1. تعارف

پچھلے باب میں، آپ نے ڈیٹا کی جدولی اور گرافکی نمائندگی کے بارے میں پڑھا ہے۔ اس باب میں، آپ مرکزی رجحان کے پیمانے کا مطالعہ کریں گے جو ڈیٹا کو مختصراً بیان کرنے کا عددی طریقہ ہے۔ آپ روزمرہ کی زندگی میں ڈیٹا کے ایک بڑے سیٹ کو خلاصہ کرنے کی مثالیں دیکھ سکتے ہیں، جیسے کسی ٹیسٹ میں طلباء کے ایک کلاس کے حاصل کردہ اوسط نمبر، کسی علاقے میں اوسط بارش، کسی فیکٹری میں اوسط پیداوار، کسی علاقے میں رہنے والے یا کسی فرم میں کام کرنے والے افراد کی اوسط آمدنی، وغیرہ۔

بایجو ایک کسان ہے۔ وہ بہار کے ضلع بکسر کے ایک گاؤں بلاپور میں اپنی زمین پر غذائی اجناس اگاتا ہے۔ گاؤں میں 50 چھوٹے کسان ہیں۔ بایجو کے پاس 1 ایکڑ زمین ہے۔ آپ بلاپور کے چھوٹے کسانوں کی معاشی حالت جاننے میں دلچسپی رکھتے ہیں۔ آپ بلاپور گاؤں میں بایجو کی معاشی حالت کا موازنہ کرنا چاہتے ہیں۔ اس کے لیے، آپ کو بلاپور کے دوسرے کسانوں کے زمینی قبضے کے سائز کے ساتھ موازنہ کر کے، اس کے زمینی قبضے کے سائز کا جائزہ لینا پڑ سکتا ہے۔ آپ یہ دیکھنا چاہیں گے کہ کیا بایجو کی ملکیت زمین -

1. عام معنوں میں اوسط سے اوپر ہے (حسابی اوسط دیکھیں)
2. اس سائز سے اوپر ہے جو آدھے کسانوں کی ملکیت ہے (میڈین دیکھیں)
3. اس سے اوپر ہے جو زیادہ تر کسانوں کی ملکیت ہے (موڈ دیکھیں)

بایجو کی نسبتاً معاشی حالت کا جائزہ لینے کے لیے، آپ کو بلاپور کے کسانوں کے زمینی قبضے کے ڈیٹا کے پورے سیٹ کا خلاصہ کرنا ہوگا۔ یہ مرکزی رجحان کے استعمال سے کیا جا سکتا ہے، جو ڈیٹا کو ایک واحد قدر میں اس طرح خلاصہ کرتا ہے کہ یہ واحد قدر پورے ڈیٹا کی نمائندگی کر سکے۔ مرکزی رجحان کا پیمائش ڈیٹا کو ایک مخصوص یا نمائندہ قدر کی شکل میں خلاصہ کرنے کا ایک طریقہ ہے۔

مرکزی رجحان یا “اوسط” کے کئی شماریاتی پیمانے ہیں۔ سب سے زیادہ استعمال ہونے والی اوسطات یہ ہیں:

• حسابی اوسط
• میڈین
• موڈ

آپ کو نوٹ کرنا چاہیے کہ دو اور قسم کی اوسطات بھی ہیں یعنی ہندسی اوسط اور ہارمونک اوسط، جو بعض حالات میں موزوں ہیں۔ تاہم، موجودہ بحث مذکورہ بالا تین قسم کی اوسطات تک محدود رہے گی۔

2. حسابی اوسط

فرض کریں کہ چھ خاندانوں کی ماہانہ آمدنی (روپے میں) یوں دی گئی ہے: 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630.

اوسط خاندانی آمدنی آمدنیوں کو جمع کر کے اور خاندانوں کی تعداد سے تقسیم کر کے حاصل کی جاتی ہے۔

$=\frac{1600+1500+1400+1525+1625+1630}{6}$

= روپے 1,547

اس کا مطلب ہے کہ اوسطاً، ایک خاندان روپے 1,547 کماتا ہے۔

حسابی اوسط مرکزی رجحان کا سب سے زیادہ استعمال ہونے والا پیمانہ ہے۔ اسے تمام مشاہدات کی اقدار کے مجموعے کو مشاہدات کی تعداد سے تقسیم کرنے کے طور پر بیان کیا جاتا ہے اور عام طور پر اسے $\overline{\mathrm{X}}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ عام طور پر، اگر $\mathrm{N}$ مشاہدات $X_1,X_2,X_3$, …, $X_N$ کے طور پر ہیں، تو حسابی اوسط اس طرح دی جاتی ہے

$$ \bar{X}=\frac{X _{1}+X _{2}+X _{3}+\ldots+X _{N}}{N} $$

دائیں ہاتھ کی طرف $\frac{\sum _{i=1}^{N} \mathrm{X} _{i}}{\mathrm{~N}}$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہاں، $\mathrm{i}$ ایک انڈیکس ہے جو متواتر اقدار 1,2 , $3, \ldots \mathrm{N}$ لیتا ہے۔

سہولت کے لیے، اسے انڈیکس i کے بغیر آسان شکل میں لکھا جائے گا۔ اس طرح $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}$، جہاں، $\Sigma \mathrm{X}=$ تمام مشاہدات کا مجموعہ اور $\mathrm{N}=$ مشاہدات کی کل تعداد۔

حسابی اوسط کا حساب کیسے لگایا جاتا ہے

حسابی اوسط کے حساب کو دو وسیع زمروں کے تحت مطالعہ کیا جا سکتا ہے:

1. غیر گروہ بند ڈیٹا کے لیے حسابی اوسط۔
2. گروہ بند ڈیٹا کے لیے حسابی اوسط۔

غیر گروہ بند ڈیٹا کی سیریز کے لیے حسابی اوسط

براہ راست طریقہ

براہ راست طریقہ سے حسابی اوسط سیریز میں تمام مشاہدات کے مجموعے کو کل مشاہدات کی تعداد سے تقسیم کرنے پر حاصل ہوتی ہے۔

مثال 1

اقتصادیات کے ٹیسٹ میں طلباء کے نمبر دکھانے والے ڈیٹا سے حسابی اوسط کا حساب لگائیں: $40,50,55$, $78,58$.

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma \mathrm{X}}{\mathrm{N}} \ & =\frac{40+50+55+78+58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

اقتصادیات کے ٹیسٹ میں طلباء کے اوسط نمبر 56.2 ہیں۔

فرضی اوسط طریقہ

اگر ڈیٹا میں مشاہدات کی تعداد زیادہ ہے اور/یا اعداد بڑے ہیں، تو براہ راست طریقہ سے حسابی اوسط کا حساب لگانا مشکل ہوتا ہے۔ حساب فرضی اوسط طریقہ استعمال کر کے آسان بنایا جا سکتا ہے۔

بڑی تعداد میں مشاہدات اور بڑے عددی اعداد پر مشتمل ڈیٹا سیٹ سے اوسط کا حساب لگانے میں وقت بچانے کے لیے، آپ فرضی اوسط طریقہ استعمال کر سکتے ہیں۔ یہاں آپ منطق/تجربے کی بنیاد پر ڈیٹا میں ایک مخصوص عدد کو حسابی اوسط کے طور پر فرض کرتے ہیں۔ پھر آپ مذکورہ فرضی اوسط سے ہر مشاہدہ کا انحراف لے سکتے ہیں۔ پھر، آپ ان انحرافات کا مجموعہ لے کر اسے ڈیٹا میں مشاہدات کی تعداد سے تقسیم کر سکتے ہیں۔ اصل حسابی اوسط کا تخمینہ فرضی اوسط اور انحرافات کے مجموعے اور مشاہدات کی تعداد کے تناسب کا مجموعہ لے کر لگایا جاتا ہے۔ علامتی طور پر،

فرض کریں، $\mathrm{A}=$ فرضی اوسط

$\mathrm{X}=$ انفرادی مشاہدات

$\mathrm{N}=$ مشاہدات کی کل تعداد

$d=$ فرضی اوسط سے انفرادی مشاہدہ کا انحراف، یعنی $d=X-A$

پھر تمام انحرافات کا مجموعہ $\Sigma \mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$ کے طور پر لیا جاتا ہے

پھر $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ معلوم کریں

پھر $\mathrm{A}$ اور $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ کو جمع کریں تاکہ $\overline{\mathrm{X}}$ حاصل ہو

لہذا، $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

آپ کو یاد رکھنا چاہیے کہ کوئی بھی قدر، چاہے ڈیٹا میں موجود ہو یا نہ ہو، فرضی اوسط کے طور پر لی جا سکتی ہے۔ تاہم، حساب کو آسان بنانے کے لیے، ڈیٹا میں مرکزاً واقع قدر کو فرضی اوسط کے طور پر منتخب کیا جا سکتا ہے۔

مثال 2

درج ذیل ڈیٹا 10 خاندانوں کی ہفتہ وار آمدنی دکھاتا ہے۔

خاندان

$\text { A } \text { B } \text { C } \text { D } \text { E } \text { F } \text { G } \text { H }$

$\text { I } \text{ J }$

ہفتہ وار آمدنی (روپے میں)

850 700 100 750 5000 80 420 2500

400 360

اوسط خاندانی آمدنی کا حساب لگائیں۔

جدول 5.1 فرضی اوسط طریقہ سے حسابی اوسط کا حساب

فرضی اوسط طریقہ استعمال کرتے ہوئے حسابی اوسط

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850+(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

اس طرح، دونوں طریقوں سے ایک خاندان کی اوسط ہفتہ وار آمدنی روپے 1,116 ہے۔ آپ اسے براہ راست طریقہ استعمال کر کے چیک کر سکتے ہیں۔

قدم انحراف طریقہ

حسابات کو مزید آسان بنایا جا سکتا ہے فرضی اوسط سے لیے گئے تمام انحرافات کو مشترک فیکٹر ‘c’ سے تقسیم کر کے۔ مقصد بڑے عددی اعداد سے بچنا ہے، یعنی اگر $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ بہت بڑا ہے، تو $\mathrm{d}^{\prime}$ معلوم کریں۔ یہ اس طرح کیا جا سکتا ہے:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

فارمولا نیچے دیا گیا ہے:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{c} $$

جہاں $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) / \mathrm{c}, \quad \mathrm{c}=$ مشترک فیکٹر، $\mathrm{N}=$ مشاہدات کی تعداد، $\mathrm{A}=$ فرضی اوسط۔

اس طرح، آپ مثال 2 میں حسابی اوسط کا حساب قدم انحراف طریقہ سے لگا سکتے ہیں،

$X=850+(266 / 10) \times 10=R s 1,116$.

گروہ بند ڈیٹا کے لیے حسابی اوسط کا حساب

منفرد سیریز

براہ راست طریقہ

منفرد سیریز کے معاملے میں، ہر مشاہدہ کے خلاف تعدد کو مشاہدہ کی قدر سے ضرب دی جاتی ہے۔ حاصل ہونے والی اقدار کو جمع کیا جاتا ہے اور کل تعدد کی تعداد سے تقسیم کیا جاتا ہے۔ علامتی طور پر،

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fX}}{\Sigma \mathrm{f}} $$

جہاں، $\Sigma \mathrm{fX}=$ متغیرات اور تعدد کے حاصل ضرب کا مجموعہ۔

$\Sigma f=$ تعدد کا مجموعہ۔

مثال 3

ہاؤسنگ کالونی میں پلاٹ صرف تین سائز میں آتے ہیں: 100 مربع میٹر، 200 مربع میٹر اور 300 مربع میٹر اور پلاٹوں کی تعداد بالترتیب 200 50 اور 10 ہیں۔

جدول 5.2 براہ راست طریقہ سے حسابی اوسط کا حساب

براہ راست طریقہ استعمال کرتے ہوئے حسابی اوسط،

$\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}=\frac{33000}{260}=126.92$ مربع میٹر

لہذا، ہاؤسنگ کالونی میں اوسط پلاٹ سائز 126.92 مربع میٹر ہے۔

فرضی اوسط طریقہ

جیسا کہ انفرادی سیریز کے معاملے میں، حساب کو فرضی اوسط طریقہ استعمال کر کے آسان بنایا جا سکتا ہے، جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا، ایک آسان ترمیم کے ساتھ۔ چونکہ یہاں ہر شے کی تعدد (f) دی گئی ہے، ہم ہر انحراف (d) کو تعدد سے ضرب دیتے ہیں تاکہ fd حاصل ہو۔ پھر ہمیں $\Sigma \mathrm{fd}$ ملتا ہے۔ اگلا قدم تمام تعدد کا مجموعہ حاصل کرنا ہے یعنی $\Sigma \mathrm{f}$۔ پھر $\Sigma \mathrm{fd} / \Sigma \mathrm{f}$ معلوم کریں۔ آخر میں، حسابی اوسط کا حساب $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}}$ استعمال کرتے ہوئے فرضی اوسط طریقہ سے لگایا جاتا ہے۔

قدم انحراف طریقہ

اس معاملے میں، انحرافات کو مشترک فیکٹر ‘c’ سے تقسیم کیا جاتا ہے جو حساب کو آسان بناتا ہے۔ یہاں ہم $d^{\prime}=\frac{d}{c}=\frac{X-A}{c}$ کا تخمینہ لگاتے ہیں تاکہ حساب کے لیے عددی اعداد کے سائز کو کم کیا جا سکے۔ پھر $\mathrm{fd}^{\prime}$ اور $\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}$ حاصل کریں۔ قدم انحراف طریقہ استعمال کرتے ہوئے حسابی اوسط کا فارمولا اس طرح دیا گیا ہے،

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c} $$

سرگرمی

• مثال 3 میں دیے گئے ڈیٹا کے لیے، قدم انحراف اور فرضی اوسط طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے اوسط پلاٹ سائز معلوم کریں۔

مسلسل سیریز

یہاں، طبقاتی وقفے دیے گئے ہیں۔ مسلسل سیریز کے معاملے میں حسابی اوسط کا حساب لگانے کا عمل منفرد سیریز کی طرح ہی ہے۔ فرق صرف یہ ہے کہ مختلف طبقاتی وقفوں کے وسطی نقاط لیے جاتے ہیں۔ ہم پہلے ہی جانتے ہیں کہ طبقاتی وقفے خصوصی یا شامل یا غیر مساوی سائز کے ہو سکتے ہیں۔ خصوصی طبقاتی وقفے کی مثال ہے، مثلاً، 0-10, 10-20 وغیرہ۔ شامل طبقاتی وقفے کی مثال ہے، مثلاً، 0-9, 10-19 وغیرہ۔ غیر مساوی طبقاتی وقفے کی مثال ہے، مثلاً، 0-20, 20-50 وغیرہ۔ ان تمام معاملات میں، حسابی اوسط کا حساب اسی طرح کیا جاتا ہے۔

مثال 4

درج ذیل طلباء کے اوسط نمبر کا حساب لگائیں (a) براہ راست طریقہ (b) قدم انحراف طریقہ استعمال کرتے ہوئے۔

براہ راست طریقہ

نمبر

0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50

50-60 $\quad$ 60-70

طلباء کی تعداد

5 $\quad$ 12 $\quad$ 15 $\quad$ 25 $\quad$ 8

3 $\quad$ 2

جدول 5.3 خصوصی طبقاتی وقفے کے لیے براہ راست طریقہ سے اوسط نمبر کا حساب

مراحل:

1. ہر طبقہ کے لیے وسطی اقدار حاصل کریں جنہیں $\mathrm{m}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔
2. $\Sigma \mathrm{fm}$ حاصل کریں اور براہ راست طریقہ کا فارمولا لاگو کریں:

$$ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{fm}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{2110}{70}=30.14 \mathrm{marks} $$

قدم انحراف طریقہ

1. $\mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}}$ حاصل کریں
2. $\mathrm{A}=35$ لیں، (کوئی بھی من مانی قدر)، $\mathrm{c}=$ مشترک فیکٹر۔

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c}=35+\frac{(-34)}{70} \times 10 \\ & =30.14 \text { marks } \end{aligned} $$

حسابی اوسط کی دو دلچسپ خصوصیات

(i) حسابی اوسط سے اشیاء کے انحراف کا مجموعہ ہمیشہ صفر کے برابر ہوتا ہے۔ علامتی طور پر، $\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})=0$.

(ii) حسابی اوسط انتہائی اقدار سے متاثر ہوتی ہے۔ کوئی بھی بڑی قدر، کسی بھی طرف، اسے اوپر یا نیچے کر سکتی ہے۔

وزنی حسابی اوسط

بعض اوقات حسابی اوسط کا حساب لگاتے وقت مختلف اشیاء کو ان کی اہمیت کے مطابق وزن دینا ضروری ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، دو اشیاء ہیں، آم اور آلو۔ آپ آم $P_1$ اور آلو $P_2$ کی اوسط قیمت معلوم کرنے میں دلچسپی رکھتے ہیں۔ حسابی اوسط $\frac{p_1+p_2}{2}$ ہوگی۔ تاہم، آپ آلو $P_2$ کی قیمت میں اضافے کو زیادہ اہمیت دینا چاہ سکتے ہیں۔ ایسا کرنے کے لیے، آپ صارف کے بجٹ میں آم کے حصے $\left(\mathrm{W} _{1}\right)$ اور بجٹ میں آلو کے حصے $\left(\mathrm{W} _{2}\right)$ کو ‘وزن’ کے طور پر استعمال کر سکتے ہیں۔ اب بجٹ میں حصوں کے لحاظ سے وزنی حسابی اوسط $\frac{\mathrm{W} _{1} \mathrm{P} _{1}+\mathrm{W} _{2} \mathrm{P} _{2}}{\mathrm{~W} _{1}+\mathrm{W} _{2}}$ ہوگی

عام طور پر وزنی حسابی اوسط اس طرح دی جاتی ہے،

$$ \frac{\mathrm{w} _{1} \mathrm{x} _{1}+\mathrm{w} _{2} \mathrm{x} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}} \mathrm{x} _{\mathrm{n}}}{\mathrm{w} _{1}+\mathrm{w} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}}=\frac{\Sigma \mathrm{wx}}{\Sigma \mathrm{w}} $$

جب قیمتیں بڑھتی ہیں، تو آپ ان اشیاء کی قیمتوں میں اضافے میں دلچسپی رکھ سکتے ہیں جو آپ کے لیے زیادہ اہم ہیں۔ آپ اس کے بارے میں باب 8 میں انڈیکس نمبرز کی بحث میں مزید پڑھیں گے۔

سرگرمیاں

• درج ذیل مثال کے لیے حسابی اوسط کی خصوصیت چیک کریں:

$\qquad$ X: $\quad$ 4 $\quad$ 6 $\quad$ 8 $\quad$ 10 $\quad$ 12

• اوپر والی مثال میں اگر اوسط میں 2 کا اضافہ ہو جائے، تو انفرادی مشاہدات پر کیا اثر پڑتا ہے۔
• اگر پہلی تین اشیاء میں 2 کا اضافہ ہو جائے، تو آخری دو اشیاء کی اقدار کیا ہونی چاہئیں، تاکہ اوسط ایک جیسی رہے۔
• قدر 12 کو 96 سے بدلیں۔ حسابی اوسط پر کیا اثر پڑتا ہے؟ تبصرہ کریں۔

3. میڈین

میڈین متغیر کی وہ مقامی قدر ہے جو تقسیم کو دو برابر حصوں میں تقسیم کرتی ہے، ایک حصہ میڈین قدر سے زیادہ یا برابر تمام اقدار پر مشتمل ہوتا ہے اور دوسرا اس سے کم یا برابر تمام اقدار پر مشتمل ہوتا ہے۔ میڈین وہ “درمیانی” عنصر ہے جب ڈیٹا سیٹ کو قدر کے لحاظ سے ترتیب دیا جاتا ہے۔ چونکہ میڈین مختلف اقدار کی پوزیشن سے طے ہوتی ہے، یہ متاثر نہیں ہوتی اگر، مثلاً، سب سے بڑی قدر کے سائز میں اضافہ ہو جائے۔

میڈین کا حساب

میڈین کو آسانی سے حساب لگایا جا سکتا ہے ڈیٹا کو چھوٹے سے بڑے تک ترتیب دے کر اور درمیانی قدر معلوم کر کے۔

مثال 5

فرض کریں ہمارے پاس ڈیٹا سیٹ میں درج ذیل مشاہدہ ہے: $5,7,6,1,8$, $10,12,4$, اور 3.

ڈیٹا کو چڑھتے ترتیب میں ترتیب دینے پر آپ کے پاس ہے:

$1,3,4,5,6,7,8,10,12$.

“درمیانی اسکور” 6 ہے، لہذا میڈین 6 ہے۔ آدھے اسکور 6 سے بڑے ہیں اور آدھے اسکور 6 سے چھوٹے ہیں۔

اگر ڈیٹا میں جفت تعداد ہو، تو دو مشاہدات درمیان میں آئیں گے۔ اس معاملے میں میڈین کا حساب دو درمیانی اقدار کے حسابی اوسط کے طور پر لگایا جاتا ہے۔

سرگرمیاں

• سیریز کی تمام چار اقدار کے لیے اوسط اور میڈین معلوم کریں۔ آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟

جدول 5.4 مختلف سیریز کی اوسط اور میڈین

سیریز	X (متغیر اقدار)	اوسط	میڈین
$\mathrm{A}$	$1,2,3$	$?$	$?$
$\mathrm{~B}$	$1,2,30$	$?$	$?$
$\mathrm{C}$	$1,2,300$	$?$	$?$
$\mathrm{D}$	$1,2,3000$	$?$	$?$

• کیا میڈین انتہائی اقدار سے متاثر ہوتی ہے؟ آؤٹ لائرز کیا ہیں؟
• کیا میڈین اوسط سے بہتر طریقہ ہے؟

مثال 6

درج ذیل ڈیٹا 20 طلباء کے نمبر فراہم کرتا ہے۔ آپ سے میڈین نمبر کا حساب لگانا مطلوب ہے۔

$25,72,28,65,29,60,30,54,32,53$, 33, 52, 35, 51, 42, 48, 45, 47, 46, 33.

ڈیٹا کو چڑھتے ترتیب میں ترتیب دینے پر، آپ کو ملتا ہے

$25,28,29,30,32,33,33,35,42$, $45,46,47,48,51,52,53,54,60$, 65,72 .

آپ دیکھ سکتے ہیں کہ درمیان میں دو مشاہدات ہیں، 45 اور 46۔ میڈین دو مشاہدات کا اوسط لے کر حاصل کی جا سکتی ہے:

میڈین $=\frac{45+46}{2}=45.5$ نمبر

میڈین کا حساب لگانے کے لیے میڈین کی پوزیشن جاننا ضروری ہے یعنی وہ شے/اشیاء جس پر میڈین واقع ہے۔ میڈین کی پوزیشن درج ذیل فارمولے سے حساب کی جا سکتی ہے:

میڈین کی پوزیشن $=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{2}$ شے

جہاں $\mathrm{N}=$ اشیاء کی تعداد۔

آپ نوٹ کر سکتے ہیں کہ اوپر والا فارمولا آپ کو ترتیب وار سرے میں میڈین کی پوزیشن دیتا ہے، میڈین خود نہیں۔ میڈین کا حساب فارمولے سے لگایا جاتا ہے:

میڈین $=$ سائز $\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{2}$ شے کا

منفرد سیریز

منفرد سیریز کے معاملے میں میڈین کی پوزیشن یعنی $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {th }}$ شے تکرار تعدد کے ذریعے معلوم کی جا سکتی ہے۔ اس پوزیشن پر متعلقہ قدر میڈین کی قدر ہے۔

مثال 7

افراد کی تعداد اور ان کی متعلقہ آمدنیوں ($\mathrm{Rs}$ میں) کی تعدد تقسیم نیچے دی گئی ہے۔ میڈین آمدنی کا حساب لگائیں۔

$\begin{array}{lllll}\text { Income (in Rs): } & 10 & 20 & 30 & 40\end{array}$

افراد کی تعداد: $\quad 2 \quad 4 \quad 4 \quad 10 \quad 4$

میڈین آمدنی کا حساب لگانے کے لیے، آپ تعدد تقسیم تیار کر سکتے ہیں جیسا کہ نیچے دیا گیا ہے۔

جدول 5.5 منفرد سیریز کے لیے میڈین کا حساب

میڈین $(\mathrm{N}+1)$ / $2=(20+1) / 2=10.5^{\text {th }}$ مشاہدہ میں واقع ہے۔ یہ تکرار تعدد کے ذریعے آسانی سے معلوم کیا جا سکتا ہے۔ $10.5^{\text {th }}$ مشاہدہ c.f. 16 میں واقع ہے۔ اس سے متعلق آمدنی روپے 30 ہے، لہذا میڈین آمدنی $\mathrm{Rs} 30$ ہے۔

مسلسل سیریز

مسلسل سیریز کے معاملے میں آپ کو میڈین طبقہ معلوم کرنا ہوگا جہاں $\mathrm{N} / 2^{\text {th }}$ شے $\left[\right.$ نہیں $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {th }}$ شے] واقع ہے۔ پھر میڈین اس طرح حاصل کی جا سکتی ہے:

میڈین $=\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2-\text { c.f.) })}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h}$

جہاں، $\mathrm{L}=$ میڈین طبقہ کی نچلی حد،

c.f. $=$ میڈین طبقہ سے پہلے والے طبقہ کا تکرار تعدد،

$\mathrm{f}=$ میڈین طبقہ کی تعدد،

$\mathrm{h}=$ میڈین طبقہ وقفہ کی وسعت۔

اگر تعدد غیر مساوی سائز یا وسعت کی ہو تو کوئی ایڈجسٹمنٹ درکار نہیں ہے۔

مثال 8

درج ذیل ڈیٹا فیکٹری میں کام کرنے والے افراد کی یومیہ اجرت سے متعلق ہے۔ یومیہ اجرت کی میڈین کا حساب لگائیں۔

یومیہ اجرت ($R s$ میں):

55-60 50-55 45-50 40-45 35-40 30-35

25-30 $20-25$

مزدوروں کی تعداد:

$\begin{array}{llllll}7 & 13 & 15 & 20 & 30 & 33\end{array}$

$28 \quad 14$

یہاں ڈیٹا اترتے ترتیب میں ترتیب دیا گیا ہے۔

اوپر والی مثال میں میڈین طبقہ $(\mathrm{N} / 2)^{\text {th }}$ شے (یعنی 160/2) $=80^{\text {th }}$ شے کی قدر ہے، جو 35-40 طبقہ وقفہ میں واقع ہے۔ میڈین کے فارمولے کو اس طرح لاگو کرتے ہوئے:

جدول 5.6 مسلسل سیریز کے لیے میڈین کا حساب

$$ \begin{aligned} \text { Median } & =\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2-\text { c.f. })}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h} \\ & =\frac{35+(80-75)}{30} \times(40-35) \\ & =\operatorname{Rs} 35.83 \end{aligned} $$

اس طرح، یومیہ اجرت کی میڈین روپے 35.83 ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ $50 %$ مزدور روپے 35.83 سے کم یا برابر حاصل کر رہے ہیں اور $50 %$ مزدور اس اجرت سے زیادہ یا برابر حاصل کر رہے ہیں۔

آپ کو یاد رکھنا چاہیے کہ میڈین، بطور مرکزی رجحان کا پیمانہ، سیریز کی تمام اقدار کے لیے حساس نہیں ہے۔ یہ ڈیٹا کی مرکزی اشیاء کی اقدار پر مرکوز ہوتی ہے۔

چوہڑے

چوہڑے وہ پیمانے ہیں جو ڈیٹا کو چار برابر حصوں میں تقسیم کرتے ہیں، ہر حصہ میں مشاہدات کی برابر تعداد ہوتی ہے۔ تین چوہڑے ہوتے ہیں۔ پہلا چوہڑا ($\mathrm{Q} _{1}$ سے ظاہر) یا نچلا چوہڑا تقسیم کی $25 %$ اشیاء اس کے نیچے رکھتا ہے اور $75 %$ اشیاء اس سے زیادہ ہوتی ہیں۔ دوسرا چوہڑا ($\mathrm{Q} _{2}$ سے ظاہر) یا میڈین کی $50 %$ اشیاء اس کے نیچے ہوتی ہیں اور $50 %$ مشاہدات اس کے اوپر ہوتی ہیں۔ تیسرا چوہڑا ($\mathrm{Q} _{3}$ سے ظاہر) یا اوپری چوہڑا کی $75 %$ اشیاء تقسیم کی اس کے نیچے ہوتی ہیں اور $25 %$ اشیاء اس کے اوپر ہوتی ہیں۔ اس طرح، $\mathrm{Q} _{1}$ اور $\mathrm{Q} _{3}$ وہ دو حدود ظاہر کرتے ہیں جن کے درمیان ڈیٹا کا مرکزی $50 %$ واقع ہوتا ہے۔

فیصدیے

فیصدیے تقسیم کو سو برابر حصوں میں تقسیم کرتے ہیں، لہذا آپ کو 99 تقسیمی پوزیشنیں مل سکتی ہیں جنہیں $\mathrm{P} _{1}, \mathrm{P} _{2}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے، $\mathrm{P} _{3}, \ldots, \mathrm{P} _{99} \cdot \mathrm{P} _{50}$ میڈین قدر ہے۔ اگر آپ نے مینجمنٹ داخلہ امتحان میں 82 فیصدی حاصل کیا ہے، اس کا مطلب ہے کہ آپ کی پوزیشن امتحان میں شریک کل امیدواروں کے 18 فیصد سے نیچے ہے۔ اگر کل ایک لاکھ طلباء شریک ہوئے، تو آپ کہاں کھڑے ہیں؟

چوہڑوں کا حساب

چوہڑے معلوم کرنے کا طریقہ انفرادی اور منفرد سیریز میں میڈین کی طرح ہی ہے۔ ترتیب وار سیریز کے $\mathrm{Q} _{1}$ اور $\mathrm{S} _{3}$ کی قدر درج ذیل فار