8.1 परिचय

आपने संख्याओं का अध्ययन आसपास की वस्तुओं को गिनकर शुरू किया। इस उद्देश्य के लिए प्रयोग की जाने वाली संख्याओं को गिनती संख्याएँ या प्राकृत संख्याएँ कहा जाता था। वे $1,2,3,4, \ldots$ हैं। प्राकृत संख्याओं में 0 को शामिल करके हमें पूर्ण संख्याएँ मिलीं, अर्थात् $0,1,2,3, \ldots$ प्राकृत संख्याओं के ऋणात्मक रूपों को फिर पूर्ण संख्याओं के साथ मिलाकर पूर्णांक बनाए गए। पूर्णांक $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$ होते हैं। हमने इस प्रकार संख्या प्रणाली का विस्तार किया, प्राकृत संख्याओं से पूर्ण संख्याओं तक और पूर्ण संख्याओं से पूर्णांकों तक।

आपको भिन्नों से भी परिचय कराया गया। ये संख्याएँ $\frac{\text{ अंश }}{\text{ हर }}$ के रूप की होती हैं, जहाँ अंश या तो 0 होता है या एक धनात्मक पूर्णांक और हर एक धनात्मक पूर्णांक होता है। आपने दो भिन्नों की तुलना की, उनके तुल्य रूप खोजे और उन पर योग, व्यवकलन, गुणा और भाग ये चारों मूलभूत संक्रियाएँ सीखीं।

इस अध्याय में, हम संख्या प्रणाली को और आगे बढ़ाएँगे। हम परिमेय संख्याओं की संकल्पना का परिचय करेंगे साथ ही उनकी योग, व्यवकलन, गुणा और भाग संक्रियाओं को भी।

8.2 परिमेय संख्याओं की आवश्यकता

पहले, हमने देखा था कि किस प्रकार पूर्णांकों का प्रयोग संख्याओं से संबंधित विपरीत परिस्थितियों को दर्शाने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी स्थान से $3 km$ दायीं ओर की दूरी को 3 से दर्शाया गया, तो उसी स्थान से $5 km$ बायीं ओर की दूरी को -5 से दर्शाया जा सकता है। यदि ₹ 150 का लाभ 150 से दर्शाया गया, तो ₹ 100 की हानि को -100 लिखा जा सकता है।

ऊपर दी गई स्थितियों के समान कई स्थितियाँ हैं जिनमें भिन्न संख्याएँ शामिल होती हैं। आप समुद्र तल से $750 m$ की दूरी को $\frac{3}{4} km$ के रूप में दर्शा सकते हैं। क्या हम $750 m$ की दूरी समुद्र तल से नीचे को $km$ में दर्शा सकते हैं? क्या हम समुद्र तल से $\frac{3}{4} km$ नीचे की दूरी को $\frac{-3}{4}$ द्वारा दर्शा सकते हैं? हम देख सकते हैं कि $\frac{-3}{4}$ न तो कोई पूर्णांक है और न ही कोई भिन्न संख्या। हमें ऐसी संख्याओं को शामिल करने के लिए अपनी संख्या प्रणाली का विस्तार करना होगा।

8.3 परिमेय संख्याएँ क्या होती हैं?

‘परिमेय’ शब्द ‘अनुपात’ शब्द से उत्पन्न होता है। आप जानते हैं कि 3:2 जैसा अनुपात $\frac{3}{2}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है। यहाँ 3 और 2 प्राकृत संख्याएँ हैं।

इसी प्रकार, दो पूर्णांकों $p$ और $q(q \neq 0)$ का अनुपात, अर्थात् $p: q$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यही वह रूप है जिसमें परिमेय संख्याएँ व्यक्त की जाती हैं।

एक परिमेय संख्या को एक ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

इस प्रकार, $\frac{4}{5}$ एक परिमेय संख्या है। यहाँ, $p=4$ और $q=5$ है।

क्या $\frac{-3}{4}$ भी एक परिमेय संख्या है? हाँ, क्योंकि $p=-3$ और $q=4$ पूर्णांक हैं।

• आपने $\frac{3}{8}, \frac{4}{8}, 1 \frac{2}{3}$ आदि जैसी कई भिन्न संख्याएँ देखी हैं। सभी भिन्न संख्याएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं। क्या आप बता सकते हैं क्यों?

क्या दशमलव संख्याएँ जैसे 0.5, 2.3, आदि? ऐसी प्रत्येक संख्या को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है और, इसलिए, परिमेय संख्याएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, $0.5=\frac{5}{10}$, $0.333=\frac{333}{1000}$ आदि।

इन्हें आज़माइए

1. क्या संख्या $\frac{2}{-3}$ परिमेय है? इसके बारे में सोचिए।

2. दस परिमेय संख्याएँ सूचीबद्ध कीजिए।

अंश और हर

$\frac{p}{q}$ में, पूर्णांक $p$ अंश होता है, और पूर्णांक $q(\neq 0)$ हर होता है।

इस प्रकार, $\frac{-3}{7}$ में, अंश -3 है और हर 7 है।

पाँच-पाँच परिमेय संख्याएँ बताइए जिनमें

(a) अंश एक ऋणात्मक पूर्णांक हो और हर एक धनात्मक पूर्णांक हो।

(b) अंश एक धनात्मक पूर्णांक हो और हर एक ऋणात्मक पूर्णांक हो।

(c) अंश और हर दोनों ही ऋणात्मक पूर्णांक हों।

(d) अंश और हर दोनों ही धनात्मक पूर्णांक हों।

• क्या पूर्णांक भी परिमेय संख्याएँ होती हैं?

कोई भी पूर्णांक परिमेय संख्या के रूप में सोचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, पूर्णांक -5 एक परिमेय संख्या है, क्योंकि आप इसे $\frac{-5}{1}$ के रूप में लिख सकते हैं। पूर्णांक 0 को भी $0=\frac{0}{2}$ या $\frac{0}{7}$ आदि के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, यह भी एक परिमेय संख्या है।

इस प्रकार, परिमेय संख्याओं में पूर्णांक और भिन्न दोनों सम्मिलित होते हैं।

समतुल्य परिमेय संख्याएँ

एक परिमेय संख्या को भिन्न-भिन्न अंशों और हरों के साथ लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्या $\frac{-2}{3}$ पर विचार कीजिए।

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{3}=\frac{-2 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-4}{6} \text{। हम देखते हैं कि } \frac{-2}{3} \text{ वही है जो } \frac{-4}{6} \text{ है।} \ & \frac{-2}{3}=\frac{(-2) \times(-5)}{3 \times(-5)}=\frac{10}{-15} \text{। इसलिए, } \frac{-2}{3} \text{ वही है जो } \frac{10}{-15} \text{ है।} \end{aligned} $

इस प्रकार, $\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}=\frac{10}{-15}$। ऐसे परिमेय संख्याएँ जो एक-दूसरे के बराबर हैं, एक-दूसरे के तुल्य कही जाती हैं।

$ \text{ पुनः, } \quad \frac{10}{-15}=\frac{-10}{15} \text{ (कैसे?) } $

इन्हें आज़माइए

खाली बक्सों को भरिए:

(i) $\frac{5}{4}=\frac{\square}{16}=\frac{25}{\square}=\frac{-15}{\square}$

(ii) $\frac{-3}{7}=\frac{\square}{14}=\frac{9}{\square}=\frac{-6}{\square}$

किसी परिमेय संख्या के अंश और हर को एक ही अशून्य पूर्णांक से गुणा करने पर, हमें दी गई परिमेय संख्या के तुल्य एक अन्य परिमेय संख्या प्राप्त होती है। यह तुल्य भिन्न प्राप्त करने जैसा ही है।

जैसे गुणा, वैसे ही अंश और हर को एक ही अशून्य पूर्णांक से भाग देने पर भी तुल्य परिमेय संख्याएँ प्राप्त होती हैं। उदाहरण के लिए,

$ \begin{gathered} \frac{10}{-15}=\frac{10 \div(-5)}{-15 \div(-5)}=\frac{-2}{3}, \quad \frac{-12}{24}=\frac{-12 \div 12}{24 \div 12}=\frac{-1}{2} \\ \text{ हम } \frac{-2}{3} \text{ को }-\frac{2}{3}, \frac{-10}{15} \text{ को }-\frac{10}{15}, \text{ आदि लिखते हैं। } \end{gathered} $

8.4 धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ

परिमेय संख्या $\frac{2}{3}$ पर विचार कीजिए। इस संख्या के अंश और हर दोनों धनात्मक पूर्णांक हैं। ऐसी परिमेय संख्या को धनात्मक परिमेय संख्या कहा जाता है। इसलिए, $\frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{2}{9}$

इन्हें आज़माइए

1. क्या 5 एक धनात्मक परिमेय संख्या है?

2. पाँच और धनात्मक परिमेय संख्याएँ सूचीबद्ध कीजिए। आदि धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं।

$\frac{-3}{5}$ का अंश ऋणात्मक पूर्णांक है, जबकि हर धनात्मक पूर्णांक है। ऐसी परिमेय संख्या को ऋणात्मक परिमेय संख्या कहा जाता है। इसलिए, $\frac{-5}{7}, \frac{-3}{8}, \frac{-9}{5}$ आदि ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ हैं।

• क्या $\frac{8}{-3}$ एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है? हम जानते हैं कि $\frac{8}{-3}=\frac{8 \times-1}{-3 \times-1}=\frac{-8}{3}$, और $\frac{-8}{3}$ एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है। इसलिए, $\frac{8}{-3}$ एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है।

इसी प्रकार, $\frac{5}{-7}, \frac{6}{-5}, \frac{2}{-9}$ आदि सभी ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ हैं। ध्यान दें कि इनके अंश धनात्मक और हर ऋणात्मक हैं।

• संख्या 0 न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक परिमेय संख्या है।
• $\frac{-3}{-5}$ के बारे में क्या?

आप देखेंगे कि $\frac{-3}{-5}=\frac{-3 \times(-1)}{-5 \times(-1)}=\frac{3}{5}$। इसलिए, $\frac{-3}{-5}$ एक धनात्मक परिमेय संख्या है। इस प्रकार, $\frac{-2}{-5}, \frac{-5}{-3}$ आदि धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं।

इन्हें आज़माइए

इनमें से कौन-सी ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ हैं?

(i) $\frac{-2}{3}$

(ii) $\frac{5}{7}$

(iii) $\frac{3}{-5}$

(iv) 0

(v) $\frac{6}{11}$

(vi) $\frac{-2}{-9}$

8.5 संख्या रेखा पर परिमेय संख्याएँ

आप जानते हैं कि पूर्णांकों को संख्या रेखा पर कैसे दर्शाया जाता है। आइए एक ऐसी संख्या रेखा बनाएँ।

0 के दाईं ओर के बिंदुओं को + चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है और ये धनात्मक पूर्णांक होते हैं। 0 के बाईं ओर के बिंदुओं को - चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है और ये ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं।

संख्या रेखा पर भिन्नों का प्रतिनिधित्व भी आपको ज्ञात है।

आइए देखें कि परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर कैसे दर्शाया जा सकता है।

आइए संख्या $-\frac{1}{2}$ को संख्या रेखा पर दर्शाएं।

जैसा कि धनात्मक पूर्णांकों के मामले में किया गया है, धनात्मक परिमेय संख्याओं को 0 के दाईं ओर चिह्नित किया जाएगा और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को 0 के बाईं ओर चिह्नित किया जाएगा।

आप $-\frac{1}{2}$ को 0 के किस ओर चिह्नित करेंगे? एक ऋणात्मक परिमेय संख्या होने के कारण, इसे 0 के बाईं ओर चिह्नित किया जाएगा।

आप जानते हैं कि संख्या रेखा पर पूर्णांकों को चिह्नित करते समय, क्रमिक पूर्णांकों को समान अंतराल पर चिह्नित किया जाता है। साथ ही, 0 से, युग्म 1 और -1 समान दूरी पर हैं। इसी प्रकार युग्म 2 और $-2,3$ और -3 भी हैं।

इसी प्रकार, परिमेय संख्याएं $\frac{1}{2}$ और $-\frac{1}{2}$ भी 0 से समान दूरी पर होंगी। हम जानते हैं कि परिमेय संख्या $\frac{1}{2}$ को कैसे चिह्नित किया जाता है। इसे उस बिंदु पर चिह्नित किया जाता है जो 0 और 1 के बीच की दूरी का आधा है। इसलिए, $-\frac{1}{2}$ को उस बिंदु पर चिह्नित किया जाएगा जो 0 और -1 के बीच की दूरी का आधा है।

हम जानते हैं कि संख्या रेखा पर $\frac{3}{2}$ को कैसे चिह्नित किया जाता है। यह 0 के दाईं ओर चिह्नित किया जाता है और 1 तथा 2 के ठीक बीच में स्थित होता है। आइए अब संख्या रेखा पर $\frac{-3}{2}$ को चिह्नित करें। यह 0 के बाईं ओर स्थित होता है और 0 से उतनी ही दूरी पर है जितनी $\frac{3}{2}$ है।

घटते क्रम में हमारे पास $\frac{-1}{2}, \frac{-2}{2}(=-1), \frac{-3}{2}, \frac{-4}{2}(=-2)$ हैं। यह दर्शाता है कि $\frac{-3}{2}$ -1 और -2 के बीच में स्थित है। इस प्रकार, $\frac{-3}{2}$ -1 और -2 के ठीक बीच में स्थित होता है।

इसी प्रकार, $-\frac{1}{3}$ शून्य के बाईं ओर है और शून्य से उतनी ही दूरी पर है जितनी $\frac{1}{3}$ दाईं ओर है। इसलिए जैसे ऊपर किया गया है, $-\frac{1}{3}$ को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। एक बार जब हम जान जाते हैं कि $-\frac{1}{3}$ को संख्या रेखा पर कैसे दर्शाया जाता है, तो हम $-\frac{2}{3},-\frac{4}{3},-\frac{5}{3}$ आदि को भी दर्शा सकते हैं।

8.6 मानक रूप में परिमेय संख्याएँ

परिमेय संख्याओं $\frac{3}{5}, \frac{-5}{8}, \frac{2}{7}, \frac{-7}{11}$ को देखिए।

इन परिमेय संख्याओं के हर धनात्मक पूर्णांक हैं और अंश तथा हर के बीच केवल 1 ही उभयनिष्ठ गुणनखंड है। इसके अतिरिक्त, ऋणात्मक चिह्न केवल अंश में ही आता है।

ऐसी परिमेय संख्याओं को मानक रूप में कहा जाता है।

एक परिमेय संख्या को मानक रूप में कहा जाता है यदि इसका हर एक धनात्मक पूर्णांक हो और अंश तथा हर में 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।

यदि कोई परिमेय संख्या मानक रूप में न हो, तो उसे मानक रूप में लाया जा सकता है।

याद कीजिए कि भिन्नों को उनके न्यूनतम रूप में लाने के लिए हम भिन्न के अंश तथा हर को किसी एक ही अशून्य धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करते थे। परिमेय संख्याओं को उनके मानक रूप में लाने के लिए भी हम वही विधि प्रयोग करेंगे।

उदाहरण 1 $\frac{-45}{30}$ को मानक रूप में लाइए।

हल

हमारे पास, $\frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 3}{30 \div 3}=\frac{-15}{10}=\frac{-15 \div 5}{10 \div 5}=\frac{-3}{2}$

हमें दो बार विभाजित करना पड़ा। पहली बार 3 से और फिर 5 से। यह इस प्रकार भी किया जा सकता था

$ \frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 15}{30 \div 15}=\frac{-3}{2} $

इस उदाहरण में ध्यान दीजिए कि 15, 45 और 30 का महत्तम समापवर्तक है।

इस प्रकार, परिमेय संख्या को उसके मानक रूप में लाने के लिए हम उसके अंश तथा हर को उनके महत्तम समापवर्तक से विभाजित करते हैं, ऋणात्मक चिह्न की उपेक्षा करते हुए, यदि कोई हो। (ऋणात्मक चिह्न की उपेक्षा करने का कारण उच्च कक्षाओं में पढ़ाया जाएगा)

यदि हर में ऋणात्मक चिह्न हो, तो ‘$-HCF$’ से विभाजित कीजिए।

उदाहरण 2 मानक रूप में लाइए:

(i) $\frac{36}{-24}$

(ii) $\frac{-3}{-15}$

हल

(i) 36 और 24 का महत्तम समापवर्तक 12 है।

इस प्रकार, इसका मानक रूप -12 से विभाजित करके प्राप्त होगा।

$ \frac{36}{-24}=\frac{36 \div(-12)}{-24 \div(-12)}=\frac{-3}{2} $

(ii) 3 और 15 का महत्तम समापवर्तक 3 है।

इस प्रकार, $\frac{-3}{-15}=\frac{-3 \div(-2)}{-15 \div(-3)}=\frac{1}{5}$

इन्हें आज़माइए

मानक रूप ज्ञात कीजिए

(i) $\frac{-18}{45}$

(ii) $\frac{-12}{18}$

8.7 परिमेय संख्याओं की तुलना

हम जानते हैं कि दो पूर्णांकों या दो भिन्नों की तुलना कैसे करनी है और यह बताना है कि उनमें से कौन-सी छोटी है और कौन-सी बड़ी है। अब देखते हैं कि हम दो परिमेय संख्याओं की तुलना कैसे कर सकते हैं।

• दो धनात्मक परिमेय संख्याओं, जैसे $\frac{2}{3}$ और $\frac{5}{7}$ की तुलना भिन्नों के मामले में पहले की गई विधि से की जा सकती है।
• मेरी ने दो ऋणात्मक परिमेय संख्याओं $-\frac{1}{2}$ और $-\frac{1}{5}$ की संख्या रेखा का उपयोग कर तुलना की। वह जानती थी कि जो पूर्णांक दूसरे पूर्णांक के दाहिनी ओर होता है, वह बड़ा पूर्णांक होता है।

उदाहरण के लिए, संख्या रेखा पर 5, 2 के दाहिनी ओर है और $5>2$ है। पूर्णांक -2, -5 के दाहिनी ओर है और $-2>-5$ है।

उसने इस विधि को परिमेय संख्याओं पर भी लगाया। वह संख्या रेखा पर परिमेय संख्याओं को चिह्नित करना जानती थी। उसने $-\frac{1}{2}$ और $-\frac{1}{5}$ इस प्रकार चिह्नित किए:

क्या उसने दो बिंदुओं को सही ढंग से चिह्नित किया है? उसने (-\frac{1}{2}) को (-\frac{5}{10}) और (-\frac{1}{5}) को (-\frac{2}{10}) में कैसे और क्यों बदला? उसने पाया कि (-\frac{1}{5}), (-\frac{1}{2}) के दाईं ओर है। इस प्रकार, (-\frac{1}{5}>-\frac{1}{2}) या (-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5})। क्या आप (-\frac{3}{4}) और (-\frac{2}{3}) की तुलना कर सकते हैं? (-\frac{1}{3}) और (-\frac{1}{5}) की?

हम भिन्नों के अध्ययन से जानते हैं कि (\frac{1}{5}<\frac{1}{2})। और मैरी ने (-\frac{1}{2}) और (-\frac{1}{5}) के लिए क्या प्राप्त किया? क्या यह ठीक उलट नहीं था?

आप पाएंगे कि (\frac{1}{2}>\frac{1}{5}) लेकिन (-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5})।

क्या आप (-\frac{3}{4},-\frac{2}{3}) और (-\frac{1}{3},-\frac{1}{5}) के लिए भी यही देखते हैं?

मैरी को याद आया कि पूर्णांकों में उसने पढ़ा था (4>3) लेकिन (-4<-3,5>2) लेकिन (-5<-2) आदि।

• ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के युग्मों का मामला भी इसी तरह है। दो ऋणात्मक परिमेय संख्याओं की तुलना करने के लिए, हम उनके ऋणात्मक चिह्नों को नजरअंदाज करके तुलना करते हैं और फिर क्रम को उलट देते हैं।

उदाहरण के लिए, (-\frac{7}{5}) और (-\frac{5}{3}) की तुलना करने के लिए, हम पहले (\frac{7}{5}) और (\frac{5}{3}) की तुलना करते हैं।

हमें (\frac{7}{5}<\frac{5}{3}) मिलता है और निष्कर्ष निकालते हैं कि (\frac{-7}{5}>\frac{-5}{3})।

ऐसे पांच और युग्म लीजिए और उनकी तुलना कीजिए।

कौन सा बड़ा है $-\frac{3}{8}$ या $-\frac{2}{7} ? ;-\frac{4}{3}$ या $-\frac{3}{2}$ ?

• एक ऋणात्मक और एक धनात्मक परिमेय संख्या की तुलना स्पष्ट होती है। एक ऋणात्मक परिमेय संख्या संख्या रेखा पर शून्य के बाईं ओर होती है जबकि एक धनात्मक परिमेय संख्या शून्य के दाईं ओर होती है। इसलिए, एक ऋणात्मक परिमेय संख्या हमेशा एक धनात्मक परिमेय संख्या से छोटी होगी।

इस प्रकार, $-\frac{2}{7}<\frac{1}{2}$।

• परिमेय संख्याओं $\frac{-3}{-5}$ और $\frac{-2}{-7}$ की तुलना करने के लिए उन्हें उनकी मानक रूप में लाएं और फिर उनकी तुलना करें।

उदाहरण 3 क्या $\frac{4}{-9}$ और $\frac{-16}{36}$ एक ही परिमेय संख्या को दर्शाते हैं?

हल

हाँ, क्योंकि $\frac{4}{-9}=\frac{4 \times(-4)}{9 \times(-4)}=\frac{-16}{36}$ या $\frac{-16}{36}=\frac{-16+-4}{35 \div-4}=\frac{-4}{-9}$।

8.8 दो परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएं

रेशमा 3 और 10 के बीच पूर्ण संख्याओं को गिनना चाहती थी। अपनी पिछली कक्षाओं से, वह जानती थी कि 3 और 10 के बीच ठीक 6 पूर्ण संख्याएं होंगी। इसी तरह, वह -3 और 3 के बीच पूर्णांकों की कुल संख्या जानना चाहती थी। -3 और 3 के बीच पूर्णांक $-2,-1,0,1,2$ हैं। इस प्रकार, -3 और 3 के बीच ठीक 5 पूर्णांक हैं।

क्या -3 और -2 के बीच कोई पूर्णांक हैं? नहीं, -3 और -2 के बीच कोई पूर्णांक नहीं है। दो क्रमागत पूर्णांकों के बीच पूर्णांकों की संख्या 0 होती है।

इस प्रकार, हम पाते हैं कि दो पूर्णांकों के बीच पूर्णांकों की संख्या सीमित (समाप्त) होती है।

क्या यही बात परिमेय संख्याओं के मामले में भी होगी?

रेशमा ने दो परिमेय संख्याएँ $\frac{-3}{5}$ और $\frac{-1}{3}$ लीं।

उसने उन्हें समान हरों वाली परिमेय संख्याओं में बदला।

तो

$ \frac{-3}{5}=\frac{-9}{15} \text{ और } \frac{-1}{3}=\frac{-5}{15} $

हमारे पास $\quad \frac{-9}{15}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-5}{15}$ या $\frac{-3}{5}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-1}{3}$

वह $\frac{-3}{5}$ और $\frac{-1}{3}$ के बीच परिमेय संख्याएँ $\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}$ खोज सकी।

क्या संख्याएँ $\frac{-8}{15}, \frac{-7}{15}, \frac{-6}{15}$ केवल $-\frac{3}{5}$ और $-\frac{1}{3}$ के बीच की परिमेय संख्याएँ हैं?

हमारे पास $\quad \frac{-3}{5}<\frac{-18}{30}$ और $\frac{-8}{15}<\frac{-16}{30}$

और

अतः

$ \frac{-18}{30}<\frac{-17}{30}<\frac{-16}{30} \text{ अर्थात् } \frac{-3}{5}<\frac{-17}{30}<\frac{-8}{15} $

$ \frac{-3}{5}<\frac{-17}{30}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-1}{3} $

इसलिए, हम $\frac{-3}{5}$ और $\frac{-1}{3}$ के बीच एक और परिमेय संख्या खोज सके।

इस विधि का प्रयोग करके, आप दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच जितनी चाहें उतनी परिमेय संख्याएँ डाल सकते हैं।

इन्हें आज़माएँ

$\frac{-5}{7}$ और $\frac{-3}{8}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ खोजें। उदाहरण के लिए, $\quad \frac{-3}{5}=\frac{-3 \times 30}{5 \times 30}=\frac{-90}{150}$ और $\frac{-1}{3}=\frac{-1 \times 50}{3 \times 50}=\frac{-50}{150}$

हमें $\frac{-90}{150}$ और $\frac{-50}{150}$ यानी $\frac{-3}{5}$ और $\frac{-1}{3}$ के बीच 39 परिमेय संख्याएँ $(\frac{-89}{150}, \ldots, \frac{-51}{150})$ मिलती हैं। आप पाएँगे कि यह सूची अनंत है।

क्या आप $\frac{-5}{3}$ और $\frac{-8}{7}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ सूचीबद्ध कर सकते हैं?

हम किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं के बीच असीमित संख्या में परिमेय संख्याएँ पा सकते हैं।

उदाहरण 4 -2 और -1 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ सूचीबद्ध करें।

हल

आइए हम -1 और -2 को हर 5 वाली परिमेय संख्याओं के रूप में लिखें। (क्यों?)

हमारे पास, $-1=\frac{-5}{5}$ और $-2=\frac{-10}{5}$

इसलिए, $\quad \frac{-10}{5}<\frac{-9}{5}<\frac{-8}{5}<\frac{-7}{5}<\frac{-6}{5}<\frac{-5}{5}$ या $-2<\frac{-9}{5}<\frac{-8}{5}<\frac{-7}{5}<\frac{-6}{5}<-1$

-2 और -1 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ होंगी, $\frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}, \frac{-7}{5}$

(आप $\frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}, \frac{-7}{5}, \frac{-6}{5}$ में से कोई भी तीन ले सकते हैं)

उदाहरण 5 निम्नलिखित पैटर्न में चार और संख्याएँ लिखें:

$ \frac{-1}{3}, \frac{-2}{6}, \frac{-3}{9}, \frac{-4}{12}, \ldots $

हल

हमारे पास,

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{6}=\frac{-1 \times 2}{3 \times 2}, \frac{-3}{9}=\frac{-1 \times 3}{3 \times 3}, \frac{-4}{12}=\frac{-1 \times 4}{3 \times 4} \ & \frac{-1 \times 1}{3 \times 1}=\frac{-1}{3}, \frac{-1 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-2}{6}, \frac{-1 \times 3}{3 \times 3}=\frac{-3}{9}, \frac{-1 \times 4}{3 \times 4}=\frac{-4}{12} \end{aligned} $

या

$ \text{ इन संख्याओं में एक पैटर्न है। } $

अन्य संख्याएँ होंगी $\frac{-1 \times 5}{3 \times 5}=\frac{-5}{15}, \frac{-1 \times 6}{3 \times 6}=\frac{-6}{18}, \frac{-1 \times 7}{3 \times 7}=\frac{-7}{21}$।

प्रश्नावली 8.1

1. निम्नलिखित के बीच में पाँच परिमेय संख्याएँ सूचीबद्ध कीजिए:

(i) -1 और 0

(ii) -2 और -1

(iii) $\frac{-4}{5}$ और $\frac{-2}{3}$

(iv) $-\frac{1}{2}$ और $\frac{2}{3}$

2. निम्नलिखित प्रत्येक प्रतिरूप में चार और परिमेय संख्याएँ लिखिए:

(i) $\frac{-3}{5}, \frac{-6}{10}, \frac{-9}{15}, \frac{-12}{20}, \ldots$.

(ii) $\frac{-1}{4}, \frac{-2}{8}, \frac{-3}{12}, \ldots$.

(iii) $\frac{-1}{6}, \frac{2}{-12}, \frac{3}{-18}, \frac{4}{-24}, \ldots .$.

(iv) $\frac{-2}{3}, \frac{2}{-3}, \frac{4}{-6}, \frac{6}{-9}, \ldots$.

3. निम्नलिखित के समतुल्य चार परिमेय संख्याएँ दीजिए:

(i) $\frac{-2}{7}$

(ii) $\frac{5}{-3}$

(iii) $\frac{4}{9}$

4. संख्या रेखा खींचिए और निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को उस पर निरूपित कीजिए:

(i) $\frac{3}{4}$

(ii) $\frac{-5}{8}$

(iii) $\frac{-7}{4}$

(iv) $\frac{7}{8}$

5. संख्या रेखा पर बिंदु $P, Q, R, S, T, U, A$ और $B$ इस प्रकार हैं कि, $TR=RS=SU$ और $AP=PQ=QB$। $P, Q, R$ और $S$ द्वारा निरूपित परिमेय संख्याओं के नाम लिखिए।

6. निम्नलिखित में से कौन-से युग्म समान परिमेय संख्या को निरूपित करते हैं?

(i) $\frac{-7}{21}$ और $\frac{3}{9}$

(ii) $\frac{-16}{20}$ और $\frac{20}{-25}$

(iii) $\frac{-2}{-3}$ और $\frac{2}{3}$

(iv) $\frac{-3}{5}$ और $\frac{-12}{20}$

(v) $\frac{8}{-5}$ और $\frac{-24}{15}$

(vi) $\frac{1}{3}$ और $\frac{-1}{9}$

(vii) $\frac{-5}{-9}$ और $\frac{5}{-9}$

7. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को सरलतम रूप में लिखिए:

(i) $\frac{-8}{6}$

(ii) $\frac{25}{45}$

(iii) $\frac{-44}{72}$

(iv) $\frac{-8}{10}$

8. बॉक्सों में $>,<$, और $=$ में से सही प्रतीक भरिए।

(i) $\frac{-5}{7} \square \frac{2}{3}$

(ii) $\frac{-4}{5} \square \frac{-5}{7}$

(iii) $\frac{-7}{8} \square \frac{14}{-16}$

(iv) $\frac{-8}{5} \square \frac{-7}{4}$

(v) $\frac{1}{-3} \square \frac{-1}{4}$

(vi) $\frac{5}{-11} \square \frac{-5}{11}$

(vii) $0 \square \frac{-7}{6}$

9. निम्नलिखित में से प्रत्येक में कौन बड़ा है:

(i) $\frac{2}{3}, \frac{5}{2}$

(ii) $\frac{-5}{6}, \frac{-4}{3}$

(iii) $\frac{-3}{4}, \frac{2}{-3}$

(iv) $\frac{-1}{4}, \frac{1}{4}$

(v) $-3 \frac{2}{7},-3 \frac{4}{5}$

10. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को आरोही क्रम में लिखिए:

(i) $\frac{-3}{5}, \frac{-2}{5}, \frac{-1}{5}$

(ii) $\frac{-1}{3}, \frac{-2}{9}, \frac{-4}{3}$

(iii) $\frac{-3}{7}, \frac{-3}{2}, \frac{-3}{4}$

8.9 परिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ

आप जानते हैं कि पूर्णांकों और भिन्नों को कैसे जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जाता है। आइए अब परिमेय संख्याओं पर इन मूलभूत संक्रियाओं का अध्ययन करें।

8.9.1 योग

• आइए हम दो परिमेय संख्याओं को समान हरों के साथ जोड़ते हैं, मान लीजिए $\frac{7}{3}$ और $\frac{-5}{3}$।

हम $\frac{7}{3}+(\frac{-5}{3})$ निकालते हैं।

संख्या रेखा पर, हमारे पास है:

दो क्रमागत बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{1}{3}$ है। इसलिए $\frac{7}{3}$ में $\frac{-5}{3}$ जोड़ने का अर्थ होगा, $\frac{7}{3}$ के बाईं ओर बढ़ना, 5 छलांग लगाना। हम कहाँ पहुँचते हैं? हम $\frac{2}{3}$ पर पहुँचते हैं।

इसलिए, $\quad \frac{7}{3}+(\frac{-5}{3})=\frac{2}{3}$।

आइए अब इस तरह से कोशिश करें:

$ \frac{7}{3}+\frac{(-5)}{3}=\frac{7+(-5)}{3}=\frac{2}{3} $

हमें वही उत्तर मिलता है।

$\frac{6}{5}+\frac{(-2)}{5}, \frac{3}{7}+\frac{(-5)}{7}$ दोनों तरीकों से निकालें और जांचें कि क्या आपको एक ही उत्तर मिलता है।

आपको क्या मिलता है?

साथ ही, $\quad \frac{-7}{8}+\frac{5}{8}=\frac{-7+5}{8}=$ ? क्या दोनों मान समान हैं?

इन्हें आजमाएँ

ज्ञात कीजिए: $\frac{-13}{7}+\frac{6}{7}, \frac{19}{5}+(\frac{-7}{5})$

इसलिए, हम पाते हैं कि समान हरों वाले परिमेय संख्याओं को जोड़ते समय हम हरों को वैसा ही रखते हुए अंशों को जोड़ते हैं।

इस प्रकार,

$ \frac{-11}{5}+\frac{7}{5}=\frac{-11+7}{5}=\frac{-4}{5} $

• हम भिन्न हरों वाली परिमेय संख्याओं को कैसे जोड़ते हैं? भिन्नों के समान, हम पहले दोनों हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालते हैं। फिर हम दी गई परिमेय संख्याओं के समतुल्य परिमेय संख्याएँ इस LCM को हर मानकर निकालते हैं। फिर दोनों परिमेय संख्याओं को जोड़ते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए $\frac{-7}{5}$ और $\frac{-2}{3}$ को जोड़ें।

5 और 3 का LCM 15 है।

इसलिए, $\frac{-7}{5}=\frac{-21}{15}$ और $\frac{-2}{3}=\frac{-10}{15}$

इस प्रकार, $\frac{-7}{5}+\frac{(-2)}{3}=\frac{-21}{15}+\frac{(-10)}{15}=\frac{-31}{15}$

इन्हें आज़माइए

ज्ञात कीजिए:

(i) $\frac{-3}{7}+\frac{2}{3}$

योज्य प्रतिलोम

(ii) $\frac{-5}{6}+\frac{-3}{11}$

$\frac{-4}{7}+\frac{4}{7}=?$ क्या होगा?

$ \frac{-4}{7}+\frac{4}{7}=\frac{-4+4}{7}=0 \text{। साथ ही, } \frac{4}{7}+(\frac{-4}{7})=0 \text{। } $

इसी प्रकार, $\frac{-2}{3}+\frac{2}{3}=0=\frac{2}{3}+(\frac{-2}{3})$।

$\frac{4}{7}$ का योज्य प्रतिलोम $\frac{-4}{7}$ है और $\frac{-4}{7}$ का योज्य प्रतिलोम $\frac{4}{7}$ है। इसी प्रकार,

$\frac{2}{3}$ का योज्य प्रतिलोम $\frac{-2}{3}$ है और $\frac{-2}{3}$ का योज्य प्रतिलोम $\frac{2}{3}$ है।

इन्हें आज़माइए

$\frac{-3}{9}$, $\frac{-9}{11}$, $\frac{5}{7}$ का योज्य प्रतिलोम क्या होगा?

उदाहरण 6 सतपाल स्थान P से पूर्व की ओर $\frac{2}{3}$ किमी चलता है और फिर वहाँ से

$ 1 \frac{5}{7}$ किमी पश्चिम की ओर। वह अब P से कहाँ होगा?

हल

मान लीजिए पूर्व की ओर तय की गई दूरी को धनात्मक चिह्न से दर्शाते हैं। इसलिए पश्चिम की ओर की दूरी को ऋणात्मक चिह्न से दर्शाएँगे।

इस प्रकार, सतपाल की बिंदु P से दूरी होगी

$ \begin{gathered} \frac{2}{3}+(-1 \frac{5}{7})=\frac{2}{3}+\frac{(-12)}{7}=\frac{2 \times 7}{3 \times 7}+\frac{(-12) \times 3}{7 \times 3} \ =\frac{14-36}{21}=\frac{-22}{21}=-1 \frac{1}{21} \end{gathered} $

चूँकि यह ऋणात्मक है, इसका अर्थ है सतपाल P से $1 \frac{1}{21}$ किमी पश्चिम की ओर है।

८.९.२ घटाव

सविता ने दो परिमेय संख्याओं (\frac{5}{7}) और (\frac{3}{8}) का अंतर इस प्रकार निकाला:

[ \frac{5}{7}-\frac{3}{8}=\frac{40-21}{56}=\frac{19}{56} ]

फरीदा जानती थी कि दो पूर्णांकों (a) और (b) के लिए वह (a-b=a+(-b)) लिख सकती है।

उसने इसे परिमेय संख्याओं पर भी आज़माया और पाया, (\frac{5}{7}-\frac{3}{8}=\frac{5}{7}+\frac{(-3)}{8}=\frac{19}{56})।

दोनों को समान अंतर प्राप्त हुआ।

(\frac{7}{8}-\frac{5}{9}), (\frac{3}{11}-\frac{8}{7}) दोनों तरीकों से निकालने की कोशिश करें। क्या आपको समान उत्तर मिला?

इसलिए, हम कहते हैं कि जब हम दो परिमेय संख्याओं का घटाव करते हैं, तो हम उस परिमेय संख्या का योज्य प्रतिलोम जोड़ते हैं जिसे घटाया जा रहा है, दूसरी परिमेय संख्या में।

इस प्रकार, (\quad 1 \frac{2}{3}-2 \frac{4}{5}=\frac{5}{3}-\frac{14}{5}=\frac{5}{3}+) (\frac{14}{5}) का योज्य प्रतिलोम (=\frac{5}{3}+\frac{(-14)}{5})

[ =\frac{-17}{15}=-1 \frac{2}{15}\text{।} ]

इन्हें आज़माइए

ज्ञात कीजिए:

(\frac{2}{7}-(\frac{-5}{6})) क्या होगा?

(i) (\frac{7}{9}-\frac{2}{5})

(ii) (2 \frac{1}{5}-\frac{(-1)}{3})

[ \frac{2}{7}-(\frac{-5}{6})=\frac{2}{7}+(\frac{-5}{6})\text{ का योज्य प्रतिलोम }=\frac{2}{7}+\frac{5}{6}=\frac{47}{42}=1 \frac{5}{42} ]

८.९.३ गुणा

आइए परिमेय संख्या (\frac{-3}{5}) को 2 से गुणा करें, अर्थात् हम (\frac{-3}{5} \times 2) ज्ञात करते हैं।

संख्या रेखा पर इसका अर्थ होगा (\frac{3}{5}) के दो कूद बाईं ओर।

हम कहाँ पहुँचते हैं? हम $\frac{-6}{5}$ पर पहुँचते हैं। आइए इसे वैसे ही खोजें जैसे हमने भिन्नों में किया था।

$ \frac{-3}{5} \times 2=\frac{-3 \times 2}{5}=\frac{-6}{5} $

हम उसी परिमेय संख्या पर पहुँचते हैं।

दोनों तरीकों से $\frac{-4}{7} \times 3, \frac{-6}{5} \times 4$ ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?

इसलिए, हम पाते हैं कि जब हम किसी परिमेय संख्या को किसी धनात्मक पूर्णांक से गुणा करते हैं, तो हम अंश को उस पूर्णांक से गुणा करते हैं, हर को अपरिवर्तित रखते हुए।

आइए अब किसी परिमेय संख्या को किसी ऋणात्मक पूर्णांक से गुणा करें,

$ \frac{-2}{9} \times(-5)=\frac{-2 \times(-5)}{9}=\frac{10}{9} $

याद रखें, -5 को $\frac{-5}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए, $\quad \frac{-2}{9} \times \frac{-5}{1}=\frac{10}{9}=\frac{-2 \times(-5)}{9 \times 1}$

इसी प्रकार, $\frac{3}{11} \times(-2)=\frac{3 \times(-2)}{11 \times 1}=\frac{-6}{11}$

इसलिए, जैसा कि हमने भिन्नों के मामले में किया था, हम दो परिमेय संख्याओं को निम्नलिखित तरीके से गुणा करते हैं:

चरण 1 दोनों परिमेय संख्याओं के अंशों को गुणा कीजिए।

चरण 2 दोनों परिमेय संख्याओं के हरों को गुणा कीजिए।

चरण 3 गुणनफल को $\frac{\text{चरण 1 का परिणाम}}{\text{चरण 2 का परिणाम}}$ के रूप में लिखिए।

इस प्रकार, $\quad \frac{-3}{5} \times \frac{2}{7}=\frac{-3 \times 2}{5 \times 7}=\frac{-6}{35}$।

साथ ही, $\quad \frac{-5}{8} \times \frac{-9}{7}=\frac{-5 \times(-9)}{8 \times 7}=\frac{45}{56}$

इन्हें आज़माएँ

(i) $\frac{-3}{5} \times 7$ ?

(ii) $\frac{-6}{5} \times(-2)$ ?

इन्हें आज़माएँ

ज्ञात कीजिए:

(i) $\frac{-3}{4} \times \frac{1}{7}$

(ii) $\frac{2}{3} \times \frac{-5}{9}$

8.9.4 भाग

हमने पहले भिन्न के व्युत्क्रम का अध्ययन किया है। $\frac{2}{7}$ का व्युत्क्रम क्या है? वह होगा

$\frac{7}{2}$। हम यह विचार व्युत्क्रम का गैर-शून्य परिमेय संख्याओं पर भी बढ़ाते हैं।

$\frac{-2}{7}$ का व्युत्क्रम $\frac{7}{-2}$ अर्थात् $\frac{-7}{2}$ होगा; $\frac{-3}{5}$ का व्युत्क्रम $\frac{-5}{3}$ होगा।

इन्हें आज़माएँ

$\frac{-6}{11}$ का व्युत्क्रम क्या होगा? और $\frac{-8}{5}$ का?

व्युत्क्रमों का गुणनफल

एक परिमेय संख्या का उसके व्युत्क्रम से गुणनफल सदैव 1 होता है।

उदाहरण के लिए, $\quad \frac{-4}{9} \times($ $\frac{-4}{9}$ का व्युत्क्रम $)$

$ =\frac{-4}{9} \times \frac{-9}{4}=1 $

इसी प्रकार, $\frac{-6}{13} \times \frac{-13}{6}=1$

कुछ और उदाहरण आज़माएँ और इस अवलोकन की पुष्टि करें।

सविता ने एक परिमेय संख्या $\frac{4}{9}$ को दूसरी परिमेय संख्या $\frac{-5}{7}$ से इस प्रकार विभाजित किया,

$ \frac{4}{9} \div \frac{-5}{7}=\frac{4}{9} \times \frac{7}{-5}=\frac{-28}{45} $

उसने भिन्नों की तरह व्युत्क्रम का उपयोग किया।

अर्पित ने पहले

$ \frac{4}{9} \text{ को } \frac{5}{7} \text{ से विभाजित किया और } \frac{28}{45} \text{ प्राप्त किया। } $

उसने अंततः कहा $\frac{4}{9} \div \frac{-5}{7}=\frac{-28}{45}$। उसे वह कैसे मिला?

उसने उन्हें भिन्नों की तरह विभाजित किया, ऋणात्मक चिह्न को अनदेखा करके और फलस्वरूप प्राप्त मान में ऋणात्मक चिह्न लगा दिया।

दोनों को एक ही मान $\frac{-28}{45}$ मिला। $\frac{2}{3}$ को $\frac{-5}{7}$ से दोनों तरह से विभाजित करके देखें कि क्या आपको एक ही उत्तर मिलता है।

यह दर्शाता है, एक परिमेय संख्या को दूसरी अशून्य परिमेय संख्या से विभाजित करने के लिए हम परिमेय संख्या को दूसरी का व्युत्क्रम गुणा करते हैं।

इस प्रकार,

$ \frac{-6}{5} \div \frac{-2}{3}=\frac{6}{-5} \times \text{ व्युत्क्रम }(\frac{-2}{3})=\frac{6}{-5} \times \frac{3}{-2}=\frac{18}{10} $

इन्हें आज़माएँ

ज्ञात कीजिए: (i) $\frac{2}{3} \times \frac{-7}{8}$

(ii) $\frac{-6}{7} \times \frac{5}{7}$

अभ्यास 8.2

1. योग ज्ञात कीजिए:

(i) $\frac{5}{4}+(\frac{-11}{4})$

(ii) $\frac{5}{3}+\frac{3}{5}$

(iii) $\frac{-9}{10}+\frac{22}{15}$

(iv) $\frac{-3}{-11}+\frac{5}{9}$

(v) $\frac{-8}{19}+\frac{(-2)}{57}$

(vi) $\frac{-2}{3}+0$

(vii) $-2 \frac{1}{3}+4 \frac{3}{5}$

2. ज्ञात कीजिए

(i) $\frac{7}{24}-\frac{17}{36}$

(ii) $\frac{5}{63}-(\frac{-6}{21})$

(iii) $\frac{-6}{13}-(\frac{-7}{15})$

(iv) $\frac{-3}{8}-\frac{7}{11}$

(v) $-2 \frac{1}{9}-6$

3. गुणनफल ज्ञात कीजिए:

(i) $\frac{9}{2} \times(\frac{-7}{4})$

(ii) $\frac{3}{10} \times(-9)$

(iii) $\frac{-6}{5} \times \frac{9}{11}$

(iv) $\frac{3}{7} \times(\frac{-2}{5})$

(v) $\frac{3}{11} \times \frac{2}{5}$

(vi) $\frac{3}{-5} \times \frac{-5}{3}$

4. मान ज्ञात कीजिए:

(i) $(-4) \div \frac{2}{3}$

(ii) $\frac{-3}{5} \div 2$

(iii) $\frac{-4}{5} \div(-3)$

(iv) $\frac{-1}{8} \div \frac{3}{4}$

(v) $\frac{-2}{13} \div \frac{1}{7}$

(vi) $\frac{-7}{12} \div(\frac{-2}{13})$

(vii) $\frac{3}{13} \div(\frac{-4}{65})$

हमने क्या चर्चा की है?

1. एक संख्या जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$, एक परिमेय संख्या कहलाती है। संख्याएँ $\frac{-2}{7}, \frac{3}{8}, 3$ आदि परिमेय संख्याएँ हैं।

2. सभी पूर्णांक और भिन्न परिमेय संख्याएँ होती हैं।

3. यदि किसी परिमेय संख्या के अंश और हर को किसी अशून्य पूर्णांक से गुणा या विभाजित किया जाए, तो हमें एक परिमेय संख्या प्राप्त होती है जिसे दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य कहा जाता है। उदाहरण के लिए $\frac{-3}{7}=\frac{-3 \times 2}{7 \times 2}=\frac{-6}{14}$। इसलिए, हम कहते हैं कि $\frac{-6}{14}$, $\frac{-3}{7}$ का समतुल्य रूप है। यह भी ध्यान दें कि $\frac{-6}{14}=\frac{-6 \div 2}{14 \div 2}=\frac{-3}{7}$।

4. परिमेय संख्याओं को धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। जब अंश और हर दोनों धनात्मक पूर्णांक होते हैं, तो यह एक धनात्मक परिमेय संख्या होती है। जब या तो अंश या हर ऋणात्मक पूर्णांक होता है, तो यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, $\frac{3}{8}$ एक धनात्मक परिमेय संख्या है जबकि $\frac{-8}{9}$ एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है।

5. संख्या 0 न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक परिमेय संख्या होती है।

6. एक परिमेय संख्या को मानक रूप में कहा जाता है यदि इसका हर एक धनात्मक पूर्णांक हो और अंश तथा हर में 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।

संख्याएँ $\frac{-1}{3}, \frac{2}{7}$ आदि मानक रूप में हैं।

7. दो परिमेय संख्याओं के बीच असीमित संख्या में परिमेय संख्याएँ होती हैं।

8. दो परिमेय संख्याओं को जिनका हर समान हो, उनके अंशों को जोड़कर तथा हर को यथावत रखकर जोड़ा जा सकता है। विभिन्न हरों वाली दो परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए पहले दोनों हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लिया जाता है और फिर दोनों परिमेय संख्याओं को उस LCM को हर बनाने वाली समतुल्य संख्याओं में बदला जाता है। उदाहरण के लिए, $\frac{-2}{3}+\frac{3}{8}=\frac{-16}{24}+\frac{9}{24}=\frac{-16+9}{24}=\frac{-7}{24}$। यहाँ 3 और 8 का LCM 24 है।

9. दो परिमेय संख्याओं को घटाते समय हम उस परिमेय संख्या का योज्य प्रतिलोम (additive inverse) दूसरी परिमेय संख्या में जोड़ते हैं।

इस प्रकार, $\frac{7}{8}-\frac{2}{3}=\frac{7}{8}+$ योज्य प्रतिलोम of $\frac{2}{3}=\frac{7}{8}+\frac{(-2)}{3}=\frac{21+(-16)}{24}=\frac{5}{24}$।

10. दो परिमेय संख्याओं को गुणा करने के लिए हम उनके अंशों और हरों को पृथक्-पृथक् गुणा करते हैं और गुणनफल को $\frac{\text{ अंशों का गुणनफल }}{\text{ हरों का गुणनफल }}$ के रूप में लिखते हैं।

11. एक परिमेय संख्या को दूसरी शून्येतर परिमेय संख्या से भाग देने के लिए हम उस परिमेय संख्या को दूसरी का व्युत्क्रम (reciprocal) लेकर गुणा करते हैं। इस प्रकार,

$ \frac{-7}{2} \div \frac{4}{3}=\frac{-7}{2} \times(\text{ व्युत्क्रम of } \frac{4}{3})=\frac{-7}{2} \times \frac{3}{4}=\frac{-21}{8} $