1. പരിചയം

മുമ്പത്തെ അദ്ധ്യായത്തിൽ, ഡാറ്റയുടെ പട്ടികാത്മകവും ഗ്രാഫിക് പ്രാതിനിധ്യവും നിങ്ങൾ വായിച്ചു. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, ഡാറ്റയെ സംക്ഷിപ്തമായി വിശദീകരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യാപരമായ രീതിയായ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവുകൾ നിങ്ങൾ പഠിക്കും. ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ ഒരു വലിയ ഡാറ്റ സെറ്റ് സംഗ്രഹിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു ക്ലാസിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾ ഒരു പരീക്ഷയിൽ നേടിയ ശരാശരി മാർക്കുകൾ, ഒരു പ്രദേശത്തെ ശരാശരി മഴ, ഒരു ഫാക്ടറിയിലെ ശരാശരി ഉത്പാദനം, ഒരു പ്രദേശത്ത് താമസിക്കുന്ന അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഫാമിൽ ജോലി ചെയ്യുന്ന വ്യക്തികളുടെ ശരാശരി വരുമാനം മുതലായവ.

ബൈജു ഒരു കർഷകനാണ്. അദ്ദേഹം ബിഹാറിലെ ബുക്സർ ജില്ലയിലെ ബാലാപൂർ എന്ന ഗ്രാമത്തിൽ തന്റെ നിലത്ത് ധാന്യങ്ങൾ വളർത്തുന്നു. ഗ്രാമത്തിൽ 50 ചെറുകർഷകരുണ്ട്. ബൈജുവിന് 1 ഏക്കർ നിലമുണ്ട്. ബാലാപൂരിലെ ചെറുകർഷകരുടെ സാമ്പത്തിക അവസ്ഥ അറിയാൻ നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. ബാലാപൂർ ഗ്രാമത്തിലെ ബൈജുവിന്റെ സാമ്പത്തിക അവസ്ഥ മറ്റുള്ളവരുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഇതിനായി, ബാലാപൂരിലെ മറ്റ് കർഷകരുടെ ഭൂവുടമസ്ഥതയുടെ വലുപ്പവുമായി താരതമ്യം ചെയ്ത് അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഭൂവുടമസ്ഥതയുടെ വലുപ്പം നിങ്ങൾ വിലയിരുത്തേണ്ടിവരും. ബൈജു ഉടമയായ ഭൂമി ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ ഏതിൽ പെടുന്നുവെന്ന് നോക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിച്ചേക്കാം -

1. സാധാരണ അർത്ഥത്തിൽ ശരാശരിയിൽ കൂടുതൽ (അങ്കഗണിത മാധ്യം കാണുക)
2. പകുതി കർഷകർ ഉടമയായ ഭൂമിയുടെ വലുപ്പത്തേക്കാൾ കൂടുതൽ (മധ്യമം കാണുക)
3. മിക്ക കർഷകരും ഉടമയായ ഭൂമിയുടെ വലുപ്പത്തേക്കാൾ കൂടുതൽ (ബഹുലകം കാണുക)

ബൈജുവിന്റെ ആപേക്ഷിക സാമ്പത്തിക അവസ്ഥ വിലയിരുത്തുന്നതിന്, ബാലാപൂരിലെ കർഷകരുടെ ഭൂവുടമസ്ഥതയുടെ മുഴുവൻ ഡാറ്റ സെറ്റും നിങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കേണ്ടതുണ്ട്. കേന്ദ്രീയ പ്രവണത ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും, ഇത് ഡാറ്റയെ ഒരൊറ്റ മൂല്യത്തിൽ സംഗ്രഹിക്കുന്നു, അതായത് ഈ ഒറ്റ മൂല്യം മുഴുവൻ ഡാറ്റയെയും പ്രതിനിധീകരിക്കും. കേന്ദ്രീയ പ്രവണത അളക്കുന്നത് ഡാറ്റയെ ഒരു സാധാരണ അല്ലെങ്കിൽ പ്രതിനിധി മൂല്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ സംഗ്രഹിക്കുന്ന ഒരു മാർഗമാണ്.

കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അല്ലെങ്കിൽ “ശരാശരി"യുടെ നിരവധി സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് അളവുകളുണ്ട്. ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന മൂന്ന് ശരാശരികൾ ഇവയാണ്:

• അങ്കഗണിത മാധ്യം
• മധ്യമം
• ബഹുലകം

ജ്യാമിതീയ മാധ്യവും ഹാര്മോണിക് മാധ്യവും ഉള്ളതുപോലെ രണ്ട് തരം ശരാശരികൾ കൂടിയുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കണം, അവ ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ അനുയോജ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഇപ്പോഴത്തെ ചർച മുകളിൽ പറഞ്ഞ മൂന്ന് തരം ശരാശരികളിൽ മാത്രമായി പരിമിതപ്പെടുത്തും.

2. അങ്കഗണിത മാധ്യം

ആറ് കുടുംബങ്ങളുടെ പ്രതിമാസ വരുമാനം (രൂപയിൽ) ഇങ്ങനെയാണെന്ന് കരുതുക: 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630.

വരുമാനങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് കുടുംബങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ് ശരാശരി കുടുംബ വരുമാനം ലഭിക്കുന്നത്.

$=\frac{1600+1500+1400+1525+1625+1630}{6}$

= Rs 1,547

ഇതിനർത്ഥം ശരാശരിയായി, ഒരു കുടുംബത്തിന് 1,547 രൂപ സമ്പാദിക്കാനാണ് കഴിയുന്നത്.

അങ്കഗണിത മാധ്യം ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവാണ്. എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ് ഇത് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്, സാധാരണയായി ഇത് $\overline{\mathrm{X}}$ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പൊതുവേ, $\mathrm{N}$ നിരീക്ഷണങ്ങൾ $X_1,X_2,X_3$, …, $X_N$ ആണെങ്കിൽ, അങ്കഗണിത മാധ്യം നൽകുന്നത്

$$ \bar{X}=\frac{X _{1}+X _{2}+X _{3}+\ldots+X _{N}}{N} $$

വലതുവശത്തെ ഭാഗം $\frac{\sum _{i=1}^{N} \mathrm{X} _{i}}{\mathrm{~N}}$ എന്ന് എഴുതാം. ഇവിടെ, $\mathrm{i}$ ഒരു സൂചികയാണ്, അത് തുടർച്ചയായ മൂല്യങ്ങൾ 1,2 , $3, \ldots \mathrm{N}$ എടുക്കുന്നു.

സൗകര്യാർത്ഥം, ഇത് i സൂചിക ഇല്ലാതെ ലളിതമായ രൂപത്തിൽ എഴുതും. അങ്ങനെ $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}$, ഇവിടെ, $\Sigma \mathrm{X}=$ എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക, $\mathrm{N}=$ ആകെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം.

അങ്കഗണിത മാധ്യം എങ്ങനെ കണക്കാക്കുന്നു

അങ്കഗണിത മാധ്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ രണ്ട് വിശാലമായ വിഭാഗങ്ങളിൽ പഠിക്കാം:

1. അസംഘടിത ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യം.
2. സംഘടിത ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യം.

അസംഘടിത ഡാറ്റയുടെ ശ്രേണിക്കുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യം

നേരിട്ടുള്ള രീതി

നേരിട്ടുള്ള രീതി വഴിയുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യം ഒരു ശ്രേണിയിലെ എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയെ ആകെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ്.

ഉദാഹരണം 1

ഒരു സാമ്പത്തികശാസ്ത്ര പരീക്ഷയിൽ ഒരു ക്ലാസിലെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ മാർക്ക് കാണിക്കുന്ന ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് അങ്കഗണിത മാധ്യം കണക്കാക്കുക: $40,50,55$, $78,58$.

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma \mathrm{X}}{\mathrm{N}} \ & =\frac{40+50+55+78+58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

സാമ്പത്തികശാസ്ത്ര പരീക്ഷയിൽ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ശരാശരി മാർക്ക് 56.2 ആണ്.

അനുമാനിച്ച മാധ്യ രീതി

ഡാറ്റയിലെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുതലാണെങ്കിലോ / അല്ലെങ്കിൽ സംഖ്യകൾ വലുതാണെങ്കിൽ, നേരിട്ടുള്ള രീതി വഴി അങ്കഗണിത മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. അനുമാനിച്ച മാധ്യ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ എളുപ്പമാക്കാം.

വലിയ എണ്ണം നിരീക്ഷണങ്ങളും വലിയ സംഖ്യാപരമായ സംഖ്യകളും അടങ്ങിയ ഒരു ഡാറ്റ സെറ്റിൽ നിന്ന് മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നതിൽ സമയം ലാഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് അനുമാനിച്ച മാധ്യ രീതി ഉപയോഗിക്കാം. ഇവിടെ ലോജിക് / അനുഭവത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഡാറ്റയിലെ ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യയെ അങ്കഗണിത മാധ്യമായി നിങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു. തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഓരോ നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്നും പറഞ്ഞ അനുമാനിച്ച മാധ്യത്തിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനങ്ങൾ എടുക്കാം. തുടർന്ന്, നിങ്ങൾക്ക് ഈ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എടുത്ത് ഡാറ്റയിലെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. യഥാർത്ഥ അങ്കഗണിത മാധ്യം അനുമാനിച്ച മാധ്യത്തിന്റെയും വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെയും നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിലുള്ള അനുപാതത്തിന്റെയും ആകെത്തുക എടുക്കുന്നതിലൂടെയാണ് കണക്കാക്കുന്നത്. പ്രതീകാത്മകമായി,

അനുവദിക്കുക, $\mathrm{A}=$ അനുമാനിച്ച മാധ്യം

$\mathrm{X}=$ വ്യക്തിഗത നിരീക്ഷണങ്ങൾ

$\mathrm{N}=$ ആകെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം

$d=$ വ്യക്തിഗത നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്നുള്ള അനുമാനിച്ച മാധ്യത്തിന്റെ വ്യതിയാനം, അതായത് $d=X-A$

എല്ലാ വ്യതിയാനങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക $\Sigma \mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$ ആയി എടുക്കുന്നു

തുടർന്ന് $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ കണ്ടെത്തുക

തുടർന്ന് $\mathrm{A}$, $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ എന്നിവ ചേർത്ത് $\overline{\mathrm{X}}$ നേടുക

അതിനാൽ, $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

ഡാറ്റയിലുള്ളതോ ഇല്ലാത്തതോ ആയ ഏത് മൂല്യവും അനുമാനിച്ച മാധ്യമായി എടുക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കണം. എന്നിരുന്നാലും, കണക്കുകൂട്ടൽ ലളിതമാക്കുന്നതിന്, ഡാറ്റയിലെ കേന്ദ്രീയമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന മൂല്യം അനുമാനിച്ച മാധ്യമായി തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

ഉദാഹരണം 2

10 കുടുംബങ്ങളുടെ ആഴ്ചവരെ വരുമാനം ഇനിപ്പറയുന്ന ഡാറ്റ കാണിക്കുന്നു.

കുടുംബം

$\text { A } \text { B } \text { C } \text { D } \text { E } \text { F } \text { G } \text { H }$

$\text { I } \text{ J }$

ആഴ്ചവരെ വരുമാനം (രൂപയിൽ)

850 700 100 750 5000 80 420 2500

400 360

ശരാശരി കുടുംബ വരുമാനം കണക്കാക്കുക.

പട്ടിക 5.1 അനുമാനിച്ച മാധ്യ രീതി വഴി അങ്കഗണിത മാധ്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ

അനുമാനിച്ച മാധ്യ രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യം

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850+(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

അങ്ങനെ, രണ്ട് രീതികളിലും ഒരു കുടുംബത്തിന്റെ ശരാശരി ആഴ്ചവരെ വരുമാനം 1,116 രൂപയാണ്. നേരിട്ടുള്ള രീതി ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് പരിശോധിക്കാം.

സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ രീതി

അനുമാനിച്ച മാധ്യത്തിൽ നിന്ന് എടുത്ത എല്ലാ വ്യതിയാനങ്ങളെയും പൊതുഘടകം ‘c’ കൊണ്ട് ഹരിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കൂടുതൽ ലളിതമാക്കാം. വലിയ സംഖ്യാപരമായ സംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുക എന്നതാണ് ലക്ഷ്യം, അതായത് $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ വളരെ വലുതാണെങ്കിൽ, $\mathrm{d}^{\prime}$ കണ്ടെത്തുക. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചെയ്യാം:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

ഫോർമുല ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{c} $$

ഇവിടെ $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) / \mathrm{c}, \quad \mathrm{c}=$ പൊതുഘടകം, $\mathrm{N}=$ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം, $\mathrm{A}=$ അനുമാനിച്ച മാധ്യം.

അങ്ങനെ, ഉദാഹരണം 2 ൽ, സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ രീതി വഴി, നിങ്ങൾക്ക് അങ്കഗണിത മാധ്യം കണക്കാക്കാം,

$X=850+(266 / 10) \times 10=R s 1,116$.

സംഘടിത ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ

വിവിക്ത ശ്രേണി

നേരിട്ടുള്ള രീതി

വിവിക്ത ശ്രേണിയുടെ കാര്യത്തിൽ, ഓരോ നിരീക്ഷണത്തിനും എതിരായ ആവൃത്തി നിരീക്ഷണത്തിന്റെ മൂല്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. അങ്ങനെ ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ സംഗ്രഹിച്ച് ആകെ ആവൃത്തികളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. പ്രതീകാത്മകമായി,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fX}}{\Sigma \mathrm{f}} $$

ഇവിടെ, $\Sigma \mathrm{fX}=$ ചരങ്ങളുടെയും ആവൃത്തികളുടെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ ആകെത്തുക.

$\Sigma f=$ ആവൃത്തികളുടെ ആകെത്തുക.

ഉദാഹരണം 3

ഒരു ഹൗസിംഗ് കോളനിയിലെ പ്ലോട്ടുകൾ മൂന്ന് വലുപ്പങ്ങളിൽ മാത്രമേ വരുന്നുള്ളൂ: 100 ചതുരശ്ര മീറ്റർ, 200 ചതുരശ്ര മീറ്റർ, 300 ചതുരശ്ര മീറ്റർ, പ്ലോട്ടുകളുടെ എണ്ണം യഥാക്രമം 200 50 10 എന്നിവയാണ്.

പട്ടിക 5.2 നേരിട്ടുള്ള രീതി വഴി അങ്കഗണിത മാധ്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ

നേരിട്ടുള്ള രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യം,

$\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}=\frac{33000}{260}=126.92$ ചതുരശ്ര മീറ്റർ

അതിനാൽ, ഹൗസിംഗ് കോളനിയിലെ ശരാശരി പ്ലോട്ട് വലുപ്പം 126.92 ചതുരശ്ര മീറ്ററാണ്.

അനുമാനിച്ച മാധ്യ രീതി

വ്യക്തിഗത ശ്രേണിയുടെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, ഓരോ ഇനത്തിന്റെയും ആവൃത്തി (f) ഇവിടെ നൽകിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഓരോ വ്യതിയാനവും (d) ആവൃത്തി കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് fd ലഭിക്കുന്നു. തുടർന്ന് നമുക്ക് $\Sigma \mathrm{fd}$ ലഭിക്കും. അടുത്ത ഘട്ടം എല്ലാ ആവൃത്തികളുടെയും ആകെത്തുക ലഭിക്കുക എന്നതാണ്, അതായത് $\Sigma \mathrm{f}$. തുടർന്ന് $\Sigma \mathrm{fd} / \Sigma \mathrm{f}$ കണ്ടെത്തുക. അവസാനമായി, അനുമാനിച്ച മാധ്യ രീതി ഉപയോഗിച്ച് $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}}$ വഴി അങ്കഗണിത മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നു.

സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ രീതി

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കണക്കുകൂട്ടൽ ലളിതമാക്കുന്നതിന് വ്യതിയാനങ്ങളെ പൊതുഘടകം ‘c’ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. ഇവിടെ നമ്മൾ $d^{\prime}=\frac{d}{c}=\frac{X-A}{c}$ കണക്കാക്കുന്നു, കണക്കുകൂട്ടൽ എളുപ്പമാക്കുന്നതിന് സംഖ്യാപരമായ സംഖ്യകളുടെ വലുപ്പം കുറയ്ക്കുന്നതിന്. തുടർന്ന് $\mathrm{fd}^{\prime}$, $\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}$ എന്നിവ ലഭിക്കും. സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യത്തിനുള്ള ഫോർമുല ഇങ്ങനെയാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c} $$

പ്രവർത്തനം

• ഉദാഹരണം 3 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡാറ്റയ്ക്ക്, സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ, അനുമാനിച്ച മാധ്യ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ശരാശരി പ്ലോട്ട് വലുപ്പം കണ്ടെത്തുക.

തുടർച്ചയായ ശ്രേണി

ഇവിടെ, ക്ലാസ് ഇടവേളകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. തുടർച്ചയായ ശ്രേണിയുടെ കാര്യത്തിൽ അങ്കഗണിത മാധ്യം കണക്കാക്കുന്ന പ്രക്രിയ വിവിക്ത ശ്രേണിയുടേതിന് സമാനമാണ്. വിവിധ ക്ലാസ് ഇടവേളകളുടെ മധ്യ ബിന്ദുക്കൾ എടുക്കുന്നു എന്നതാണ് ഒരേയൊരു വ്യത്യാസം. ക്ലാസ് ഇടവേളകൾ എക്സ്ക്ലൂസീവ് അല്ലെങ്കിൽ ഇൻക്ലൂസീവ് അല്ലെങ്കിൽ അസമ വലുപ്പമുള്ളതാകാമെന്ന് നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാം. എക്സ്ക്ലൂസീവ് ക്ലാസ് ഇടവേളയുടെ ഉദാഹരണം, 0-10, 10-20 തുടങ്ങിയവയാണ്. ഇൻക്ലൂസീവ് ക്ലാസ് ഇടവേളയുടെ ഉദാഹരണം, 0-9, 10-19 തുടങ്ങിയവയാണ്. അസമ ക്ലാസ് ഇടവേളയുടെ ഉദാഹരണം, 0-20, 20-50 തുടങ്ങിയവയാണ്. ഈ എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും, അങ്കഗണിത മാധ്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ സമാനമായ രീതിയിലാണ് ചെയ്യുന്നത്.

ഉദാഹരണം 4

ഇനിപ്പറയുന്ന വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ശരാശരി മാർക്ക് (a) നേരിട്ടുള്ള രീതി (b) സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുക.

നേരിട്ടുള്ള രീതി

മാർക്ക്

0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50

50-60 $\quad$ 60-70

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം

5 $\quad$ 12 $\quad$ 15 $\quad$ 25 $\quad$ 8

3 $\quad$ 2

പട്ടിക 5.3 എക്സ്ക്ലൂസീവ് ക്ലാസ് ഇടവേളയ്ക്കുള്ള ശരാശരി മാർക്കിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ - നേരിട്ടുള്ള രീതി

ഘട്ടങ്ങൾ:

1. ഓരോ ക്ലാസിനും മധ്യ മൂല്യങ്ങൾ നേടുക, അത് $\mathrm{m}$ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
2. $\Sigma \mathrm{fm}$ നേടുക, നേരിട്ടുള്ള രീതി ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക:

$$ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{fm}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{2110}{70}=30.14 \mathrm{marks} $$

സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ രീതി

1. $\mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}}$ നേടുക
2. $\mathrm{A}=35$ എടുക്കുക, (ഏതെങ്കിലും ഏകപക്ഷീയമായ സംഖ്യ), $\mathrm{c}=$ പൊതുഘടകം.

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c}=35+\frac{(-34)}{70} \times 10 \\ & =30.14 \text { marks } \end{aligned} $$

A.M. ന്റെ രണ്ട് രസകരമായ ഗുണങ്ങൾ

(i) ഇനങ്ങളുടെ അങ്കഗ