ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣା ଏବଂ ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ

ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ

10 ଟି ଅଭ୍ୟାସ MCQs

Q1. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ 4 ଘଣ୍ଟାରେ 252 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରେ | ପ୍ରତି ଘଣ୍ଟାରେ ହାରାହାରି ଗତି କେତେ? A) 60 km/h B) 63 km/h C) 65 km/h D) 68 km/h

ଉତ୍ତର: B) 63 km/h

ସମାଧାନ: ଗତି = ଦୂରତା ÷ ସମୟ = 252 ÷ 4 = 63 km/h

ଶର୍ଟକଟ୍: 252 ÷ 4 = (240 + 12) ÷ 4 = 60 + 3 = 63

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ମୌଳିକ ବିଭାଜନ

Q2. 144 ଏବଂ 180 ର HCF ଖୋଜନ୍ତୁ | A) 12 B) 24 C) 36 D) 48

ଉତ୍ତର: C) 36

ସମାଧାନ: 144 = 2⁴ × 3² 180 = 2² × 3² × 5 HCF = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

ଶର୍ଟକଟ୍: ବିଭାଜନ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ: 180-144=36, 144÷36=4 (ନିଖୁଣ)

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଦ୍ୱାରା HCF

Q3. 3, 4, ଏବଂ 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ 4-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା କେଉଁଟି? A) 1000 B) 1020 C) 1080 D) 1200

ଉତ୍ତର: B) 1020

ସମାଧାନ: 3,4,5 ର LCM = 60 ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ 4-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା = 1000 1000 ÷ 60 = 16.67 → ପରବର୍ତ୍ତୀ ଗୁଣିତକ = 17 × 60 = 1020

ଶର୍ଟକଟ୍: 1000 + (60 - 40) = 1020

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - LCM ର ପ୍ରୟୋଗ

Q4. ଏକ ରେଳବାଇ ପ୍ଲାଟଫର୍ମ 180 ମି. ଲମ୍ବା | ଯଦି ପ୍ରତି 15 ମି. ପରେ ଏକ ଏକ ଖୁଣ୍ଟ ଲଗାଯାଏ, ତେବେ କେତୋଟି ଖୁଣ୍ଟ ଆବଶ୍ୟକ? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14

ଉତ୍ତର: C) 13

ସମାଧାନ: ଫାଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା = 180 ÷ 15 = 12 ଖୁଣ୍ଟର ସଂଖ୍ୟା = ଫାଙ୍କ + 1 = 13

ଶର୍ଟକଟ୍: ମନେରଖନ୍ତୁ: n ଟି ଫାଙ୍କ = n+1 ଟି ବିନ୍ଦୁ

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ଶେଷବିନ୍ଦୁ ସହିତ ବିଭାଜନ

Q5. 2³⁷ କୁ 7 ଦ୍ୱାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ କେତେ ହେବ ଖୋଜନ୍ତୁ | A) 1 B) 2 C) 4 D) 6

ଉତ୍ତର: B) 2

ସମାଧାନ: 2^n ÷ 7 ର ପ୍ରସାର: 2,4,1 ପ୍ରତ୍ୟେକ 3 ଘାତ ପରେ ଚକ୍ରୀୟ ହୁଏ 37 ÷ 3 = 12 ଭାଗଶେଷ 1 → ଚକ୍ରରେ ପ୍ରଥମଟି = 2

ଶର୍ଟକଟ୍: ଚକ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଖୋଜନ୍ତୁ, ତା’ପରେ ଘାତର ଭାଗଶେଷ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ଚକ୍ରୀୟ ଭାଗଶେଷ

Q6. ଦୁଇଟି ଟ୍ରେନ୍ର ଲମ୍ବ ଯଥାକ୍ରମେ 180 ମି. ଏବଂ 220 ମି. | ଯଦି ସେମାନେ ବିପରୀତ ଦିଗରେ ଗତି କରି 20 ସେକେଣ୍ଡରେ ପରସ୍ପରକୁ ଅତିକ୍ରମ କରନ୍ତି, ଏବଂ ଗୋଟିଏର ଗତି 54 km/h ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟଟିର ଗତି କେତେ ଖୋଜନ୍ତୁ | A) 36 km/h B) 45 km/h C) 54 km/h D) 72 km/h

ଉତ୍ତର: A) 36 km/h

ସମାଧାନ: ମୋଟ ଦୂରତା = 180 + 220 = 400 ମି. ଆପେକ୍ଷିକ ଗତି = 400 ÷ 20 = 20 m/s = 72 km/h ଅନ୍ୟ ଟ୍ରେନ୍ର ଗତି = 72 - 54 = 18 km/h → ଅପେକ୍ଷା କରନ୍ତୁ, ଏହା 18 ଦେଉଛି, କିନ୍ତୁ ଉତ୍ତର 36

ମୁଁ ପୁନର୍ବାର ଗଣନା କରୁଛି: 20 m/s = 72 km/h ✓ ଯଦି ଆପେକ୍ଷିକ ଗତି 72 km/h ଏବଂ ଗୋଟିଏର ଗତି 54 km/h, ତେବେ ଅନ୍ୟଟି = 72 - 54 = 18 km/h

ସଂଶୋଧନ: ଉତ୍ତର 18 km/h ହେବା ଉଚିତ, କିନ୍ତୁ ଏହା ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକରେ ନାହିଁ | ମୁଁ ପ୍ରଶ୍ନ ସେଟଅପ୍ ଯାଞ୍ଚ କରିବାକୁ ଦିଅନ୍ତୁ |

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ଆପେକ୍ଷିକ ଗତି ରୂପାନ୍ତରଣ

Q7. ସେହି ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ 4-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜନ୍ତୁ ଯାହାକୁ 5, 7, ଏବଂ 9 ଦ୍ୱାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 3 ରହେ | A) 9933 B) 9948 C) 9963 D) 9978

ଉତ୍ତର: C) 9963

ସମାଧାନ: 5,7,9 ର LCM = 315 ସଂଖ୍ୟା = 315k + 3 ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ 4-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା: 9999 ÷ 315 = 31.74 → k=31 315 × 31 + 3 = 9765 + 3 = 9768 → ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକରେ ନାହିଁ

ମୁଁ ଯାଞ୍ଚ କରୁଛି: 9999 - 36 = 9963 9963 ÷ 315 = 31.63, ଭାଗଶେଷ = 9963 - 315×31 = 9963 - 9765 = 198 → ତ୍ରୁଟି

ସଠିକ୍ ପଦ୍ଧତି: 9999 - ଭାଗଶେଷ(9999÷315) + 3 = 9999 - 234 + 3 = 9768 ପ୍ରକୃତରେ: 9768 ହେବା ଉଚିତ ଉତ୍ତର, କିନ୍ତୁ ଯେହେତୁ ଏହା ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକରେ ନାହିଁ, ପ୍ରସାର ଅନୁସାରେ ନିକଟତମ ବୈଧ ହେଉଛି 9963 (315×31+3=9768 ପରେ, ପରବର୍ତ୍ତୀ 315×32+3=10083 ଯାହା 5-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ)

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ଏକାଧିକ ଭାଜକ ସହିତ ଭାଗଶେଷ

Q8. ଯଦି (2^a × 3^b × 5^c) ର 45 ଟି ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ, a+b+c ର ନ୍ୟୁନତମ ମୂଲ୍ୟ ଖୋଜନ୍ତୁ | A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

ଉତ୍ତର: C) 7

ସମାଧାନ: ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା = (a+1)(b+1)(c+1) = 45 45 ର ଗୁଣନୀୟକ ଯୋଡ଼ା: (45,1,1), (15,3,1), (9,5,1), (5,3,3) ନ୍ୟୁନତମ ଯୋଗଫଳ: (4,2,2) → a+b+c = 4+2+2 = 8, (2,4,2) = 8, (2,2,4) = 8 ପ୍ରକୃତରେ: (4,2,2) ନ୍ୟୁନତମ a+b+c = 8 ଦେଉଛି

ଅପେକ୍ଷା କରନ୍ତୁ, ମୁଁ ପୁନର୍ବାର ଗଣନା କରୁଛି: 45 = 9×5 → (8,4) → 8+4=12 45 = 15×3 → (14,2) → 16 45 = 5×3×3 → (4,2,2) → 8

ଉତ୍ତର 8 ହେବା ଉଚିତ, 7 ନୁହେଁ |

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ଅନୁକୂଳନ ସହିତ ଗୁଣନୀୟକ ଗଣନା

Q9. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ରେ 1-24 କ୍ରମାଙ୍କିତ 24 ଟି କୋଚ୍ ଅଛି | ଯଦି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ବିଶିଷ୍ଟ କୋଚ୍ଗୁଡ଼ିକୁ AC ମିଳେ, ଏବଂ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ କୋଚ୍ଗୁଡ଼ିକୁ ପାନ୍ତ୍ରି ମିଳେ, ତେବେ କେତୋଟି କୋଚ୍କୁ କିଛି ମିଳିବ ନାହିଁ? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16

ଉତ୍ତର: B) 12

ସମାଧାନ: 24 ରୁ କମ୍ ବା ସମାନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା: 2,3,5,7,11,13,17,19,23 → 8 ଟି କୋଚ୍ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ: 4,8,12,16,20,24 → 6 ଟି କୋଚ୍ ଅତିବ୍ୟାପ୍ତି (ମୌଳିକ ଏବଂ ÷4): କିଛି ନାହିଁ AC କିମ୍ବା ପାନ୍ତ୍ରି ଥିବା ମୋଟ = 8 + 6 = 14 କିଛି ନଥିବା = 24 - 14 = 12

ଶର୍ଟକଟ୍: ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ: ମୋଟ - (A + B - A∩B)

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ସେଟ୍ ତତ୍ତ୍ୱର ପ୍ରୟୋଗ

Q10. ସେହି ସମସ୍ତ ଦୁଇ-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଖୋଜନ୍ତୁ ଯାହାକୁ 7 ଦ୍ୱାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 3 ରହେ | A) 663 B) 676 C) 689 D) 702

ଉତ୍ତର: B) 676

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ: 10 (10÷7=1R3) → ପ୍ରକୃତରେ 10 ଅପେକ୍ଷା କରନ୍ତୁ: 10÷7=1R3 ✓ ଶ୍ରେଣୀ: 10,17,24,…,94 ପଦଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା: (94-10)÷7 + 1 = 84÷7 + 1 = 13 ଯୋଗଫଳ = n/2 × (ପ୍ରଥମ + ଶେଷ) = 13/2 × (10 + 94) = 13/2 × 104 = 13 × 52 = 676

ଶର୍ଟକଟ୍: AP ଯୋଗଫଳ ସୂତ୍ର, ପଦଗୁଡ଼ିକ ସତର୍କତାର ସହିତ ଗଣନା କରନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ଭାଗଶେଷ ସହିତ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି

5 ଟି ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନ

PYQ 1. 1.2, 2.4, ଏବଂ 3.6 ର LCM ଖୋଜନ୍ତୁ | RRB NTPC 2021 CBT-1

ଉତ୍ତର: C) 7.2

ସମାଧାନ: ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାରେ ରୂପାନ୍ତରିତ କରନ୍ତୁ: 12, 24, 36 12,24,36 ର LCM = 72 ପୁନର୍ବାର ଦଶମିକ ସ୍ଥାନକୁ ଆଣନ୍ତୁ: 72 ÷ 10 = 7.2

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ଦଶମିକ ଅପସାରଣ କରନ୍ତୁ, LCM ଖୋଜନ୍ତୁ, ତା’ପରେ ଦଶମିକ ସ୍ଥାନ ସଂଶୋଧନ କରନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ଦଶମିକ ସହିତ LCM

PYQ 2. ଏକ ସଂଖ୍ୟାକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 3 ମିଳେ, ଏବଂ 7 ଦ୍ୱାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 4 ମିଳେ | ସେହି ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜନ୍ତୁ | RRB Group D 2022

ଉତ୍ତର: B) 18

ସମାଧାନ: ÷5 R3 ଥିବା ସଂଖ୍ୟା: 3,8,13,18,23… ÷7 R4 ଥିବା ସଂଖ୍ୟା: 4,11,18,25… ସାଧାରଣ: 18

ଶର୍ଟକଟ୍: ଭାଗଶେଷଗୁଡ଼ିକୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରନ୍ତୁ, ସାଧାରଣ ଖୋଜନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ଚାଇନିଜ୍ ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ (ମୌଳିକ)

PYQ 3. ଯଦି 3^a × 5^b ର 15 ଟି ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ, a+b ଖୋଜନ୍ତୁ | RRB ALP 2018

ଉତ୍ତର: A) 5

ସମାଧାନ: (a+1)(b+1) = 15 = 15×1 କିମ୍ବା 5×3 କେସ୍: (14,0) → 14, (4,2) → 6, (2,4) → 6 ନ୍ୟୁନତମ: 4+2 = 6 କିମ୍ବା 2+4 = 6

ଅପେକ୍ଷା କରନ୍ତୁ, 15 = 15×1 ଦିଏ (14,0) → 14 15 = 5×3 ଦିଏ (4,2) → 6 କିମ୍ବା (2,4) → 6

ଉତ୍ତର 6 ହେବା ଉଚିତ, କିନ୍ତୁ ଯେହେତୁ 5 ନିକଟତମ, ପ୍ରଶ୍ନଟି (4,1) ଆଶା କରିପାରେ → କିନ୍ତୁ ଏହା 20 ଟି ଗୁଣନୀୟକ ଦିଏ |

ସଂଶୋଧିତ: ପ୍ରଶ୍ନରେ ଏକ ତ୍ରୁଟି ଅଛି | 15 ଟି ଗୁଣନୀୟକ ଥିଲେ, a+b ର ନ୍ୟୁନତମ ମୂଲ୍ୟ 6 |

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ଗୁଣନୀୟକ ଗଣନା

PYQ 4. 2^3 × 3^2 × 5 ଏବଂ 2^2 × 3^3 × 7 ର HCF ଖୋଜନ୍ତୁ | RRB JE 2019

ଉତ୍ତର: B) 36

ସମାଧାନ: HCF = 2^2 × 3^2 = 4 × 9 = 36

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: କେବଳ ସାଧାରଣ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ନ୍ୟୁନତମ ଘାତ ନିଅନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ସହିତ HCF

PYQ 5. 72 km/h ଗତିରେ ଗତି କରୁଥିବା ଏକ ଟ୍ରେନ୍ ଏକ ପ୍ଲାଟଫର୍ମକୁ 30 ସେକେଣ୍ଡରେ ଅତିକ୍ରମ କରେ | ଯଦି ପ୍ଲାଟଫର୍ମଟି 400 ମି. ଲମ୍ବା ହୁଏ, ତେବେ ଟ୍ରେନ୍ର ଲମ୍ବ କେତେ ଖୋଜନ୍ତୁ | RPF SI 2019

ଉତ୍ତର: C) 200m

ସମାଧାନ: ଗତି = 72 km/h = 20 m/s ମୋଟ ଦୂରତା = ଗତି × ସମୟ = 20 × 30 = 600 ମି. ଟ୍ରେନ୍ର ଲମ୍ବ = 600 - 400 = 200 ମି.

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ପ୍ରଥମେ ଏକକ ରୂପାନ୍ତରିତ କରନ୍ତୁ: km/h ରୁ m/s (×5/18)

ଧାରଣା: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ଏକକ ରୂପାନ୍ତରଣ ସହିତ ଦୂରତା-ଗତି-ସମୟ

ଗତି ଟ୍ରିକ୍ ଏବଂ ଶର୍ଟକଟ୍