अध्याय 12 सांख्यिकी
12.1 डेटा की ग्राफ़िकल प्रस्तुति
डेटा को सारणियों द्वारा प्रस्तुत करने की चर्चा पहले ही हो चुकी है। अब हम अपना ध्यान डेटा की एक अन्य प्रस्तुति, अर्थात् ग्राफ़िकल प्रस्तुति की ओर मोड़ते हैं। यह कहा गया है कि एक चित्र हज़ार शब्दों से बेहतर होता है। आमतौर पर व्यक्तिगत मदों के बीच तुलना ग्राफ़ के माध्यम से सबसे अच्छी तरह दिखाई जाती है। तब प्रस्तुति वास्तविक डेटा की तुलना में समझने में आसान हो जाती है। हम इस खंड में निम्नलिखित ग्राफ़िकल प्रस्तुतियों का अध्ययन करेंगे।
(A) बार ग्राफ़
(B) समान चौड़ाई और भिन्न-भिन्न चौड़ाई के हिस्टोग्राम
(C) बारंबारता बहुभुज
(A) बार ग्राफ़
पिछली कक्षाओं में आपने बार ग्राफ़ का अध्ययन और निर्माण पहले ही किया है। यहाँ हम उनकी चर्चा एक अधिक औपचारिक दृष्टिकोण से करेंगे। याद कीजिए कि बार ग्राफ़ डेटा की एक चित्रात्मक प्रस्तुति होती है जिसमें आमतौर पर समान चौड़ाई की पट्टियाँ एक अक्ष (मान लीजिए, $x$-अक्ष) पर समान अंतराल के साथ खींची जाती हैं, जो चर को दर्शाती हैं। चर के मान दूसरे अक्ष (मान लीजिए, $y$-अक्ष) पर दिखाए जाते हैं और पट्टियों की ऊँचाइयाँ चर के मानों पर निर्भर करती हैं।
उदाहरण 1 : कक्षा IX के एक विशेष खंड में 40 विद्यार्थियों से उनके जन्म के महीनों के बारे में पूछा गया और प्राप्त डेटा के लिए निम्नलिखित ग्राफ़ तैयार किया गया:
आकृति 12.1
ऊपर दिए गए बार ग्राफ़ को ध्यान से देखें और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
(i) नवम्बर माह में कितने विद्यार्थी पैदा हुए थे?
(ii) किस माह में सर्वाधिक संख्या में विद्यार्थी पैदा हुए थे?
हल : ध्यान दीजिए कि यहाँ चर ‘जन्म का माह’ है और चर का मान ‘जन्मे विद्यार्थियों की संख्या’ है।
(i) नवम्बर माह में 4 विद्यार्थी पैदा हुए थे।
(ii) अधिकतम संख्या में विद्यार्थी अगस्त माह में पैदा हुए थे।
अब हम याद करते हैं कि बार ग्राफ़ कैसे बनाया जाता है, निम्नलिखित उदाहरण को ध्यान में रखते हुए।
उदाहरण 2 : एक परिवार जिसकी मासिक आय ₹ 20,000 है, ने विभिन्न शीर्षों के अंतर्गत निम्नलिखित मासिक व्यय की योजना बनाई है:
तालिका 12.1
| शीर्ष | व्यय (हज़ार रुपयों में) |
|---|---|
| किराना | 4 |
| किराया | 5 |
| बच्चों की शिक्षा | 5 |
| दवाई | 2 |
| ईंधन | 2 |
| मनोरंजन | 1 |
| विविध | 1 |
उपरोक्त आँकड़ों के लिए बार ग्राफ़ बनाइए।
हल : हम इस आँकड़े का बार ग्राफ़ निम्नलिखित चरणों में बनाते हैं। ध्यान दीजिए कि दूसरे स्तंभ की इकाई हज़ार रुपये है। इसलिए ‘किराना’ के सामने ‘4’ का अर्थ है ₹4000।
1. हम क्षैतिज अक्ष पर शीर्षों (चर) को कोई भी स्केल चुनकर दर्शाते हैं, क्योंकि पट्टी की चौड़ाई महत्वपूर्ण नहीं है। पर स्पष्टता के लिए हम सभी पट्टियों की समान चौड़ाई लेते हैं और बीच में समान अंतराल रखते हैं। मान लीजिए एक शीर्ष एक इकाई द्वारा दर्शाया जाता है।
2. हम ऊध्र्वाधर अक्ष पर व्यय (मान) को दर्शाते हैं। चूँकि अधिकतम व्यय ₹ 5000 है, हम स्केल 1 इकाई = ₹ 1000 चुन सकते हैं।
3. हमारे पहले शीर्ष, अर्थात् किराना, को दर्शाने के लिए हम 1 इकाई चौड़ाई और 4 इकाई ऊँचाई वाला एक आयताकार बार खींचते हैं।
4. इसी प्रकार, अन्य शीर्षों को दर्शाया जाता है, जिसमें दो क्रमागत बारों के बीच 1 इकाई का अंतर छोड़ा जाता है।
बार ग्राफ को चित्र 12.2 में खींचा गया है।
चित्र 12.2
यहाँ आप आँखों के सामने आँकड़ों के सापेक्ष लक्षणों को आसानी से देख सकते हैं, उदाहरण के लिए, शिक्षा पर व्यय चिकित्सा खर्च से दोगुने से भी अधिक है। इसलिए, कुछ मायनों में यह सारणी रूप से आँकड़ों का बेहतर प्रतिनिधित्व करता है।
गतिविधि 1 : गतिविधि 1 के उन्हीं चार समूहों को जारी रखते हुए, उपयुक्त बार ग्राफों द्वारा आँकड़ों को दर्शाइए।
अब हम देखते हैं कि निरंतर वर्ग अंतरालों के लिए बारंबारता बंटन सारणी को आलेखीय रूप से कैसे दर्शाया जा सकता है।
(B) हिस्टोग्राम
यह बार ग्राफ जैसा प्रतिनिधित्व का एक रूप है, लेकिन इसका प्रयोग निरंतर वर्ग अंतरालों के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, बारंबारता बंटन सारणी 12.2 पर विचार करें, जो एक कक्षा के 36 विद्यार्थियों के भार को दर्शाती है:
सारणी 12.2
| भार (किग्रा में) | विद्यार्थियों की संख्या |
|---|---|
| $30.5-35.5$ | 9 |
| $35.5-40.5$ | 6 |
| $40.5-45.5$ | 15 |
| $45.5-50.5$ | 3 |
| $50.5-55.5$ | 1 |
| $55.5-60.5$ | 2 |
| योग | 36 |
आइए उपरोक्त आँकड़ों को आलेखीय रूप से इस प्रकार दर्शाएँ:
(i) हम भार को क्षैतिज अक्ष पर एक उपयुक्त स्केल पर दर्शाते हैं। हम स्केल को $1 \mathrm{~cm}=5 \mathrm{~kg}$ चुन सकते हैं। साथ ही, चूँकि पहला वर्ग अंतराल 30.5 से शुरू हो रहा है और शून्य से नहीं, हम इसे ग्राफ पर अक्ष पर एक टेढ़ा या विराम चिह्न लगाकर दिखाते हैं।
(ii) हम छात्रों की संख्या (बारंबारता) को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर एक उपयुक्त स्केल पर दर्शाते हैं। चूँकि अधिकतम बारंबारता 15 है, हमें इस अधिकतम बारंबारता को समायोजित करने के लिए स्केल चुनना होगा।
(iii) हम अब आयत (या आयताकार पट्टियाँ) खींचते हैं जिनकी चौड़ाई वर्ग-आकार के बराबर होती है और लंबाइयाँ संगत वर्ग अंतरालों की बारंबारताओं के अनुसार होती हैं। उदाहरण के लिए, वर्ग अंतराल $30.5-35.5$ के लिए आयत की चौड़ाई $1 \mathrm{~cm}$ और लंबाई $4.5 \mathrm{~cm}$ होगी।
(iv) इस प्रकार, हम Fig. 12.3 में दिखाए गए अनुसार ग्राफ प्राप्त करते हैं:
Fig. 12.3
ध्यान दें कि चूँकि लगातार आयतों के बीच कोई अंतराल नहीं हैं, परिणामी ग्राफ एक ठोस आकृति की तरह प्रतीत होता है। इसे हिस्टोग्राम कहा जाता है, जो निरंतर वर्गों के साथ एक समूहीकृत बारंबारता वितरण का एक आलेखीय प्रतिनिधित्व है। साथ ही, एक बार ग्राफ के विपरीत, पट्टी की चौड़ाई इसकी रचना में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।
यहाँ, वास्तव में, खड़े किए गए आयतों के क्षेत्रफल संगत बारंबारताओं के समानुपाती होते हैं। हालाँकि, चूँकि आयतों की चौड़ाइयाँ सभी समान हैं, आयतों की लंबाइयाँ बारंबारताओं के समानुपाती होती हैं। इसीलिए, हम उपरोक्त (iii) के अनुसार लंबाइयाँ खींचते हैं।
अब, उपरोक्त से भिन्न एक परिस्थिति पर विचार कीजिए।
उदाहरण 3 : एक शिक्षिका गणित के 100 अंकों की एक परीक्षा में छात्रों की दो कक्षाओं के प्रदर्शन का विश्लेषण करना चाहती थी। उनके प्रदर्शन को देखते हुए, उसने पाया कि कुछ छात्रों को 20 से कम अंक मिले और कुछ को 70 या अधिक अंक मिले। इसलिए उसने उन्हें परिवर्ती आकारों के अंतरालों में इस प्रकार वर्गीकृत करने का निर्णय लिया: $0-20,20-30, \ldots, 60-70$, 70 - 100। फिर उसने निम्नलिखित सारणी बनाई:
सारणी 12.3
| अंक | छात्रों की संख्या |
|---|---|
| $0-20$ | 7 |
| $20-30$ | 10 |
| $30-40$ | 10 |
| $40-50$ | 20 |
| $50-60$ | 20 |
| $60-70$ | 15 |
| $70-$ ऊपर | 8 |
| योग | 90 |
इस सारणी के लिए एक छात्र द्वारा एक हिस्टोग्राम तैयार किया गया जैसा कि आकृति 12.4 में दिखाया गया है।
आकृति 12.4
इस ग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व का ध्यानपूर्वक परीक्षण करें। क्या आपको लगता है कि यह आँकड़ों को सही ढंग से दर्शाता है? नहीं, ग्राफ़ हमें एक भ्रामक चित्र दे रहा है। जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, आयतों के क्षेत्रफल एक हिस्टोग्राम में बारंबारता के समानुपाती होते हैं। पहले यह समस्या उत्पन्न नहीं हुई थी, क्योंकि सभी आयतों की चौड़ाई समान थी। लेकिन यहाँ, चूँकि आयतों की चौड़ाई भिन्न-भिन्न है, उपरोक्त हिस्टोग्राम सही चित्र नहीं देता है। उदाहरण के लिए, यह अंतराल $70-100$ में $60-70$ की तुलना में अधिक बारंबारता दिखाता है, जबकि ऐसा है नहीं।
इसलिए, हमें आयतों की लंबाइयों में कुछ संशोधन करने होंगे ताकि क्षेत्रफल पुनः बारंबारता के समानुपाती हो जाएँ।
अनुसरण करने योग्य चरण नीचे दिए गए हैं:
- न्यूनतम कक्ष आकार वाला एक कक्ष अंतराल चुनें। उपरोक्त उदाहरण में, न्यूनतम कक्ष-आकार 10 है।
- तब आयतों की लंबाइयों को कक्ष-आकार 10 के अनुपात में संशोधित किया जाता है।
उदाहरण के लिए, जब कक्ष-आकार 20 होता है, तो आयत की लंबाई 7 होती है। इसलिए जब कक्ष-आकार 10 होगा, तो आयत की लंबाई $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ होगी।
इसी प्रकार आगे बढ़ते हुए, हमें निम्न सारणी प्राप्त होती है:
तालिका 12.4
| अंक | आवृत्ति | वर्ग की चौड़ाई |
आयत की लंबाई |
|---|---|---|---|
| $0-20$ | 7 | 20 | $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ |
| $20-30$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $30-40$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $40-50$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $50-60$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $60-70$ | 15 | 10 | $\frac{15}{10} \times 10=15$ |
| $70-100$ | 8 | 30 | $\frac{8}{30} \times 10=2.67$ |
चूँकि हमने इन लंबाइयों की गणना प्रत्येक स्थिति में 10 अंकों के अंतराल के लिए की है, हम इन लंबाइयों को “10 अंक अंतराल प्रति विद्यार्थियों का अनुपात” कह सकते हैं।
इसलिए, परिवर्ती चौड़ाई के साथ सही हिस्टोग्राम चित्र 12.5 में दिया गया है।
चित्र 12.5
(C) आवृत्ति बहुभुज
मात्रात्मक आँकड़ों और उनकी बारंबारताओं को दर्शाने का एक और दृश्य तरीका है। यह बहुभुज है। हमारा क्या तात्पर्य है, इसे समझने के लिए आकृति 12.3 द्वारा दर्शाए गए हिस्टोग्राम पर विचार करें। आइए इस हिस्टोग्राम के संलग्न आयतों की ऊपरी भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को रेखाखंडों द्वारा मिलाएँ। आइए इन मध्य-बिंदुओं को B, C, D, E, F और G कहें। जब इन्हें रेखाखंडों द्वारा मिलाया जाता है, तो हमें आकृति BCDEFG प्राप्त होती है (आकृति 12.6 देखें)। बहुभुज को पूरा करने के लिए हम यह मान लेते हैं कि 30.5 - 35.5 से पहले और 55.5 - 60.5 के बाद एक-एक वर्ग-अंतराल हैं जिनकी बारंबारता शून्य है, और उनके मध्य-बिंदु क्रमशः $\mathrm{A}$ और $\mathrm{H}$ हैं। $\mathrm{ABCDEFGH}$ आकृति 12.3 में दिखाए गए आँकड़ों से संगत बारंबारता बहुभुज है। हमने इसे आकृति 12.6 में दिखाया है।
आकृति 12.6
यद्यपि सबसे निचले वर्ग से पहले कोई वर्ग नहीं है और सबसे ऊपर वाले वर्ग के बाद भी कोई वर्ग नहीं है, शून्य बारंबारता वाले दो वर्ग-अंतरालों को जोड़ने से हमें बारंबारता बहुभुज का क्षेत्रफल हिस्टोग्राम के क्षेत्रफल के बराबर बनाने में मदद मिलती है। ऐसा क्यों है? (संकेत : सर्वांगसम त्रिभुजों के गुणों का प्रयोग करें।)
अब प्रश्न उठता है: जब पहले वर्ग से पहले कोई वर्ग नहीं होता, तो हम बहुभुज को कैसे पूरा करते हैं? आइए ऐसी स्थिति पर विचार करें।
उदाहरण 4 : विचार कीजिए 100 में से एक कक्षा के 51 विद्यार्थियों द्वारा एक परीक्षा में प्राप्त किए गए अंक, जो तालिका 12.5 में दिए गए हैं।
तालिका 12.5
| अंक | विद्यार्थियों की संख्या |
|---|---|
| $0-10$ | 5 |
| $10-20$ | 10 |
| $20-30$ | 4 |
| $30-40$ | 6 |
| $40-50$ | 7 |
| $50-60$ | 3 |
| $60-70$ | 2 |
| $70-80$ | 2 |
| $80-90$ | 3 |
| $90-100$ | 9 |
| कुल | 51 |
इस बारंबारता बंटन तालिका के अनुरूप एक बारंबारता बहुभुज खींचिए।
हल : आइए पहले इस आंकड़े के लिए एक आयत चित्र खींचें और आयतों के शीर्षों के मध्य-बिंदुओं को क्रमशः B, C, D, E, F, G, H, I, J, K चिह्नित करें। यहाँ, पहली श्रेणी $0-10$ है। इसलिए, $0-10$ से पहले की श्रेणी ज्ञात करने के लिए, हम क्षैतिज अक्ष को ऋणात्मक दिशा में बढ़ाते हैं और काल्पनिक श्रेणी अंतराल $(-10)-0$ का मध्य-बिंदु खोजते हैं। पहला अंतिम बिंदु, अर्थात् $\mathrm{B}$ को इस मध्य-बिंदु से क्षैतिज अक्ष की ऋणात्मक दिशा में शून्य बारंबारता के साथ जोड़ा जाता है। वह बिंदु जहाँ यह रेखा खंड लंबवत अक्ष से मिलती है, उसे $\mathrm{A}$ चिह्नित किया जाता है। मान लीजिए $\mathrm{L}$ दी गई आंकड़ों की अंतिम श्रेणी के बाद वाली श्रेणी का मध्य-बिंदु है। तब OABCDEFGHIJKL बारंबारता बहुभुज है, जो आकृति 12.7 में दिखाया गया है।
आकृति 12.7
आवृत्ति बहुभुजों को हिस्टोग्राम बनाए बिना भी स्वतंत्र रूप से खींचा जा सकता है। इसके लिए हमें आंकड़ों में प्रयोग किए गए वर्ग-अंतरालों के मध्य-बिंदुओं की आवश्यकता होती है। इन वर्ग-अंतरालों के मध्य-बिंदुओं को वर्ग-चिह्न कहा जाता है।
किसी वर्ग अंतराल का वर्ग-चिह्न ज्ञात करने के लिए, हम वर्ग की ऊपरी सीमा और निचली सीमा का योग निकालते हैं और उसे 2 से विभाजित करते हैं। इस प्रकार,
$$ \text { वर्ग-चिह्न }=\frac{\text { ऊपरी सीमा }+ \text { निचली सीमा }}{2} $$
आइए एक उदाहरण पर विचार करें।
उदाहरण 5 : एक शहर में जीवन-यापन सूचकांक की लागत पर एक अध्ययन में साप्ताहिक प्रेक्षण निम्नलिखित सारणी में दिए गए हैं:
सारणी 12.6
| जीवन-यापन सूचकांक | सप्ताहों की संख्या |
|---|---|
| $140-150$ | 5 |
| $150-160$ | 10 |
| $160-170$ | 20 |
| $170-180$ | 9 |
| $180-190$ | 6 |
| $190-200$ | 2 |
| योग | 52 |
उपरोक्त आंकड़ों के लिए एक आवृत्ति बहुभुज खींचें (हिस्टोग्राम का निर्माण किए बिना)।
हल : चूँकि हम हिस्टोग्राम के बिना आवृत्ति बहुभुज खींचना चाहते हैं, आइए उपरोक्त दिए गए वर्गों, अर्थात् $140-150,150-160, \ldots$ के वर्ग-चिह्न ज्ञात करें।
$140-150$ के लिए, ऊपरी सीमा $=150$, और निचली सीमा $=140$
इसलिए, वर्ग-चिह्न $=\frac{150+140}{2}=\frac{290}{2}=145$।
इसी तरह आगे बढ़ते हुए, हम अन्य वर्गों के वर्ग-चिह्न भी ज्ञात करते हैं। इस प्रकार, प्राप्त नई सारणी निम्नलिखित सारणी में दिखाई गई है:
सारणी 12.7
| वर्ग | वर्ग-चिह्न | बारंबारता |
|---|---|---|
| $140-150$ | 145 | 5 |
| $150-160$ | 155 | 10 |
| $160-170$ | 165 | 20 |
| $170-180$ | 175 | 9 |
| $180-190$ | 185 | 6 |
| $190-200$ | 195 | 2 |
| योग | 52 |
हम अब बारंबारता बहुभुज इस प्रकार खींच सकते हैं: वर्ग-चिह्नों को क्षैतिज अक्ष पर, बारंबारताओं को ऊध्र्वाधर अक्ष पर अंकित करें, फिर बिंदुओं $\mathrm{B}(145,5), \mathrm{C}(155,10), \mathrm{D}(165,20), \mathrm{E}(175,9), \mathrm{F}(185,6)$ और $\mathrm{G}(195,2)$ को रेखाखंडों से मिलाएँ। यह न भूलें कि सबसे न्यूनतम वर्ग 140 - 150 से ठीक पहले वाले वर्ग 130 - 140 के वर्ग-चिह्न के अनुरूप बिंदु शून्य बारंबारता के साथ अर्थात् $\mathrm{A}(135,0)$ को भी अंकित करें, और बिंदु $\mathrm{H}(205,0)$ तुरंत $\mathrm{G}(195,2)$ के बाद आता है। इस प्रकार परिणामी बारंबारता बहुभुज ABCDEFGH होगा (देखिए आकृति 12.8)।
आकृति 12.8
बारंबारता बहुभुज का प्रयोग तब किया जाता है जब आँकड़े सतत और बहुत बड़े हों। यह समान प्रकृति के दो भिन्न आँकड़ा-समूहों की तुलना करने में अत्यंत उपयोगी होता है, उदाहरणतः एक ही कक्षा के दो भिन्न खंडों के प्रदर्शन की तुलना करने में।
12.2 सारांश
इस अध्याय में आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:
1. डेटा को बार ग्राफ, हिस्टोग्राम और आवृत्ति बहुभुज के रूप में ग्राफ़िकल रूप से कैसे प्रस्तुत किया जा सकता है।
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