10.1 त्रिभुज का क्षेत्रफल — हीरो के सूत्र द्वारा

हम जानते हैं कि जब त्रिभुज की ऊँचाई दी हो, तो उसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊँचाई होता है। अब मान लीजिए कि हमें एक विषमबाहु त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ पता हैं, पर ऊँचाई नहीं। क्या आप फिर भी उसका क्षेत्रफल निकाल सकते हैं? उदाहरण के लिए, आपके पास एक त्रिकोणीय पार्क है जिसकी भुजाएँ 40 $\mathrm{m}, 32 \mathrm{~m}$, और $24 \mathrm{~m}$ हैं। आप इसका क्षेत्रफल कैसे निकालेंगे? निश्चित रूप से यदि आप सूत्र लगाना चाहें तो आपको इसकी ऊँचाई निकालनी होगी। पर हमारे पास ऊँचाई निकालने का कोई संकेत नहीं है। कोशिश करें। यदि आप इसे नहीं निकाल पाते, तो अगले खंड पर जाएँ।

हीरो का जन्म लगभग 10ई.पू. में संभवतः मिस्र के अलेक्जेंड्रिया में हुआ था। उन्होंने अनुप्रयुक्त गणित में कार्य किया। गणितीय और भौतिक विषयों पर उनके इतने अधिक और विविध कार्य हैं कि उन्हें इन क्षेत्रों का विश्वकोशीय लेखक माना जाता है। उनकी ज्यामितीय रचनाएँ मुख्यतः तीन पुस्तकों में लिखे गए मापन-संबंधी प्रश्नों से संबंधित हैं। पुस्तक I वर्गों, आयतों, त्रिभुजों, समलंबों (ट्रैपेज़िया), विभिन्न अन्य विशिष्ट चतुर्भुजों, नियमित बहुभुजों, वृत्तों, बेलन, शंकु, गोलों आदि के पृष्ठीय क्षेत्रफल से संबंधित है। इस पुस्तक में हीरो ने त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए प्रसिद्ध सूत्र तीनों भुजाओं के पदों में व्युत्पन्न किया है।

चित्र 10.1

त्रिभुज के क्षेत्रफल के बारे में हेरॉन द्वारा दिया गया सूत्र, हीरो का सूत्र के नाम से भी जाना जाता है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

$$ \text { Area of a triangle }=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$

जहाँ $a, b$ और $c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और $s=$ अर्ध-परिमाप, अर्थात् त्रिभुज के परिमाप का आधा $=\frac{a+b+c}{2}$,

यह सूत्र उन स्थितियों में उपयोगी है जहाँ त्रिभुज की ऊँचाई को आसानी से ज्ञात करना संभव नहीं है। आइए इसे ऊपर उल्लिखित त्रिभुजीय पार्क $\mathrm{ABC}$ के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए लागू करें (देखें चित्र 10.2)।

चित्र 10.2

आइए लें $a=40 \mathrm{~m}, b=24 \mathrm{~m}, c=32 \mathrm{~m}$,

ताकि हमारे पास $$s=\frac{40+24+32}{2} \mathrm{~m}=48 \mathrm{~m}$$ हो।

$s-a=(48-40) \mathrm{m}=8 \mathrm{~m}$,

$s-b=(48-24) \mathrm{m}=24 \mathrm{~m}$,

$s-c=(48-32) \mathrm{m}=16 \mathrm{~m}$।

इसलिए, पार्क $\mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{48 \times 8 \times 24 \times 16} \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$

हम देखते हैं कि $32^{2}+24^{2}=1024+576=1600=40^{2}$। इसलिए, पार्क की भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। सबसे बड़ी भुजा, अर्थात् $\mathrm{BC}$ जो कि $40 \mathrm{~m}$ है, कर्ण होगी और भुजाओं $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AC}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ होगा।

हम जाँच सकते हैं कि पार्क का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 32 \times 24 \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$ है।

हम पाते हैं कि जो क्षेत्रफल हमें मिला है वह हेरॉन के सूत्र से प्राप्त किए गए क्षेत्रफल के समान है।

अब हेरॉन के सूत्र का प्रयोग करके, आप इस तथ्य की पुष्टि अन्य त्रिभुजों के क्षेत्रफल निकालकर करें जिनकी चर्चा पहले की गई है, अर्थात्

(i) 10 $\mathrm{~cm}$ भुजा वाला समबाहु त्रिभुज।

(ii) असमान भुजा 8 $\mathrm{~cm}$ और प्रत्येक समान भुजा 5 $\mathrm{~cm}$ वाला समद्विबाहु त्रिभुज।

आप देखेंगे कि

(i) के लिए, हमारे पास $s=\frac{10+10+10}{2} \mathrm{~cm}=15 \mathrm{~cm}$ है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\sqrt{15(15-10)(15-10)(15-10)} \mathrm{cm}^{2}$

$$ =\sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5} \mathrm{~cm}^{2}=25 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) के लिए, हमारे पास $s=\frac{8+5+5}{2} \mathrm{~cm}=9 \mathrm{~cm}$ है

त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\sqrt{9(9-8)(9-5)(9-5)} \mathrm{~cm}^{2}=\sqrt{9 \times 1 \times 4 \times 4} \mathrm{~cm}^{2}=12 \mathrm{~cm}^{2}$।

अब हम कुछ और उदाहरण हल करते हैं:

उदाहरण 1 : एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी दो भुजाएँ 8 $\mathrm{~cm}$ और 11 $\mathrm{~cm}$ हैं और परिमाप 32 $\mathrm{~cm}$ है (देखिए आकृति 10.3)।

आकृति 10.3

हल : यहाँ हमारे पास त्रिभुज का परिमाप $=32 \mathrm{~cm}, a=8 \mathrm{~cm}$ और $b=11 \mathrm{~cm}$ है।

तीसरा पक्ष $c=32 \mathrm{~cm}-(8+11) \mathrm{cm}=13 \mathrm{~cm}$

इसलिए, $\quad 2 s=32$, अर्थात्, $s=16 \mathrm{~cm}$, $$ \begin{aligned} & s-a=(16-8) \mathrm{cm}=8 \mathrm{~cm}, \\ & s-b=(16-11) \mathrm{cm}=5 \mathrm{~cm}, \\ & s-c=(16-13) \mathrm{cm}=3 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ =\sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \mathrm{~cm}^{2}=8 \sqrt{30} \mathrm{~cm}^{2} $$

उदाहरण 2 : एक त्रिभुजाकार पार्क $A B C$ की भुजाएँ $120 \mathrm{~m}, 80 \mathrm{~m}$ और $50 \mathrm{~m}$ हैं (देखिए चित्र 10.4)। एक माली धनिया को इसके चारों ओर बाड़ लगानी है और अंदर घास लगानी है। उसे कितना क्षेत्रफल लगाना होगा? बाड़ लगाने की लागत ज्ञात कीजिए, यदि बार्बेड तार की दर ₹ 20 प्रति मीटर है और एक ओर 3 मीटर चौड़ा गेट छोड़ना है।

चित्र 10.4

हल : पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमारे पास है

$$ \begin{aligned} & 2 s=50 \mathrm{~m}+80 \mathrm{~m}+120 \mathrm{~m}=250 \mathrm{~m} . \\ \text { अर्थात्, } \quad & s=125 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

अब, $\quad \quad \quad \quad s-a=(125-120) \mathrm{~m}=5 \mathrm{~m}$,

$$ \begin{aligned} & s-b=(125-80) \mathrm{~m}=45 \mathrm{~m}, \\ & s-c=(125-50) \mathrm{~m}=75 \mathrm{~m} . \end{aligned} $$

इसलिए, पार्क का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ \begin{aligned} & =\sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75} \mathrm{~m}^{2} \ & =375 \sqrt{15} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

साथ ही, पार्क का परिमाप $=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}=250 \mathrm{~m}$

इसलिए, बाड़ लगाने के लिए आवश्यक तार की लंबाई $=250 \mathrm{~m}-3 \mathrm{~m}$ (गेट के लिए छोड़ने के लिए)

$$ =247 \mathrm{~m} $$

और इस प्रकार बाड़ लगाने की लागत $= 20 रुपये \times 247= 4940$ रुपये

उदाहरण 3 : एक त्रिकोणीय प्लॉट की भुजाएँ $3: 5: 7$ के अनुपात में हैं और इसका परिमाप $300 \mathrm{~m}$ है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए कि भुजाएँ, मीटर में, $3 x, 5 x$ और $7 x$ हैं (देखिए आकृति 10.5)।

तब, हम जानते हैं कि $3 x+5 x+7 x=300$ (त्रिभुज का परिमाप)

इसलिए, $15 x=300$, जो देता है $x=20$।

इसलिए त्रिभुज की भुजाएँ हैं $3 \times 20 \mathrm{~m}, 5 \times 20 \mathrm{~m}$ और $7 \times 20 \mathrm{~m}$

अर्थात्, $60 \mathrm{~m}, 100 \mathrm{~m}$ और $140 \mathrm{~m}$।

क्या आप अब क्षेत्रफल निकाल सकते हैं [हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके]?

हमारे पास $s=\frac{60+100+140}{2} \mathrm{~m}=150 \mathrm{~m}$,

आकृति 10.5

और क्षेत्रफल होगा $$ \begin{aligned} & \sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)} \mathrm{m}^{2} \\ & =\sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} \mathrm{~m}^{2} \\ & =1500 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

10.2 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है :

1. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल जब इसकी भुजाएँ $a, b$ और $c$ हों, तो हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है, जो इस प्रकार है

$$ \begin{aligned} \text { त्रिभुज का क्षेत्रफल } & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \text{जहाँ} \quad s & =\frac{a+b+c}{2} \end{aligned} $$