4.1 एक मन-पढ़ने वाला खेल!

शिक्षिका ने कहा है कि वह गणित में एक नया पाठ शुरू करने जा रही है और वह सरल समीकरण होंगे। अप्पू, सरिता और अमीना ने कक्षा छठी में बीजगणित अध्याय से जो कुछ सीखा था, उसे दोहराया है। क्या आपने भी? अप्पू, सरिता और अमीना उत्साहित हैं क्योंकि उन्होंने एक खेल बनाया है जिसे वे ‘माइंड रीडर’ कहते हैं और वे उसे पूरी कक्षा को प्रस्तुत करना चाहते हैं।

शिक्षिका उनके उत्साह की सराहना करती है और उन्हें अपना खेल प्रस्तुत करने के लिए आमंत्रित करती है। अमीना शुरू करती है; वह सारा से किसी संख्या के बारे में सोचने को कहती है, उसे 4 से गुणा करने को कहती है और गुणनफल में 5 जोड़ने को कहती है। फिर वह सारा से परिणाम बताने को कहती है। सारा कहती है कि यह 65 है। अमीना तुरंत घोषित करती है कि सारा ने जो संख्या सोची थी वह 15 है। सारा सिर हिलाती है। पूरी कक्षा सहित सारा हैरान है।

अब अप्पू की बारी है। वह बालू से किसी संख्या के बारे में सोचने को कहता है, उसे 10 से गुणा करने को कहता है और गुणनफल से 20 घटाने को कहता है। फिर वह बालू से पूछता है कि उसका परिणाम क्या है? बालू कहता है कि यह 50 है। अप्पू तुरंत बालू द्वारा सोची गई संख्या बता देता है। यह 7 है, बालू पुष्टि करता है।

हर कोई जानना चाहता है कि अप्पू, सरिता और अमीना द्वारा प्रस्तुत ‘माइंड रीडर’ कैसे काम करता है। क्या आप देख सकते हैं कि यह कैसे काम करता है? इस अध्याय और अध्याय 12 का अध्ययन करने के बाद, आप बहुत अच्छी तरह से जान जाएंगे कि यह खेल कैसे काम करता है।

4.2 एक समीकरण की स्थापना

आइए अमीना के उदाहरण को लें। अमीना सारा से एक संख्या सोचने को कहती है। अमीना को वह संख्या नहीं पता। उसके लिए वह कोई भी हो सकती है $1,2,3, \ldots, 11, \ldots, 100, \ldots$ आइए इस अज्ञात संख्या को एक अक्षर से दर्शाएँ, मान लीजिए $x$। आप $x$ के स्थान पर $y$ या $t$ या कोई अन्य अक्षर भी प्रयोग कर सकते हैं। हमें कौन-सा अक्षर प्रयोग करना है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता जिससे हम सारा की सोची हुई अज्ञात संख्या को दर्शाएँ। जब सारा संख्या को 4 से गुणा करती है, तो उसे $4 x$ मिलता है। फिर वह गुणनफल में 5 जोड़ती है, जिससे $4 x+5$ प्राप्त होता है। $(4 x+5)$ का मान $x$ के मान पर निर्भर करता है। इस प्रकार यदि $x=1$, तो $4 x+5=4 \times 1+5=9$। इसका अर्थ है कि यदि सारा के मन में 1 था, तो उसका परिणाम 9 होता। इसी प्रकार, यदि उसने 5 सोचा, तो $x=5$ के लिए, $4 x+5=4 \times 5+5=25$; इस प्रकार यदि सारा ने 5 चुना होता, तो परिणाम 25 होता।

सारा की सोची हुई संख्या ज्ञात करने के लिए आइए उसके उत्तर 65 से पीछे की ओर काम करें। हमें ऐसा $x$ खोजना है जिससे

$$ \begin{equation*} 4 x+5=65 \tag{4.1} \end{equation*} $$

समीकरण का हल हमें वह संख्या देगा जो सारा ने अपने मन में रखी थी।

आइए इसी प्रकार अप्पू के उदाहरण को देखें। आइए बालू द्वारा चुनी गई संख्या को $y$ कहें। अप्पू बालू से संख्या को 10 से गुणा करने और गुणनफल से 20 घटाने को कहता है। अर्थात्, $y$ से, बालू पहले $10 y$ प्राप्त करता है और वहाँ से $(10 y-20)$। परिणाम 50 होना ज्ञात है।

इसलिए,

$$ \begin{equation*} 10 y-20=50 \tag{4.2} \end{equation*} $$

इस समीकरण का हल हमें वह संख्या देगा जो बालू ने सोची थी।

4.3 हमारी ज्ञात जानकारी की समीक्षा

ध्यान दें, (4.1) और (4.2) समीकरण हैं। आइए याद करें कि हमने कक्षा छठी में समीकरणों के बारे में क्या सीखा था। एक समीकरण किसी चर पर एक शर्त होती है। समीकरण (4.1) में, चर $x$ है; समीकरण (4.2) में, चर $y$ है।

शब्द ‘चर’ का अर्थ है कुछ ऐसा जो बदल सकता है, अर्थात् परिवर्तित हो सकता है। एक चर विभिन्न संख्यात्मक मान लेता है; इसका मान निश्चित नहीं होता। चरों को आमतौर पर वर्णमाला के अक्षरों जैसे $x, y, z, l, m, n, p$ आदि द्वारा दर्शाया जाता है। चरों से हम व्यंजक बनाते हैं। व्यंजक चरों पर जोड़, घटाव, गुणा और भाग जैसे संक्रियाएँ करके बनाए जाते हैं। $x$ से हमने व्यंजक $(4x + 5)$ बनाया। इसके लिए, पहले हमने $x$ को 4 से गुणा किया और फिर गुणनफल में 5 जोड़ा। इसी प्रकार, $y$ से हमने व्यंजक $(10y - 20)$ बनाया। इसके लिए, हमने $y$ को 10 से गुणा किया और फिर गुणनफल से 20 घटाया। ये सभी व्यंजकों के उदाहरण हैं।

इस प्रकार बने व्यंजक का मान चुने गए चर के मान पर निर्भर करता है। जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, जब $x = 1$, तो $4x + 5 = 9$; जब $x = 5$, तो $4x + 5 = 25$। इसी प्रकार, जब

$ \begin{aligned} & x = 15, 4x + 5 = 4 \times 15 + 5 = 65 \ & x = 0, 4x + 5 = 4 \times 0 + 5 = 5; \text{ और आगे भी।} \end{aligned} $

जब

समीकरण (4.1) चर $x$ पर एक शर्त है। यह कहता है कि व्यंजक $(4 x+5)$ का मान 65 है। यह शर्त तब संतुष्ट होती है जब $x=15$। यह समीकरण $4 x+5=65$ का हल है। जब $x=5$, तो $4 x+5=25$ होता है, न कि 65। इस प्रकार $x=5$ समीकरण का हल नहीं है। इसी प्रकार, $x=0$ भी समीकरण का हल नहीं है। $x$ का कोई अन्य मान 15 के अलावा शर्त $4 x+5=65$ को संतुष्ट नहीं करता।

इन्हें आज़माइए

व्यंजक $(10 y-20)$ का मान $y$ के मान पर निर्भर करता है। इसे सत्यापित करने के लिए $y$ को पाँच अलग-अलग मान दीजिए और प्रत्येक $y$ के लिए $(10 y-20)$ का मान ज्ञात कीजिए। $(10 y-20)$ के विभिन्न मानों से, क्या आपको $10 y-20=50$ का कोई हल दिखता है? यदि कोई हल नहीं है, तो $y$ को और अधिक मान देकर देखें कि क्या शर्त $10 y-20=50$ पूरी होती है।

4.4 समीकरण क्या है?

किसी समीकरण में हमेशा एक समानता चिह्न होता है। समानता चिह्न दिखाता है कि चिह्न के बाईं ओर के व्यंजक (बायाँ पक्ष या LHS) का मान, चिह्न के दाईं ओर के व्यंजक (दायाँ पक्ष या RHS) के मान के बराबर है। समीकरण (4.1) में, LHS $(4 x+5)$ है और RHS 65 है। समीकरण (4.2) में, LHS $(10 y-20)$ है और RHS 50 है।

यदि LHS और RHS के बीच समानता चिह्न के अलावा कोई अन्य चिह्न हो, तो वह समीकरण नहीं है। इस प्रकार, $4 x+5>65$ एक समीकरण नहीं है।

यह कहता है कि $(4 x+5)$ का मान 65 से अधिक है।

इसी प्रकार, $4 x+5<65$ एक समीकरण नहीं है। यह कहता है कि $(4 x+5)$ का मान 65 से कम है।

समीकरणों में, हम अक्सर पाते हैं कि दायाँ पक्ष (RHS) केवल एक संख्या होता है। समीकरण (4.1) में, यह 65 है और समीकरण (4.2) में, यह 50 है। लेकिन ऐसा हमेशा होना आवश्यक नहीं है। किसी समीकरण का दायाँ पक्ष चर युक्त कोई व्यंजक भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण

$ 4 x+5=6 x-25 $

के बराबर के चिह्न के बायीं ओर व्यंजक $(4 x+5)$ है और दायीं ओर $(6 x-25)$ है।

संक्षेप में, एक समीकरण चर पर एक शर्त होता है। शर्त यह है कि दोनों व्यंजकों का मान बराबर होना चाहिए। ध्यान दें कि दोनों व्यंजकों में से कम-से-कम एक में चर होना चाहिए।

हम समीकरणों के एक सरल और उपयोगी गुण को भी नोट करते हैं। समीकरण $4 x+5=65$ वही है जो $65=4 x+5$ है। इसी प्रकार, समीकरण $6 x-25=4 x+5$ वही है जो $4 x+5=6 x-25$ है। जब बायीं और दायीं ओर के व्यंजकों को आपस में बदल दिया जाता है, तो समीकरण वही रहता है। यह गुण समीकरणों को हल करने में अक्सर उपयोगी होता है।

उदाहरण 1 निम्नलिखित कथनों को समीकरणों के रूप में लिखिए:

(i) $x$ के तीन गुना और 11 का योग 32 है।

(ii) यदि आप किसी संख्या के 6 गुने में से 5 घटाएँ, तो आपको 7 प्राप्त होता है।

(iii) $m$ का एक-चौथाई, 7 से 3 अधिक है।

(iv) किसी संख्या का एक-तिहाई और 5 का योग 8 है।

हल

(i) $x$ का तीन गुना $3 x$ है।

$3 x$ और 11 का योग $3 x+11$ है। योग 32 है।

समीकरण है $3 x+11=32$।

(ii) मान लीजिए संख्या $z$ है; $z$ को 6 से गुणा करने पर $6 z$ प्राप्त होता है।

$6 z$ में से 5 घटाने पर, व्यक्ति को $6 z-5$ प्राप्त होता है। परिणाम 7 है।

समीकरण है $6 z-5=7$ (iii) $m$ का एक-चौथाई $\frac{m}{4}$ है।

यह 7 से 3 अधिक है। इसका अर्थ है कि अंतर $(\frac{m}{4}-7)$ 3 है।

समीकरण है $\frac{m}{4}-7=3$।

(iv) संख्या को $n$ मानें। $n$ का एक-तिहाई $\frac{n}{3}$ है।

इस एक-तिहाई में 5 जोड़ने पर $\frac{n}{3}+5$ प्राप्त होता है। यह 8 है।

समीकरण है $\frac{n}{3}+5=8$।

उदाहरण 2 निम्नलिखित समीकरणों को कथन रूप में बदलें:

(i) $x-5=9$

(ii) $5 p=20$

(iii) $3 n+7=1$

(iv) $\frac{m}{5}-2=6$

हल

(i) $x$ से 5 घटाने पर 9 प्राप्त होता है।

(ii) संख्या $p$ का पाँच गुना 20 है।

(iii) तीन गुना $n$ में 7 जोड़ने पर 1 प्राप्त होता है।

(iv) जब आप संख्या $m$ का एक-पाँचवाँ हिस्सा से 2 घटाते हैं, तो 6 प्राप्त होता है।

ध्यान देने योग्य बात यह है कि किसी दिए गए समीकरण के लिए केवल एक ही नहीं, बल्कि कई कथन रूप दिए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त समीकरण (i) के लिए आप कह सकते हैं:

इन्हें आज़माएँ

प्रत्येक समीकरण (ii), (iii) और (iv) के लिए कम से कम एक अन्य रूप लिखें।

$x$ से 5 घटाएँ, आपको 9 प्राप्त होता है।

या संख्या $x$, 9 से 5 अधिक है।

या संख्या $x$, 9 से 5 अधिक है।

या $x$ और 5 के बीच का अंतर 9 है, और इसी तरह।

उदाहरण 3 निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें:

राजू के पिता की आयु, राजू की आयु के तीन गुना से 5 वर्ष अधिक है। राजू के पिता की आयु 44 वर्ष है। राजू की आयु ज्ञात करने के लिए एक समीकरण बनाएँ।

हल

हमें राजू की आयु नहीं पता। आइए इसे $y$ वर्ष मान लें। राजू की आयु का तीन गुना $3 y$ वर्ष है। राजू के पिता की आयु, $3 y$ से 5 वर्ष अधिक है; अर्थात् राजू के पिता की आयु $(3 y+5)$ वर्ष है। यह भी दिया गया है कि राजू के पिता की आयु 44 वर्ष है।

इसलिए,

$$ \begin{equation*} 3 y+5=44 \tag{4.3} \end{equation*} $$

यह एक समीकरण है जिसमें $y$ है। इसे हल करने पर राजू की आयु प्राप्त होगी।

उदाहरण 4 एक दुकानदार आमों को दो प्रकार के डिब्बों में बेचता है, एक छोटा और एक बड़ा। एक बड़े डिब्बे में 8 छोटे डिब्बों के बराबर और 4 खुले आम होते हैं। एक समीकरण बनाइए जो प्रत्येक छोटे डिब्बे में मौजूद आमों की संख्या बताए। बड़े डिब्बे में आमों की संख्या 100 दी गई है।

हल

मान लीजिए एक छोटा डिब्बा $m$ आम रखता है। एक बड़ा डिब्बा $m$ के 8 गुने से 4 अधिक, अर्थात् $8 m+4$ आम रखता है। पर यह संख्या 100 दी गई है। इस प्रकार

$$ \begin{equation*} 8 m+4=100 \tag{4.4} \end{equation*} $$

इस समीकरण को हल करके आप एक छोटे डिब्बे में मौजूद आमों की संख्या जान सकते हैं।

प्रश्नावली 4.1

1. सारणी के अंतिम स्तंभ को पूरा कीजिए।

2. जाँच कीजिए कि कोष्ठक में दिया गया मान दिए गए समीकरण का हल है या नहीं:

(a) $n+5=19(n=1)$

(b) $7 n+5=19(n=-2)$

(c) $7 n+5=19(n=2)$

(d) $4 p-3=13(p=1)$

(e) $4 p-3=13(p=-4)$

(f) $4 p-3=13(p=0)$

३. निम्नलिखित समीकरणों को ट्रायल और एरर विधि से हल कीजिए:

(i) $5 p+2=17$

(ii) $3 m-14=4$

४. निम्नलिखित कथनों के लिए समीकरण लिखिए:

(i) संख्या $x$ और 4 का योग 9 है।

(ii) $y$ में से 2 घटाने पर 8 प्राप्त होता है।

(iii) $a$ का दस गुना 70 है।

(iv) संख्या $b$ को 5 से विभाजित करने पर 6 प्राप्त होता है।

(v) $t$ का तीन-चौथाई 15 है।

(vi) $m$ का सात गुना जमा 7 करने पर 77 प्राप्त होता है।

(vii) संख्या $x$ का एक-चौथाई घटा 4 करने पर 4 प्राप्त होता है।

(viii) यदि आप $y$ के छह गुने में से 6 घटाते हैं, तो आपको 60 प्राप्त होता है।

(ix) यदि आप $z$ के एक-तिहाई में 3 जोड़ते हैं, तो आपको 30 प्राप्त होता है।

५. निम्नलिखित समीकरणों को कथन रूप में लिखिए:

(i) $p+4=15$

(ii) $m-7=3$

(iii) $2 m=7$

(iv) $\frac{m}{5}=3$

(v) $\frac{3 m}{5}=6$

(vi) $3 p+4=25$

(vii) $4 p-2=18$

(viii) $\frac{p}{2}+2=8$

६. निम्नलिखित मामलों में समीकरण बनाइए:

(i) इरफान कहता है कि उसके पास परमीत के संग्रह से पाँच गुना अधिक 7 कंचे हैं। इरफान के पास 37 कंचे हैं। (परमीत के कंचों की संख्या को $m$ मानिए।)

(ii) लक्ष्मी के पिता की आयु 49 वर्ष है। वे लक्ष्मी की आयु के तीन गुने से 4 वर्ष बड़े हैं। (लक्ष्मी की आयु को $y$ वर्ष मानिए।)

(iii) शिक्षिका कक्षा को बताती है कि उसकी कक्षा में एक छात्र द्वारा प्राप्त अधिकतम अंक न्यूनतम अंकों के दोगुने जमा 7 हैं। उच्चतम अंक 87 है। (न्यूनतम अंक को $l$ मानिए।)

(iv) एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष कोण प्रत्येक आधार कोण का दोगुना है। (आधार कोण को $b$ डिग्री मानिए। याद रखिए कि त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है)।

4.4.1 समीकरण को हल करना

एक समानता पर विचार करें $\quad 8-3=4+1$

समानता (4.5) सत्य है, क्योंकि इसके दोनों पक्ष समान हैं (प्रत्येक 5 के बराबर है)।

• आइए अब दोनों पक्षों में 2 जोड़ें; परिणामस्वरूप

LHS $=8-3+2=5+2=7 \quad$ RHS $=4+1+2=5+2=7$।

पुनः समानता सत्य है (अर्थात् इसका LHS और RHS समान हैं)।

इस प्रकार यदि हम किसी समानता के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ें, तो वह अभी भी सत्य रहती है।

• आइए अब दोनों पक्षों से 2 घटाएँ; परिणामस्वरूप,

LHS $=8-3-2=5-2=3$

RHS $=4+1-2=5-2=3$।

पुनः समानता सत्य है।

इस प्रकार यदि हम किसी समानता के दोनों पक्षों से समान संख्या घटाएँ, तो वह अभी भी सत्य रहती है।

• इसी प्रकार, यदि हम समानता के दोनों पक्षों को समान गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित करें, तो वह अभी भी सत्य रहती है।

उदाहरण के लिए, आइए समानता के दोनों पक्षों को 3 से गुणा करें, हमें प्राप्त होता है

LHS $=3 \times(8-3)=3 \times 5=15, \quad$ RHS $=3 \times(4+1)=3 \times 5=15$।

समानता सत्य है।

आइए अब समानता के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें।

LHS $=(8-3) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}$

RHS $=(4+1) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}=$ LHS

पुनः समानता सत्य है।

यदि हम कोई अन्य समानता लें, तो हमें वही निष्कर्ष मिलेगा।

मान लीजिए, हम इन नियमों का पालन नहीं करते हैं। विशेष रूप से, मान लीजिए हम समानता के दो पक्षों में भिन्न-भिन्न संख्याएँ जोड़ते हैं। हम इस स्थिति में पाएँगे कि समानता सत्य नहीं रहती (अर्थात् इसके दोनों पक्ष समान नहीं हैं)। उदाहरण के लिए, आइए पुनः समानता (4.5) लें,

$ 8-3=4+1 $

बायीं ओर 2 जोड़ें और दायीं ओर 3 जोड़ें। नई बायीं ओर $8-3+2=5+2=7$ है और नई दायीं ओर $4+1+3=5+3=8$ है। समानता स्थापित नहीं होती, क्योंकि नई बायीं और दायीं ओर बराबर नहीं हैं।

इस प्रकार यदि हम समानता के दोनों ओर एक ही संख्या के साथ समान गणितीय संक्रिया करने में विफल रहते हैं, तो समानता स्थापित नहीं हो सकती।

वह समानता जिसमें चर होते हैं, एक समीकरण होता है।

ये निष्कर्ष समीकरणों के लिए भी मान्य हैं, क्योंकि प्रत्येक समीकरण में चर केवल एक संख्या को दर्शाता है।

अक्सर एक समीकरण को तराजू के संतुलन की तरह कहा जाता है। समीकरण पर गणितीय संक्रिया करना तराजू के पलड़ों में वजन जोड़ने या हटाने जैसा है।

एक समीकरण तराजू के समान होता है जिसके दोनों पलड़ों में बराबर वजन हो, ऐसी स्थिति में तराजू की डंडी बिल्कुल क्षैतिज होती है। यदि हम दोनों पलड़ों में समान वजन जोड़ें, तो डंडी क्षैतिज ही रहती है। इसी प्रकार, यदि हम दोनों पलड़ों से समान वजन हटाएं, तो डंडी क्षैतिज रहती है। दूसरी ओर यदि हम पलड़ों में अलग-अलग वजन जोड़ें या उनसे अलग-अलग वजन हटाएं, तो तराजू झुक जाता है; अर्थात् तराजू की डंडी क्षैतिज नहीं रहती।

हम इस सिद्धांत का उपयोग समीकरण हल करने के लिए करते हैं। यहाँ, निश्चित रूप से,

संतुलन काल्पनिक है और संख्याओं को वजन के रूप में प्रयोग किया जा सकता है जिन्हें आपस में भौतिक रूप से संतुलित किया जा सकता है। सिद्धांत प्रस्तुत करने का यही वास्तविक उद्देश्य है। आइए कुछ उदाहरण लें।

• समीकरण पर विचार करें: $x+3=8$

हम इस समीकरण के दोनों पक्षों से 3 घटाएँगे।

नया LHS है $\quad x+3-3=x$ और नया RHS है $8-3=5$

चूँकि इससे संतुलन बिगड़ता नहीं है, हमारे पास है

$$ \text{ नया LHS = नया RHS } $$

हमें 3 ही क्यों घटाना चाहिए, कोई अन्य संख्या क्यों नहीं? 3 जोड़ने का प्रयास करें। क्या यह मदद करेगा? क्यों नहीं? ऐसा इसलिए है क्योंकि 3 घटाने से LHS घटकर $x$ रह जाता है।

या

$ x=5 $

जो कि वही है जो हम चाहते हैं, समीकरण (4.6) का हल।

यह पुष्टि करने के लिए कि हम सही हैं या नहीं, हम $x=5$ को मूल समीकरण में रखेंगे। हमें LHS $=x+3=5+3=8$ मिलता है, जो कि आवश्यकतानुसार RHS के बराबर है।

समीकरण के दोनों पक्षों पर सही गणितीय संक्रिया (अर्थात् 3 घटाना) करके, हम समीकरण के हल तक पहुँचे।

• आइए एक अन्य समीकरण देखें

$$ \begin{equation*} x-3=10 \tag{4.7} \end{equation*} $$

हमें यहाँ क्या करना चाहिए? हमें दोनों पक्षों में 3 जोड़ना चाहिए, ऐसा करने से संतुलन बना रहेगा और LHS भी केवल $x$ रह जाएगा।

नया LHS $=x-3+3=x$, नया RHS $=10+3=13$

इसलिए, $x=13$, जो अभीष्ट हल है।

$x=13$ को मूल समीकरण (4.7) में रखने से हम पुष्टि करते हैं कि हल सही है:

मूल समीकरण का LHS $=x-3=13-3=10$

यह आवश्यकतानुसार RHS के बराबर है।

इसी प्रकार, आइए समीकरणों को देखें

$$ \begin{align*} & 5 y=35 \tag{4.8}\\ & \frac{m}{2}=5 \tag{4.9} \end{align*} $$

पहले मामले में, हम दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करेंगे। इससे हमें LHS पर केवल $y$ मिलेगा

$ \text{ नया LHS }=\frac{5 y}{5}=\frac{5 \times y}{5}=y, \quad \text{ नया RHS }=\frac{35}{5}=\frac{5 \times 7}{5}=7 $

इसलिए,

$ y=7 $

यह अभीष्ट हल है। हम $y=7$ को समी. (4.8) में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और जांच सकते हैं कि यह संतुष्ट होता है।

दूसरे मामले में, हम दोनों पक्षों को 2 से गुणा करेंगे। इससे हमें LHS पर केवल $m$ मिलेगा

नया LHS $=\frac{m}{2} \times 2=m$. नया RHS $=5 \times 2=10$.

अतः, $m=10$ (यह अभीष्ट हल है। आप जांच सकते हैं कि हल सही है या नहीं)।

ऊपर दिए गए उदाहरणों में देखा जा सकता है कि हमें जो संक्रिया करनी है, वह समीकरण पर निर्भर करती है। हमारा प्रयास यह होना चाहिए कि समीकरण में चर को अलग किया जाए। कभी-कभी ऐसा करने के लिए हमें एक से अधिक गणितीय संक्रियाएँ करनी पड़ सकती हैं। आइए इस विचार के साथ कुछ और समीकरणों को हल करें।

उदाहरण 5 हल कीजिए: (a) $3 n+7=25$

(b) $2 p-1=23$

हल

(a) हम चर $n$ को समीकरण के बायीं ओर अलग करने के लिए क्रमशः चरणबद्ध तरीके से आगे बढ़ते हैं। बायाँ पक्ष $3 n+7$ है। हम पहले इसमें से 7 घटाएँगे ताकि हमें $3 n$ मिले। इसके बाद, अगले चरण में हम इसे 3 से विभाजित करेंगे ताकि $n$ मिले। याद रखें कि हमें समीकरण के दोनों पक्षों पर वही संक्रिया करनी होती है। इसलिए, दोनों पक्षों से 7 घटाने पर,

$$ \begin{align*} 3 n+7-7 & =25-7 \tag{चरण1}\\ 3 n & =18 \end{align*} $$

अब दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें,

$$ \begin{equation*} \frac{3 n}{3}=\frac{18}{3} \tag{चरण2} \end{equation*} $$

अर्थात् $\quad n=6$, जो कि हल है।

(b) यहाँ हमें क्या करना चाहिए? सबसे पहले हम दोनों पक्षों में 1 जोड़ेंगे:

$$ \begin{align*} 2 p-1+1 & =23+1 \tag{चरण1}\\ 2 p & =24 \end{align*} $$

अथवा

अब दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हमें $\frac{2 p}{2}=\frac{24}{2}$ मिलता है

अथवा

$$ \begin{equation*} p=12 \text{, जो कि हल है। } \tag{चरण2} \end{equation*} $$

एक अच्छी आदत जो आपको विकसित करनी चाहिए, वह यह है कि आप प्राप्त किए गए हल की जाँच करें। यद्यपि हमने उपरोक्त (a) के लिए ऐसा नहीं किया, आइए इस उदाहरण के लिए करें।

आइए हल $p=12$ को समीकरण में वापस रखकर देखें।

$ \begin{aligned} \text{ LHS } & =2 p-1=2 \times 12-1=24-1 \ & =23=\text{ RHS } \end{aligned} $

इस प्रकार समाधान की सहीता की जाँच हो गई।

आप (a) के समाधान की जाँच क्यों नहीं करते?

अब हम उस मन-पढ़ने वाले खेल पर वापस जा सकते हैं जिसे अप्पू, सरिता और अमीना ने प्रस्तुत किया था और समझ सकते हैं कि उन्होंने अपने उत्तर कैसे प्राप्त किए। इस उद्देश्य के लिए आइए समीकरणों (4.1) और (4.2) को देखें जो क्रमशः अमीना और अप्पू के उदाहरणों से संबंधित हैं।

• पहले समीकरण $4 x+5=65$ पर विचार करें।

दोनों पक्षों से 5 घटाने पर, $4 x+5-5=65-5$।

अर्थात् $4 x=60$

दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करें; इससे $x$ अलग हो जाएगा। हमें $\frac{4 x}{4}=\frac{60}{4}$ मिलता है

या $\quad x=15$, जो कि समाधान है। (जाँच करें, कि क्या यह सही है।)

• अब, $10 y-20=50$ पर विचार करें।

दोनों पक्षों में 20 जोड़ने पर, हमें $10 y-20+20=50+20$ या $10 y=70$ मिलता है

दोनों पक्षों को 10 से विभाजित करने पर, हमें $\frac{10 y}{10}=\frac{70}{10}$ मिलता है

या $\quad y=7$, जो कि समाधान है। (जाँच करें कि क्या यह सही है।)

आपको अनुभव होगा कि ठीक ये वही उत्तर थे जो अप्पू, सरिता और अमीना ने दिए थे। उन्होंने समीकरण बनाना और उन्हें हल करना सीखा था। इसीलिए वे अपना मन-पढ़ने वाला खेल रच सके और पूरी कक्षा को प्रभावित कर सके। हम खंड 4.7 में इस पर वापस आएँगे।

प्रश्नावली 4.2

1. पहले वह कदम बताएँ जिसे आप चर को अलग करने के लिए प्रयोग करेंगे और फिर समीकरण को हल करें:

(a) $x-1=0$

(b) $x+1=0$

(c) $x-1=5$

(d) $x+6=2$

(e) $y-4=-7$

(f) $y-4=4$

(g) $y+4=4$

(h) $y+4=-4$

२. पहले वह कदम बताइए जिससे आप चर को अलग करेंगे और फिर समीकरण हल कीजिए:

(क) (3 l=42)

(ख) (\frac{b}{2}=6)

(ग) (\frac{p}{7}=4)

(घ) (4 x=25)

(ङ) (8 y=36)

(च) (\frac{z}{3}=\frac{5}{4})

(छ) (\frac{a}{5}=\frac{7}{15})

(ज) (20 t=-10)

३. चर को अलग करने के लिए आप जो कदम इस्तेमाल करेंगे, वे बताइए और फिर समीकरण हल कीजिए:

(क) (3 n-2=46)

(ख) (5 m+7=17)

(ग) (\frac{20 p}{3}=40)

(घ) (\frac{3 p}{10}=6)

४. निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए:

(क) (10 p=100)

(ख) (10 p+10=100)

(ग) (\frac{p}{4}=5)

(घ) (\frac{-p}{3}=5)

(ङ) (\frac{3 p}{4}=6)

(च) (3 s=-9)

(छ) (3 s+12=0)

(ज) (3 s=0)

(झ) (2 q=6)

(ञ) (2 q-6=0)

(ट) (2 q+6=0)

(ठ) (2 q+6=12)

४.५ और समीकरण

आइए कुछ और समीकरणों को हल करने का अभ्यास करें। इन समीकरणों को हल करते समय हम किसी संख्या को पार करने (transposing) के बारे में सीखेंगे, यानी उसे एक पक्ष से दूसरे पक्ष पर ले जाना। हम किसी संख्या को समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ने या घटाने के बजाय उसे पार कर सकते हैं।

उदाहरण ६ हल कीजिए: (12 p-5=25)

हल

• समीकरण के दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर,

( 12 p-5+5=25+5 \quad \text{ या } \quad 12 p=30 )

• दोनों पक्षों को 12 से भाग देने पर,

( \frac{12 p}{12}=\frac{30}{12} \text{ या } \quad p=\frac{5}{2} )

जाँच (p=\frac{5}{2}) को समीकरण 4.12 के LHS में रखने पर,

( \begin{aligned} \text{ LHS } & =12 \times \frac{5}{2}-5=6 \times 5-5 \\ & =30-5=25=RHS \end{aligned} )

ध्यान दीजिए, दोनों पक्षों में 5 जोड़ना ((-5)) का पक्ष बदलने के समान है।

( \begin{aligned} & 12 p-5=25 \\ & 12 p=25+5 \end{aligned} )

पक्ष बदलने को स्थानांतरित करना कहा जाता है। किसी संख्या को स्थानांतरित करते समय हम उसका चिह्न बदलते हैं।

जैसा कि हमने देखा है, समीकरणों को हल करते समय एक सामान्य प्रचालन यह होता है कि समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी या घटाई जाती है। किसी संख्या को स्थानांतरित करना (अर्थात् संख्या का पक्ष बदलना) उसी बात के समान है कि संख्या को दोनों पक्षों से जोड़ा या घटाया जाए। ऐसा करते समय संख्या का चिह्न बदलना पड़ता है। जो बात संख्याओं पर लागू होती है वही व्यंजकों पर भी लागू होती है। आइए स्थानांतरण के दो और उदाहरण लें।

अब हम दो और समीकरण हल करेंगे। जैसा कि आप देख सकते हैं, इनमें कोष्ठक हैं, जिन्हें आगे बढ़ने से पहले सुलझाना होता है।

उदाहरण 7 हल कीजिए

(a) $4(m+3)=18$

(b) $-2(x+3)=8$

हल

(a) $4(m+3)=18$

आइए दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करें। इससे LHS के कोष्ठक दूर हो जाएंगे हमें प्राप्त होता है,

$ m+3=\frac{18}{4} \quad \text{ या } \quad m+3=\frac{9}{2} $

या $\quad m=\frac{9}{2}-3$ (3 को RHS में स्थानांतरित करने पर)

या $\quad m=\frac{3}{2} \quad$ (अभीष्ट हल) $(.$ क्योंकि $.\frac{9}{2}-3=\frac{9}{2}-\frac{6}{2}=\frac{3}{2})$

LHS जाँचें $=4[\frac{3}{2}+3]=4 \times \frac{3}{2}+4 \times 3=2 \times 3+4 \times 3[.$ रखें $.m=\frac{3}{2}]$

$ =6+12=18=RHS $

(b) $-2(x+3)=8$

हम दोनों पक्षों को (-2) से विभाजित करते हैं, ताकि LHS में कोष्ठक हट जाए, हमें प्राप्त होता है,

$x+3=-\frac{8}{2} \quad$ या $\quad x+3=-4$

अर्थात्, $x=-4-3 \quad$ (3 को RHS में स्थानांतरित करते हुए) या $\quad x=-7 \quad$ (अभीष्ट हल)

जाँच

$ \begin{aligned} \text{ LHS } & =-2(-7+3)=-2(-4) \\ & =8=\text{ RHS जैसा अभीष्ट है। } \end{aligned} $

4.6 व्यावहारिक परिस्थितियों में सरल समीकरणों के अनुप्रयोग

हम पहले ही उदाहरण देख चुके हैं जिनमें हमने रोज़मर्रा की भाषा में कथनों को लेकर उन्हें सरल समीकरणों में बदला है। हमने यह भी सीखा है कि सरल समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। इस प्रकार हम व्यावहारिक परिस्थितियों से पहेलियों/समस्याओं को हल करने के लिए तैयार हैं। विधि यह है कि पहले ऐसी परिस्थितियों के अनुरूप समीकरण बनाएँ और फिर उन समीकरणों को हल करके पहेलियों/समस्याओं का हल दें। हम उससे शुरुआत करते हैं जो हम पहले ही देख चुके हैं [उदाहरण 1 (i) और (iii), खंड 4.2]।

उदाहरण 8 किसी संख्या के तिगुने और 11 का योग 32 है। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल

• यदि अज्ञात संख्या को $x$ माना जाए, तो संख्या का तिगुना $3 x$ होगा और $3 x$ तथा 11 का योग 32 है। अर्थात्, $3 x+11=32$
• इस समीकरण को हल करने के लिए, हम 11 को RHS में स्थानांतरित करते हैं, ताकि

$3 x=32-11$ या $3 x=21$

अब, दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें

इसलिए

$ x=\frac{21}{3}=7 $

अभीष्ट संख्या 7 है। (हम इसकी जाँच 7 का 3 गुना करके और उसमें 11 जोड़कर कर सकते हैं। यह अभीष्ट 32 देता है।)

इन्हें आज़माइए

(i) जब आप किसी संख्या को 6 से गुणा करते हैं और गुणनफल से 5 घटाते हैं, तो आपको 7 प्राप्त होता है। क्या आप बता सकते हैं वह संख्या क्या है?

(ii) वह कौन-सी संख्या है जिसका एक-तिहाई 5 में जोड़ने पर 8 प्राप्त होता है?

उदाहरण 9 एक संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे कि उस संख्या का एक-चौथाई 7 से 3 अधिक हो।

हल

• मान लीजिए अज्ञात संख्या $y$ है; $y$ का एक-चौथाई $\frac{y}{4}$ है।

यह संख्या $(\frac{y}{4})$ 7 से 3 अधिक है।

इसलिए हमें $y$ के लिए समीकरण मिलता है $\frac{y}{4}-7=3$

• इस समीकरण को हल करने के लिए, पहले 7 को RHS पर स्थानांतरित करते हैं। हमें मिलता है, $\frac{y}{4}=3+7=10$। फिर हम समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से गुणा करते हैं, ताकि

$ \frac{y}{4} \times 4=10 \times 4 \quad \text{ या } \quad y=40 \quad \text{ (अभीष्ट संख्या) } $

आइए बनाए गए समीकरण की जाँच करें। समीकरण में $y$ का मान रखने पर,

LHS $=\frac{40}{4}-7=10-7=3=$ RHS, जैसा कि आवश्यक था।

उदाहरण 10 राजू के पिता की आयु राजू की आयु के तीन गुने से 5 वर्ष अधिक है। राजू की आयु ज्ञात कीजिए, यदि उसके पिता की आयु 44 वर्ष है।

हल

• जैसा कि पहले उदाहरण 3 में दिया गया है, वह समीकरण जो राजू की आयु देता है

$ 3 y+5=44 $

• इसे हल करने के लिए, हम पहले 5 को स्थानांतरित करते हैं, ताकि $3 y=44-5=39$

दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर, हमें मिलता है $\quad y=13$

अर्थात्, राजू की आयु 13 वर्ष है। (आप उत्तर की जाँच कर सकते हैं।)

इन्हें आज़माइए

आम रखने वाले दो प्रकार के डिब्बे हैं। बड़े प्रकार के प्रत्येक डिब्बे में छोटे प्रकार के 8 डिब्बों में रखे आमों की संख्या से 4 अधिक आम हैं। प्रत्येक बड़ा डिब्बा 100 आम रखता है। छोटे डिब्बे में रखे आमों की संख्या ज्ञात कीजिए?

व्यायाम 4.3

1. निम्नलिखित स्थितियों में अज्ञात संख्याएँ ज्ञात करने के लिए समीकरण बनाइए और हल कीजिए:

(a) किसी संख्या के आठ गुने में 4 जोड़ने पर 60 प्राप्त होता है।

(b) किसी संख्या का एक-पाँचवाँ भाग 4 घटाने पर 3 देता है।

(c) यदि मैं किसी संख्या के तीन-चौथाई भाग में 3 जोड़ूँ तो 21 प्राप्त होता है।

(d) जब मैंने किसी संख्या के दोगुने में से 11 घटाया, परिणाम 15 आया।

(e) मुन्ना अपने पास मौजूद कॉपियों की संख्या का तिगुना 50 में से घटाता है, तो परिणाम 8 आता है।

(f) इबेनहल एक संख्या के बारे में सोचती है। यदि वह उसमें 19 जोड़े और योग को 5 से विभाजित करे, तो उसे 8 प्राप्त होता है।

(g) अनवर एक संख्या के बारे में सोचता है। यदि वह संख्या के $\frac{5}{2}$ गुने में से 7 घटाए, तो परिणाम 23 आता है।

2. निम्नलिखित को हल कीजिए:

(a) अध्यापिका कक्षा को बताती है कि उसकी कक्षा में किसी विद्यार्थी द्वारा प्राप्त अधिकतम अंक न्यूनतम अंकों के दोगुने से 7 अधिक हैं। अधिकतम अंक 87 हैं। न्यूनतम अंक कितने हैं?

(b) एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोण बराबर होते हैं। शीर्ष कोण $40^{\circ}$ है। त्रिभुज के आधार कोण कितने हैं? (याद रखिए, त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)।

(c) सचिन ने राहुल से दोगुने रन बनाए। दोनों के कुल रन दोहरे शत से 2 कम हैं। प्रत्येक ने कितने रन बनाए?

3. निम्नलिखित को हल कीजिए:

(i) इरफ़ान कहता है कि उसके पास परमीत के संग्रों से पाँच गुने से 7 अधिक संग्र हैं। इरफ़ान के पास 37 संग्र हैं। परमीत के पास कितने संग्र हैं?

(ii) लक्ष्मी के पिता की उम्र 49 वर्ष है। वह लक्ष्मी की उम्र के तीन गुने से 4 वर्ष बड़े हैं। लक्ष्मी की उम्र क्या है?

(iii) सुंदरग्राम के लोगों ने गाँव के बगीचे में पेड़ लगाए। उनमें से कुछ फलदार पेड़ थे। बिना फल वाले पेड़ों की संख्या फलदार पेड़ों की संख्या के तीन गुने से 2 अधिक थी। यदि बिना फल वाले पेड़ों की संख्या 77 थी, तो फलदार पेड़ों की संख्या कितनी थी?

4. निम्नलिखित पहेली को हल कीजिए:

$\text{मैं एक संख्या हूँ,}$

$$\text{मेरी पहचान बताओ!}$$

$\text{मुझे सात गुना कर लो}$

$$\text{और पचास जोड़ दो!}$$

$\text{त्रिशतक तक पहुँचने के लिए}$

$$\text{अभी भी चालीस की जरूरत है!}$$

हमने क्या चर्चा की है?

1. एक समीकरण चर पर एक ऐसी शर्त होती है जिसमें चर के दो व्यंजकों का मान बराबर होना चाहिए।

2. चर का वह मान जिसके लिए समीकरण संतुष्ट होता है, समीकरण का हल कहलाता है।

3. यदि LHS और RHS को आपस में बदल दिया जाए तो समीकरण वही रहता है।

4. संतुलित समीकरण की स्थिति में, यदि हम

(i) दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ें, या (ii) दोनों पक्षों से समान संख्या घटाएँ, या (iii) दोनों पक्षों को समान संख्या से गुणा करें, या (iv) दोनों पक्षों को समान संख्या से भाग दें, तो संतुलन बना रहता है, अर्थात LHS का मान RHS के मान के बराबर रहता है

५. उपरोक्त गुणधर्म समीकरण को हल करने की एक व्यवस्थित विधि देता है। हम समीकरण के दोनों पक्षों पर एक श्रृंखला में समान गणितीय संक्रियाएँ करते हैं इस प्रकार कि एक पक्ष पर हमें केवल चर प्राप्त होता है। अंतिम चरण समीकरण का हल होता है।

६. पक्षांतरण का अर्थ है दूसरे पक्ष पर ले जाना। किसी संख्या का पक्षांतरण समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने (या समान संख्या घटाने) के समान प्रभाव देता है। जब आप समीकरण के एक पक्ष से दूसरे पक्ष पर कोई संख्या पक्षांतरित करते हैं, तो आप उसका चिह्न बदल देते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण $x+3=8$ में +3 को बाएँ पक्ष से दाएँ पक्ष पर पक्षांतरित करने पर $x=8-3(=5)$ प्राप्त होता है। हम किसी व्यंजक का पक्षांतरण भी उसी प्रकार कर सकते हैं जिस प्रकार किसी संख्या का पक्षांतरण करते हैं।

७. हमने यह भी सीखा कि किस प्रकार दोनों पक्षों पर समान गणितीय संक्रिया (उदाहरण के लिए समान संख्या जोड़ना) करने की तकनीक का प्रयोग करके हम समीकरण को उसके हल से प्रारंभ करके बना सकते हैं। इसके अतिरिक्त, हमने यह भी सीखा कि हम किसी दिए गए समीकरण को किसी उपयुक्त व्यावहारिक परिस्थिति से संबद्ध कर सकते हैं और समीकरण से कोई व्यावहारिक शब्द समस्या/पहेली बना सकते हैं।