13.1 परिचय: समतल आकृतियाँ और ठोस आकृतियाँ

इस अध्याय में, आप उन आकृतियों को वर्गीकृत करेंगे जिन्हें आपने देखा है, उनके आयाम के आधार पर।

अपने दैनिक जीवन में, हम कई वस्तुएँ जैसे किताबें, गेंदें, आइसक्रीम कोन आदि को अपने चारों ओर देखते हैं जिनकी विभिन्न आकृतियाँ होती हैं। इन वस्तुओं में एक सामान्य बात यह है कि इन सभी में कुछ लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई या गहराई होती है।

अर्थात्, ये सभी स्थान घेरती हैं और इनमें तीन आयाम होते हैं।

इसलिए, इन्हें त्रिविमीय आकृतियाँ कहा जाता है।

क्या आपको पिछली कक्षाओं में देखी गई कुछ त्रिविमीय आकृतियाँ (अर्थात् ठोस आकृतियाँ) याद हैं?

इन्हें आज़माएँ

प्रत्येक आकृति जैसी कुछ वस्तुओं को पहचानने का प्रयास करें।

इसी प्रकार के तर्क से, हम कह सकते हैं कि कागज़ पर खींची गई आकृतियाँ जिनमें केवल लंबाई और चौड़ाई होती है, उन्हें द्विविमीय (अर्थात् समतल) आकृतियाँ कहा जाता है। हमने पिछली कक्षाओं में कुछ द्विविमीय आकृतियाँ भी देखी हैं।

द्विविमीय आकृतियों को नामों से मिलान करें (चित्र 13.2):

नोट: हम 2-dimension के लिए संक्षेप में 2-D और 3-dimension के लिए संक्षेप में 3-D लिख सकते हैं।

13.2 फलक, किनारे और शीर्ष

क्या आपको ठोस आकृतियों के फलक, शिराएँ और कोर याद हैं, जिन्हें आपने पहले पढ़ा था? यहाँ आप उन्हें घन के लिए देखते हैं:

घन के 8 कोने उसकी शिराएँ होती हैं। 12 रेखाखंड जो घन के ढाँचे को बनाते हैं, वे उसकी कोर होती हैं। 6 समतल वर्गाकार सतहें जो घन की बाहरी त्वचा होती हैं, वे उसके फलक होते हैं।

इसे करें

निम्नलिखित सारणी को पूरा करें:

क्या आप देख सकते हैं कि द्वि-आयामी आकृतियाँ त्रि-आयामी आकृतियों के फलक के रूप में पहचानी जा सकती हैं? उदाहरण के लिए एक बेलन 0 के दो फलक वृत्त होते हैं, और एक पिरामिड, जो इस तरह का है, के फलक त्रिभुज होते हैं।

अब हम यह देखने का प्रयास करेंगे कि इनमें से कुछ 3-D आकृतियों को 2-D सतह पर, अर्थात् कागज़ पर, कैसे देखा जा सकता है।

इसके लिए हम त्रि-आयामी वस्तुओं से निकटता से परिचित होना चाहेंगे। आइए इन वस्तुओं को बनाने का प्रयास करें, जिन्हें जाले कहा जाता है।

13.3 3-D आकृतियाँ बनाने के लिए जाले

एक कार्डबोर्ड का डिब्बा लो। किनारों को काटकर डिब्बे को चपटा कर दो। अब तुम्हारे पास उस डिब्बे का जाल है। जाल एक प्रकार की 2-D में बना हड्डी-ढांचा है [Fig13.4 (i)], जिसे मोड़ने पर [Fig13.4 (ii)] एक 3-D आकृति बनती है [Fig13.4 (iii)]।

यहाँ तुमने उपयुक्त रूप से किनारों को अलग करके एक जाल बनाया। क्या इसका उल्टा प्रक्रम संभव है?

यहाँ एक डिब्बे के लिए जाल का नमूना है (Fig 13.5)। इस जाल का बड़ा संस्करण नकल करो और उपयुक्त रूप से मोड़कर और चिपकाकर डिब्बा बनाने की कोशिश करो। (तुम उपयुक्त इकाइयाँ उपयोग कर सकते हो)। डिब्बा एक ठोस है। यह घनाभ के आकार का 3-D वस्तु है।

इसी प्रकार, तुम शंकु के लिए उसकी तिर्यक सतह पर चीरा लगाकर एक जाल प्राप्त कर सकते हो (Fig 13.6)।

विभिन्न आकृतियों के लिए तुम्हें भिन्न-भिन्न जाल मिलते हैं। दिए गए जालों (Fig 13.7) के बड़े संस्करणों को नकल करो और दर्शाए गए 3-D आकार बनाने की कोशिश करो। (तुम पेपर क्लिप से जोड़े गए कार्डबोर्ड की पट्टियों का उपयोग करके ढांचा मॉडल भी बनाना चाहोगे)।

हम एक पिरामिड बनाने के लिए जाल (net) बनाने की कोशिश भी कर सकते हैं, जैसे गीज़ा (मिस्र) का महान पिरामिड (चित्र 13.8)। उस पिरामिड का आधार वर्गाकार है और चारों ओर त्रिभुज हैं।

देखें कि क्या आप दिए गए जाल (चित्र 13.9) से इसे बना सकते हैं।

इन्हें आज़माएँ

यहाँ आपको चार जाल मिलते हैं (चित्र 13.10)। इनमें से दो सही जाल हैं जिनसे एक टेट्राहेड्रॉन बनाया जा सकता है। देखें कि क्या आप पता लगा सकते हैं कि कौन-से जाल टेट्राहेड्रॉन बनाएँगे।

अभ्यास 13.1

1. उन जालों की पहचान करें जिनका उपयोग घन बनाने के लिए किया जा सकता है (जालों की प्रतियाँ काटकर आज़माएँ):

2. पासे घन होते हैं जिनकी प्रत्येक फलक पर बिंदु होते हैं। एक पासे के विपरीत फलकों पर हमेशा कुल सात बिंदु होते हैं।

यहाँ पासे (घन) बनाने के लिए दो जाले दिए गए हैं; प्रत्येक वर्ग में डाले गए अंक उस बॉक्स में बिंदुओं की संख्या दर्शाते हैं।

रिक्त स्थानों में उपयुक्त संख्याएँ डालें, यह याद रखते हुए कि विपरीत फलकों पर संख्याओं का योग 7 होना चाहिए।

3. क्या यह पासे के लिए एक जाल हो सकता है?

अपने उत्तर की व्याख्या करें।

4. यहाँ एक घन बनाने के लिए एक अधूरा जाल दिया गया है। इसे कम से कम दो अलग-अलग तरीकों से पूरा करें। याद रखें कि एक घन के छह फलक होते हैं। यहाँ दिए गए जाल में कितने फलक हैं? (दो अलग-अलग आरेख दें। यदि आप चाहें तो आसान हेरफेर के लिए आप चौकोर शीट का उपयोग कर सकते हैं।)

5. नेट्स को उपयुक्त ठोस आकृतियों से मिलान करें:

यह खेल खेलें

आप और आपका मित्र पीठ-से-पीठ बैठें। आपमें से कोई एक त्रि-आयामी आकृति बनाने के लिए एक नेट पढ़ता है, जबकि दूसरा उसे नकल करने और वर्णित त्रि-आयामी वस्तु को रेखाचित्रित या बनाने का प्रयास करता है।

13.4 समतल सतह पर ठोस आकृतियों का चित्रण

आपकी चित्रण सतह कागज है, जो समतल है। जब आप कोई ठोस आकृति बनाते हैं, तो छवियाँ कुछ विकृत होती हैं ताकि वे त्रि-आयामी प्रतीत हों। यह एक दृष्टि-भ्रम है। यहाँ आपको दो तकनीकें मिलेंगी जो आपकी सहायता करेंगी।

13.4.1 तिरछे रेखाचित्र

यहाँ एक घन का चित्र है (चित्र 13.11)। यह स्पष्ट विचार देता है कि घन सामने से देखने पर कैसा दिखता है। आप कुछ फलकों को नहीं देखते हैं। बनाए गए चित्र में लंबाइयाँ समान नहीं हैं, जैसा कि घन में होना चाहिए। फिर भी, आप इसे घन के रूप में पहचान पाते हैं। ठोस का ऐसा रेखाचित्र तिरछा रेखाचित्र कहलाता है।

आप ऐसी रेखाचित्र कैसे बना सकते हैं? आइए इस तकनीक को सीखने का प्रयास करें।

आपको एक वर्गाकार (रेखाओं या बिंदुओं वाला) कागज चाहिए। शुरू में इन शीटों पर बनाना अभ्यास करने से बाद में इन्हें सादे कागज पर आसानी से बनाया जा सकेगा (वर्गाकार रेखाओं या बिंदुओं की सहायता के बिना!) आइए एक $3 \times 3 \times 3$ (प्रत्येक भुजा 3 इकाई है) घन का तिरछा रेखाचित्र बनाने का प्रयास करें (चित्र 13.12)।

क्या आपने उपरोक्त तिरछे रेखाचित्र में निम्नलिखित बातें देखीं?

(i) सामने वाले फलकों और उनके विपरीत फलकों के आकार समान हैं; और

(ii) जो किनारे घन में सभी बराबर होते हैं, वे रेखाचित्र में भी बराबर प्रतीत होते हैं, यद्यपि किनारों की वास्तविक माप ऐसी नहीं ली जाती।

अब आप एक घनाभ का तिरछा रेखाचित्र बनाने का प्रयास कर सकते हैं (याद रखें इस स्थिति में फलके आयत होते हैं)

नोट: आप ऐसे रेखाचित्र बना सकते हैं जिनमें माप भी दी गई ठोस वस्तु के माप से मेल खाते हों। ऐसा करने के लिए हमें जिस चीज की आवश्यकता होती है उसे सममितीय (आइसोमेट्रिक) शीट कहा जाता है। आइए दी गई सममितीय शीट पर 4 सेमी लंबाई, 3 सेमी चौड़ाई और 3 सेमी ऊंचाई वाला एक घनाभ बनाने का प्रयास करें।

13.4.2 सममितीय (आइसोमेट्रिक) रेखाचित्र

क्या आपने कभी सम-माप बिंदु पत्र (isometric dot sheet) देखा है? (एक नमूना पुस्तक के अंत में दिया गया है।) ऐसा पत्र कागज़ को छोटे समबाहु त्रिभुजों में बाँटता है जो बिंदुओं या रेखाओं से बने होते हैं। ऐसे रेखाचित्र बनाने के लिए जिनमें माप भी ठोस वस्तु के माप से मेल खाते हों, हम सम-माप बिंदु पत्र का उपयोग कर सकते हैं। [पिछले आवरण के अंदर (तीसरे आवरण पृष्ठ) पर दिया गया है।]

आइए एक घनाभ का सम-माप रेखाचित्र बनाने का प्रयास करें जिसकी विमाएँ $4 \times 3 \times 3$ हैं (जिसका अर्थ है कि लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई बनाने वाले किनारे क्रमशः 4, 3, 3 इकाई हैं) (आकृति 13.13)।

ध्यान दें कि सम-माप रेखाचित्र में माप वास्तविक आकार के होते हैं;

उदाहरण 1 यहाँ एक घनाभ का तिरछा रेखाचित्र दिया गया है [आकृति 13.14(i)]। एक ऐसा सम-माप रेखाचित्र बनाइए जो इस चित्र से मेल खाता हो।

हल

यहाँ हल दिया गया है [आकृति 13.14(ii)]। ध्यान दें कि मापों का कैसे ध्यान रखा गया है।

आपने कितनी इकाइयाँ ली हैं (i) ‘लंबाई’ में? (ii) ‘चौड़ाई’ में? (iii) ‘ऊँचाई’ में? क्या वे तिरछे स्केच में दर्शाई गई इकाइयों से मेल खाती हैं?

व्यायाम 13.2

1. सममित बिंदु कागज़ का प्रयोग करें और दी गई प्रत्येक आकृति के लिए एक सममित स्केच बनाएँ:

2. एक घनाभ की विमाएँ $5 ~cm, 3 ~cm$ और $2 ~cm$ हैं। इस घनाभ के तीन भिन्न सममित स्केच बनाएँ।

3. तीन घन, प्रत्येक $2 ~cm$ भुजा वाले, को एक के बगल में एक रखकर एक घनाभ बनाया गया है। इस घनाभ का तिरछा या सममित स्केच बनाएँ।

4. दी गई प्रत्येक सममित आकृति के लिए एक तिरछा स्केच बनाएँ:

5. निम्नलिखित प्रत्येक के लिए (i) एक तिरछा स्केच और (ii) एक सममित स्केच दीजिए:

(a) विमाएँ $5 ~cm, 3 ~cm$ और $2 ~cm$ वाला एक घनाभ। (क्या आपका स्केच अद्वितीय है?)

(b) एक घन जिसकी भुजा $4 ~cm$ लंबी है।

पुस्तक के अंत में एक सममित शीट संलग्न है। आप उस पर अपने मित्र द्वारा बताई गई विमाओं वाले कुछ घन या घनाभ बनाने का प्रयास कर सकते हैं।

13.4.3 ठोस वस्तुओं की कल्पना करना

यह कीजिए

कभी-कभी जब आप संयुक्त आकृतियों को देखते हैं, तो उनमें से कुछ आपकी दृष्टि से छिपी हो सकती हैं।

यहाँ कुछ ऐसी गतिविधियाँ दी गई हैं जो आप अपने खाली समय में आज़मा सकते हैं ताकि आप कुछ ठोस वस्तुओं और उनके दिखने के तरीके की कल्पना कर सकें। कुछ घन लें और उन्हें चित्र 13.16 में दिखाए अनुसार व्यवस्थित करें।

अब अपने मित्र से अनुमान लगाने को कहें कि तीर चिह्न द्वारा दिखाए गए दृष्टिकोण से देखने पर कितने घन हैं।

इन्हें आज़माएँ

निम्न व्यवस्थाओं (चित्र 13.17) में घनों की संख्या का अनुमान लगाने का प्रयास करें।

ऐसी कल्पना बहुत उपयोगी होती है। मान लीजिए आप ऐसे घनों को जोड़कर एक घनाभ बनाते हैं। आप अनुमान लगा पाएँगे कि घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई कितनी होगी।

उदाहरण 2 यदि $2 ~cm$ × $2 ~cm$ × $2 ~cm$ माप के दो घनों को बगल-बगल रखा जाए, तो परिणामी घनाभ की विमाएँ क्या होंगी?

हल

जैसा कि आप देख सकते हैं (चित्र 13.18) जब उन्हें बगल में रखा जाता है, तो केवल लंबाई ही माप है जो बढ़ती है, यह हो जाती है $2+2=4 ~cm$।

चौड़ाई $=2 ~cm$ और ऊंचाई $=2 ~cm$ है।

इन्हें आज़माएँ

चित्र 13.19

1. दो पासे बगल-बगल रखे गए हैं जैसा दिखाया गया है: क्या आप बता सकते हैं कि विपरीत फलक पर कुल कितना होगा

(a) $5+6$

(b) $4+3$

(याद रखें कि एक पासे में विपरीत फलकों पर संख्याओं का योग 7 होता है)

2. तीन घन जिनमें से प्रत्येक की भुजा $2 ~cm$ है, को बगल-बगल रखकर एक घनाभ बनाया गया है। एक तिरछा रेखाचित्र बनाने की कोशिश करें और बताएं कि इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्या हो सकती है।

13.5 एक ठोस के विभिन्न काटों को देखना

अब आइए देखें कि एक वस्तु जो 3-D में है, उसे विभिन्न तरीकों से कैसे देखा जा सकता है।

13.5.1 एक वस्तु को देखने का एक तरीका काटना या स्लाइस करना है स्लाइसिंग खेल

यहाँ एक ब्रेड की लोफ है (चित्र 13.20)। यह एक घनाभ की तरह है जिसका एक फलक वर्गाकार है। आप इसे चाकू से ‘काटते’ हैं।

चित्र 13.20

जब आप ‘ऊध्र्वाधर’ काट देते हैं, तो आपको कई टुकड़े मिलते हैं, जैसा कि चित्र 13.20 में दिखाया गया है। टुकड़े का प्रत्येक फलक एक वर्ग है! हम इस फलक को पूरे ब्रेड का ‘क्रॉस-सेक्शन’ कहते हैं। इस स्थिति में क्रॉस-सेक्शन लगभग एक वर्ग है।

सावधान! यदि आपका कट ‘ऊध्र्वाधर’ नहीं है, तो आपको एक भिन्न क्रॉस-सेक्शन मिल सकता है! इसके बारे में सोचिए। आप जो क्रॉस-सेक्शन प्राप्त करते हैं, उसकी सीमा एक समतलीय वक्र होती है। क्या आप इसे देख पा रहे हैं?

रसोई में खेल

क्या आपने कुछ सब्जियों के क्रॉस-सेक्शन को देखा है जब उन्हें रसोई में पकाने के लिए काटा जाता है? विभिन्न स्लाइस को देखिए और उन आकृतियों से अवगत हो जाइए जो क्रॉस-सेक्शन के रूप में प्राप्त होती हैं।

इसे खेलिए

निम्न ठोसों की मिट्टी (या प्लास्टिसिन) से मॉडल बनाइए और ऊध्र्वाधर या क्षैतिज काट लगाइए।

आप जिन क्रॉस-सेक्शन को प्राप्त करते हैं, उनकी मोटे-मोटे रफ स्केच बनाइए। जहाँ तक संभव हो उनका नाम लिखिए।

चित्र 13.21

अभ्यास 13.3

1. निम्न ठोसों पर जब आप

(i) ऊध्र्वाधर काट $\qquad$ (ii) क्षैतिज काट

लगाते हैं, तो आपको कौन-से क्रॉस-सेक्शन मिलते हैं?

(ए) एक ईंट $\qquad$ (ब) एक गोल सेब $\qquad$ (स) एक पासा

(द) एक गोल पाइप $\qquad$ (ए) एक आइसक्रीम कोन

13.5.2 एक अन्य तरीका छाया-क्रीड़ा है

एक छाया-क्रीड़ा

छायाएँ यह दिखाने का एक अच्छा तरीका हैं कि त्रि-आयामी वस्तुओं को द्वि-आयामी रूप में कैसे देखा जा सकता है। क्या आपने कभी छाया-क्रीड़ा देखी है? यह मनोरंजन का एक रूप है जिसमें प्रकाशित पृष्ठभूमि के सामने ठोस, जोड़दार आकृतियों का उपयोग कर चलती हुई छवियों का भ्रम पैदा किया जाता है।

आकृति 13.22 यह गणित की अवधारणाओं की परोक्ष रूप से उपयोग करती है।

इस क्रिया के लिए आपको प्रकाश का स्रोत और कुछ ठोस आकृतियाँ चाहिए। (यदि आपके पास ओवरहेड प्रोजेक्टर है, तो ठोस को लैंप के नीचे रखकर ये जाँचें।)

एक टॉर्च सीधे कोन के सामने रखें। यह स्क्रीन पर किस प्रकार की छाया डालता है?

आकृति 13.23 (आकृति 13.23)

ठोस त्रि-आयामी है; छाया की आयाम क्या है?

यदि कोन के स्थान पर आप उपरोक्त खेल में एक घन रखें, तो आपको किस प्रकार की छाया मिलेगी?

प्रकाश स्रोत की विभिन्न स्थितियों और ठोस वस्तु की विभिन्न स्थितियों के साथ प्रयोग करें। आपको प्राप्त छायाओं की आकृतियों और आकारों पर उनके प्रभावों का अध्ययन करें।

यहाँ एक और मजेदार प्रयोग है जो आपने पहले ही कर लिया होगा: दोपहर के समय जब सूर्य ठीक ऊपर हो तो एक गोल प्लेट को खुले में इस प्रकार रखें जैसा कि चित्र 13.24 (i) में दिखाया गया है। आपको कौन-सी छाया प्राप्त होती है?

(i)

क्या यह समान रहेगी

सूर्य की स्थिति और प्रेक्षण के समय के संबंध में छायाओं का अध्ययन करें।

अभ्यास 13.4

1. निम्न ठोस वस्तुओं के ठीक ऊपर एक बल्ब जलाया जाता है। प्रत्येक स्थिति में प्राप्त छाया की आकृति का नाम बताएँ। छाया का एक मोटा-मोटा रेखाचित्र बनाने का प्रयास करें। (आप पहले प्रयोग करके इन प्रश्नों के उत्तर दे सकते हैं)।

2. यहाँ कुछ 3-D वस्तुओं की छायाएँ दी गई हैं, जब उन्हें ओवरहेड प्रोजेक्टर की लैंप के नीचे देखा जाता है। प्रत्येक छाया से मेल खाने वाला ठोस (ठोसों) को पहचानिए। (इनके लिए एक से अधिक उत्तर हो सकते हैं!)

3. जाँच कीजिए कि निम्न कथन सत्य हैं या नहीं:

(i) घन एक आयताकार छाया डाल सकता है।

(ii) घन एक षट्भुजाकार छाया डाल सकता है।

13.5.3 एक तीसरा तरीका इसे कुछ कोणों से देखना है ताकि विभिन्न दृश्य मिल सकें

किसी वस्तु को इसके सामने खड़े होकर या इसके किनारे से या ऊपर से देखा जा सकता है। हर बार एक को अलग दृश्य मिलेगा (चित्र 13.25)।

यहाँ एक उदाहरण दिया गया है कि किसी दिए गए भवन के विभिन्न दृश्य कैसे प्राप्त किए जाते हैं। (चित्र 13.26)

आप ऐसा घनों को जोड़कर बनाए गए आकृतियों के लिए कर सकते हैं।

घनों को एक साथ रखकर कोशिश करें और फिर विभिन्न पक्षों से ऐसी रूपरेखाएँ बनाएँ।

इन्हें आज़माएँ

1. प्रत्येक ठोस के लिए तीन दृश्य (1), (2), (3) दिए गए हैं। प्रत्येक ठोस के लिए संगत ऊपरी, सामने और पक्ष दृश्य पहचानिए।

2. तीर द्वारा दिखाए गए दिशा से देखने पर प्रत्येक ठोस का दृश्य बनाइए।

हमने क्या चर्चा की है?

1. वृत्त, वर्ग, आयत, चतुर्भुज और त्रिभुज समतल आकृतियों के उदाहरण हैं; घन, घनाभ, गोला, बेलन, शंकु और पिरामिड ठोस आकृतियों के उदाहरण हैं।

2. समतल आकृतियाँ दो-आयामी (2-D) होती हैं और ठोस आकृतियाँ तीन-आयामी (3-D) होती हैं।

3. ठोस आकृति के कोनों को शीर्ष कहा जाता है; इसके काँचे के रेखाखंड इसकी किनारियाँ होती हैं; और इसके समतल सतह इसके फलक होते हैं।

4. एक जाली (नेट) एक ठोस आकृति का कंकाल-रूपरेखा होता है जिसे मोड़कर उस ठोस को बनाया जा सके। एक ही ठोस की कई प्रकार की जालियाँ हो सकती हैं।

5. ठोस आकृतियों को समतल सतह (जैसे कागज़) पर यथार्थ रूप से खींचा जा सकता है। हम इसे 3-D ठोस का 2-D चित्रण कहते हैं।

6. एक ठोस की दो प्रकार की रूपरेखाएँ संभव हैं:

(a) एक तिरछी रूपरेखा में अनुपातिक लंबाई नहीं होती। फिर भी यह ठोस की सभी महत्वपूर्ण विशेषताओं को दर्शाती है।

(b) एक सममित रूपरेखा सममित बिंदु कागज़ पर खींची जाती है, जिसका एक नमूना इस पुस्तक के अंत में दिया गया है। सममित रूपरेखा में माप अनुपातिक रखे जाते हैं।

7. ठोस आकृतियों की कल्पना करना एक बहुत उपयोगी कौशल है। आपको ठोस आकृति के ‘छिपे हुए’ भागों को देखने में सक्षम होना चाहिए।

8. एक ठोस के विभिन्न काटों को कई तरीकों से देखा जा सकता है:

(a) एक तरीका है आकृति को काटकर या टुकड़ों में विभाजित करके देखना, जिससे ठोस का अनुप्रस्थ-काट प्राप्त होता है।

(b) दूसरा तरीका है 3-D आकृति की 2-D छाया को देखना।

(c) तीसरा तरीका है आकृति को विभिन्न कोणों से देखना; सामने से दृश्य, पक्ष-दृश्य और ऊपर से दृश्य देखी गई आकृति के बारे में बहुत सी जानकारी दे सकते हैं।