4.1 परिचय

पिछली कक्षाओं में आपने एक चर वाले रैखिक समीकरणों का अध्ययन किया है। क्या आप एक चर वाला रैखिक समीकरण लिख सकते हैं? आप कह सकते हैं कि $x+1=0, x+\sqrt{2}=0$ और $\sqrt{2} y+\sqrt{3}=0$ एक चर वाले रैखिक समीकरणों के उदाहरण हैं। आप यह भी जानते हैं कि ऐसे समीकरणों का एक अद्वितीय (अर्थात् एक और केवल एक) हल होता है। आपको यह भी याद होगा कि हल को संख्या रेखा पर कैसे दर्शाया जाता है। इस अध्याय में, एक चर वाले रैखिक समीकरणों के ज्ञान को याद किया जाएगा और उसे दो चरों तक विस्तारित किया जाएगा। आप ऐसे प्रश्नों पर विचार करेंगे: क्या दो चर वाले रैखिक समीकरण का हल होता है? यदि हाँ, तो क्या वह अद्वितीय है? हल कार्तीय समतल पर कैसा दिखता है? आप इन प्रश्नों के उत्तर देने के लिए अध्याय 3 में अध्ययन किए गए संकल्पनाओं का भी उपयोग करेंगे।

4.2 रैखिक समीकरण

आइए पहले याद करें कि आपने अब तक क्या अध्ययन किया है। निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:

2 x+5=0

इसका हल, अर्थात् समीकरण का मूल, $-\frac{5}{2}$ है। इसे संख्या रेखा पर नीचे दिखाए अनुसार दर्शाया जा सकता है:

चित्र 4.1

किसी समीकरण को हल करते समय आपको हमेशा निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखना चाहिए:

रैखिक समीकरण का हल प्रभावित नहीं होता जब:

(i) समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी (या घटाई) जाती है।

(ii) आप समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या भाग करते हैं।

आइए अब निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें: नागपुर में भारत और श्रीलंका के बीच खेले गए एकदिवसीय अंतरराष्ट्रीय क्रिकेट मैच में, दो भारतीय बल्लेबाजों ने मिलकर 176 रन बनाए। इस सूचना को समीकरण के रूप में व्यक्त करें।

यहाँ आप देख सकते हैं कि उनमें से किसी का भी स्कोर ज्ञात नहीं है, अर्थात् दो अज्ञात राशियाँ हैं। आइए उन्हें दर्शाने के लिए $x$ और $y$ का प्रयोग करें। तो, एक बल्लेबाज़ द्वारा बनाए गए रनों की संख्या $x$ है, और दूसरे द्वारा बनाए गए रनों की संख्या $y$ है। हम जानते हैं कि

x+y=176

जो कि अभीष्ट समीकरण है।

यह दो चरों में रैखिक समीकरण का एक उदाहरण है। ऐसे समीकरणों में चरों को $x$ और $y$ से दर्शाना रिवाज़ है, परंतु अन्य अक्षरों का भी प्रयोग किया जा सकता है। दो चरों में रैखिक समीकरणों के कुछ उदाहरण हैं:

$1.2 s+3 t=5, p+4 q=7, \pi u+5 v=9 \text { और } 3=\sqrt{2} x-7 y$

ध्यान दें कि आप इन समीकरणों को इस रूप में रख सकते हैं

$$1.2 s+3 t-5=0$, $p+4 q-7=0, \pi u+5 v-9=0$$

और

$$\sqrt{2} x-7 y-3=0$$, क्रमशः।

इसलिए, कोई भी समीकरण जिसे $a x+b y+c=0$ के रूप में रखा जा सके, जहाँ $a, b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और $a$ और $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं, दो चरों में रैखिक समीकरण कहलाता है। इसका अर्थ है कि आप ऐसे अनेकों समीकरणों के बारे में सोच सकते हैं।

उदाहरण 1 : निम्नलिखित में से प्रत्येक समीकरण को $a x+b y+c=0$ के रूप में लिखें और प्रत्येक स्थिति में $a, b$ और $c$ के मान बताएँ:

(i) $2 x+3 y=4.37$

(ii) $x-4=\sqrt{3} y$

(iii) $4=5 x-3 y$

(iv) $2 x=y$

हल : (i) $2 x+3 y=4.37$ को $2 x+3 y-4.37=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a=2, b=3$ और $c=-4.37$ है।

(ii) समीकरण $x-4=\sqrt{3} y$ को $x-\sqrt{3} y-4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a=1$, $b=-\sqrt{3}$ और $c=-4$ है।

(iii) समीकरण $4=5 x-3 y$ को $5 x-3 y-4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a=5, b=-3$ और $c=-4$ है। क्या आप सहमत हैं कि इसे $-5 x+3 y+4=0$ के रूप में भी लिखा जा सकता है? इस स्थिति में $a=-5, b=3$ और $c=4$ है।

(iv) समीकरण $2 x=y$ को $2 x-y+0=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a=2, b=-1$ और $c=0$ है।

$ax+b=0$ प्रकार के समीकरण भी दो चरों में रैखिक समीकरणों के उदाहरण हैं क्योंकि इन्हें a x+0 . y+b=0

के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, $4-3 x=0$ को $-3 x+0 . y+4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण 2 : निम्नलिखित में से प्रत्येक को दो चरों में समीकरण के रूप में लिखिए:

(i) $x=-5$

(ii) $y=2$

(iii) $2 x=3$

(iv) $5 y=2$

हल :

(i) $x=-5$ को $1 . x+0 . y=-5$, या $1 . x+0 . y+5=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(ii) $y=2$ को $0 . x+1 . y=2$, या $0 . x+1 . y-2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(iii) $2 x=3$ को $2 x+0 . y-3=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(iv) $5 y=2$ को $0 . x+5 y-2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

4.3 एक रैखिक समीकरण का हल

आपने देखा है कि एक चर वाली हर रैखिक समीकरण का एक अद्वितीय हल होता है। आप दो चरों वाली रैखिक समीकरण के हल के बारे में क्या कह सकते हैं? चूँकि समीकरण में दो चर हैं, इसलिए हल का अर्थ है मानों का एक युग्म—एक मान $x$ के लिए और एक मान $y$ के लिए—जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करे। आइए समीकरण $2x + 3y = 12$ पर विचार करें। यहाँ, $x = 3$ और $y = 2$ एक हल है क्योंकि जब आप $x = 3$ और $y = 2$ को ऊपर के समीकरण में रखते हैं, तो आप पाते हैं कि

$2x + 3y = (2 \times 3) + (3 \times 2) = 12$

इस हल को एक क्रमित युग्म $(3, 2)$ के रूप में लिखा जाता है, पहले $x$ का मान लिखकर और फिर $y$ का मान। इसी तरह, $(0, 4)$ भी ऊपर दिए गए समीकरण के लिए एक हल है।

दूसरी ओर, $(1, 4)$ समीकरण $2x + 3y = 12$ का हल नहीं है, क्योंकि $x = 1$ और $y = 4$ रखने पर हमें $2x + 3y = 14$ मिलता है, जो 12 नहीं है। ध्यान दें कि $(0, 4)$ एक हल है लेकिन $(4, 0)$ नहीं।

आपने $2 x+3 y=12$ के कम से कम दो हल देखे हैं, अर्थात् $(3,2)$ और $(0,4)$। क्या आप कोई अन्य हल खोज सकते हैं? क्या आप सहमत हैं कि $(6,0)$ एक अन्य हल है? इसकी जाँच करें। वास्तव में, हम निम्नलिखित तरीके से बहुत सारे हल प्राप्त कर सकते हैं। $2 x+3 y=12$ में $x$ के लिए अपनी पसंद का कोई मान चुनें (मान लीजिए $x=2$)। तब समीकरण $4+3 y=12$ में बदल जाता है, जो एक चर वाली रैखिक समीकरण है। इसे हल करने पर, आपको $y=\frac{8}{3}$ मिलता है। इसलिए $\left(2, \frac{8}{3}\right)$, $2 x+3 y=12$ का एक अन्य हल है। इसी प्रकार, $x=-5$ चुनने पर, आप पाते हैं कि समीकरण $-10+3 y=12$ हो जाती है। इससे $y=\frac{22}{3}$ प्राप्त होता है। इसलिए, $\left(-5, \frac{22}{3}\right)$, $2 x+3 y=12$ का एक अन्य हल है। इसलिए दो चरों वाली रैखिक समीकरण के विभिन्न हलों का कोई अंत नहीं है। अर्थात्, दो चरों वाली रैखिक समीकरण के अनंत हल होते हैं।

उदाहरण 3 : समीकरण $x+2 y=6$ के चार विभिन्न हल ज्ञात कीजिए।

हल : निरीक्षण द्वारा, $x=2, y=2$ एक हल है क्योंकि $x=2, y=2$ के लिए

$$ x+2 y=2+4=6 $$

अब, आइए $x=0$ चुनें। $x$ के इस मान के साथ, दिया गया समीकरण $2 y=6$ में परिवर्तित हो जाता है जिसका अद्वितीय हल $y=3$ है। इसलिए $x=0, y=3$ भी $x+2 y=6$ का एक हल है। इसी प्रकार, $y=0$ लेने पर, दिया गया समीकरण $x=6$ में परिवर्तित हो जाता है। इसलिए, $x=6, y=0$ भी $x+2 y=6$ का एक हल है। अंत में, आइए $y=1$ लें। दिया गया समीकरण अब $x+2=6$ में परिवर्तित हो जाता है, जिसका हल $x=4$ द्वारा दिया गया है। इसलिए, $(4,1)$ भी दिए गए समीकरण का एक हल है। इसलिए दिए गए समीकरण के अनंत हलों में से चार हल हैं:

$(2,2),(0,3),(6,0) \text { और }(4,1) \text {. }$

टिप्पणी : ध्यान दें कि एक हल प्राप्त करने का एक आसान तरीका यह है कि $x=0$ लिया जाए और $y$ का संगत मान प्राप्त किया जाए। इसी प्रकार, हम $y=0$ रख सकते हैं और $x$ का संगत मान प्राप्त कर सकते हैं।

उदाहरण 4 : निम्नलिखित प्रत्येक समीकरणों के लिए दो हल ज्ञात कीजिए:

(i) $4 x+3 y=12$

(ii) $2 x+5 y=0$

(iii) $3 y+4=0$

हल : (i) $x=0$ लेने पर, हमें $3 y=12$ मिलता है, अर्थात्, $y=4$। इसलिए, $(0,4)$ दिए गए समीकरण का एक हल है। इसी प्रकार, $y=0$ लेने पर, हमें $x=3$ मिलता है। इस प्रकार, $(3,0)$ भी एक हल है।

(ii) $x=0$ लेने पर, हमें $5 y=0$ मिलता है, अर्थात्, $y=0$। इसलिए $(0,0)$ दिए गए समीकरण का एक हल है। अब, यदि आप $y=0$ लें, तो आपको पुनः $(0,0)$ एक हल के रूप में मिलता है, जो पिछले वाले के समान है। एक अन्य हल प्राप्त करने के लिए, मान लीजिए $x=1$ लें। तब आप जांच सकते हैं कि $y$ का संगत मान $-\frac{2}{5} \cdot$ है। इसलिए $\left(1,-\frac{2}{5}\right)$, $2 x+5 y=0$ का एक अन्य हल है।

(iii) समीकरण $3 y+4=0$ को $0 \cdot x+3 y+4=0$ के रूप में लिखने पर, आप पाएंगे कि $x$ के किसी भी मान के लिए $y=-\frac{4}{3}$ है। इस प्रकार, दो हल दिए जा सकते हैं $\left(0,-\frac{4}{3}\right)$ और $\left(1,-\frac{4}{3}\right)$।

4.4 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. $a x+b y+c=0$ रूप का समीकरण, जहाँ $a, b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तथा $a$ और $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं, को दो चरों में रैखिक समीकरण कहा जाता है।

2. दो चरों वाला रैखिक समीकरण अनंत संख्या में हल रखता है।

3. दो चरों वाले रैखिक समीकरण के आलेख पर प्रत्येक बिंदु रैखिक समीकरण का एक हल होता है। इसके अतिरिक्त, रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल रैखिक समीकरण के आलेख पर एक बिंदु होता है।