1. ಪರಿಚಯ

ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ, ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸಾರಾಂಶ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ರಚಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಧ್ಯಯನಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನೀವು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ. ಈಗ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನೀವು ಕಲಿಯುವಿರಿ. ಬೇಸಿಗೆಯ ಉಷ್ಣತೆ ಏರಿದಂತೆ, ಪರ್ವತಾವಳಿ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರವಾಸಿಗಳಿಂದ ತುಂಬುತ್ತವೆ. ಐಸ್ ಕ್ರೀಮ್ ಮಾರಾಟವು ಹೆಚ್ಚು ಚುರುಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಉಷ್ಣತೆಯು ಪ್ರವಾಸಿಗರ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಐಸ್ ಕ್ರೀಮ್ ಮಾರಾಟಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನಿಮ್ಮ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಂಡಿಯಲ್ಲಿ ಟೊಮೇಟೊಗಳ ಪೂರೈಕೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಅದರ ಬೆಲೆ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಬೆಳೆಯು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ತಲುಪಲು ಆರಂಭಿಸಿದಾಗ, ಟೊಮೇಟೊಗಳ ಬೆಲೆ ಪ್ರತಿ $\mathrm{kg}$ ರೂ. 40 ರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಕೆಜಿಗೆ ರೂ. 4 ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಪೂರೈಕೆಯು ಬೆಲೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಹಸಂಬಂಧ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಅಂತಹ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಒಂದು ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ:

• ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧ ಇದೆಯೇ?

• ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರದ ಮೌಲ್ಯ ಬದಲಾದರೆ, ಇನ್ನೊಂದರ ಮೌಲ್ಯವೂ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆಯೇ?

• ಎರಡೂ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆಯೇ?

• ಸಂಬಂಧವು ಎಷ್ಟು ಬಲವಾಗಿದೆ?

2. ಸಂಬಂಧದ ವಿಧಗಳು

ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಬೇಡಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣದ ಚಲನೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಬೆಲೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಬೇಡಿಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನೀವು XII ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಿರಿ. ಕಡಿಮೆ ಕೃಷಿ ಉತ್ಪಾದಕತೆಯು ಕಡಿಮೆ ಮಳೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಂಬಂಧದ ಇಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ನೀಡಬಹುದು. ಇತರವು ಕೇವಲ ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಒಂದು ಅಭಯಾರಣ್ಯಕ್ಕೆ ವಲಸೆ ಹಕ್ಕಿಗಳ ಆಗಮನ ಮತ್ತು ಆ ಪ್ರದೇಶದ ಜನನ ದರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರಣ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಬಂಧಗಳು ಸರಳ ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿವೆ. ಬೂಟುಗಳ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಪಾಕೆಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಹಣದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಇನ್ನೊಂದು ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ.

ಮತ್ತೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಮೂರನೇ ಅಸ್ಥಿರದ ಪ್ರಭಾವವು ಆ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು. ಐಸ್ ಕ್ರೀಮ್ನ ಚುರುಕಾದ ಮಾರಾಟವು ಮುಳುಗಡೆಯಿಂದ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾವುಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು. ಬಲಿಪಶುಗಳು ಐಸ್ ಕ್ರೀಮ್ ತಿನ್ನುವುದರಿಂದ ಮುಳುಗಿಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉಷ್ಣತೆ ಏರಿದಾಗ ಐಸ್ ಕ್ರೀಮ್ ಮಾರಾಟ ಚುರುಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಉಷ್ಣತೆಯನ್ನು ತಡೆಯಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜನರು ಈಜುಕೊಳಗಳಿಗೆ ಹೋಗಲು ಆರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಮುಳುಗಡೆಯಿಂದ ಸಾವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿರಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಉಷ್ಣತೆಯು ಐಸ್ ಕ್ರೀಮ್ ಮಾರಾಟ ಮತ್ತು ಮುಳುಗಡೆಯಿಂದ ಸಾವುಗಳ ನಡುವಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಹಸಂಬಂಧದ ಹಿಂದೆ ಇದೆ.

ಸಹಸಂಬಂಧವು ಏನನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ?

ಸಹಸಂಬಂಧವು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ದಿಕ್ಕು ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಸಹಸಂಬಂಧವು ಸಹಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು (covariation) ಅಳೆಯುತ್ತದೆ, ಕಾರಣತ್ವವನ್ನು (causation) ಅಲ್ಲ. ಸಹಸಂಬಂಧವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಕಾರಣ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಾರದು. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ $\mathrm{X}$ ಮತ್ತು Y ಗಳ ನಡುವೆ ಸಹಸಂಬಂಧದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಕೇವಲ ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರದ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದು ಕಂಡುಬಂದಾಗ, ಇನ್ನೊಂದು ಅಸ್ಥಿರದ ಮೌಲ್ಯವು ಕೂಡ ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಬದಲಾವಣೆ) ಅಥವಾ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಬದಲಾವಣೆ) ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಸಹಸಂಬಂಧವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಚಲನೆಯನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಸಹಸಂಬಂಧದ ವಿಧಗಳು

ಸಹಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಹಸಂಬಂಧವಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಚಲಿಸಿದಾಗ ಸಹಸಂಬಂಧವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಯ ಏರಿದಾಗ, ಬಳಕೆಯೂ ಏರುತ್ತದೆ. ಆದಾಯ ಕುಸಿದಾಗ, ಬಳಕೆಯೂ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ. ಐಸ್ ಕ್ರೀಮ್ ಮಾರಾಟ ಮತ್ತು ಉಷ್ಣತೆಯು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ. ಅವು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದಾಗ ಸಹಸಂಬಂಧವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೇಬಿನ ಬೆಲೆ ಕುಸಿದಾಗ ಅದರ ಬೇಡಿಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಬೆಲೆಗಳು ಏರಿದಾಗ ಅದರ ಬೇಡಿಕೆ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ. ನೀವು ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ಕಳೆದರೆ, ನಿಮ್ಮ ವಿಫಲತೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಗಂಟೆಗಳನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ಕಡಿಮೆ ಅಂಕಗಳು/ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಹಸಂಬಂಧದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ.

3. ಸಹಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ತಂತ್ರಗಳು

ಸಹಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಮೂರು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನಗಳೆಂದರೆ ಚದುರಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು (scatter diagrams), ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ನ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಸ್ಪಿಯರ್ಮನ್ನ ಶ್ರೇಣಿ ಸಹಸಂಬಂಧ (rank correlation). ಚದುರಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡದೆ ಸಂಬಂಧದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ನ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಿಯರ್ಮನ್ನ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಶ್ರೇಣಿಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದರೆ ಜನರ ಬುದ್ಧಿಶಕ್ತಿ, ದೈಹಿಕ ನೋಟ, ಪ್ರಾಮಾಣಿಕತೆ ಮುಂತಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾಗದ ಅಸ್ಥಿರಗಳು.

ಚದುರಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ (Scatter Diagram)

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದೆ, ಸಂಬಂಧದ ರೂಪವನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಚದುರಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಉಪಯುಕ್ತ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ತಂತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚದುರಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ, ಸಂಬಂಧದ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಒಳನೋಟ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಚದುರಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಚದುರಿದ ಬಿಂದುಗಳ ನಿಕಟತೆಯ ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಒಟ್ಟಾರೆ ದಿಕ್ಕು ನಮಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಸಹಸಂಬಂಧವು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತೆಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚದುರಿದ ಬಿಂದುಗಳು ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಚದರಿದರೆ, ಸಹಸಂಬಂಧವು ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಚದುರಿದ ಬಿಂದುಗಳು ರೇಖೆಯ ಬಳಿ ಅಥವಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ ಸಹಸಂಬಂಧವು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 6.1 ರಿಂದ ಚಿತ್ರ 6.5 ವರೆಗೆ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಚದುರಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಚಿತ್ರ 6.1 ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಏರುವ ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ಚದುರಿದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. $\mathrm{X}$ ಏರಿದಾಗ $\mathrm{Y}$ ಕೂಡ ಏರುವುದು. ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಹಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 6.2 ರಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಇಳಿಯುವ ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ಚದುರಿಹೋಗಿರುವುದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಬಾರಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ. $\mathrm{X}$ ಏರಿದಾಗ $\mathrm{Y}$ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಹಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 6.3 ರಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು ಚದುರಿಹೋಗಿರುವ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಏರುವ ಅಥವಾ ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಇಳಿಯುವ ರೇಖೆ ಇಲ್ಲ. ಇದು ಸಹಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 6.4 ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 6.5 ರಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುಗಳು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಏರುವ ಅಥವಾ ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಇಳಿಯುವ ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ಚದುರಿಹೋಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬಿಂದುಗಳು ತಮ್ಮಷ್ಟಕ್ಕೆ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇವೆ. ಇದನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಹಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಹಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಿಯಾಶೀಲತೆ

• ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಎತ್ತರ, ತೂಕ ಮತ್ತು ತರಗತಿ $X$ ರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಅಂಕಗಳ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ. ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಚದುರಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಎಳೆಯಿರಿ. ನೀವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಾಣುತ್ತೀರಿ?

ಚದುರಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ವೀಕ್ಷಣೆಯು ಸಂಬಂಧದ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ನ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ

ಇದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ ಕ್ಷಣ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಸರಳ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ $\mathrm{X}$ ಮತ್ತು $Y$ ಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧದ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ನ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧ ಇದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ. $\mathrm{X}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Y}$ ಗಳ ನಡುವೆ ಅರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧ ಇದ್ದಾಗ, ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ನ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತಪ್ಪು ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಜವಾದ ಸಂಬಂಧವು ಚಿತ್ರ 6.1, $6.2,6.4$ ಮತ್ತು 6.5 ರಲ್ಲಿನ ಚದುರಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ರೇಖೀಯ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ನ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದು ನಮಗೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ದಿಕ್ಕು ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಿಜವಾದ ಸಂಬಂಧವು ಚಿತ್ರ 6.6 ಅಥವಾ 6.7 ರಲ್ಲಿನ ಚದುರಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರರ್ಥ $\mathrm{X}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Y}$ ಗಳ ನಡುವೆ ಅರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ನ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಾರದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ನ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಚದುರಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮೊದಲು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$X _{1}, X _{2}, \ldots, X _{N}$ ಅನ್ನು $N$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $\mathrm{Y} _{1}, \mathrm{Y} _{2}, \ldots, \mathrm{Y} _{\mathrm{N}}$ ಅನ್ನು Y ಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಳತೆಗಾಗಿ ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ. $\mathrm{X}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Y}$ ಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}} ; \quad \overline{\mathrm{Y}}=\frac{\sum \mathrm{Y}}{\mathrm{N}} $$

ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಚಲನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ

$$ \sigma^{2} x=\frac{\sum(X-\bar{X})^{2}}{N}=\frac{\sum X^{2}}{N}-\bar{X}^{2} $$

ಮತ್ತು $$\quad \sigma^{2} \mathrm{y}=\frac{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}{\mathrm{~N}}=\frac{\sum \mathrm{Y}^{2}}{\mathrm{~N}}-\overline{\mathrm{Y}}^{2}$$

$\mathrm{X}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Y}$ ಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳು, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಅವುಗಳ ವಿಚಲನಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ವರ್ಗಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ. $\mathrm{X}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Y}$ ಗಳ ಸಹವಿಚಲನ (covariance) ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

$\operatorname{Cov}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\mathrm{N}}=\frac{\sum \mathrm{xy}}{\mathrm{N}}$

ಇಲ್ಲಿ $\mathrm{x}=\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}}$ ಮತ್ತು $\mathrm{y}=\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}}$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $i^{\text {th }}$ ನ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ $\mathrm{X}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Y}$ ಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಚಲನಗಳಾಗಿವೆ.

$\mathrm{X}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Y}$ ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಹವಿಚಲನದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಹವಿಚಲನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನ ಕ್ಷಣ ಸಹಸಂಬಂಧ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ನ ಸಹಸಂಬಂಧ ಅಳತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}={ }^{\Sigma \mathrm{xy}} / N \sigma _{\mathrm{x}} \sigma _{\mathrm{y}} \tag{1} \end{equation*} $$

ಅಥವಾ

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\sqrt{\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}} \sqrt{\Sigma(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}} \tag{2} \end{equation*} $$

ಅಥವಾ

$$ \begin{equation*} r=\frac{\frac{\sum X Y-\left(\sum X\right)\left(\sum Y\right)}{N}}{\sqrt{\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}} \sqrt{\sum Y^{2}-\frac{\left(\sum Y\right)^{2}}{N}}}\tag{3} \end{equation*} $$

ಅಥವಾ

$$ \begin{equation*} r=\frac{N \sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{N \sum X^2-(\sum X)^2} \cdot \sqrt{N \sum Y^2-(\sum Y)^2}}\tag{4} \end{equation*} $$

ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಈಗ ಚರ್ಚಿಸೋಣ

• $r$ ಗೆ ಯಾವುದೇ ಏಕಮಾನವಿಲ್ಲ. ಇದು ಶುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಅಳತೆಯ ಏಕಮಾನಗಳು $r$ ನ ಭಾಗವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಕಿಲೋಗ್ರಾಂಗಳಲ್ಲಿ ತೂಕದ ನಡುವಿನ $r$ 0.7 ಆಗಿರಬಹುದು.
• $r$ ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ವಿಲೋಮ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಇನ್ನೊಂದು ಅಸ್ಥಿರದ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಬೆಲೆ ಏರಿದಾಗ, ಅದರ ಬೇಡಿಕೆ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ. ಬಡ್ಡಿದರ ಏರಿದಾಗ, ನಿಧಿಗಳ ಬೇಡಿಕೆಯೂ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಈಗ ನಿಧಿಗಳು ದುಬಾರಿಯಾಗಿವೆ.
• $r$ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ. ಚಹಾದ ಬದಲಿಯಾದ ಕಾಫಿಯ ಬೆಲೆ ಏರಿದಾಗ, ಚಹಾದ ಬೇಡಿಕೆಯೂ ಏರುತ್ತದೆ. ನೀರಾವರಿ ಸೌಲಭ್ಯಗಳ ಸುಧಾರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಇಳುವರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಉಷ್ಣತೆ ಏರಿದಾಗ ಐಸ್ ಕ್ರೀಮ್ ಮಾರಾಟ ಚುರುಕಾಗುತ್ತದೆ.

• ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವು ಮೈನಸ್ ಒಂದು ಮತ್ತು ಪ್ಲಸ್ ಒಂದರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ, $-1 \leq r \leq 1$. ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಯಾಮದಲ್ಲಿ, $r$ ನ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಹೊರಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
• $r$ ನ ಪ್ರಮಾಣವು ಮೂಲದ ಬದಲಾವಣೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣದ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ $\mathrm{X}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Y}$ ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು ಎರಡು ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ.

$\mathrm{U}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{B}} ; \mathrm{V}=\frac{\mathrm{Y}-\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$

ಇಲ್ಲಿ $A$ ಮತ್ತು $C$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\mathrm{X}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Y}$ ಗಳ ಊಹಿತ ಸರಾಸರಿಗಳಾಗಿವೆ. $\mathrm{B}$ ಮತ್ತು $\mathrm{D}$ ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನಂತರ

$r _{x y}=r _{u v}$

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹಂತ ವಿಚಲನ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ (step deviation method) ಮಾಡಿದಂತೆ, ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬಹಳ ಸರಳೀಕೃತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

• $r=0$ ಆದರೆ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಹಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದವು. ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಇರಬಹುದು.
• $r=1$ ಅಥವಾ $r=-1$ ಆದರೆ ಸಹಸಂಬಂಧವು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವಿರುತ್ತದೆ.
• $r$ ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವು ಬಲವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು +1 ಅಥವಾ -1 ಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವಾಗ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
• $r$ ನ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವು (ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರ) ದುರ್ಬಲ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧ ಇರಬಹುದು.

ನೀವು ಅಧ್ಯಾಯ 1 ರಲ್ಲಿ ಓದಿದಂತೆ, ಸಾಂಖ್ಯಿಕ ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬುದ್ಧಿಯ ಬದಲಿಯಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ, ಸಹಸಂಬಂಧವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೊದಲು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸುವ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಿದೆ. ಒಂದು ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ರೋಗವು ಕೆಲವು ಗ್ರಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಹರಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರ್ಕಾರವು ಬಾಧಿತ ಗ್ರಾಮಗಳಿಗೆ ವೈದ್ಯರ ತಂಡವನ್ನು ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಮಗಳಿಗೆ ಕಳುಹಿಸಲಾದ ವೈದ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಡುವಿನ ಸಹಸಂಬಂಧವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವೈದ್ಯರು ಒದಗಿಸುವ ಆರೋಗ್ಯ ಸೇವಾ ಸೌಲಭ್ಯಗಳು ಸಾವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಹಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸಬೇಕು. ಇದು ಇತರ ಕಾರಣಗಳಿಂದಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಿದೆ. ದತ್ತಾಂಶವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದ ಅವಧಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ವರದಿಯಾದ ಸಾವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಅಂತಿಮ ಹಂತದ ರೋಗಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ವೈದ್ಯರು ಏನೂ ಮಾಡಲಾಗದಿದ್ದರು. ಇದಲ್ಲದೆ, ವೈದ್ಯರ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಯೋಜನವು ಕೆಲವು ಸಮಯದ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಗೋಚರವಾಗುತ್ತದ