१. परिचय

मागील अध्यायात, तुम्ही डेटाचे सारणीय आणि आलेखीय प्रतिनिधित्व याबद्दल वाचले आहे. या अध्यायात, तुम्ही केंद्रीय प्रवृत्तीची मापे याबद्दल अभ्यास कराल, जी डेटाचा संक्षिप्तपणे स्पष्टीकरण देण्याची एक संख्यात्मक पद्धत आहे. दैनंदिन जीवनात मोठ्या डेटा संचाचा सारांश देण्याची उदाहरणे तुम्ही पाहू शकता, जसे की वर्गातील विद्यार्थ्यांनी चाचणीत मिळवलेले सरासरी गुण, एखाद्या भागातील सरासरी पाऊस, एखाद्या कारखान्यातील सरासरी उत्पादन, एखाद्या वस्तीत राहणाऱ्या किंवा फर्ममध्ये काम करणाऱ्या व्यक्तींचे सरासरी उत्पन्न, इत्यादी.

बैजू हा एक शेतकरी आहे. तो बिहारमधील बक्सर जिल्ह्यातील बालापूर नावाच्या गावात आपल्या जमिनीत अन्नधान्ये वाढवतो. गावात ५० लहान शेतकरी आहेत. बैजूकडे १ एकर जमीन आहे. तुम्हाला बालापूरच्या लहान शेतकऱ्यांची आर्थिक परिस्थिती जाणून घेण्यात रस आहे. तुम्हाला बालापूर गावातील बैजूची आर्थिक परिस्थितीची तुलना करायची आहे. यासाठी, तुम्हाला बालापूरच्या इतर शेतकऱ्यांच्या जमीनधारणेच्या आकाराशी तुलना करून त्याच्या जमीनधारणेच्या आकाराचे मूल्यांकन करावे लागेल. बैजूकडील जमीन खालीलप्रमाणे आहे का हे तुम्ही पाहू शकता -

१. सामान्य अर्थाने सरासरीपेक्षा वर (अंकगणितीय मध्य पहा) २. अर्ध्या शेतकऱ्यांकडे असलेल्या आकारापेक्षा वर (मध्यक पहा) ३. बहुतांश शेतकऱ्यांकडे असलेल्या आकारापेक्षा वर (बहुलक पहा)

बैजूची सापेक्ष आर्थिक परिस्थिती मूल्यांकन करण्यासाठी, तुम्हाला बालापूरच्या शेतकऱ्यांच्या जमीनधारणेच्या संपूर्ण डेटा संचाचा सारांश द्यावा लागेल. हे केंद्रीय प्रवृत्तीचा वापर करून केले जाऊ शकते, जी डेटाचा एका एकल मूल्यात असा सारांश देते की हे एकल मूल्य संपूर्ण डेटाचे प्रतिनिधित्व करू शकते. केंद्रीय प्रवृत्तीचे मापन हा डेटाचा सारांश एका ठराविक किंवा प्रातिनिधिक मूल्याच्या रूपात देण्याचा एक मार्ग आहे.

केंद्रीय प्रवृत्तीची किंवा “सरासरी"ची अनेक सांख्यिकीय मापे आहेत. सर्वात सामान्यपणे वापरल्या जाणाऱ्या तीन सरासरी आहेत:

• अंकगणितीय मध्य
• मध्यक
• बहुलक

तुम्ही लक्षात घ्यावे की आणखी दोन प्रकारच्या सरासरी आहेत म्हणजे भूमितीय मध्य आणि हार्मोनिक मध्य, ज्या विशिष्ट परिस्थितींमध्ये योग्य आहेत. तथापि, सध्याची चर्चा वर नमूद केलेल्या तीन प्रकारच्या सरासरीपर्यंत मर्यादित राहील.

२. अंकगणितीय मध्य

समजा सहा कुटुंबांचे मासिक उत्पन्न (रुपयांमध्ये) खालीलप्रमाणे दिले आहे: १६००, १५००, १४००, १५२५, १६२५, १६३०.

कुटुंबांची उत्पन्ने बेरीज करून आणि कुटुंबांच्या संख्येने भागून सरासरी कुटुंब उत्पन्न मिळते.

$=\frac{1600+1500+1400+1525+1625+1630}{6}$

= रु १,५४७

याचा अर्थ असा की सरासरीने, एक कुटुंब रु १,५४७ कमावते.

अंकगणितीय मध्य हे केंद्रीय प्रवृत्तीचे सर्वात सामान्यपणे वापरले जाणारे माप आहे. हे सर्व निरीक्षणांच्या मूल्यांच्या बेरजेला निरीक्षणांच्या संख्येने भागून मिळणारे मूल्य म्हणून परिभाषित केले जाते आणि सामान्यतः $\overline{\mathrm{X}}$ द्वारे दर्शविले जाते. सर्वसाधारणपणे, जर $\mathrm{N}$ निरीक्षणे $X_1,X_2,X_3$, …, $X_N$ अशी असतील, तर अंकगणितीय मध्य खालीलप्रमाणे दिले जाते

$$ \bar{X}=\frac{X _{1}+X _{2}+X _{3}+\ldots+X _{N}}{N} $$

उजव्या बाजूची अभिव्यक्ती $\frac{\sum _{i=1}^{N} \mathrm{X} _{i}}{\mathrm{~N}}$ अशी लिहिता येते. येथे, $\mathrm{i}$ हा एक अनुक्रमणिका आहे जी क्रमिक मूल्ये १,२ , $3, \ldots \mathrm{N}$ घेते.

सोयीसाठी, हे अनुक्रमणिका i शिवाय सोप्या रूपात लिहिले जाईल. अशाप्रकारे $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}$, जेथे, $\Sigma \mathrm{X}=$ सर्व निरीक्षणांची बेरीज आणि $\mathrm{N}=$ निरीक्षणांची एकूण संख्या.

अंकगणितीय मध्य कसा काढला जातो

अंकगणितीय मध्याची गणना दोन मोठ्या श्रेणींत अभ्यासली जाऊ शकते:

१. अवर्गीकृत डेटासाठी अंकगणितीय मध्य. २. वर्गीकृत डेटासाठी अंकगणितीय मध्य.

अवर्गीकृत डेटाच्या श्रेणीसाठी अंकगणितीय मध्य

थेट पद्धत

थेट पद्धतीने अंकगणितीय मध्य म्हणजे श्रेणीतील सर्व निरीक्षणांची बेरीज भागिले एकूण निरीक्षणांची संख्या.

उदाहरण १

अर्थशास्त्राच्या चाचणीत वर्गातील विद्यार्थ्यांचे गुण दर्शविणाऱ्या डेटावरून अंकगणितीय मध्य काढा: $40,50,55$, $78,58$.

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma \mathrm{X}}{\mathrm{N}} \ & =\frac{40+50+55+78+58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

अर्थशास्त्र चाचणीत विद्यार्थ्यांचे सरासरी गुण ५६.२ आहेत.

कल्पित मध्य पद्धत

जर डेटामधील निरीक्षणांची संख्या जास्त असेल आणि/किंवा आकडे मोठे असतील, तर थेट पद्धतीने अंकगणितीय मध्य काढणे कठीण होते. कल्पित मध्य पद्धत वापरून गणना सोपी करता येते.

मोठ्या संख्येने निरीक्षणे तसेच मोठे संख्यात्मक आकडे असलेल्या डेटा संचातून मध्य काढताना वेळ वाचवण्यासाठी, तुम्ही कल्पित मध्य पद्धत वापरू शकता. येथे तुम्ही तर्क/अनुभवाच्या आधारे डेटामधील एक विशिष्ट आकडा अंकगणितीय मध्य म्हणून गृहीत धरता. नंतर तुम्ही सांगितलेल्या कल्पित मध्यातून प्रत्येक निरीक्षणाचे विचलन घेऊ शकता. त्यानंतर, तुम्ही या विचलनांची बेरीज करून ती डेटामधील निरीक्षणांच्या संख्येने भागू शकता. वास्तविक अंकगणितीय मध्याचा अंदाज कल्पित मध्याची बेरीज आणि विचलनांच्या बेरजेचे निरीक्षणांच्या संख्येशी गुणोत्तर घेऊन केला जातो. चिन्हात्मकपणे,

समजा, $\mathrm{A}=$ कल्पित मध्य

$\mathrm{X}=$ वैयक्तिक निरीक्षणे

$\mathrm{N}=$ निरीक्षणांची एकूण संख्या

$d=$ वैयक्तिक निरीक्षणापासून कल्पित मध्याचे विचलन, म्हणजेच $d=X-A$

नंतर सर्व विचलनांची बेरीज $\Sigma \mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$ अशी घेतली जाते

नंतर $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ काढा

नंतर $\mathrm{A}$ आणि $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ ची बेरीज करून $\overline{\mathrm{X}}$ मिळवा

म्हणून, $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

तुम्ही लक्षात ठेवावे की डेटामध्ये असलेली किंवा नसलेली कोणतीही किंमत कल्पित मध्य म्हणून घेतली जाऊ शकते. तथापि, गणना सोपी करण्यासाठी, डेटामधील मध्यभागी असलेले मूल्य कल्पित मध्य म्हणून निवडले जाऊ शकते.

उदाहरण २

खालील डेटा १० कुटुंबांचे साप्ताहिक उत्पन्न दर्शवितो.

कुटुंब

$\text { A } \text { B } \text { C } \text { D } \text { E } \text { F } \text { G } \text { H }$

$\text { I } \text{ J }$

साप्ताहिक उत्पन्न (रुपयांमध्ये)

८५० ७०० १०० ७५० ५००० ८० ४२० २५००

४०० ३६०

सरासरी कुटुंब उत्पन्न काढा.

सारणी ५.१ कल्पित मध्य पद्धतीने अंकगणितीय मध्याची गणना

कल्पित मध्य पद्धत वापरून अंकगणितीय मध्य

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850+(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

अशाप्रकारे, दोन्ही पद्धतींनी कुटुंबाचे सरासरी साप्ताहिक उत्पन्न रु १,११६ आहे. तुम्ही थेट पद्धत वापरून हे तपासू शकता.

पायरी-विचलन पद्धत

सामान्य घटक ‘c’ ने कल्पित मध्यापासून घेतलेली सर्व विचलने भागून गणना आणखी सोपी केली जाऊ शकते. हे करण्याचा उद्देश मोठ्या संख्यात्मक आकड्यांपासून दूर राहणे आहे, म्हणजेच जर $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ खूप मोठे असेल, तर $\mathrm{d}^{\prime}$ काढा. हे खालीलप्रमाणे केले जाऊ शकते:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

सूत्र खाली दिले आहे:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{c} $$

जेथे $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) / \mathrm{c}, \quad \mathrm{c}=$ सामान्य घटक, $\mathrm{N}=$ निरीक्षणांची संख्या, $\mathrm{A}=$ कल्पित मध्य.

अशाप्रकारे, तुम्ही उदाहरण २ मधील अंकगणितीय मध्य, पायरी-विचलन पद्धतीने काढू शकता,

$X=850+(266 / 10) \times 10=R s 1,116$.

वर्गीकृत डेटासाठी अंकगणितीय मध्याची गणना

वेगळी श्रेणी

थेट पद्धत

वेगळ्या श्रेणीच्या बाबतीत, प्रत्येक निरीक्षणाच्या विरुद्ध वारंवारता निरीक्षणाच्या मूल्याने गुणाकारली जाते. अशाप्रकारे मिळालेली मूल्ये बेरीज करून एकूण वारंवारतांनी भागली जातात. चिन्हात्मकपणे,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fX}}{\Sigma \mathrm{f}} $$

जेथे, $\Sigma \mathrm{fX}=$ चल आणि वारंवारतांच्या गुणाकाराची बेरीज.

$\Sigma f=$ वारंवारतांची बेरीज.

उदाहरण ३

एका हाऊसिंग कॉलनीमधील प्लॉट फक्त तीन आकारात येतात: १०० चौ. मीटर, २०० चौ. मीटर आणि ३०० चौ. मीटर आणि प्लॉटची संख्या अनुक्रमे २०० ५० आणि १० आहे.

सारणी ५.२ थेट पद्धतीने अंकगणितीय मध्याची गणना

थेट पद्धत वापरून अंकगणितीय मध्य,

$\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}=\frac{33000}{260}=126.92$ चौ. मीटर

म्हणून, हाऊसिंग कॉलनीमधील सरासरी प्लॉट आकार १२६.९२ चौ. मीटर आहे.

कल्पित मध्य पद्धत

वैयक्तिक श्रेणीप्रमाणेच, येथे वारंवारता (f) दिली असल्याने, आपण प्रत्येक विचलन (d) ला वारंवारतेने गुणाकार करून fd मिळवतो. मग आपल्याला $\Sigma \mathrm{fd}$ मिळते. पुढची पायरी म्हणजे सर्व वारंवारतांची बेरीज मिळवणे म्हणजेच $\Sigma \mathrm{f}$. नंतर $\Sigma \mathrm{fd} / \Sigma \mathrm{f}$ काढा. शेवटी, अंकगणितीय मध्य $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}}$ वापरून कल्पित मध्य पद्धतीने काढला जातो.

पायरी-विचलन पद्धत

या बाबतीत, विचलने सामान्य घटक ‘c’ ने भागली जातात ज्यामुळे गणना सोपी होते. येथे आपण $d^{\prime}=\frac{d}{c}=\frac{X-A}{c}$ चा अंदाज लावतो जेणेकरून सोप्या गणनेसाठी संख्यात्मक आकड्यांचा आकार कमी होईल. नंतर $\mathrm{fd}^{\prime}$ आणि $\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}$ मिळवा. पायरी-विचलन पद्धत वापरून अंकगणितीय मध्याचे सूत्र खालीलप्रमाणे दिले आहे,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c} $$

कृती

• उदाहरण ३ मध्ये दिलेल्या डेटासाठी, पायरी-विचलन आणि कल्पित मध्य पद्धती वापरून सरासरी प्लॉट आकार शोधा.

सतत श्रेणी

येथे, वर्ग अंतराल दिलेली आहेत. सतत श्रेणीच्या बाबतीत अंकगणितीय मध्य काढण्याची प्रक्रिया वेगळ्या श्रेणीप्रमाणेच आहे. फरक एवढाच आहे की विविध वर्ग अंतरालांचे मध्यबिंदू घेतले जातात. वर्ग अंतराल विशिष्ट, समावेशक किंवा असमान आकाराचे असू शकतात हे आपल्याला आधीच माहित आहे. विशिष्ट वर्ग अंतरालाचे उदाहरण म्हणजे, ०-१०, १०-२० इत्यादी. समावेशक वर्ग अंतरालाचे उदाहरण म्हणजे, ०-९, १०-१९ इत्यादी. असमान वर्ग अंतरालाचे उदाहरण म्हणजे, ०-२०, २०-५० इत्यादी. या सर्व बाबतीत, अंकगणितीय मध्याची गणना समान पद्धतीने केली जाते.

उदाहरण ४

खालील विद्यार्थ्यांचे सरासरी गुण काढा (a) थेट पद्धत (b) पायरी-विचलन पद्धत.

थेट पद्धत

गुण

०-१० $\quad$ १०-२० $\quad$ २०-३० $\quad$ ३०-४० $\quad$ ४०-५०

५०-६० $\quad$ ६०-७०

विद्यार्थ्यांची संख्या

५ $\quad$ १२ $\quad$ १५ $\quad$ २५ $\quad$ ८

३ $\quad$ २

सारणी ५.३ विशिष्ट वर्ग अंतरालासाठी थेट पद्धतीने सरासरी गुणांची गणना

पायऱ्या:

१. प्रत्येक वर्गासाठी मध्यमूल्ये मिळवा जी $\mathrm{m}$ द्वारे दर्शविली जातात. २. $\Sigma \mathrm{fm}$ मिळवा आणि थेट पद्धत सूत्र लागू करा:

$$ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{fm}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{2110}{70}=30.14 \mathrm{marks} $$

पायरी-विचलन पद्धत

१. $\mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}}$ मिळवा २. $\mathrm{A}=35$ घ्या, (कोणताही अनियंत्रित आकडा), $\mathrm{c}=$ सामान्य घटक.

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c}=35+\frac{(-34)}{70} \times 10 \\ & =30.14 \text { marks } \end{aligned} $$

अंकगणितीय मध्याचे दोन मनोरंजक गुणधर्म

(i) अंकगणितीय मध्याभोवती वस्तूंच्या विचलनांची बेरीज नेहमी शून्य असते. चिन्हात्मकपणे, $\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})=0$.

(ii) अंकगणितीय मध्यावर टोकाच्या मूल्यांचा परिणाम होतो. कोणतेही मोठे मूल्य, कोणत्याही टोकाला, त्याला वाढवू किंवा कमी करू शकते.

भारित अंकगणितीय मध्य

काहीवेळा अंकगणितीय मध्य काढताना त्यांच्या महत्त्वानुसार विविध वस्तूंना भार नियुक्त करणे महत्त्वाचे असते. उदाहरणार्थ, दोन वस्तू आहेत, आंबे आणि बटाटे. तुम्हाला आंब्यांची सरासरी किंमत $P_1$ आणि बटाट्यांची सरासरी किंमत $P_2$ शोधण्यात रस आहे. अंकगणितीय मध्य $\frac{p_1+p_2}{2}$ असेल. तथापि, तुम्हाला बटाट्यांच्या किंमतीत झालेल्या वाढीला $P_2$ अधिक महत्त्व द्यायचे असेल. हे करण्यासाठी, तुम्ही ग्राहकाच्या अंदाजपत्रकातील आंब्यांचा वाटा $\left(\mathrm{W} _{1}\right)$ आणि बटाट्यांचा वाटा $\left(\mathrm{W} _{2}\right)$ यांना ‘भार’ म्हणून वापरू शकता. आता अंदाजपत्रकातील वाट्यांनी भारित अंकगणितीय मध्य $\frac{\mathrm{W} _{1} \mathrm{P} _{1}+\mathrm{W} _{2} \mathrm{P} _{2}}{\mathrm{~W} _{1}+\mathrm{W} _{2}}$ असेल

सर्वसाधारणपणे भारित अंकगणितीय मध्य खालीलप्रमाणे दिले जाते,

$$ \frac{\mathrm{w} _{1} \mathrm{x} _{1}+\mathrm{w} _{2} \mathrm{x} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}} \mathrm{x} _{\mathrm{n}}}{\mathrm{w} _{1}+\mathrm{w} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}}=\frac{\Sigma \mathrm{wx}}{\Sigma \mathrm{w}} $$

जेव्हा किंमती वाढतात, तेव्हा तुम्हाला तुमच्यासाठी अधिक महत्त्वाच्या असलेल्या वस्तूंच्या किंमतीतील वाढीत रस असू शकतो. अध्याय ८ मधील निर्देशांक संख्यांच्या चर्चेत तुम्ही याबद्दल अधिक वाचाल.

कृती

• खालील उदाहरणासाठी अंकगणितीय मध्याचा गुणधर्म तपासा:

$\qquad$ X: $\quad$ ४ $\quad$ ६ $\quad$ ८ $\quad$ १० $\quad$ १२

• वरील उदाहरणात जर मध्य २ ने वाढवला, तर वैयक्तिक निरीक्षणांवर काय परिणाम होतो.
• जर पहिल्या तीन वस्तू २ ने वाढल्या, तर शेवटच्या दोन वस्तूंची मूल्ये काय असावीत, जेणेकरून मध्य समान राहील.
• १२ चे मूल्य ९६ ने बदला. अंकगणितीय मध्यावर काय परिणाम होतो? टिप्पणी करा.

३. मध्यक

मध्यक हे चलाचे ते स्थानिक मूल्य आहे जे वितरणाचे दोन समान भाग करते, एका भागामध्ये मध्यक मूल्यापेक्षा मोठी किंवा समान असलेली सर्व मूल्ये येतात आणि दुसऱ्यामध्ये त्यापेक्षा लहान किंवा समान असलेली सर्व मूल्ये येतात. मध्यक हा “मधला” घटक असतो जेव्हा डेटा संच परिमाणाच्या क्रमाने मांडला जातो. मध्यक वेगवेगळ्या मूल्यांच्या स्थानाने निश्चित केला जात असल्याने, जर, समजा, सर्वात मोठ्या मूल्याचा आकार वाढला तरी त्यावर परिणाम होत नाही.

मध्यकाची गणना

डेटाला लहान ते मोठ्या क्रमाने लावून आणि मधले मूल्य शोधून मध्यक सहज काढता येते.

उदाहरण ५

समजा आपल्याकडे डेटा संचात खालील निरीक्षण आहे: $5,7,6,1,8$, $10,12,4$, आणि ३.

डेटा चढत्या क्रमाने मांडल्यास:

$1,3,4,5,6,7,8,10,12$.

“मधला गुण” ६ आहे, म्हणून मध्यक ६ आहे. अर्धे गुण ६ पेक्षा मोठे आहेत आणि अर्धे गुण ६ पेक्षा लहान आहेत.

जर डेटामध्ये सम संख्या असतील, तर दोन निरीक्षणे मध्यभागी येतील. या बाबतीत मध्यकाची गणना दोन मधल्या मूल्यांचा अंकगणितीय मध्य म्हणून केली जाते.

कृती

• श्रेणीच्या सर्व चार मूल्यांसाठी मध्य आणि मध्यक शोधा. तुम्हाला काय आढळते?

सारणी ५.४ वेगवेगळ्या श्रेणींचे मध्य आणि मध्यक

श्रेणी	X (चल मूल्ये)	मध्य	मध्यक
$\mathrm{A}$	$1,2,3$	$?$	$?$
$\mathrm{~B}$	$1,2,30$	$?$	$?$
$\mathrm{C}$	$1,2,300$	$?$	$?$
$\mathrm{D}$	$1,2,3000$	$?$	$?$

• मध्यकावर टोकाच्या मूल्यांचा परिणाम होतो का? आउटलायर्स म्हणजे काय?
• मध्यक ही मध्यापेक्षा चांगली पद्धत आहे का?

उदाहरण ६

खालील डेटा २० विद्यार्थ्यांचे गुण देतो. तुम्हाला मध्यक गुण काढायचे आहेत.

$25,72,28,65,29,60,30,54,32,53$, ३३, ५२, ३५, ५१, ४२, ४८, ४५, ४७, ४६, ३३.

डेटा चढत्या क्रमाने मांडल्यास,

$25,28,29,30,32,33,33,35,42$, $45,46,47,48,51,52,53,54,60$, ६५,७२ .

तुम्ही पाहू शकता की मध्यभागी दोन निरीक्षणे आहेत, ४५ आणि ४६. दोन निरीक्षणांचा मध्य घेऊन मध्यक मिळवता येते:

मध्यक $=\frac{45+46}{2}=45.5$ गुण

मध्यक काढण्यासाठी मध्यकाचे स्थान म्हणजेच मध्यक कोणत्या वस्तू/वस्तूंवर आहे हे जाणून घेणे महत्त्वाचे आहे. मध्यकाचे स्थान खालील सूत्राने काढता येते:

मध्यकाचे स्थान $=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{2}$ वस्तू

जेथे $\mathrm{N}=$ वस्तूंची संख्या.

तुम्ही लक्षात घ्यावे की वरील सूत्र तुम्हाला क्रमबद्ध रचनेत मध्यकाचे स्थान देते, मध्यक स्वतः नाही. मध्यक खालील सूत्राने काढला जातो:

मध्यक $=$ $\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{2}$ वस्तूचा आकार

वेगळी श्रेणी

वेगळ्या श्रेणीच्या बाबतीत मध्यकाचे स्थान म्हणजेच $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {th }}$ वस्तू संचयी वारंवारतेद्वारे शोधता येते. या स्थानावरील संबंधित मूल्य हे मध्यकाचे मूल्य असते.

उदाहरण ७

व्यक्तींची संख्या आणि त्यांचे संबंधित उत्पन्न ($\mathrm{Rs}$ मध्ये) यांचे वारंवारता वितरण खाली दिले आहे. मध्यक उत्पन्न काढा.

$\begin{array}{lllll}\text { Income (in Rs): } & 10 & 20 & 30 & 40\end{array}$

व्यक्तींची संख्या: $\quad 2 \quad 4 \quad 4 \quad 10 \quad 4$

मध्यक उत्पन्न काढण्यासाठी, तुम्ही खालीलप्रमाणे वारंवारता वितरण तयार करू शकता