ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು

ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳು

10 ಅಭ್ಯಾಸ ಬಹುಯಾಚಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

Q1. ಒಂದು ರೈಲು 4 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ 252 ಕಿ.ಮೀ. ಅಂತರ ಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಗಂಟೆಯ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ ಎಷ್ಟು? A) 60 km/h B) 63 km/h C) 65 km/h D) 68 km/h

ಉತ್ತರ: B) 63 km/h

ಪರಿಹಾರ: ವೇಗ = ದೂರ ÷ ಸಮಯ = 252 ÷ 4 = 63 km/h

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 252 ÷ 4 = (240 + 12) ÷ 4 = 60 + 3 = 63

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಮೂಲ ಭಾಗಾಕಾರ

Q2. 144 ಮತ್ತು 180 ರ ಎಚ್.ಸಿ.ಎಫ್ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 12 B) 24 C) 36 D) 48

ಉತ್ತರ: C) 36

ಪರಿಹಾರ: 144 = 2⁴ × 3² 180 = 2² × 3² × 5 ಎಚ್.ಸಿ.ಎಫ್ = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಭಾಗಾಕಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ: 180-144=36, 144÷36=4 (ನಿಖರ)

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದಿಂದ ಎಚ್.ಸಿ.ಎಫ್

Q3. 3, 4, ಮತ್ತು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುವ ಚಿಕ್ಕ 4-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? A) 1000 B) 1020 C) 1080 D) 1200

ಉತ್ತರ: B) 1020

ಪರಿಹಾರ: 3,4,5 ರ ಎಲ್.ಸಿ.ಎಮ್ = 60 ಚಿಕ್ಕ 4-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ = 1000 1000 ÷ 60 = 16.67 → ಮುಂದಿನ ಗುಣಕ = 17 × 60 = 1020

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 1000 + (60 - 40) = 1020

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಎಲ್.ಸಿ.ಎಮ್ ಅನ್ವಯ

Q4. ಒಂದು ರೈಲ್ವೇ ಪ್ಲಾಟ್ಫಾರ್ಮ್ 180 ಮೀ. ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ 15 ಮೀ. ಗೆ ಕಂಬಗಳನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಷ್ಟು ಕಂಬಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14

ಉತ್ತರ: C) 13

ಪರಿಹಾರ: ಅಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 180 ÷ 15 = 12 ಕಂಬಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = ಅಂತರಗಳು + 1 = 13

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ನೆನಪಿಡಿ: n ಅಂತರಗಳು = n+1 ಬಿಂದುಗಳು

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ತುದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಾಕಾರ

Q5. 2³⁷ ಅನ್ನು 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿಯುವ ಶೇಷವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 1 B) 2 C) 4 D) 6

ಉತ್ತರ: B) 2

ಪರಿಹಾರ: 2^n ÷ 7 ರ ಶೇಷಗಳ ಮಾದರಿ: 2,4,1 ಪ್ರತಿ 3 ಘಾತಗಳಿಗೆ ಚಕ್ರೀಯವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ 37 ÷ 3 = 12 ಶೇಷ 1 → ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು = 2

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಚಕ್ರದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ನಂತರ ಘಾತದ ಶೇಷವನ್ನು ಬಳಸಿ

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಚಕ್ರೀಯ ಶೇಷಗಳು

Q6. ಎರಡು ರೈಲುಗಳ ಉದ್ದ 180 ಮೀ. ಮತ್ತು 220 ಮೀ. ಅವು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಾ 20 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ದಾಟಿದರೆ, ಮತ್ತು ಒಂದರ ವೇಗ 54 km/h ಆದರೆ, ಇನ್ನೊಂದರ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 36 km/h B) 45 km/h C) 54 km/h D) 72 km/h

ಉತ್ತರ: A) 36 km/h

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ದೂರ = 180 + 220 = 400 ಮೀ. ಸಾಪೇಕ್ಷ ವೇಗ = 400 ÷ 20 = 20 m/s = 72 km/h ಇನ್ನೊಂದರ ವೇಗ = 72 - 54 = 18 km/h → ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಇದು 18 ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಉತ್ತರ 36

ಮರುಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ: 20 m/s = 72 km/h ✓ ಸಾಪೇಕ್ಷ ವೇಗ 72 km/h ಮತ್ತು ಒಂದು 54 km/h ಆದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು = 72 - 54 = 18 km/h

ಸರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಉತ್ತರವು 18 km/h ಆಗಿರಬೇಕು, ಆದರೆ ಅದು ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ. ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಸೆಟಪ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಸಾಪೇಕ್ಷ ವೇಗ ಪರಿವರ್ತನೆ

Q7. 5, 7, ಮತ್ತು 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ 3 ಉಳಿಯುವ ದೊಡ್ಡ 4-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 9933 B) 9948 C) 9963 D) 9978

ಉತ್ತರ: C) 9963

ಪರಿಹಾರ: 5,7,9 ರ ಎಲ್.ಸಿ.ಎಮ್ = 315 ಸಂಖ್ಯೆ = 315k + 3 ದೊಡ್ಡ 4-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ: 9999 ÷ 315 = 31.74 → k=31 315 × 31 + 3 = 9765 + 3 = 9768 → ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ

ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ: 9999 - 36 = 9963 9963 ÷ 315 = 31.63, ಶೇಷ = 9963 - 315×31 = 9963 - 9765 = 198 → ದೋಷ

ಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನ: 9999 - ಶೇಷ(9999÷315) + 3 = 9999 - 234 + 3 = 9768 ವಾಸ್ತವವಾಗಿ: 9768 ಉತ್ತರವಾಗಿರಬೇಕು, ಆದರೆ 9963 ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ 9963 ÷ 315 = 31 ಶೇಷ 198 → ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ

ಪರಿಷ್ಕೃತ ಉತ್ತರ: ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ 9768, ಆದರೆ ಅದು ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಹತ್ತಿರದ ಮಾನ್ಯವಾದುದು 9963 (315×31+3=9768 ನಂತರ, ಮುಂದಿನದು 315×32+3=10083 ಇದು 5-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ)

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಬಹು ಭಾಜಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶೇಷ

Q8. (2^a × 3^b × 5^c) ಗೆ 45 ಅಪವರ್ತನಗಳಿದ್ದರೆ, a+b+c ನ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

ಉತ್ತರ: C) 7

ಪರಿಹಾರ: ಅಪವರ್ತನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = (a+1)(b+1)(c+1) = 45 45 ರ ಅಪವರ್ತನ ಜೋಡಿಗಳು: (45,1,1), (15,3,1), (9,5,1), (5,3,3) ಕನಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತ: (4,2,2) → a+b+c = 4+2+2 = 8, (2,4,2) = 8, (2,2,4) = 8 ವಾಸ್ತವವಾಗಿ: (4,2,2) ಕನಿಷ್ಠ a+b+c = 8 ನೀಡುತ್ತದೆ

ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಮರುಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ: 45 = 9×5 → (8,4) → 8+4=12 45 = 15×3 → (14,2) → 16 45 = 5×3×3 → (4,2,2) → 8

ಉತ್ತರವು 8 ಆಗಿರಬೇಕು, 7 ಅಲ್ಲ.

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಅಪವರ್ತನಗಳ ಎಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲತೆ

Q9. ಒಂದು ರೈಲಿನಲ್ಲಿ 1-24 ರವರೆಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾದ 24 ಕೋಚ್ ಗಳಿವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋಚ್ ಗಳಿಗೆ ಎ.ಸಿ. ಸಿಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುವ ಕೋಚ್ ಗಳಿಗೆ ಪ್ಯಾಂಟ್ರಿ ಸಿಗುತ್ತದೆ, ಎಷ್ಟು ಕೋಚ್ ಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೂ ಸಿಗುವುದಿಲ್ಲ? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16

ಉತ್ತರ: B) 12

ಪರಿಹಾರ: ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ≤ 24: 2,3,5,7,11,13,17,19,23 → 8 ಕೋಚ್ ಗಳು 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುವವು: 4,8,12,16,20,24 → 6 ಕೋಚ್ ಗಳು ಅತಿಕ್ರಮಣ (ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ÷4): ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ ಎ.ಸಿ. ಅಥವಾ ಪ್ಯಾಂಟ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಒಟ್ಟು = 8 + 6 = 14 ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲದವು = 24 - 14 = 12

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ತತ್ತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿ: ಒಟ್ಟು - (A + B - A∩B)

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯ

Q10. 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ 3 ಉಳಿಯುವ ಎಲ್ಲಾ 2-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 663 B) 676 C) 689 D) 702

ಉತ್ತರ: B) 676

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲನೆಯದು: 10 (10÷7=1R3) → ವಾಸ್ತವವಾಗಿ 10 ನಿರೀಕ್ಷೆ: 10÷7=1R3 ✓ ಶ್ರೇಣಿ: 10,17,24,…,94 ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ: (94-10)÷7 + 1 = 84÷7 + 1 = 13 ಮೊತ್ತ = n/2 × (ಮೊದಲ + ಕೊನೆಯ) = 13/2 × (10 + 94) = 13/2 × 104 = 13 × 52 = 676

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಅಂಕಗಣಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರ, ಪದಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಎಣಿಸಿ

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಶೇಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತ ಶ್ರೇಢಿ

5 ಹಿಂದಿನ ವರ್ಷದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

PYQ 1. 1.2, 2.4, ಮತ್ತು 3.6 ರ ಎಲ್.ಸಿ.ಎಮ್ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. RRB NTPC 2021 CBT-1

ಉತ್ತರ: C) 7.2

ಪರಿಹಾರ: ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ: 12, 24, 36 12,24,36 ರ ಎಲ್.ಸಿ.ಎಮ್ = 72 ಹಿಂತಿರುಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ: 72 ÷ 10 = 7.2

ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಲಹೆ: ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ, ಎಲ್.ಸಿ.ಎಮ್ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ನಂತರ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಿ

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ದಶಮಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್.ಸಿ.ಎಮ್

PYQ 2. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ 3 ಸಿಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ 4 ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. RRB Group D 2022

ಉತ್ತರ: B) 18

ಪರಿಹಾರ: ÷5 R3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 3,8,13,18,23… ÷7 R4 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 4,11,18,25… ಸಾಮಾನ್ಯ: 18

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಶೇಷಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಚೀನೀ ಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯ (ಮೂಲ)

PYQ 3. 3^a × 5^b ಗೆ 15 ಅಪವರ್ತನಗಳಿದ್ದರೆ, a+b ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. RRB ALP 2018

ಉತ್ತರ: A) 5

ಪರಿಹಾರ: (a+1)(b+1) = 15 = 15×1 ಅಥವಾ 5×3 ಸಂದರ್ಭಗಳು: (14,0) → 14, (4,2) → 6, (2,4) → 6 ಕನಿಷ್ಠ: 4+2 = 6 ಅಥವಾ 2+4 = 6

ನಿರೀಕ್ಷೆ, 15 = 15×1 (14,0) → 14 ನೀಡುತ್ತದೆ 15 = 5×3 (4,2) → 6 ಅಥವಾ (2,4) → 6 ನೀಡುತ್ತದೆ

ಉತ್ತರವು 6 ಆಗಿರಬೇಕು, ಆದರೆ 5 ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿ ದೋಷ ಇರಬಹುದು. (4,1) → ಆದರೆ ಅದು 20 ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಪರಿಷ್ಕೃತ: ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿ ದೋಷವಿದೆ. 15 ಅಪವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ, a+b ಕನಿಷ್ಠ 6.

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಅಪವರ್ತನಗಳ ಎಣಿಕೆ

PYQ 4. 2^3 × 3^2 × 5 ಮತ್ತು 2^2 × 3^3 × 7 ರ ಎಚ್.ಸಿ.ಎಫ್ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. RRB JE 2019

ಉತ್ತರ: B) 36

ಪರಿಹಾರ: ಎಚ್.ಸಿ.ಎಫ್ = 2^2 × 3^2 = 4 × 9 = 36

ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಲಹೆ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಘಾತಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಎಚ್.ಸಿ.ಎಫ್

PYQ 5. 72 km/h ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ರೈಲು ಒಂದು ಪ್ಲಾಟ್ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು 30 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ದಾಟುತ್ತದೆ. ಪ್ಲಾಟ್ಫಾರ್ಮ್ 400 ಮೀ. ಉದ್ದವಾಗಿದ್ದರೆ, ರೈಲಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. RPF SI 2019

ಉತ್ತರ: C) 200m

ಪರಿಹಾರ: ವೇಗ = 72 km/h = 20 m/s ಒಟ್ಟು ದೂರ = ವೇಗ × ಸಮಯ = 20 × 30 = 600 ಮೀ. ರೈಲಿನ ಉದ್ದ = 600 - 400 = 200 ಮೀ.

ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಲಹೆ: ಮೊದಲು ಏಕಮಾನಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ: km/h ನಿಂದ m/s ಗೆ (×5/18)

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಏಕಮಾನ ಪರಿವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ ದೂರ-ವೇಗ-ಸಮಯ

ವೇಗದ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ ಗಳು

ತಪ್ಪು ಮಾಡಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪುಗಳು

ತ್ವರಿತ ಪುನರಾವಲೋಕನ ಫ್ಲ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಡ್ ಗಳು

ವಿಷಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳು

ನೇರ ಸಂಪರ್ಕ:

• ಸರಳೀಕರಣ: ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಬೋಡ್ಮಾಸ್ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ
• ಬೀಜಗಣಿತ: ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಚ್.ಸಿ.ಎಫ್/ಎಲ್.ಸಿ.ಎಮ್ ನಲ್ಲಿ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ
• ಸಮಯ ಮತ್ತು ಕೆಲಸ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಭಾಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಲ್.ಸಿ.ಎಮ್ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಸಂಯೋಜಿತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

• ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ + ಶೇಕಡಾವಾರು: ಅಪವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ ಶೇಕಡಾವಾರು ಬದಲಾವಣೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
• ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ + ಅನುಪಾತ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶೇಷ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು
• ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ + ಸರಾಸರಿ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಜ್ಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಾಸರಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಆಧಾರ:

• ದ್ವಿಘಾತ ಸಮೀಕರಣಗಳು: ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ತಂತ್ರಗಳು
• ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆ: ಅಪವರ್ತನಗಳ ಎಣಿಕೆಯ ತತ್ತ್ವಗಳು ಅಪವರ್ತನಗಳ ಎಣಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿವೆ
• **ಸುಧಾರಿತ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧ