১. ভূমিকা

পূৰ্বৰ অধ্যায়সমূহত আপুনি ডাটাৰ এটা ডম্বৰৰ পৰা চমু সাৰাংশৰ ব্যৱস্থা আৰু একে ধৰণৰ চলকসমূহৰ মাজৰ পৰিৱৰ্তন কেনেকৈ নিৰ্মাণ কৰিব লাগে শিকিছে। এতিয়া আপুনি দুটা চলকৰ মাজৰ সম্পৰ্ক কেনেকৈ পৰীক্ষা কৰিব লাগে শিকিব। গ্ৰীষ্মৰ উষ্ণতা বাঢ়ি যোৱাৰ লগে লগে, পাহাৰীয়া ঠাইসমূহ, অধিক সংখ্যক ভ্ৰমণকাৰীৰে ভৰি পৰে। আইচক্ৰীমৰ বিক্ৰী অধিক বেছি হয়। গতিকে, উষ্ণতা ভ্ৰমণকাৰীৰ সংখ্যা আৰু আইচক্ৰীমৰ বিক্ৰীৰ সৈতে সম্পৰ্কিত। একেদৰে, আপোনাৰ স্থানীয় মণ্ডীত টমেটোৰ যোগান বাঢ়িলে, ইয়াৰ দাম কমে। যেতিয়া স্থানীয় শস্য বজাৰলৈ আহিবলৈ আৰম্ভ কৰে, টমেটোৰ দাম প্ৰতি $\mathrm{kg}$ ৪০ টকাৰ পৰা প্ৰতি কিলোগ্ৰাম ৪ টকালৈ বা তাতোকৈও কম হয়। গতিকে যোগান দামৰ সৈতে সম্পৰ্কিত। সহসম্বন্ধ বিশ্লেষণ এনে সম্পৰ্কসমূহ পদ্ধতিগতভাৱে পৰীক্ষা কৰাৰ এক উপায়। ই এনে প্ৰশ্নসমূহৰ সৈতে ব্যৱহাৰ কৰে:

• দুটা চলকৰ মাজত কোনো সম্পৰ্ক আছে নেকি?

• এটা চলকৰ মান সলনি হ’লে, আনটোৰ মানও সলনি হয় নেকি?

• দুয়োটা চলকে একে দিশত গতি কৰে নেকি?

• সম্পৰ্কটো কিমান শক্তিশালী?

২. সম্পৰ্কৰ প্ৰকাৰ

আকৌ বিভিন্ন ধৰণৰ সম্পৰ্কলৈ চাওঁ আহক। এটা বস্তুৰ চাহিদা কৰা পৰিমাণৰ গতি আৰু দামৰ মাজৰ সম্পৰ্ক চাহিদাৰ তত্ত্বৰ এটা অংগ, যিটো আপুনি দ্বাদশ শ্ৰেণীত অধ্যয়ন কৰিব। কৃষি উৎপাদনশীলতা কম হোৱা কম বৰষুণৰ সৈতে সম্পৰ্কিত। সম্পৰ্কৰ এনে উদাহৰণসমূহক কাৰণ আৰু প্ৰভাৱৰ ব্যাখ্যা দিব পাৰি। আন কিছুমান কেৱল কাকতালীয় হ’ব পাৰে। এখন অভয়াৰণ্যত পৰিভ্ৰমী চৰাইৰ আহমন আৰু স্থানীয়তাৰ জন্মৰ হাৰৰ মাজৰ সম্পৰ্কক কোনো কাৰণ আৰু প্ৰভাৱৰ ব্যাখ্যা দিব নোৱাৰি। সম্পৰ্কসমূহ কেৱল কাকতালীয়। জোতাৰ আকাৰ আৰু আপোনাৰ জেপত থকা টকাৰ মাজৰ সম্পৰ্ক আন এনে উদাহৰণ। সম্পৰ্ক থাকিলেও, ইয়াক ব্যাখ্যা কৰাটো কঠিন।

আন এটা উদাহৰণত দুটা চলকৰ ওপৰত তৃতীয় এটা চলকৰ প্ৰভাৱে দুটা চলকৰ মাজত এটা সম্পৰ্কৰ সৃষ্টি কৰিব পাৰে। আইচক্ৰীমৰ দ্ৰুত বিক্ৰী ডুব যোৱাৰ ফলত হোৱা মৃত্যুৰ সংখ্যা অধিক হোৱাৰ সৈতে সম্পৰ্কিত হ’ব পাৰে। দুৰ্ঘটনাগ্ৰস্তসকল আইচক্ৰীম খোৱাৰ বাবে ডুব যোৱা নহয়। উষ্ণতা বৃদ্ধিয়ে আইচক্ৰীমৰ দ্ৰুত বিক্ৰী ঘটায়। ইয়াৰ উপৰি, বহুতো মানুহে গৰম কমাবলৈ পোহৰীয়া পুখুৰীলৈ যাবলৈ আৰম্ভ কৰে। ইয়ে ডুব যোৱাৰ ফলত হোৱা মৃত্যুৰ সংখ্যা বঢ়াইছিল। গতিকে, উষ্ণতাই আইচক্ৰীমৰ বিক্ৰী আৰু ডুব যোৱাৰ ফলত হোৱা মৃত্যুৰ মাজৰ উচ্চ সহসম্বন্ধৰ পিছফালে আছে।

সহসম্বন্ধে কি জুখে?

সহসম্বন্ধে চলকসমূহৰ মাজৰ সম্পৰ্কৰ দিশ আৰু তীব্ৰতা অধ্যয়ন আৰু জুখে। সহসম্বন্ধে সহ-পৰিৱৰ্তন জুখে, কাৰকতা নহয়। সহসম্বন্ধক কেতিয়াও কাৰণ আৰু প্ৰভাৱ সম্পৰ্ক বুজাবলৈ ব্যাখ্যা কৰা উচিত নহয়। দুটা চলক $\mathrm{X}$ আৰু Y ৰ মাজত সহসম্বন্ধৰ উপস্থিতিয়ে কেৱল এইটো বুজায় যে যেতিয়া এটা চলকৰ মান এটা দিশত সলনি হোৱা পোৱা যায়, আনটো চলকৰ মান একে দিশত (অৰ্থাৎ ধনাত্মক পৰিৱৰ্তন) বা বিপৰীত দিশত (অৰ্থাৎ ঋণাত্মক পৰিৱৰ্তন) সলনি হোৱা পোৱা যায়, কিন্তু এটা নিৰ্দিষ্ট ধৰণে। সৰলতাৰ বাবে আমি ইয়াত ধৰি লওঁ যে সহসম্বন্ধ, যদি ই থাকে, ৰৈখিক, অৰ্থাৎ দুটা চলকৰ আপেক্ষিক গতি গ্ৰাফ কাগজ এখনত এডাল সৰল ৰেখা আঁকি প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি।

সহসম্বন্ধৰ প্ৰকাৰ

সহসম্বন্ধ সাধাৰণতে ঋণাত্মক আৰু ধনাত্মক সহসম্বন্ধত শ্ৰেণীবদ্ধ কৰা হয়। যেতিয়া চলকসমূহ একে দিশত একেলগে গতি কৰে, তেতিয়া সহসম্বন্ধক ধনাত্মক বুলি কোৱা হয়। যেতিয়া আয় বাঢ়ে, ভোগও বাঢ়ে। যেতিয়া আয় কমে, ভোগও কমে। আইচক্ৰীমৰ বিক্ৰী আৰু উষ্ণতা একে দিশত গতি কৰে। যেতিয়া সিহঁতে বিপৰীত দিশত গতি কৰে, তেতিয়া সহসম্বন্ধ ঋণাত্মক হয়। যেতিয়া আপেলৰ দাম কমে ইয়াৰ চাহিদা বাঢ়ে। যেতিয়া দাম বাঢ়ে ইয়াৰ চাহিদা কমে। যেতিয়া আপুনি অধ্যয়নত বেছি সময় ব্যয় কৰে, আপোনাৰ অনুত্তীৰ্ণ হোৱাৰ সম্ভাৱনা কমে। যেতিয়া আপুনি আপোনাৰ অধ্যয়নত কম সময় ব্যয় কৰে, কম নম্বৰ/শ্ৰেণী পোৱাৰ সম্ভাৱনা বাঢ়ে। এইবোৰ ঋণাত্মক সহসম্বন্ধৰ উদাহৰণ। চলকসমূহ বিপৰীত দিশত গতি কৰে।

৩. সহসম্বন্ধ জুখিবৰ কৌশল

সহসম্বন্ধ অধ্যয়ন কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা তিনিটা গুৰুত্বপূৰ্ণ সঁজুলি হৈছে বিক্ষেপ চিত্ৰ, কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক আৰু স্পিয়েৰমেনৰ শ্ৰেণী সহসম্বন্ধ। এটা বিক্ষেপ চিত্ৰয়ে কোনো নিৰ্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মান নিদিয়াকৈ সংলগ্নতাৰ প্ৰকৃতি দৃশ্যত প্ৰদৰ্শন কৰে। দুটা চলকৰ মাজৰ ৰৈখিক সম্পৰ্কৰ এটা সংখ্যাসূচক জোখ কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংকেৰে দিয়া হয়। এটা সম্পৰ্কক ৰৈখিক বুলি কোৱা হয় যদি ইয়াক এডাল সৰল ৰেখাৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি। স্পিয়েৰমেনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংকে ব্যক্তিগত বস্তুবোৰক তেওঁলোকৰ গুণ অনুসৰি দিয়া শ্ৰেণীসমূহৰ মাজৰ ৰৈখিক সংলগ্নতা জুখে। গুণসমূহ হৈছে সেইবোৰ চলক যিবোৰ সংখ্যাসূচকভাৱে জুখিব নোৱাৰি যেনে মানুহৰ বুদ্ধিমত্তা, শাৰীৰিক ৰূপ, সততা, ইত্যাদি।

বিক্ষেপ চিত্ৰ

বিক্ষেপ চিত্ৰ হৈছে দৃশ্যত সম্পৰ্কৰ ৰূপ পৰীক্ষা কৰাৰ এক উপযোগী কৌশল, কোনো সংখ্যাসূচক মান গণনা নকৰাকৈ। এই কৌশলত, দুটা চলকৰ মানবোৰ গ্ৰাফ কাগজ এখনত বিন্দু হিচাপে অংকন কৰা হয়। বিক্ষেপ চিত্ৰৰ পৰা, এজনে সম্পৰ্কৰ প্ৰকৃতিৰ বিষয়ে বেছ ভাল ধাৰণা পাব পাৰে। বিক্ষেপ চিত্ৰত বিক্ষেপ বিন্দুবোৰৰ নিকটতাৰ ডিগ্ৰী আৰু তেওঁলোকৰ সামগ্ৰিক দিশে আমাক সম্পৰ্ক পৰীক্ষা কৰিবলৈ সক্ষম কৰায়। যদি সকলো বিন্দু এডাল ৰেখাত থাকে, সহসম্বন্ধ সম্পূৰ্ণ আৰু একতাত বুলি কোৱা হয়। যদি বিক্ষেপ বিন্দুবোৰ ৰেখাটোৰ চাৰিওফালে বহলভাৱে বিস্তৃত হৈ থাকে, সহসম্বন্ধ কম। সহসম্বন্ধক ৰৈখিক বুলি কোৱা হয় যদি বিক্ষেপ বিন্দুবোৰ ৰেখা এডালৰ ওচৰত বা ৰেখাত থাকে।

চিত্ৰ ৬.১ ৰ পৰা চিত্ৰ ৬.৫ লৈ বিস্তৃত বিক্ষেপ চিত্ৰসমূহে আমাক দুটা চলকৰ মাজৰ সম্পৰ্কৰ ধাৰণা দিয়ে। চিত্ৰ ৬.১ এ চলকসমূহৰ একে দিশত গতি সূচোৱা ওপৰলৈ উঠা ৰেখা এডালৰ চাৰিওফালে বিক্ষেপ দেখুৱায়। যেতিয়া $\mathrm{X}$ বাঢ়ে $\mathrm{Y}$ ও বাঢ়িব। এইটো ধনাত্মক সহসম্বন্ধ। চিত্ৰ ৬.২ ত বিন্দুবোৰ তললৈ ঢালু ৰেখা এডালৰ চাৰিওফালে বিক্ষিপ্ত হৈ থকা পোৱা যায়। এইবাৰ চলকসমূহ বিপৰীত দিশত গতি কৰে। যেতিয়া $\mathrm{X}$ বাঢ়ে $\mathrm{Y}$ কমে আৰু ইয়াৰ বিপৰীত। এইটো ঋণাত্মক সহসম্বন্ধ। চিত্ৰ ৬.৩ ত কোনো ওপৰলৈ উঠা বা তললৈ ঢালু ৰেখা নাই যাৰ চাৰিওফালে বিন্দুবোৰ বিক্ষিপ্ত হৈ আছে। এইটো সহসম্বন্ধ নথকাৰ উদাহৰণ। চিত্ৰ ৬.৪ আৰু চিত্ৰ ৬.৫ ত, বিন্দুবোৰ আৰু ওপৰলৈ উঠা বা তললৈ পৰা ৰেখা এডালৰ চাৰিওফালে বিক্ষিপ্ত নহয়। বিন্দুবোৰ নিজেই ৰেখাবোৰত আছে। এইটোক ক্ৰমে সম্পূৰ্ণ ধনাত্মক সহসম্বন্ধ আৰু সম্পূৰ্ণ ঋণাত্মক সহসম্বন্ধ বুলি উল্লেখ কৰা হয়।

কাৰ্য্যকলাপ

• আপোনাৰ শ্ৰেণীৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলৰ উচ্চতা, ওজন আৰু শ্ৰেণী $X$ ৰ যিকোনো দুটা বিষয়ত স্কোৰ কৰা নম্বৰৰ ডাটা সংগ্ৰহ কৰক। দুটাকৈ লৈ এই চলকসমূহৰ বিক্ষেপ চিত্ৰ আঁকক। আপুনি কি ধৰণৰ সম্পৰ্ক পায়?

বিক্ষেপ চিত্ৰৰ সাৱধানী পৰ্যবেক্ষণে সম্পৰ্কৰ প্ৰকৃতি আৰু তীব্ৰতাৰ ধাৰণা দিয়ে।

কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক

এইটোক প্ৰডাক্ট মমেন্ট কৰিলেচন কেফিচিয়েণ্ট বা সৰল সহসম্বন্ধ গুণাংক বুলিও জনা যায়। ই দুটা চলক $\mathrm{X}$ আৰু $Y$ ৰ মাজৰ ৰৈখিক সম্পৰ্কৰ ডিগ্ৰীৰ এটা সঠিক সংখ্যাসূচক মান দিয়ে।

ইয়াক মনত ৰাখিবলগীয়া যে কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক কেৱল তেতিয়াহে ব্যৱহাৰ কৰা উচিত যেতিয়া চলকসমূহৰ মাজত ৰৈখিক সম্পৰ্ক থাকে। যেতিয়া $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ মাজত অ-ৰৈখিক সম্পৰ্ক থাকে, তেতিয়া কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক গণনা কৰাটো ভ্ৰান্তিকৰ হ’ব পাৰে। গতিকে, যদি সঁচা সম্পৰ্কটো ৰৈখিক প্ৰকাৰৰ হয় যেনে চিত্ৰ ৬.১, $6.2,6.4$ আৰু ৬.৫ ৰ বিক্ষেপ চিত্ৰসমূহে দেখুৱায়, তেন্তে কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক গণনা কৰা উচিত আৰু ই আমাক চলকসমূহৰ মাজৰ সম্পৰ্কৰ দিশ আৰু তীব্ৰতা ক’ব। কিন্তু যদি সঁচা সম্পৰ্কটো চিত্ৰ ৬.৬ বা ৬.৭ ৰ বিক্ষেপ চিত্ৰসমূহত দেখুওৱা ধৰণৰ হয়, তেন্তে ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ মাজত অ-ৰৈখিক সম্পৰ্ক আছে আৰু আমি কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰা উচিত নহয়।

গতিকে, কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক গণনা কৰাৰ আগতে প্ৰথমে চলকসমূহৰ মাজৰ সম্পৰ্কৰ বিক্ষেপ চিত্ৰ পৰীক্ষা কৰাটো পৰামৰ্শযোগ্য।

ধৰি লওক $X _{1}, X _{2}, \ldots, X _{N}$ হৈছে $N$ ৰ মান $X$ আৰু $\mathrm{Y} _{1}, \mathrm{Y} _{2}, \ldots, \mathrm{Y} _{\mathrm{N}}$ হৈছে Y ৰ অনুক্ৰমিক মান। পৰৱৰ্তী প্ৰদৰ্শনসমূহত, সৰলতাৰ বাবে একক সূচোৱা সাবস্ক্ৰিপ্টসমূহ বাদ দিয়া হৈছে। $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ গাণিতিক মধ্যকসমূহ সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}} ; \quad \overline{\mathrm{Y}}=\frac{\sum \mathrm{Y}}{\mathrm{N}} $$

আৰু তেওঁলোকৰ প্ৰসৰণসমূহ তলত দিয়া ধৰণে

$$ \sigma^{2} x=\frac{\sum(X-\bar{X})^{2}}{N}=\frac{\sum X^{2}}{N}-\bar{X}^{2} $$

আৰু $$\quad \sigma^{2} \mathrm{y}=\frac{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}{\mathrm{~N}}=\frac{\sum \mathrm{Y}^{2}}{\mathrm{~N}}-\overline{\mathrm{Y}}^{2}$$

$\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ মানক বিচ্যুতি, ক্ৰমে, তেওঁলোকৰ প্ৰসৰণৰ ধনাত্মক বৰ্গমূল। $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ সহ-প্ৰসৰণ সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে

$\operatorname{Cov}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\mathrm{N}}=\frac{\sum \mathrm{xy}}{\mathrm{N}}$

য’ত $\mathrm{x}=\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}}$ আৰু $\mathrm{y}=\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}}$ হৈছে ক্ৰমে $i^{\text {th }}$ ৰ $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ মান তেওঁলোকৰ মধ্যক মানৰ পৰা বিচ্যুতি।

$\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ মাজৰ সহ-প্ৰসৰণৰ চিহ্নই সহসম্বন্ধ গুণাংকৰ চিহ্ন নিৰ্ধাৰণ কৰে। মানক বিচ্যুতিসমূহ সদায় ধনাত্মক। যদি সহ-প্ৰসৰণ শূন্য হয়, সহসম্বন্ধ গুণাংক সদায় শূন্য হয়। প্ৰডাক্ট মমেন্ট কৰিলেচন বা কাৰ্ল পিয়াৰছনৰ সহসম্বন্ধৰ জোখ দিয়া হৈছে

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}={ }^{\Sigma \mathrm{xy}} / N \sigma _{\mathrm{x}} \sigma _{\mathrm{y}} \tag{1} \end{equation*} $$

বা

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\sqrt{\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}} \sqrt{\Sigma(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}} \tag{2} \end{equation*} $$

বা

$$ \begin{equation*} r=\frac{\frac{\sum X Y-\left(\sum X\right)\left(\sum Y\right)}{N}}{\sqrt{\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}} \sqrt{\sum Y^{2}-\frac{\left(\sum Y\right)^{2}}{N}}}\tag{3} \end{equation*} $$

বা

$$ \begin{equation*} r=\frac{N \sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{N \sum X^2-(\sum X)^2} \cdot \sqrt{N \sum Y^2-(\sum Y)^2}}\tag{4} \end{equation*} $$

সহসম্বন্ধ গুণাংকৰ ধৰ্মসমূহ

আকৌ সহসম্বন্ধ গুণাংকৰ ধৰ্মসমূহ আলোচনা কৰো আহক

• $r$ ৰ কোনো একক নাই। ই এটা বিশুদ্ধ সংখ্যা। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে জোখৰ এককসমূহ $r$ ৰ অংশ নহয়। উদাহৰণস্বৰূপে, ফুটত উচ্চতা আৰু কিলোগ্ৰামত ওজনৰ মাজৰ $r$, ক’ব পাৰি ০.৭ ।
• $r$ ৰ ঋণাত্মক মানই এটা বিপৰীত সম্পৰ্ক সূচায়। এটা চলকত পৰিৱৰ্তন আনটো চলকত বিপৰীত দিশত পৰিৱৰ্তনৰ সৈতে সংযুক্ত। যেতিয়া এটা বস্তুৰ দাম বাঢ়ে, ইয়াৰ চাহিদা কমে। যেতিয়া সুদৰ হাৰ বাঢ়ে, ধনৰ চাহিদাও কমে। ইয়াতকৈ ধনবোৰ বেছি দামী হৈ পৰিছে।
• যদি $r$ ধনাত্মক হয় দুয়োটা চলকে একে দিশত গতি কৰে। যেতিয়া চাহৰ বিকল্প কফিৰ দাম বাঢ়ে, চাহৰ চাহিদাও বাঢ়ে। সিঁচনিৰ সুবিধাৰ উন্নতি উচ্চ ফলনৰ সৈতে সংযুক্ত। যেতিয়া উষ্ণতা বাঢ়ে আইচক্ৰীমৰ বিক্ৰী দ্ৰুত হয়।

• সহসম্বন্ধ গুণাংকৰ মান বিয়োগ এক আৰু যোগ একৰ মাজত থাকে, $-1 \leq r \leq 1$। যদি, কোনো অনুশীলনত, $r$ ৰ মান এই পৰিসৰৰ বাহিৰত থাকে ই গণনাৰ ভুল সূচায়।
• $r$ ৰ পৰিমাণ উৎপত্তি সলনি আৰু মাপ সলনিৰ দ্বাৰা অপ্ৰভাৱিত। দুটা চলক $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ দিয়া হৈছে, দুটা নতুন চলক সংজ্ঞায়িত কৰো আহক।

$\mathrm{U}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{B}} ; \mathrm{V}=\frac{\mathrm{Y}-\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$

য’ত $A$ আৰু $C$ ক্ৰমে $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ ধৰি লোৱা মধ্যক। $\mathrm{B}$ আৰু $\mathrm{D}$ সাধাৰণ গুণক আৰু একে চিহ্নৰ। তেতিয়া

$r _{x y}=r _{u v}$

এই ধৰ্মটো সহসম্বন্ধ গুণাংক গণনা কৰিবলৈ অতি সৰল পদ্ধতিত, যেনে ষ্টেপ ডিভিয়েচন পদ্ধতিত, ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

• যদি $r=0$ দুয়োটা চলক অসহসম্বন্ধিত। তেওঁলোকৰ মাজত কোনো ৰৈখিক সম্পৰ্ক নাই। কিন্তু আন ধৰণৰ সম্পৰ্ক থাকিব পাৰে।
• যদি $r=1$ বা $r=-1$ সহসম্বন্ধ সম্পূৰ্ণ আৰু সঠিক ৰৈখিক সম্পৰ্ক আছে।
• $r$ ৰ উচ্চ মানই শক্তিশালী ৰৈখিক সম্পৰ্ক সূচায়। ইয়াৰ মান উচ্চ বুলি কোৱা হয় যেতিয়া ই +1 বা -1 ৰ ওচৰত থাকে।
• $r$ ৰ কম মান (শূন্যৰ ওচৰত) এটা দুৰ্বল ৰৈখিক সম্পৰ্ক সূচায়। কিন্তু এটা অ-ৰৈখিক সম্পৰ্ক থাকিব পাৰে।

আপুনি অধ্যায় ১ ত পঢ়িছে, পৰিসংখ্যামূলক পদ্ধতিসমূহ সাধাৰণ জ্ঞানৰ বিকল্প নহয়। ইয়াত, আন এটা উদাহৰণ আছে, যিয়ে সহসম্বন্ধ গণনা আৰু ব্যাখ্যা কৰাৰ আগতে ডাটা সঠিকভাৱে বুজাৰ প্ৰয়োজনীয়তা উজ্জ্বল কৰে। এটা মহামাৰীয়ে কিছুমান গাঁৱত বিয়পি পৰে আৰু চৰকাৰে আক্রান্ত গাঁৱলৈ ডাক্তৰৰ এটা দল পঠিয়ায়। মৃত্যুৰ সংখ্যা আৰু গাঁৱলৈ পঠিওৱা ডাক্তৰৰ সংখ্যাৰ মাজৰ সহসম্বন্ধ ধনাত্মক বুলি পোৱা যায়। সাধাৰণতে, ডাক্তৰসকলে প্ৰদান কৰা স্বাস্থ্যসেৱাই ঋণাত্মক সহসম্বন্ধ দেখুৱাই মৃত্যুৰ সংখ্যা কমাব বুলি আশা কৰা হয়। ই আন কাৰণত হৈছিল। ডাটাসমূহ এটা নিৰ্দিষ্ট সময়ৰ সৈতে সম্পৰ্কিত। প্ৰতিবেদন কৰা মৃত্যুবোৰৰ বহুতো টাৰ্মিনেল কেছ হ’ব পাৰে য’ত ডাক্তৰসকলে কম কৰিব পাৰিছিল। ইয়াৰ উপৰি, ডাক্তৰৰ উপস্থিতিৰ সুবিধা কিছু সময়ৰ পিছতহে দৃশ্যমান হয়। ইয়াও সম্ভৱ যে প্ৰতিবেদন কৰা মৃত্যুবোৰ মহামাৰীৰ বাবে নহয়। এটা চুনামীয়ে ৰাজ্যখনত হঠাৎ আঘাত হানে আৰু মৃত্যুৰ সংখ্যা বাঢ়ে।

চহকীসকলৰ শিক্ষাৰ বছৰ আৰু প্ৰতি একৰ বাৰ্ষিক ফলনৰ মাজৰ সম্পৰ্ক পৰীক্ষা কৰি $r$ ৰ গণনা চিত্ৰিত কৰো আহক।

উদাহৰণ ১

সূত্ৰ ১ ৰ প্ৰয়োজন $\sum \mathrm{Xy}, \sigma _{\mathrm{x}}, \sigma _{\mathrm{y}}$ ৰ মান

টেবুল ৬.১ ৰ পৰা আমি পাওঁ,

$$ \begin{aligned} & \sum \mathrm{xy}=42, \\ & \sigma _{\mathrm{x}}=\sqrt{\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}}{\mathrm{~N}}}=\sqrt{\frac{112}{7}}, \\ & \sigma _{\mathrm{y}}=\sqrt{\frac{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}{\mathrm{~N}}}=\sqrt{\frac{38}{7}} \end{aligned} $$

এই মানবোৰ সূত্ৰ (১) ত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি

$$ \mathrm{r}=\frac{42}{7 \sqrt{\frac{112}{7}} \sqrt{\frac{38}{7}}}=0.644 $$

একেই মান সূত্ৰ (২) ৰ পৰাও পাব পাৰি।

$$ \begin{gather*} \mathrm{r}=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\sqrt{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}} \sqrt{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}} \tag{2}\\ \mathrm{r}=\frac{42}{\sqrt{112} \sqrt{38}}=0.644 \end{gather*} $$

গতিকে, চহকীসকলৰ শিক্ষাৰ বছৰ আৰু প্ৰতি একৰ বাৰ্ষিক ফলন ধনাত্মকভাৱে সহসম্বন্ধিত। $r$ ৰ মানও ডাঙৰ। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে চহকীসকলে শিক্ষাত যিমানেই বছৰ বিনিয়োগ কৰিব, প্ৰতি একৰ ফলন সিমানেই উচ্চ হ’ব। ই চহকীসকলৰ শিক্ষাৰ গুৰুত্বৰ ওপৰত আঙুলি দিয়ে।

সূত্ৰ (৩) ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ

টেবুল ৬.১ চহকীসকলৰ শিক্ষাৰ বছৰ আৰু বাৰ্ষিক ফলনৰ মাজৰ r ৰ গণনা

$$ \begin{equation*} r=\frac{\sum X Y-\frac{(\Sigma X)\left(\sum Y\right)}{N}}{\sqrt{\Sigma X^{2}-\frac{(\Sigma X)^{2}}{N}} \sqrt{\Sigma \mathrm{Y}^{2}-\frac{(\Sigma Y)^{2}}{N}}}\tag{3} \end{equation*} $$

তলৰ অভিব্যক্তিসমূহৰ মান গণনা কৰিব লাগিব অৰ্থাৎ

$\Sigma \mathrm{XY}, \Sigma \mathrm{X}^{2}, \Sigma \mathrm{Y}^{2}$.

এতিয়া সূত্ৰ (৩) প্ৰয়োগ কৰি $r$ ৰ মান পাবলৈ।

$r$ ৰ বিভিন্ন মানৰ ব্যাখ্যা জনো আহক। ইংৰাজী আৰু পৰিসংখ্যাত সুরক্ষিত নম্বৰৰ মাজৰ সহসম্বন্ধ গুণাংক, কওক, ০.১। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যদিও দুয়োটা বিষয়ত সুরক্ষিত নম্বৰবোৰ ধনাত্মকভাৱে সহসম্বন্ধিত, সম্পৰ্কৰ শক্তি দুৰ্বল। ইংৰাজীত উচ্চ নম্বৰ পোৱা ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে পৰিসংখ্যাত তুলনামূলকভাৱে কম নম্বৰ পাব পাৰে। যদি $r$ ৰ মান, কওক, ০.৯ হ’লহেঁতেন, ইংৰাজীত উচ্চ নম্বৰ পোৱা ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে নিশ্চিতভাৱে পৰিসংখ্যাত উচ্চ নম্বৰ পাব।

ঋণাত্মক সহসম্বন্ধৰ এটা উদাহৰণ হৈছে স্থানীয় মণ্ডীত শাক-পাচলিৰ আহমন আৰু শাক-পাচলিৰ দামৰ মাজৰ সম্পৰ্ক। যদি $r$ -০.৯ হয়, স্থানীয় মণ্ডীত শাক-পাচলিৰ যোগান শাক-পাচলিৰ দাম কমৰ সৈতে সংগত হ’ব। যদি ই -০.১ হ’লহেঁতেন, ডাঙৰ শাক-পাচলিৰ যোগান কম দামৰ সৈতে সংগত হ’ব, যেতিয়া $r$ -০.৯ হয় তেতিয়াৰ দামটোতকৈ ইমান কম নহয়। দাম পৰাৰ পৰিমাণ $r$ ৰ নিৰপেক্ষ মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। যদি ই শূন্য হ’লহেঁতেন, বজাৰত ডাঙৰ যোগানৰ পিছতো দামত কোনো পৰা নহ’লহেঁতেন। ইয়ো এটা সম্ভাৱনা যদি যোগান বৃদ্ধি ভাল পৰিবহন নেটৱৰ্কৰ দ্বাৰা ইয়াক আন বজাৰলৈ স্থানান্তৰ কৰি চোৱা হয়।

কাৰ্য্যকলাপ

• তলৰ টেবুলখনলৈ চাওক। বৰ্তমান মূল্যত ৰাষ্ট্ৰীয় আয়ৰ বাৰ্ষিক বৃদ্ধি আৰু জিডিপিৰ শতাংশ হিচাপে স্থূল গাৰ্হস্থ্য সঞ্চয়ৰ মাজৰ $r$ গণনা কৰক।

সহসম্বন্ধ গুণাংক গণনা কৰিবলৈ ষ্টেপ ডিভিয়েচন পদ্ধতি।

যেতিয়া চলকসমূহৰ মান ডাঙৰ হয়, গণনাৰ বোজা $r$ ৰ এটা ধৰ্ম ব্যৱহাৰ কৰি যথেষ্ট পৰিমাণে হ্ৰাস কৰিব পাৰি। ই হ’ল যে $r$ উৎপত্তি আৰু মাপ সলনিৰ পৰা স্বাধীন। ইক ষ্টেপ ডিভিয়েচন পদ্ধতি বুলিও জনা যায়। ই চলকসমূহ $\mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}$ ৰ ৰূপান্তৰণ জড়িত কৰে তলত দিয়া ধৰণে:

টেবুল ৬.২

উৎস: ইকনমিক ছাৰ্ভে, (২০০৪-০৫) পৃষ্ঠা ৮,৯

$\mathrm{U}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{B}} ; \mathrm{V}=\frac{\mathrm{Y}-\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$

য’ত $A$ আৰু $B$ ধৰি লোৱা মধ্যক, $h$ আৰু $\mathrm{k}$ সাধাৰণ গুণক আৰু একে চিহ্নৰ।

তেতিয়া $\mathrm{r} _{\mathrm{uv}}=\mathrm{r} _{\mathrm{XY}}$

এইটো মূল্য সূচক আৰু ধন যোগানৰ মাজৰ সহসম্বন্ধ বিশ্লেষণ কৰাৰ অনুশীলনৰ সৈতে চিত্ৰিত কৰিব পাৰি।

উদাহৰণ ২

মূল্য সূচক $(\mathrm{X})$ $ 120 \quad 150 \quad 190 \quad 220 \quad 230$

ধন যোগান টকা কোটি ত $(\mathrm{Y})$ $\quad 1800 \quad 2000 \quad 2500 \quad 2700 \quad 3000$

সৰলীকৰণ, ষ্টেপ ডিভিয়েচন পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি, তলত চিত্ৰিত কৰা হৈছে। ধৰি লওক $\mathrm{A}=100 ; \mathrm{h}=10 ; \mathrm{B}=1700$ আৰু $\mathrm{k}=100$

ৰূপান্তৰিত চলকসমূহৰ টেবুল তলত দিয়া ধৰণে:

ষ্টেপ ডিভিয়েচন পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি মূল্য সূচক আৰু ধন যোগানৰ মাজৰ $r$ ৰ গণনা

টেবুল ৬.৩

$\Sigma \mathrm{U}=41 ; \Sigma \mathrm{U}=35 ; \Sigma \mathrm{U}^{2}=423 ;$ $\Sigma \mathrm{V}^{2}=343 ; \Sigma \mathrm{UV}=378$

এই মানবোৰ সূত্ৰ (৩) ত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি

$$ \begin{aligned} & \mathrm{r}=\frac{\Sigma \mathrm{UV}-\frac{(\Sigma \mathrm{U})(\Sigma \mathrm{U})}{\mathrm{N}}}{\sqrt{\Sigma \mathrm{U}^{2}-\frac{(\Sigma \mathrm{U})^{2}}{\mathrm{~N}}} \sqrt{\Sigma \mathrm{V}^{2}-\frac{(\Sigma \mathrm{V})^{2}}{\mathrm{~N}}}} …(3) \end{aligned} $$

$$=\frac{378-\frac{41 \times 35}{5}}{\sqrt{423-\frac{(41)^2}{5}}\sqrt{343-\frac{(35)^2}{5}}}$$

$$ \begin{aligned} & =0.98 \end{aligned} $$

মূল্য সূচক আৰু ধন যোগানৰ মাজৰ শক্তিশালী ধনাত্মক সহসম্বন্ধ হৈছে আৰ্থিক নীতিৰ এটা গুৰুত্বপূৰ্ণ ভিত্তি। যেতিয়া ধন যোগান বৃদ্ধি পায় মূল্য সূচকও বাঢ়ে।

কাৰ্য্যকলাপ

• ভাৰতৰ জনসংখ্যা আৰু ৰাষ্ট্ৰীয় আয়ৰ সৈতে সম্পৰ্কিত ডাটা ব্যৱহাৰ কৰি, ষ