১. ভূমিকা

পূৰ্বৰ অধ্যায়ত, আপুনি তথ্যৰ সাৰণি আৰু চিত্ৰণৰ বিষয়ে পঢ়িছে। এই অধ্যায়ত, আপুনি কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপসমূহ অধ্যয়ন কৰিব যি হৈছে তথ্য সংক্ষেপে ব্যাখ্যা কৰাৰ এক সংখ্যাগত পদ্ধতি। আপুনি দৈনন্দিন জীৱনত ডাঙৰ তথ্যৰ সমষ্টি সংক্ষেপ কৰাৰ উদাহৰণ দেখিব পাৰে, যেনে এটা শ্ৰেণীৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে পৰীক্ষাত লাভ কৰা গড় নম্বৰ, এটা অঞ্চলৰ গড় বৰষুণ, এটা কাৰখানাৰ গড় উৎপাদন, এটা অঞ্চলত বসবাস কৰা বা এটা প্ৰতিষ্ঠানত কাম কৰা ব্যক্তিসকলৰ গড় আয়, ইত্যাদি।

বৈজু এজন খেতিয়ক। তেওঁ বিহাৰৰ বক্সাৰ জিলাৰ বালাপুৰ নামৰ গাঁৱত তেওঁৰ মাটিত খাদ্যশস্য উৎপাদন কৰে। গাঁৱটোত ৫০ গৰাকী সৰু খেতিয়ক আছে। বৈজুৰ ১ একৰ মাটি আছে। আপুনি বালাপুৰৰ সৰু খেতিয়কসকলৰ অৰ্থনৈতিক অৱস্থা জানিবলৈ আগ্ৰহী। আপুনি বালাপুৰ গাঁৱৰ বৈজুৰ অৰ্থনৈতিক অৱস্থাৰ তুলনা কৰিব বিচাৰে। ইয়াৰ বাবে, আপুনি বালাপুৰৰ অন্যান্য খেতিয়কসকলৰ মাটিৰ মালিকীৰ আকাৰৰ সৈতে তুলনা কৰি তেওঁৰ মাটিৰ মালিকীৰ আকাৰ মূল্যায়ন কৰিবলগীয়া হ’ব পাৰে। আপুনি চাব বিচাৰিব পাৰে যে বৈজুৰ মালিকীৰ মাটি -

১. সাধাৰণ অৰ্থত গড়তকৈ ওপৰত নে (পাটীগণিতীয় গড় চাওক) ২. আধা খেতিয়কে যিমানৰ মালিক, তাৰ আকাৰতকৈ ওপৰত নে (মধ্যমা চাওক) ৩. বেছিভাগ খেতিয়কে যিমানৰ মালিক, তাৰ আকাৰতকৈ ওপৰত নে (বহুলক চাওক)

বৈজুৰ আপেক্ষিক অৰ্থনৈতিক অৱস্থা মূল্যায়ন কৰিবলৈ, আপুনি বালাপুৰৰ খেতিয়কসকলৰ মাটিৰ মালিকীৰ সম্পূৰ্ণ তথ্যৰ সমষ্টি সংক্ষেপ কৰিব লাগিব। ইয়াক কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ ব্যৱহাৰৰ দ্বাৰা কৰিব পাৰি, যিয়ে তথ্যখিনি এটা একক মানত এনেদৰে সংক্ষেপ কৰে যে এই একক মানটোৱে সমগ্ৰ তথ্যখিনি প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰে। কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপন হৈছে তথ্যখিনি এটা সাধাৰণ বা প্ৰতিনিধিত্বমূলক মানৰ ৰূপত সংক্ষেপ কৰাৰ এক পদ্ধতি।

কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতা বা “গড়"ৰ কেইবাটাও পৰিসংখ্যামূলক মাপ আছে। সৰ্বাধিক ব্যৱহৃত তিনিটা গড় হ’ল:

• পাটীগণিতীয় গড়
• মধ্যমা
• বহুলক

আপুনি মনত ৰাখিব লাগিব যে আৰু দুটা ধৰণৰ গড় আছে অৰ্থাৎ গুণোত্তৰীয় গড় আৰু সাংগীতিক গড়, যিবোৰ নিৰ্দিষ্ট পৰিস্থিতিত উপযুক্ত। অৱশ্যে, বৰ্তমানৰ আলোচনা ওপৰত উল্লেখ কৰা তিনিটা ধৰণৰ গড়লৈ সীমাবদ্ধ ৰখা হ’ব।

২. পাটীগণিতীয় গড়

ধৰা হওক ছয়টা পৰিয়ালৰ মাহিলী আয় (টকাত) দিয়া আছে: ১৬০০, ১৫০০, ১৪০০, ১৫২৫, ১৬২৫, ১৬৩০।

গড় পৰিয়াল আয়টো আয়বোৰ যোগ কৰি আৰু পৰিয়ালৰ সংখ্যাৰে হৰণ কৰি পোৱা যায়।

$=\frac{1600+1500+1400+1525+1625+1630}{6}$

= টকা ১,৫৪৭

ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যে গড়পড়ত এটা পৰিয়ালে টকা ১,৫৪৭ উপাৰ্জন কৰে।

পাটীগণিতীয় গড় হৈছে কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ সৰ্বাধিক ব্যৱহৃত মাপ। ইয়াক সংজ্ঞায়িত কৰা হয় সকলো পৰ্যবেক্ষণৰ মানৰ যোগফলক পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যাৰে হৰণ কৰি আৰু সাধাৰণতে $\overline{\mathrm{X}}$ ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হয়। সাধাৰণতে, যদি $\mathrm{N}$ টা পৰ্যবেক্ষণ $X_1,X_2,X_3$, …, $X_N$ হিচাপে থাকে, তেন্তে পাটীগণিতীয় গড় দিয়া হয়

$$ \bar{X}=\frac{X _{1}+X _{2}+X _{3}+\ldots+X _{N}}{N} $$

সোঁহাতৰ ফালটো $\frac{\sum _{i=1}^{N} \mathrm{X} _{i}}{\mathrm{~N}}$ হিচাপে লিখিব পাৰি। ইয়াত, $\mathrm{i}$ হৈছে এটা সূচক যিয়ে ক্ৰমিক মান ১,২ , $3, \ldots \mathrm{N}$ গ্ৰহণ কৰে।

সুবিধাৰ বাবে, ইয়াক i সূচকটো নোহোৱাকৈ সহজ ৰূপত লিখা হ’ব। এনেদৰে $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}$, য’ত, $\Sigma \mathrm{X}=$ সকলো পৰ্যবেক্ষণৰ যোগফল আৰু $\mathrm{N}=$ মুঠ পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যা।

পাটীগণিতীয় গড় কেনেকৈ গণনা কৰা হয়

পাটীগণিতীয় গড়ৰ গণনা দুটা বিস্তৃত শ্ৰেণীত অধ্যয়ন কৰিব পাৰি:

১. অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবে পাটীগণিতীয় গড়। ২. শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবে পাটীগণিতীয় গড়।

অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ ধাৰাৰ বাবে পাটীগণিতীয় গড়

প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি

প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিৰে পাটীগণিতীয় গড় হৈছে এটা ধাৰাত থকা সকলো পৰ্যবেক্ষণৰ যোগফলক মুঠ পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যাৰে হৰণ কৰা।

উদাহৰণ ১

অৰ্থনীতিৰ পৰীক্ষাত ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলৰ নম্বৰ দেখুওৱা তথ্যৰ পৰা পাটীগণিতীয় গড় গণনা কৰক: $40,50,55$, $78,58$।

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma \mathrm{X}}{\mathrm{N}} \ & =\frac{40+50+55+78+58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

অৰ্থনীতিৰ পৰীক্ষাত ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলৰ গড় নম্বৰ হৈছে ৫৬.২।

ধৰা গড় পদ্ধতি

যদি তথ্যত পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যা বেছি আৰু/বা সংখ্যাবোৰ ডাঙৰ হয়, প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিৰে পাটীগণিতীয় গড় গণনা কৰাটো কঠিন হ’ব পাৰে। ধৰা গড় পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি গণনা সহজ কৰিব পাৰি।

বেছি সংখ্যক পৰ্যবেক্ষণ আৰু ডাঙৰ সংখ্যাগত মান থকা তথ্যৰ সমষ্টিৰ পৰা গড় গণনা কৰোঁতে সময় ৰক্ষা কৰিবলৈ, আপুনি ধৰা গড় পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰে। ইয়াত আপুনি যুক্তি/অভিজ্ঞতাৰ ভিত্তিত তথ্যৰ ভিতৰত এটা নিৰ্দিষ্ট মানক পাটীগণিতীয় গড় হিচাপে ধৰি লয়। তাৰ পিছত আপুনি উক্ত ধৰা গড়ৰ পৰা প্ৰতিটো পৰ্যবেক্ষণৰ বিচ্যুতি গ্ৰহণ কৰিব পাৰে। আপুনি তাৰ পিছত এই বিচ্যুতিবোৰৰ যোগফল লৈ তথ্যত থকা পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যাৰে হৰণ কৰিব পাৰে। প্ৰকৃত পাটীগণিতীয় গড়টো ধৰা গড় আৰু বিচ্যুতিৰ যোগফল আৰু পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যাৰ অনুপাতৰ যোগফল লৈ অনুমান কৰা হয়। চিহ্নৰ দ্বাৰা,

ধৰা হওক, $\mathrm{A}=$ ধৰা গড়

$\mathrm{X}=$ পৃথক পৰ্যবেক্ষণ

$\mathrm{N}=$ মুঠ পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যা

$d=$ ধৰা গড়ৰ পৰা পৃথক পৰ্যবেক্ষণৰ বিচ্যুতি, অৰ্থাৎ $d=X-A$

তাৰ পিছত সকলো বিচ্যুতিৰ যোগফল $\Sigma \mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$ হিচাপে লোৱা হয়

তাৰ পিছত $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ উলিয়াওক

তাৰ পিছত $\mathrm{A}$ আৰু $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ যোগ কৰি $\overline{\mathrm{X}}$ পোৱা হয়

গতিকে, $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

আপুনি মনত ৰাখিব লাগিব যে যিকোনো মান, তথ্যত থকা নাথাকক, ধৰা গড় হিচাপে ল’ব পাৰি। অৱশ্যে, গণনা সহজ কৰিবলৈ, তথ্যৰ কেন্দ্ৰীয়ভাৱে অৱস্থিত মানক ধৰা গড় হিচাপে বাছনি কৰিব পাৰি।

উদাহৰণ ২

তলৰ তথ্যই ১০টা পৰিয়ালৰ সাপ্তাহিক আয় দেখুৱায়।

পৰিয়াল

$\text { A } \text { B } \text { C } \text { D } \text { E } \text { F } \text { G } \text { H }$

$\text { I } \text{ J }$

সাপ্তাহিক আয় (টকাত)

৮৫০ ৭০০ ১০০ ৭৫০ ৫০০০ ৮০ ৪২০ ২৫০০

৪০০ ৩৬০

গড় পৰিয়াল আয় গণনা কৰক।

তালিকা ৫.১ ধৰা গড় পদ্ধতিৰে পাটীগণিতীয় গড় গণনা

ধৰা গড় পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি পাটীগণিতীয় গড়

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850+(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

এনেদৰে, দুয়োটা পদ্ধতিৰে এটা পৰিয়ালৰ গড় সাপ্তাহিক আয় হৈছে টকা ১,১১৬। আপুনি প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি ইয়াক পৰীক্ষা কৰিব পাৰে।

পদক্ষেপ বিচ্যুতি পদ্ধতি

ধৰা গড়ৰ পৰা লোৱা সকলো বিচ্যুতিক সাধাৰণ উৎপাদক ‘c’ ৰে হৰণ কৰি গণনাবোৰ আৰু সহজ কৰিব পাৰি। উদ্দেশ্য হৈছে ডাঙৰ সংখ্যাগত মান এৰাই চলা, অৰ্থাৎ যদি $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ বহুত ডাঙৰ হয়, তেন্তে $\mathrm{d}^{\prime}$ উলিয়াওক। ইয়াক তলত দিয়া ধৰণে কৰিব পাৰি:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

সূত্ৰটো তলত দিয়া হৈছে:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{c} $$

য’ত $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) / \mathrm{c}, \quad \mathrm{c}=$ সাধাৰণ উৎপাদক, $\mathrm{N}=$ পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যা, $\mathrm{A}=$ ধৰা গড়।

এনেদৰে, আপুনি উদাহৰণ ২ ৰ পাটীগণিতীয় গড়, পদক্ষেপ বিচ্যুতি পদ্ধতিৰে গণনা কৰিব পাৰে,

$X=850+(266 / 10) \times 10=R s 1,116$.

শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবে পাটীগণিতীয় গড় গণনা

পৃথক ধাৰা

প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি

পৃথক ধাৰাৰ ক্ষেত্ৰত, প্ৰতিটো পৰ্যবেক্ষণৰ বিৰুদ্ধে বাৰংবাৰতা পৰ্যবেক্ষণৰ মানৰে পূৰণ কৰা হয়। এনেদৰে পোৱা মানবোৰ যোগ কৰি মুঠ বাৰংবাৰতাৰে হৰণ কৰা হয়। চিহ্নৰ দ্বাৰা,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fX}}{\Sigma \mathrm{f}} $$

য’ত, $\Sigma \mathrm{fX}=$ চলক আৰু বাৰংবাৰতাৰ পূৰণফলৰ যোগফল।

$\Sigma f=$ বাৰংবাৰতাৰ যোগফল।

উদাহৰণ ৩

এটা হাউচিং কলনীত প্লট কেৱল তিনিটা আকাৰতহে পোৱা যায়: ১০০ বৰ্গ মিটাৰ, ২০০ বৰ্গ মিটাৰ আৰু ৩০০ বৰ্গ মিটাৰ আৰু প্লটৰ সংখ্যা ক্ৰমে ২০০, ৫০ আৰু ১০।

তালিকা ৫.২ প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিৰে পাটীগণিতীয় গড় গণনা

প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি পাটীগণিতীয় গড়,

$\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}=\frac{33000}{260}=126.92$ বৰ্গ মিটাৰ

গতিকে, হাউচিং কলনীটোত গড় প্লটৰ আকাৰ হৈছে ১২৬.৯২ বৰ্গ মিটাৰ।

ধৰা গড় পদ্ধতি

পৃথক ধাৰাৰ দৰে, আগতে বৰ্ণনা কৰা ধৰণে ধৰা গড় পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি গণনাবোৰ সহজ কৰিব পাৰি, এটা সৰল পৰিৱৰ্তনৰ সৈতে। যিহেতু ইয়াত প্ৰতিটো পদৰ বাৰংবাৰতা (f) দিয়া আছে, আমি প্ৰতিটো বিচ্যুতি (d) ক বাৰংবাৰতাৰে পূৰণ কৰি fd পোৱাও। তাৰ পিছত আমি $\Sigma \mathrm{fd}$ পাওঁ। পৰৱৰ্তী পদক্ষেপ হৈছে সকলো বাৰংবাৰতাৰ যোগফল অৰ্থাৎ $\Sigma \mathrm{f}$ পোৱা। তাৰ পিছত $\Sigma \mathrm{fd} / \Sigma \mathrm{f}$ উলিয়াওক। শেহত, পাটীগণিতীয় গড়টো ধৰা গড় পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}}$ ৰ দ্বাৰা গণনা কৰা হয়।

পদক্ষেপ বিচ্যুতি পদ্ধতি

এই ক্ষেত্ৰত, বিচ্যুতিবোৰক সাধাৰণ উৎপাদক ‘c’ ৰে হৰণ কৰা হয় যিয়ে গণনা সহজ কৰে। ইয়াত আমি গণনা সহজ কৰিবলৈ সংখ্যাগত মানৰ আকাৰ কমাবলৈ $d^{\prime}=\frac{d}{c}=\frac{X-A}{c}$ অনুমান কৰোঁ। তাৰ পিছত $\mathrm{fd}^{\prime}$ আৰু $\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}$ পাওঁ। পদক্ষেপ বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি পাটীগণিতীয় গড়ৰ সূত্ৰটো দিয়া হৈছে,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c} $$

কাৰ্য্যকলাপ

• উদাহৰণ ৩ ত দিয়া তথ্যৰ বাবে, পদক্ষেপ বিচ্যুতি আৰু ধৰা গড় পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি গড় প্লটৰ আকাৰ উলিয়াওক।

অবিচ্ছিন্ন ধাৰা

ইয়াত, শ্ৰেণী অন্তৰাল দিয়া থাকে। অবিচ্ছিন্ন ধাৰাৰ ক্ষেত্ৰত পাটীগণিতীয় গড় গণনা কৰাৰ প্ৰক্ৰিয়া পৃথক ধাৰাৰ দৰেই। একমাত্ৰ পাৰ্থক্য হৈছে বিভিন্ন শ্ৰেণী অন্তৰালৰ মধ্যবিন্দুবোৰ লোৱা হয়। আমি ইতিমধ্যে জানো যে শ্ৰেণী অন্তৰালবোৰ একচেতীয়া বা অন্তৰ্ভুক্তিমূলক বা অসমান আকাৰৰ হ’ব পাৰে। একচেতীয়া শ্ৰেণী অন্তৰালৰ উদাহৰণ হ’ল, ধৰা হওক, ০-১০, ১০-২০ ইত্যাদি। অন্তৰ্ভুক্তিমূলক শ্ৰেণী অন্তৰালৰ উদাহৰণ হ’ল, ধৰা হওক, ০-৯, ১০-১৯ ইত্যাদি। অসমান শ্ৰেণী অন্তৰালৰ উদাহৰণ হ’ল, ধৰা হওক, ০-২০, ২০-৫০ ইত্যাদি। এই সকলো ক্ষেত্ৰত, পাটীগণিতীয় গড় গণনা একে ধৰণে কৰা হয়।

উদাহৰণ ৪

তলৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলৰ গড় নম্বৰ গণনা কৰক (ক) প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিৰে (খ) পদক্ষেপ বিচ্যুতি পদ্ধতিৰে।

প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি

নম্বৰ

০-১০ $\quad$ ১০-২০ $\quad$ ২০-৩০ $\quad$ ৩০-৪০ $\quad$ ৪০-৫০

৫০-৬০ $\quad$ ৬০-৭০

ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা

৫ $\quad$ ১২ $\quad$ ১৫ $\quad$ ২৫ $\quad$ ৮

৩ $\quad$ ২

তালিকা ৫.৩ একচেতীয়া শ্ৰেণী অন্তৰালৰ বাবে প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিৰে গড় নম্বৰ গণনা

পদক্ষেপসমূহ:

১. প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰ বাবে মধ্যবিন্দু $\mathrm{m}$ ৰ দ্বাৰা সূচিত কৰি পোৱা। ২. $\Sigma \mathrm{fm}$ পোৱা আৰু প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিৰ সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰা:

$$ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{fm}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{2110}{70}=30.14 \mathrm{marks} $$

পদক্ষেপ বিচ্যুতি পদ্ধতি

১. $\mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}}$ পোৱা ২. $\mathrm{A}=35$ লোৱা, (যিকোনো স্বেচ্ছাচাৰী মান), $\mathrm{c}=$ সাধাৰণ উৎপাদক।

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c}=35+\frac{(-34)}{70} \times 10 \\ & =30.14 \text { marks } \end{aligned} $$

পাটীগণিতীয় গড়ৰ দুটা আকৰ্ষণীয় ধৰ্ম

(i) পদবোৰৰ পাটীগণিতীয় গড়ৰ পৰা বিচ্যুতিৰ যোগফল সদায় শূন্যৰ সমান। চিহ্নৰ দ্বাৰা, $\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})=0$।

(ii) পাটীগণিতীয় গড় চৰম মানৰ দ্বাৰা প্ৰভাৱিত হয়। যিকোনো ডাঙৰ মান, যিকোনো মূৰত, ইয়াক ওপৰলৈ বা তললৈ ঠেলিব পাৰে।

ওজনযুক্ত পাটীগণিতীয় গড়

কেতিয়াবা আপুনি পাটীগণিতীয় গড় গণনা কৰোঁতে বিভিন্ন পদবোৰক তেওঁলোকৰ গুৰুত্ব অনুসৰি ওজন দিয়া গুৰুত্বপূৰ্ণ। উদাহৰণস্বৰূপে, দুটা দ্ৰব্য আছে, আম আৰু আলু। আপুনি আম $P_1$ আৰু আলু $P_2$ ৰ গড় দাম উলিয়াবলৈ আগ্ৰহী। পাটীগণিতীয় গড়টো হ’ব $\frac{p_1+p_2}{2}$। অৱশ্যে, আপুনি আলুৰ দাম বৃদ্ধি $P_2$ লৈ অধিক গুৰুত্ব দিব বিচাৰিব পাৰে। ইয়াক কৰিবলৈ, আপুনি ভোক্তাৰ বাজেটত আমৰ অংশ $\left(\mathrm{W} _{1}\right)$ আৰু বাজেটত আলুৰ অংশ $\left(\mathrm{W} _{2}\right)$ হিচাপে ‘ওজন’ হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰে। এতিয়া বাজেটৰ অংশৰ দ্বাৰা ওজনযুক্ত পাটীগণিতীয় গড়টো হ’ব $\frac{\mathrm{W} _{1} \mathrm{P} _{1}+\mathrm{W} _{2} \mathrm{P} _{2}}{\mathrm{~W} _{1}+\mathrm{W} _{2}}$

সাধাৰণতে ওজনযুক্ত পাটীগণিতীয় গড় দিয়া হয়,

$$ \frac{\mathrm{w} _{1} \mathrm{x} _{1}+\mathrm{w} _{2} \mathrm{x} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}} \mathrm{x} _{\mathrm{n}}}{\mathrm{w} _{1}+\mathrm{w} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}}=\frac{\Sigma \mathrm{wx}}{\Sigma \mathrm{w}} $$

যেতিয়া দাম বৃদ্ধি পায়, আপুনি আপোনাৰ বাবে অধিক গুৰুত্বপূৰ্ণ দ্ৰৱ্যৰ দাম বৃদ্ধিত আগ্ৰহী হ’ব পাৰে। আপুনি অধ্যায় ৮ ত সূচক সংখ্যাৰ আলোচনাত ইয়াৰ বিষয়ে অধিক পঢ়িব।

কাৰ্য্যকলাপসমূহ

• তলৰ উদাহৰণটোৰ বাবে পাটীগণিতীয় গড়ৰ ধৰ্ম পৰীক্ষা কৰক:

$\qquad$ X: $\quad$ ৪ $\quad$ ৬ $\quad$ ৮ $\quad$ ১০ $\quad$ ১২

• ওপৰৰ উদাহৰণত যদি গড় ২ ৰে বৃদ্ধি পায়, তেন্তে পৃথক পৰ্যবেক্ষণবোৰৰ কি হয়।
• যদি প্ৰথম তিনিটা পদ ২ ৰে বৃদ্ধি পায়, তেন্তে শেষৰ দুটা পদৰ মান কিমান হ’ব লাগে, যাতে গড় একে থাকে।
• ১২ মানটো ৯৬ ৰে সলনি কৰক। পাটীগণিতীয় গড়ৰ কি হয়? মন্তব্য কৰক।

৩. মধ্যমা

মধ্যমা হৈছে চলকৰ সেই স্থানীয় মান যিয়ে বিতৰণটো দুটা সমান ভাগত বিভক্ত কৰে, এটা ভাগত মধ্যমা মানতকৈ ডাঙৰ বা সমান সকলো মান অন্তৰ্ভুক্ত থাকে আৰু আনটোত ইয়াতকৈ সৰু বা সমান সকলো মান অন্তৰ্ভুক্ত থাকে। মধ্যমা হৈছে “মধ্যৱৰ্তী” উপাদান যেতিয়া তথ্যৰ সমষ্টিক পৰিমাণৰ ক্ৰমত সজোৱা হয়। যিহেতু মধ্যমা বিভিন্ন মানৰ স্থানৰ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত হয়, ই অপ্ৰভাৱিত থাকে যদি, ধৰা হওক, আটাইতকৈ ডাঙৰ মানৰ আকাৰ বৃদ্ধি পায়।

মধ্যমাৰ গণনা

তথ্যখিনি সৰুৰ পৰা ডাঙৰলৈ ক্ৰমবদ্ধ কৰি আৰু মধ্যৱৰ্তী মানটো উলিয়াই মধ্যমা সহজে গণনা কৰিব পাৰি।

উদাহৰণ ৫

ধৰা হওক আমি তথ্যৰ সমষ্টিত তলৰ পৰ্যবেক্ষণটো পাইছো: $5,7,6,1,8$, $10,12,4$, আৰু ৩।

তথ্যখিনি ঊৰ্ধ্বক্ৰমত সজাই, আপোনাৰ আছে:

$1,3,4,5,6,7,8,10,12$।

“মধ্যৱৰ্তী স্কোৰ"টো হৈছে ৬, গতিকে মধ্যমা হৈছে ৬। আধা স্কোৰ ৬ তকৈ ডাঙৰ আৰু আধা স্কোৰ ৬ তকৈ সৰু।

যদি তথ্যত যুগ্ম সংখ্যা থাকে, তেন্তে দুটা পৰ্যবেক্ষণ মধ্যত পৰিব। এই ক্ষেত্ৰত মধ্যমাটো দুটা মধ্যৱৰ্তী মানৰ পাটীগণিতীয় গড় হিচাপে গণনা কৰা হয়।

কাৰ্য্যকলাপসমূহ

• ধাৰাৰ চাৰিটা মানৰ বাবে গড় আৰু মধ্যমা উলিয়াওক। আপুনি কি লক্ষ্য কৰে?

তালিকা ৫.৪ বিভিন্ন ধাৰাৰ গড় আৰু মধ্যমা

ধাৰা	X (চলকৰ মান)	গড়	মধ্যমা
$\mathrm{A}$	$1,2,3$	$?$	$?$
$\mathrm{~B}$	$1,2,30$	$?$	$?$
$\mathrm{C}$	$1,2,300$	$?$	$?$
$\mathrm{D}$	$1,2,3000$	$?$	$?$

• মধ্যমা চৰম মানৰ দ্বাৰা প্ৰভাৱিত হয় নেকি? আউটলায়াৰ কি?
• মধ্যমা গড়তকৈ এটা ভাল পদ্ধতি নেকি?

উদাহৰণ ৬

তলৰ তথ্যই ২০ গৰাকী ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ নম্বৰ দিয়ে। আপুনি মধ্যমা নম্বৰ গণনা কৰিবলৈ আহ্বান কৰা হৈছে।

$25,72,28,65,29,60,30,54,32,53$, ৩৩, ৫২, ৩৫, ৫১, ৪২, ৪৮, ৪৫, ৪৭, ৪৬, ৩৩।

তথ্যখিনি ঊৰ্ধ্বক্ৰমত সজাই, আপুনি পায়

$25,28,29,30,32,33,33,35,42$, $45,46,47,48,51,52,53,54,60$, ৬৫,৭২।

আপুনি দেখিব পাৰে যে মধ্যত দুটা পৰ্যবেক্ষণ আছে, ৪৫ আৰু ৪৬। মধ্যমাটো দুটা পৰ্যবেক্ষণৰ গড় লৈ পোৱা যাব পাৰে:

মধ্যমা $=\frac{45+46}{2}=45.5$ নম্বৰ

মধ্যমা গণনা কৰিবলৈ মধ্যমাৰ স্থানটো জানাটো গুৰুত্বপূৰ্ণ অৰ্থাৎ মধ্যমাটো যি পদ/পদবোৰত অৱস্থিত। মধ্যমাৰ স্থানটো তলৰ সূত্ৰৰ দ্বাৰা গণনা কৰিব পাৰি:

মধ্যমাৰ স্থান $=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{2}$ পদ

য’ত $\mathrm{N}=$ পদৰ সংখ্যা।

আপুনি মনত ৰাখিব পাৰে যে ওপৰৰ সূত্ৰটোৱে আপোনাক ক্ৰমবদ্ধ শ্ৰেণীবিন্যাসত মধ্যমাৰ স্থান দিয়ে, মধ্যমাটো নিজে নহয়। মধ্যমা সূত্ৰৰ দ্বাৰা গণনা কৰা হয়:

মধ্যমা $=$ $\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{2}$ পদৰ আকাৰ

পৃথক ধাৰা

পৃথক ধাৰাৰ ক্ষেত্ৰত মধ্যমাৰ স্থান অৰ্থাৎ $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {th }}$ পদক সঞ্চিত বাৰংবাৰতাৰ মাজেৰে স্থান নিৰ্ধাৰণ কৰিব পাৰি। এই স্থানত থকা সংশ্লিষ্ট মানটোৱেই হৈছে মধ্যমাৰ মান।

উদাহৰণ ৭

ব্যক্তিসকলৰ সংখ্যা আৰু তেওঁলোকৰ আয় ($\mathrm{Rs}$ ত)ৰ বাৰংবাৰতা বিতৰণ তলত দিয়া হৈছে। মধ্যমা আয় গণনা কৰক।

$\begin{array}{lllll}\text { Income (in Rs): } & 10 & 20 & 30 & 40\end{array}$

ব্যক্তিসকলৰ সংখ্যা: $\quad 2 \quad 4 \quad 4 \quad 10 \quad 4$

মধ্যমা আয় গণনা কৰিবলৈ, আপুনি তলত দিয়া ধৰণে বাৰংবাৰতা বিতৰণ প্ৰস্তুত কৰিব পাৰে।

তালিকা ৫.৫ পৃথক ধাৰাৰ বাবে মধ্যমা গণনা

মধ্যমাটো $(\mathrm{N}+1)$ / $2=(20+1) / 2=10.5^{\text {th }}$ পৰ্যবেক্ষণত অৱস্থিত। ইয়াক সঞ্চিত বাৰংবাৰতাৰ মাজেৰে সহজে স্থান নিৰ্ধাৰণ কৰিব পাৰি। $10.5^{\text {th }}$ পৰ্যবেক্ষণটো ১৬ ৰ c.f. ত অৱস্থিত। ইয়াৰ সৈতে সংশ্লিষ্ট আয়টো হৈছে টকা ৩০, গতিকে মধ্যমা আয় হৈছে $\mathrm{Rs} 30$।

অবিচ্ছিন্ন ধাৰা

অবিচ্ছিন্ন ধাৰাৰ ক্ষেত্ৰত আপুনি মধ্যমা শ্ৰেণীটো স্থান নিৰ্ধাৰণ কৰিব লাগিব য’ত $\mathrm{N} / 2^{\text {th }}$ পদ $\left[\right.$ নহয় $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {th }}$ পদ] অৱস্থিত। তাৰ পিছত মধ্যমাটো তলত দিয়া ধৰণে পোৱা যাব পাৰে:

মধ্যমা $=\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2-\text { c.f.) })}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h}$

য’ত, $\mathrm{L}=$ মধ্যমা শ্ৰেণীৰ নিম্ন সীমা,

c.f. $=$ মধ্যমা শ্ৰেণীৰ পূৰ্বৰ শ্ৰেণীৰ সঞ্চিত বাৰংবাৰতা,

$\mathrm{f}=$ মধ্যমা শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা,

$\mathrm{h}=$ মধ্যমা শ্ৰেণী অন্তৰালৰ পৰিমাণ।

যদি বাৰংবাৰতা অসমান আকাৰ বা পৰিমাণৰ হয়, তেন্তে কোনো সমন্বয়ৰ প্ৰয়োজন নাই।

উদাহৰণ ৮

তলৰ তথ্যই এটা কাৰখানাত কাম কৰা ব্যক্তিসকলৰ দৈনিক মজুৰীৰ সৈতে সম্পৰ্কিত। মধ্যমা দৈনিক মজুৰী গণনা কৰক।

দৈনিক মজুৰী ($R s$ ত):

৫৫-৬০ ৫০-৫৫ ৪৫-৫০ ৪০-৪৫ ৩৫-৪০