}+(3-y)^{2} $$

അതായത്, $\quad 36+25+y^{2}-10 y=16+9+y^{2}-6 y$

അതായത്, $\quad 4 y=36$

അതായത്, $\quad y=9$

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ ബിന്ദു $(0,9)$ ആണ്.

നമുക്ക് നമ്മുടെ പരിഹാരം പരിശോധിക്കാം: $AP=\sqrt{(6-0)^{2}+(5-9)^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$

$$ BP=\sqrt{(-4-0)^{2}+(3-9)^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52} $$

കുറിപ്പ് : മുകളിലെ ശ്രദ്ധിക്കുക ഉപയോഗിച്ച്, $(0,9)$ ആണ് $y$-അക്ഷവും AB യുടെ ലംബ സമഭാജിയും കണ്ടുമുട്ടുന്ന ബിന്ദു എന്ന് നമുക്ക് കാണാം.

7.3 വിഭജന സൂത്രവാക്യം

7.2 ഭാഗത്തിലെ സാഹചര്യം നമുക്ക് ഓർക്കാം. ഒരു ടെലിഫോൺ കമ്പനി $P$ എന്ന സ്ഥലത്ത് $A$, $B$ എന്നിവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു റിലേ ടവർ സ്ഥാപിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക, അതായത് ടവറിന്റെ ദൂരം $B$ മുതൽ $A$ മുതലുള്ള ദൂരത്തിന്റെ ഇരട്ടി ആയിരിക്കണം. $P$ $AB$ എന്നതിൽ കിടക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് $AB$ നെ $1: 2$ എന്ന അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കും (ചിത്രം 7.9 കാണുക). $A$ നെ ഉത്ഭവം $O$ ആയും, $1 km$ നെ രണ്ട് അക്ഷങ്ങളിലും ഒരു യൂണിറ്റായും എടുത്താൽ, B യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ $(36,15)$ ആയിരിക്കും. ടവറിന്റെ സ്ഥാനം അറിയാൻ, നമ്മൾ P യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഈ കോർഡിനേറ്റുകൾ ന