गणित सेट-2: बीजगणित और ज्यामिति
गणित सेट-2: बीजगणित और ज्यामिति
प्रश्न 1
यदि $ x + \frac{1}{x} = 3 $, तो $ x^2 + \frac{1}{x^2} $ का मान ज्ञात कीजिए।
(1) 7
(2) 9
(3) 11
(4) 13
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उत्तर: (1)
हल: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 9 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 9 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 $।
प्रश्न 2
$ \sqrt{16} + \sqrt{64} $ का मान ज्ञात कीजिए।
(1) 10
(2) 12
(3) 14
(4) 16
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उत्तर: (2)
हल: $ \sqrt{16} = 4 $, $ \sqrt{64} = 8 $, इसलिए $ 4 + 8 = 12 $।
प्रश्न 3
यदि $ 2x + 3y = 12 $ और $ 3x + 2y = 13 $, तो $ x + y $ ज्ञात कीजिए।
(1) 5
(2) 6
(3) 7
(4) 8
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उत्तर: (2)
हल: दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $ 5x + 5y = 25 \Rightarrow x + y = 5 $।
प्रश्न 4
$ (a + b)^3 - (a - b)^3 $ को सरल कीजिए।
(1) $ 4ab(a + b) $
(2) $ 4ab(a - b) $
(3) $ 2ab(a + b) $
(4) $ 2ab(a - b) $
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उत्तर: (1)
हल: दोनों घनों का विस्तार करके घटाने पर: $ (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) $, $ (a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b) $, इसलिए घटाने पर प्राप्त होता है $ 4ab(a + b) $।
प्रश्न 5
एक वर्ग का क्षेत्रफल 144 सेमी² है। इसका परिमाप क्या है?
(1) 48 सेमी
(2) 36 सेमी
(3) 24 सेमी
(4) 12 सेमी
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उत्तर: (1)
हल: भुजा = $ \sqrt{144} = 12 $, इसलिए परिमाप = $ 4 \times 12 = 48 $।
प्रश्न 6
$ \log_2 8 + \log_2 4 $ का मान ज्ञात कीजिए।
(1) 3
(2) 4
(3) 5
(4) 6
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उत्तर: (3)
हल: $ \log_2 8 = 3 $, $ \log_2 4 = 2 $, इसलिए योग $ 3 + 2 = 5 $ है।
प्रश्न 7
यदि $ a : b = 3 : 4 $ और $ b : c = 5 : 6 $, तो $ a : b : c $ ज्ञात कीजिए।
(1) 15 : 20 : 24
(2) 15 : 20 : 22
(3) 12 : 16 : 18
(4) 12 : 16 : 24
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उत्तर: (1)
हल: $ b $ का अनुपात सामान्य बनाएँ: $ a : b = 3 : 4 = 15 : 20 $, $ b : c = 5 : 6 = 20 : 24 $। इसलिए, $ a : b : c = 15 : 20 : 24 $।
प्रश्न 8
यदि $ 3x - 4 = 5 $, तो $ x $ का मान ज्ञात कीजिए।
(1) 3
(2) 4
(3) 5
(4) 6
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उत्तर: (3)
हल: दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर: $ 3x = 9 \Rightarrow x = 3 $।
प्रश्न 9
$ \sqrt{121} \times \sqrt{25} $ का मान क्या है?
(1) 55
(2) 65
(3) 75
(4) 85
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उत्तर: (1)
हल: $ \sqrt{121} = 11 $, $ \sqrt{25} = 5 $, इसलिए गुणनफल $ 11 \times 5 = 55 $ है।
प्रश्न 10
यदि $ a + b = 10 $ और $ ab = 21 $, तो $ a^2 + b^2 $ ज्ञात कीजिए।
(1) 58
(2) 68
(3) 78
(4) 88
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उत्तर: (1)
हल: सर्वसमिका का उपयोग करें: $ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 100 - 42 = 58 $।
प्रश्न 11
आधार 8 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?
(1) 24 सेमी²
(2) 32 सेमी²
(3) 48 सेमी²
(4) 16 सेमी²
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उत्तर: (1)
हल: क्षेत्रफल = $ \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 $।
प्रश्न 12
$ (x^2 - 4)(x^2 + 4) $ को सरल कीजिए।
(1) $ x^4 - 16 $
(2) $ x^4 + 16 $
(3) $ x^4 - 8 $
(4) $ x^4 + 8 $
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उत्तर: (1)
हल: सर्वसमिका का उपयोग करें: $ (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = a^4 - b^4 $, इसलिए $ x^4 - 16 $।
प्रश्न 13
यदि $ 2^{x} = 32 $, तो $ x $ का मान ज्ञात कीजिए।
(1) 3
(2) 4
(3) 5
(4) 6
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उत्तर: (3)
हल: $ 2^5 = 32 $, इसलिए $ x = 5 $।
प्रश्न 14
$ \sqrt{169} + \sqrt{25} $ का मान ज्ञात कीजिए।
(1) 14
(2) 16
(3) 18
(4) 20
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उत्तर: (3)
हल: $ \sqrt{169} = 13 $, $ \sqrt{25} = 5 $, इसलिए योग $ 18 $ है।
प्रश्न 15
यदि $ x : y = 2 : 3 $, तो $ (2x + 3y) : (3x + 2y) $ ज्ञात कीजिए।
(1) 12 : 13
(2) 13 : 12
(3) 11 : 12
(4) 12 : 11
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उत्तर: (1)
हल: $ x = 2k $, $ y = 3k $ प्रतिस्थापित करें: $ (4k + 9k) : (6k + 4k) = 13k : 10k $, इसलिए $ 13 : 10 $।
प्रश्न 16
यदि $ 3x + 5 = 20 $, तो $ x $ का मान ज्ञात कीजिए।
(1) 5
(2) 6
(3) 7
(4) 8
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उत्तर: (2)
हल: 5 घटाएँ: $ 3x = 15 \Rightarrow x = 5 $।
प्रश्न 17
$ \log_3 81 $ का मान ज्ञात कीजिए।
(1) 3
(2) 4
(3) 5
(4) 6
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उत्तर: (2)
हल: $ 3^4 = 81 $, इसलिए $ \log_3 81 = 4 $।
प्रश्न 18
एक आयत का क्षेत्रफल 72 सेमी² है और इसकी लंबाई 12 सेमी है। चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
(1) 4 सेमी
(2) 6 सेमी
(3) 8 सेमी
(4) 10 सेमी
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उत्तर: (2)
हल: चौड़ाई = $ \frac{72}{12} = 6 $।
प्रश्न 19
$ (a + b)^2 - (a - b)^2 $ को सरल कीजिए।
(1) $ 4ab $
(2) $ 2ab $
(3) $ 6ab $
(4) $ 8ab $
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उत्तर: (1)
हल: दोनों का विस्तार करें: $ a^2 + b^2 + 2ab - a^2 - b^2 + 2ab = 4ab $।
प्रश्न 20
यदि $ x + y = 7 $ और $ x - y = 3 $, तो $ x \times y $ ज्ञात कीजिए।
(1) 10
(2) 12
(3) 14
(4) 16
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उत्तर: (1)
हल: दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $ 2x = 10 \Rightarrow x = 5 $, इसलिए $ y = 2 $, गुणनफल $ 5 \times 2 = 10 $ है।
प्रश्न 21
$ \sqrt{81} \times \sqrt{16} $ का मान क्या है?
(1) 36
(2) 42
(3) 48
(4) 54
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उत्तर: (1)
हल: $ \sqrt{81} = 9 $, $ \sqrt{16} = 4 $, इसलिए गुणनफल $ 36 $ है।
प्रश्न 22
यदि $ a : b = 4 : 5 $, तो $ (3a + 2b) : (5a + 3b) $ ज्ञात कीजिए।
(1) 12 : 15
(2) 14 : 17
(3) 16 : 19
(4) 18 : 23
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उत्तर: (2)
हल: $ a = 4k $, $ b = 5k $ प्रतिस्थापित करें: $ (12k + 10k) : (20k + 15k) = 22k : 35k = 22 : 35 $।
प्रश्न 23
$ \log_{10} 1000 $ का मान ज्ञात कीजिए।
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 5
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उत्तर: (2)
हल: $ 10^3 = 1000 $, इसलिए $ \log_{10} 1000 = 3 $।
प्रश्न 24
एक वर्ग का परिमाप 40 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(1) 100 सेमी²
(2) 120 सेमी²
(3) 140 सेमी²
(4) 160 सेमी²
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उत्तर: (1)
हल: भुजा = $ \frac{40}{4} = 10 $, इसलिए क्षेत्रफल = $ 10^2 = 100 $।
प्रश्न 25
यदि $ 2x + 3 = 7 $, तो $ x $ का मान ज्ञात कीजिए।
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 5
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