5.1 परिचय

आप पहले से ही जानते हैं कि किसी दिए गए आकृति में विभिन्न रेखाओं, रेखाखंडों और कोणों को कैसे पहचाना जाता है। क्या आप निम्नलिखित आकृतियों में बने विभिन्न रेखाखंडों और कोणों को पहचान सकते हैं? (आकृति 5.1)

क्या आप यह भी पहचान सकते हैं कि बने हुए कोण न्यून, अधिक या समकोण हैं?

याद कीजिए कि एक रेखाखंड के दो अंत बिंदु होते हैं। यदि हम इन दोनों अंत बिंदुओं को किसी भी दिशा में अनंत तक बढ़ाएं, तो हमें एक रेखा प्राप्त होती है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि एक रेखा के कोई अंत बिंदु नहीं होते हैं। दूसरी ओर, याद कीजिए कि एक किरण का एक अंत बिंदु होता है (अर्थात् इसका प्रारंभिक बिंदु)। उदाहरण के लिए, नीचे दी गई आकृतियों को देखें:

यहाँ, आकृति 5.2 (i) एक रेखाखंड दिखाती है, आकृति 5.2 (ii) एक रेखा दिखाती है और आकृति 5.2 (iii) एक किरण है। एक रेखाखंड $PQ$ को सामान्यतः प्रतीक $\overline{PQ}$ द्वारा दर्शाया जाता है, एक रेखा $AB$ को प्रतीक $\overrightarrow{{}AB}$ द्वारा दर्शाया जाता है और किरण OP को $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ द्वारा दर्शाया जाता है। अपने दैनिक जीवन से कुछ रेखाखंडों और किरणों के उदाहरण दीजिए और उन्हें अपने मित्रों के साथ चर्चा कीजिए।

फिर से याद कीजिए कि कोण बनता है जब रेखाएँ या रेखाखंड मिलते हैं। आकृति 5.1 में, कोनों को देखिए। ये कोने बनते हैं जब दो रेखाएँ या रेखाखंड एक बिंदु पर काटते हैं। उदाहरण के लिए, नीचे दी गई आकृतियों को देखिए:

आकृति 5.3 (i) में रेखाखंड $AB$ और $BC$ बिंदु $B$ पर काटते हैं और कोण $ABC$ बनाते हैं, और फिर रेखाखंड $BC$ और $AC$ बिंदु $C$ पर काटते हैं और कोण $ACB$ बनाते हैं और इसी तरह। जबकि, आकृति 5.3 (ii) में रेखाएँ $PQ$ और $RS$ बिंदु $O$ पर काटती हैं और चार कोण POS, SOQ, QOR और ROP बनाती हैं। कोण ABC को प्रतीक $\angle ABC$ द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, आकृति 5.3 (i) में बने तीन कोण $\angle ABC, \angle BCA$ और $\angle BAC$ हैं, और आकृति 5.3 (ii) में बने चार कोण $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ और $\angle POR$ हैं। आपने पहले ही

इन्हें आज़माइए

अपने आस-पास दस आकृतियों की सूची बनाइए और उनमें पाए जाने वाले न्यून, अधिक और समकोणों की पहचान कीजिए। सीखा है कि कोणों को न्यून, अधिक या समकोण के रूप में कैसे वर्गीकृत किया जाता है।

नोट: जब हम कोण $ABC$ की माप का उल्लेख करेंगे, तो हम $m \angle ABC$ को सरलतापूर्वक $\angle ABC$ लिखेंगे। संदर्भ स्पष्ट कर देगा कि हम कोण की बात कर रहे हैं या उसकी माप की।

5.2 संबंधित कोण

5.2.1 पूरक कोण

जब दो कोणों के मापों का योग $90^{\circ}$ होता है, तो उन कोणों को पूरक कोण कहा जाता है।

क्या ये दो कोण पूरक हैं?

चित्र 5.4

नहीं

जब भी दो कोण पूरक होते हैं, तो प्रत्येक कोण को दूसरे कोण का पूरक कहा जाता है। उपरोक्त आरेख (चित्र 5.4) में, ‘$30^{\circ}$ कोण’, ‘$60^{\circ}$ कोण’ का पूरक है और इसके विपरीत भी।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. क्या दो न्यून कोण एक-दूसरे के पूरक हो सकते हैं?

2. क्या दो अधिक कोण एक-दूसरे के पूरक हो सकते हैं?

3. क्या दो समकोण एक-दूसरे के पूरक हो सकते हैं?

इन्हें आज़माइए

1. निम्नलिखित कोणों में से कौन-से युग्म पूरक हैं? (चित्र 5.5)

2. निम्नलिखित प्रत्येक कोण के पूरक की माप क्या है?

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

3. दो पूरक कोणों की मापों में अंतर $12^{\circ}$ है। कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

5.2.2 संपूरक कोण

अब आइए निम्नलिखित कोणों के युग्मों को देखें (चित्र 5.6):

क्या आपने देखा कि उपरोक्त प्रत्येक युग्म (चित्र 5.6) में कोणों के मापों का योग $180^{\circ}$ आता है? ऐसे कोणों के युग्मों को संपूरक कोण कहा जाता है। जब दो कोण संपूरक होते हैं, तो प्रत्येक कोण को दूसरे का संपूरक कहा जाता है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. क्या दो अधिक कोण संपूरक हो सकते हैं?

2. क्या दो न्यून कोण संपूरक हो सकते हैं?

3. क्या दो समकोण संपूरक हो सकते हैं?

इन्हें आज़माइए

1. चित्र 5.7 में संपूरक कोणों के युग्म ज्ञात कीजिए:

2. निम्नलिखित प्रत्येक कोण का संपूरक कोण कितना होगा?

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

3. दो संपूरक कोणों में बड़े कोण की माप छोटे कोण की माप से $44^{\circ}$ अधिक है। उनकी माप ज्ञात कीजिए।

प्रश्नावली 5.1

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक कोण का पूरक ज्ञात कीजिए:

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक कोण का संपूरक ज्ञात कीजिए:

(iii)

3. निम्नलिखित कोणों के युग्मों में से कौन-से पूरक हैं और कौन-से संपूरक, पहचानिए।

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

4. वह कोण ज्ञात कीजिए जो अपने पूरक के बराबर हो।

5. वह कोण ज्ञात कीजिए जो अपने संपूरक के बराबर हो।

6. दी गई आकृति में, $\angle 1$ और $\angle 2$ संपूरक कोण हैं।

यदि $\angle 1$ घटाया जाता है, तो $\angle 2$ में क्या परिवर्तन होना चाहिए ताकि दोनों कोण अभी भी संपूरक बने रहें।

7. क्या दो कोण संपूरक हो सकते हैं यदि दोनों:

(i) न्यून कोण हों?

(ii) अधिक कोण हों?

(iii) समकोण हों?

8. एक कोण $45^{\circ}$ से अधिक है। क्या इसका पूरक कोण $45^{\circ}$ से अधिक है या $45^{\circ}$ के बराबर है या $45^{\circ}$ से कम है?

9. रिक्त स्थानों को भरें:

(i) यदि दो कोण पूरक हैं, तो उनके मापों का योग _______ होता है

(ii) यदि दो कोण संपूरक हैं, तो उनके मापों का योग _______ होता है

(iii) यदि दो संलग्न कोण संपूरक हैं, तो वे एक _______ बनाते हैं

10. संलग्न आकृति में निम्नलिखित कोणों के युग्मों के नाम बताएं।

(i) अधिक कोण, उभयनिष्ठ विपरीत कोण

(ii) संलग्न पूरक कोण

(iii) समान संपूरक कोण

(iv) असमान संपूरक कोण

(v) संलग्न कोण जो एक रेखीय युग्म नहीं बनाते

5.3 रेखाओं के युग्म

5.3.1 प्रतिच्छेदी रेखाएं

आकृति 5.8

स्टैंड पर लगी ब्लैकबोर्ड, रेखाखंडों से बना अक्षर Y और खिड़की की ग्रिल-दरवाजा (आकृति 5.8), इन सभों में क्या समान है? ये प्रतिच्छेदी रेखाओं के उदाहरण हैं।

दो रेखाएँ (l) और (m) प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु हो। यह उभयनिष्ठ बिंदु (O) उनका प्रतिच्छेद बिंदु होता है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

चित्र 5.9 में, (AC) और (BE) बिंदु (P) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(AC) और (BC) बिंदु (C) पर प्रतिच्छेद करती हैं, (AC) और (EC) बिंदु (C) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

कोशिश कीजिए और दस और युग्म प्रतिच्छेदी रेखाखंडों को खोजिए।

क्या कोई भी दो रेखाएँ या रेखाखंड अनिवार्यतः प्रतिच्छेद करते हैं? क्या आप चित्र में दो युग्म ऐसे रेखाखंड खोज सकते हैं जो प्रतिच्छेद नहीं करते?

क्या दो रेखाएँ एक से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं? इसके बारे में सोचिए।

चित्र 5.9

इन्हें आज़माइए

1. अपने आस-पास से ऐसे उदाहरण खोजिए जहाँ रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

2. एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा बने कोणों की मापें ज्ञात कीजिए।

3. कोई आयत बनाइए और प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा चारों शीर्षों पर बने कोणों की मापें ज्ञात कीजिए।

4. यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करें, तो क्या वे सदैव समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं?

5.3.2 तिर्यक-रेखा

आपने कभी न कभी एक सड़क को दो या अधिक सड़कों को काटते हुए या एक रेलवे लाइन को कई अन्य लाइनों को काटते हुए देखा होगा (चित्र 5.10)। ये तिर्यक-रेखा की धारणा देते हैं।

एक रेखा जो दो या अधिक रेखाओं को विभिन्न बिंदुओं पर काटती है, उसे तिर्यक रेखा कहा जाता है।

चित्र 5.11 में, $p$ रेखाएँ $l$ और $m$ के लिए एक तिर्यक रेखा है।

चित्र 5.12 में रेखा $p$ एक तिर्यक रेखा नहीं है, यद्यपि यह दो रेखाओं $l$ और $m$ को काटती है। क्या आप बता सकते हैं, ‘क्यों’?

5.3.3. तिर्यक रेखा द्वारा बनाए गए कोण

चित्र 5.13 में, आप देखते हैं कि रेखाएँ $l$ और $m$ तिर्यक रेखा $p$ द्वारा काटी गई हैं। 1 से 8 तक चिह्नित आठ कोणों के विशेष नाम हैं:

चित्र 5.13

इन्हें आज़माएँ

1. मान लीजिए दो रेखाएँ दी गई हैं। आप इन रेखाओं के लिए कितनी अनुप्रस्थ रेखाएँ खींच सकते हैं?

2. यदि एक रेखा तीन रेखाओं के लिए अनुप्रस्थ रेखा है, तो प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या कितनी है?

3. अपने आस-पास कुछ अनुप्रस्थ रेखाओं की पहचान करने का प्रयास करें।

नोट: संगत कोण (जैसे आकृति 5.14 में $\angle 1$ और $\angle 5$) में

(i) भिन्न शीर्ष होते हैं

(ii) अनुप्रस्थ रेखा के एक ही ओर होते हैं और

(iii) दोनों रेखाओं के सापेक्ष ‘संगत’ स्थितियों (ऊपर या नीचे, बाएँ या दाएँ) में होते हैं।

वैकल्पिक आंतरिक कोण (जैसे आकृति 5.15 में $\angle 3$ और $\angle 6$)

(i) के भिन्न शीर्ष होते हैं

(ii) अनुप्रस्थ रेखा के विपरीत ओर होते हैं

(iii) दो रेखाओं के ‘बीच’ में स्थित हों।

चित्र 5.15

इन्हें आज़माएँ

प्रत्येक आकृति में कोणों के युग्मों के नाम लिखिए:

5.3.4 समांतर रेखाओं की तिर्यक रेखा

क्या आपको याद है समांतर रेखाएँ क्या होती हैं? वे समतल पर ऐसी रेखाएँ होती हैं जो कहीं भी मिलती नहीं। क्या आप निम्न आकृतियों में समांतर रेखाएँ पहचान सकते हैं? (चित्र 5.16)

समांतर रेखाओं की तिर्यक रेखाएँ काफी रोचक परिणाम देती हैं।

यह कीजिए

एक रूल किया हुआ कागज़ लीजिए। दो समांतर रेखाएँ $l$ और $m$ गाढ़े रंग में खींचिए।

रेखाओं $l$ और $m$ पर एक तिर्यक रेखा $t$ खींचिए। चित्र में दिखाए अनुसार $\angle 1$ और $\angle 2$ को चिह्नित कीजिए [चित्र 5.17(i)]। खींची गई आकृति पर ट्रेसिंग पेपर रखिए। रेखाओं $l$, $m$ और $t$ को ट्रेस कीजिए।

ट्रेसिंग पेपर को $t$ के साथ-साथ सरकाइए, जब तक कि $l$, $m$ के संपाती न हो जाए।

आप पाएँगे कि ट्रेस की गई आकृति पर $\angle 1$, मूल आकृति के $\angle 2$ के संपाती हो जाता है।

वास्तव में, आप इसी तरह के ट्रेसिंग और स्लाइडिंग क्रियाकलाप द्वारा निम्नलिखित सभी परिणाम देख सकते हैं।

(i) $\angle 1=\angle 2\quad$ (ii) $\angle 3=\angle 4$

(iii) $\angle 5=\angle 6\quad$ (iv) $\angle 7=\angle 8$

यह क्रियाकलाप निम्नलिखित तथ्य को दर्शाता है:

यदि दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो प्रत्येक संगत कोणों का युग्म माप में समान होता है।

हम इस परिणाम का उपयोग करके एक और रोचक परिणाम प्राप्त करते हैं। आकृति 5.18 देखिए।

जब $t$ समांतर रेखाओं $l, m$ को काटती है, तो हमें $\angle 3=\angle 7$ (शीर्षाभिमुख कोण) मिलते हैं।

परंतु $\angle 7=\angle 8$ (संगत कोण)। इसलिए, $\angle 3=\angle 8$

आप इसी प्रकार दिखा सकते हैं कि $\angle 1=\angle 6$। इस प्रकार, हमें निम्नलिखित परिणाम मिलता है:

यदि दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो प्रत्येक वैकल्पिक अंतः कोणों का युग्म समान होता है।

यह दूसरा परिणाम एक और रोचक गुणधर्म की ओर ले जाता है। पुनः, आकृति 5.18 से।

$\angle 3+\angle 1=180^{\circ}$ ($\angle 3$ और $\angle 1$ एक रेखीय युग्म बनाते हैं)

परंतु $\angle 1=\angle 6$ (वैकल्पिक अंतः कोणों का एक युग्म)

इसलिए, हम कह सकते हैं कि $\angle 3+\angle 6=180^{\circ}$।

इसी प्रकार, $\angle 1+\angle 8=180^{\circ}$। इस प्रकार, हम निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं:

यदि दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा द्वारा काटा जाता है, तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर स्थित प्रत्येक आंतरिक कोण युग्म पूरक होते हैं।

यदि आप प्रासंगिक ‘आकृतियों’ को देख सकें तो आप इन परिणामों को बहुत आसानी से याद रख सकते हैं।

करें

एक युग्म समांतर रेखाएं और एक तिर्यक रेखा खींचें। उपरोक्त तीन कथनों की पुष्टि कोणों को वास्तव में माप कर करें।

इन्हें आजमाएं

5.4 समांतर रेखाओं की जांच

यदि दो रेखाएं समांतर हैं, तो आप जानते हैं कि एक तिर्यक रेखा समान संगत कोणों के युग्म, समान वैकल्पिक आंतरिक कोण और तिर्यक रेखा के एक ही ओर स्थित आंतरिक कोणों के पूरक युग्म उत्पन्न करती है।

जब दो रेखाएं दी गई हों, तो क्या कोई विधि है जिससे यह जांचा जा सके कि वे समांतर हैं या नहीं? आपको यह कौशल कई जीवन-उन्मुख परिस्थितियों में चाहिए।

एक ड्राफ्ट्समैन बढ़ई का कोणा और एक सीधा किनारा (रूलर) का उपयोग करके इन रेखाखंडों को खींचता है (चित्र 5.19)। वह दावा करता है कि वे समांतर हैं। कैसे?

क्या आप देख पा रहे हैं कि उसने संगत कोणों को समान रखा है? (यहां तिर्यक रेखा क्या है?)

इस प्रकार, जब एक ट्रांसवर्सल दो रेखाओं को काटता है, ताकि संगत कोणों के युग्म समान हों, तो रेखाएँ समानांतर होनी चाहिए।

अक्षर Z(Fig 5.20) को देखें। यहाँ क्षैतिख खंड समानांतर हैं, क्योंकि एकांतर कोण समान हैं।

जब एक ट्रांसवर्सल दो रेखाओं को काटता है, ताकि एकांतर आंतरिक कोणों के युग्म समान हों, तो रेखाएँ समानांतर होनी चाहिए।

Fig 5.19

Fig 5.20

एक रेखा $l$ खींचें (Fig 5.21)।

एक रेखा $m$ खींचें, जो $l$ पर लंबवत हो। फिर से एक रेखा $p$ खींचें, ताकि $p$, $m$ पर लंबवत हो।

इस प्रकार, $p$, $l$ की लंबवत पर लंबवत है।

आप पाते हैं $p | l$। कैसे? ऐसा इसलिए है क्योंकि आपने $p$ इस प्रकार खींचा है कि $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$।

Fig 5.21

इस प्रकार, जब एक ट्रांसवर्सल दो रेखाओं को काटता है, ताकि ट्रांसवर्सल के एक ही ओर आंतरिक कोणों के युग्म पूरक हों, तो रेखाएँ समानांतर होनी चाहिए।

इन्हें आज़माइए

अभ्यास 5.2

1. निम्नलिखित कथनों में प्रत्येक में प्रयुक्त गुणधर्म को बताइए?

(i) यदि $a || b$, तो $\angle 1=\angle 5$.

(ii) यदि $\angle 4=\angle 6$, तो $a \ || b$.

(iii) यदि $\angle 4+\angle 5=180^{\circ}$, तो $a \ || b$.

2. संलग्न आकृति में पहचानिए

(i) संगत कोणों के युग्म।

(ii) एकान्तर आंतरिक कोणों के युग्म।

(iii) ट्रांसवर्सल के एक ही ओर आंतरिक कोणों के युग्म।

(iv) शीर्षाभिमुख कोण।

3. संलग्न आकृति में, $p || q$। अज्ञात कोणों को ज्ञात कीजिए।

4. निम्नलिखित प्रत्येक आकृति में $x$ का मान ज्ञात कीजिए यदि $l || m$ है।

5. दी गई आकृति में, दो कोणों की भुजाएँ समांतर हैं।

यदि $\angle ABC=70^{\circ}$ है, तो ज्ञात कीजिए

(i) $\angle DGC$

(ii) $\angle DEF$

6. नीचे दी गई आकृतियों में निर्णय कीजिए कि क्या $l$, $m$ के समांतर है।

हमने क्या चर्चा की है?

1. हम याद करते हैं कि (i) एक रेखा-खंड के दो अंत बिंदु होते हैं।

(ii) एक किरण का केवल एक अंत बिंदु होता है (इसका प्रारंभिक बिंदु); और

(iii) एक रेखा के किसी भी ओर कोई अंत बिंदु नहीं होता है।

2. जब दो रेखाएँ $l$ और $m$ मिलती हैं, तो हम कहते हैं कि वे प्रतिच्छेद करती हैं; मिलने वाले बिंदु को प्रतिच्छेद बिंदु कहा जाता है।

जब किसी कागज़ पर खींची गई रेखाएँ चाहे जितनी भी आगे बढ़ाई जाएँ, मिलती नहीं, तो हम उन्हें समांतर रेखाएँ कहते हैं।