12.1 परिचय

सममिति एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय अवधारणा है, जो प्रकृति में सामान्य रूप से प्रदर्शित होती है और लगभग हर गतिविधि के क्षेत्र में उपयोग की जाती है। कलाकार, पेशेवर, कपड़े या आभूषणों के डिज़ाइनर, कार निर्माता, वास्तुकार और कई अन्य सममिति के विचार का उपयोग करते हैं। मधुमक्खियों के छत्ते, फूल, पेड़ों की पत्तियाँ, धार्मिक प्रतीक, दरी और रूमाल—हर जगह आप सममित डिज़ाइन पाएंगे।

आपने पिछली कक्षा में रेखा सममिति की एक ‘अनुभूति’ पहले ही प्राप्त कर ली है।

एक आकृति में रेखा सममिति होती है, यदि कोई ऐसी रेखा हो जिसके बारे में आकृति को मोड़ा जा सके ताकि आकृति के दो भाग एक-दूसरे के मेल खा जाएं।

आप इन विचारों को याद करना चाहेंगे। यहाँ कुछ गतिविधियाँ दी गई हैं जो आपकी मदद करेंगी।

आपके द्वारा एकत्र किए गए डिज़ाइनों में सममिति की रेखाओं (जिन्हें अक्ष भी कहा जाता है) की पहचान करने का आनंद लें।

आइए अब सममिति के विचारों को और मजबूत करें। नीचे दी गई आकृतियों का अध्ययन करें जिनमें सममिति की रेखाएँ बिंदित रेखाओं से चिह्नित की गई हैं। [आकृति 12.1 (i) से (iv)]

12.2 सममिति रेखाएँ नियमित बहुभुजों के लिए

आप जानते हैं कि एक बहुभुज एक बंद आकृति होती है जो कई रेखाखंडों से बनी होती है। सबसे कम रेखाखंडों से बना बहुभुज त्रिभुज होता है। (क्या कोई ऐसा बहुभुज हो सकता है जिसे आप और भी कम रेखाखंडों से बना सकें? इसके बारे में सोचिए)।

एक बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि इसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की हों और इसके सभी कोण समान माप के हों। इस प्रकार, एक समबाहु त्रिभुज तीन भुजाओं वाला एक नियमित बहुभुज है। क्या आप चार भुजाओं वाले नियमित बहुभुज का नाम बता सकते हैं?

एक समबाहु त्रिभुज नियमित होता है क्योंकि इसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई समान होती है और इसके प्रत्येक कोण की माप $60^{\circ}$ होती है (चित्र 12.2)।

चित्र 12.2

एक वर्ग भी नियमित होता है क्योंकि इसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं और इसके प्रत्येक कोण समकोण (अर्थात् $90^{\circ}$) होता है। इसके विकर्ण एक-दूसरे के लंबवत् समद्विभाजक होते हैं (चित्र 12.3)।

आकृति 12.3

यदि एक पंचभुज नियमित है, तो स्वाभाविक रूप से इसकी भुजाओं की लंबाई बराबर होनी चाहिए। आप आगे चलकर सीखेंगे कि इसके प्रत्येक कोण का मान $108^{\circ}$ होता है (आकृति 12.4)।

आकृति 12.4

आकृति 12.5

एक नियमित षट्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और इसके प्रत्येक कोण का मान $120^{\circ}$ होता है। आप इन आकृतियों के बारे में और अधिक आगे सीखेंगे (आकृति 12.5)।

नियमित बहुभुज सममित आकृतियाँ होती हैं और इसलिए इनकी सममिति रेखाएँ काफी रोचक होती हैं,

प्रत्येक नियमित बहुभुज में सममिति रेखाओं की संख्या उतनी ही होती है जितनी इसकी भुजाएँ होती हैं [आकृति 12.6 (i) - (iv)]। हम कहते हैं, इनमें एकाधिक सममिति रेखाएँ होती हैं।

शायद, आप इसे कागज़ मोड़कर जाँचना चाहें। आगे बढ़िए!

रेखीय सममिति की अवधारणा दर्पण परावर्तन से घनिष्ठ रूप से जुड़ी है। कोई आकृति तब रेखीय सममिति रखती है जब उसका एक भाग दूसरे भाग का दर्पण प्रतिबिंब हो (चित्र 12.7)। इस प्रकार, एक दर्पण रेखा सममिति की रेखा को देखने में मदद करती है (चित्र 12.8)।

आकृति वही है, पर उल्टी दिशा में!

इस पंचिंग खेल को खेलिए!

मोड़ एक रेखा (या अक्ष) है जो सममिति दर्शाती है। मुड़े हुए कागज़ पर विभिन्न स्थानों पर पंच लगाने और संगत सममिति रेखाओं का अध्ययन करें (चित्र 12.10)।

प्रश्नावली 12.1

1. छिद्रित छेदों वाली आकृतियों की प्रतिलिपि बनाइए और निम्नलिखित के लिए सममिति अक्ष ज्ञात कीजिए:

2. दी गई रेखा(ओं) सममिति को देखते हुए, अन्य छेद(ओं) को खोजें:

3. निम्नलिखित आकृतियों में, दर्पण रेखा (अर्थात् सममिति रेखा) को बिंदीदार रेखा के रूप में दिया गया है। प्रत्येक आकृति को बिंदीदार (दर्पण) रेखा में परावर्तन करते हुए पूरा करें। (आप शायद बिंदीदार रेखा के साथ एक दर्पण रखें और छवि के लिए दर्पण में देखें)। क्या आप उस आकृति का नाम याद कर पा रहे हैं जिसे आप पूरा करते हैं?

4. निम्नलिखित आकृतियों में एक से अधिक सममिति रेखाएँ हैं। ऐसी आकृतियों को बहु-सममिति रेखाओं वाली आकृतियाँ कहा जाता है।

प्रत्येक निम्नलिखित आकृति में बहु-सममिति रेखाओं की पहचान करें, यदि कोई हों:

5. यहाँ दी गई आकृति की प्रतिलिपि बनाएँ।

किसी एक विकर्ण को सममिति रेखा मानें और कुछ और वर्गों को छायांकित करके आकृति को विकर्ण के सापेक्ष सममित बनाएँ। क्या इसे करने का एक से अधिक तरीका है? क्या आकृति दोनों विकर्णों के सापेक्ष सममित होगी?

6. आरेख की प्रतिलिपि बनाएँ और प्रत्येक आकृति को दर्पण रेखा(रेखाओं) के सापेक्ष सममित बनाकर पूर्ण करें:

7. निम्नलिखित आकृतियों की सममिति रेखाओं की संख्या बताएँ:

(a) एक समबाहु त्रिभुज

(b) एक समद्विबाहु त्रिभुज

(c) एक विषमबाहु त्रिभुज

(d) एक वर्ग

(e) एक आयत

(f) एक समचतुर्भुज

(g) एक समांतर चतुर्भुज

(h) एक चतुर्भुज

(i) एक नियमित षट्भुज

(j) एक वृत्त

8. अंग्रेज़ी वर्णमाला के कौन-से अक्षर दर्पणीय सममिति (अर्थात् दर्पण परावर्तन से सम्बन्धित सममिति) रखते हैं—

(a) एक ऊध्र्वाधर दर्पण के सापेक्ष

(b) एक क्षैतिज दर्पण के सापेक्ष

(c) क्षैतिज तथा ऊध्र्वाधर दोनों दर्पणों के सापेक्ष

9. ऐसी आकृतियों के तीन उदाहरण दीजिए जिनमें कोई सममिति रेखा न हो।

10. आप सममिति रेखा को और क्या नाम दे सकते हैं—

(a) एक समद्विबाहु त्रिभुज की?

(b) एक वृत्त की?

12.3 घूर्णन सममिति

जब घड़ी की सुइयाँ चक्कर लगाती हैं तो आप क्या कहते हैं?

आप कहते हैं कि वे घूम रही हैं। घड़ी की सुइयाँ केवल एक ही दिशा में, एक स्थिर बिन्दु—घड़ी के मुख्य के केन्द्र—के परितः घूमती हैं।

घूर्णन, जैसे घड़ी की सुइयों की चाल, दक्षिणावर्त घूर्णन कहलाता है; अन्यथा इसे वामावर्त घूर्णन कहा जाता है।

छत के पंखे की पंखुड़ियों के घूर्णन के बारे में आप क्या कह सकते हैं? क्या वे दक्षिणावर्त घूमती हैं या वामावर्त? या वे दोनों दिशाओं में घूमती हैं?

यदि आप साइकिल का पहिया घुमाते हैं, तो वह घूमता है। यह किसी भी दिशा में घूम सकता है: दक्षिणावर्त तथा वामावर्त दोनों। (i) दक्षिणावर्त घूर्णन तथा (ii) वामावर्त घूर्णन के लिए तीन-तीन उदाहरण दीजिए।

जब कोई वस्तु घूमती है, तो उसका आकार और आकार नहीं बदलता। घूर्णन एक वस्तु को एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घुमाता है। यह निश्चित बिंदु घूर्णन का केंद्र होता है। घड़ी की सुइयों का घूर्णन केंद्र क्या है? इसके बारे में सोचिए।

चित्र 12.11

घूर्णन के दौरान मोड़ का कोण घूर्णन कोण कहलाता है। एक पूर्ण मोड़, आप जानते हैं, का अर्थ है $360^{\circ}$ का घूर्णन। (i) आधे मोड़ के लिए घूर्णन कोण की डिग्री माप क्या है? (ii) एक चौथाई मोड़ के लिए?

आधा मोड़ का अर्थ है $180^{\circ}$ द्वारा घूर्णन; एक चौथाई मोड़ $90^{\circ}$ द्वारा घूर्णन है।

जब 12 बजे होते हैं, तो घड़ी की सुइयाँ एक साथ होती हैं। 3 बजे तक, मिनट की सुई तीन पूर्ण मोड़ लगा चुकी होगी; लेकिन घंटे की सुई केवल एक चौथाई मोड़ ही लगाएगी। 6 बजे उनकी स्थितियों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

क्या आपने कभी कागज की पवनचक्की बनाई है? चित्र में कागज की पवनचक्की सममित दिखती है (चित्र 12.11); लेकिन आपको कोई सममित रेखा नहीं मिलती। कोई भी मोड़ आपकी मदद नहीं कर सकता कि आपके पास संपाती आधे हिस्से हों। हालाँकि यदि आप इसे निश्चित बिंदु के चारों ओर $90^{\circ}$ घुमाते हैं, तो पवनचक्की बिल्कुल वैसी ही दिखेगी। हम कहते हैं कि पवनचक्की में घूर्णन सममिति है।

आकृति 12.12

एक पूर्ण चक्कर में, ठीक चार स्थितियाँ होती हैं (क्रमशः $90^{\circ}$, $180^{\circ}, 270^{\circ}$ और $360^{\circ}$ के कोणों पर घूर्णन करने पर) जब पवनचक्की बिल्कुल वैसी ही दिखती है। इस कारण, हम कहते हैं कि इसकी घूर्णी सममिति का क्रम 4 है।

यहाँ घूर्णी सममिति का एक और उदाहरण है।

एक वर्ग पर विचार करें जिसका एक कोना $P$ है (आकृति 12.13)।

आइए वर्ग के केंद्र, जिसे $\mathbf{x}$ से चिह्नित किया गया है, के परितः चौथाई-चक्कर लगाएँ।

आकृति 12.13 (i) प्रारंभिक स्थिति है। केंद्र के परितः $90^{\circ}$ घूर्णन से आकृति 12.13 (ii) प्राप्त होती है। अब $P$ की स्थिति पर ध्यान दीजिए। फिर से $90^{\circ}$ घुमाइए और आपको आकृति 12.13 (iii) मिलती है। इस प्रकार, जब आप चार चौथाई-चक्कर पूरे करते हैं, वर्ग अपनी मूल स्थिति पर पहुँच जाता है। यह अब आकृति 12.13 (i) के समान दिखता है। यह $P$ द्वारा ग्रहण की गई स्थितियों की सहायता से देखा जा सकता है।

इस प्रकार एक वर्ग का अपने केंद्र के परितः घूर्णी सममिति का क्रम $\mathbf{4}$ है। ध्यान दीजिए कि इस स्थिति में,

(i) घूर्णन का केंद्र वर्ग का केंद्र है।

(ii) घूर्णन का कोण $90^{\circ}$ है।

(iii) घूर्णन की दिशा घड़ी की सुई की दिशा में है।

(iv) घूर्णी सममिति की कोटि 4 है।

इन्हें आज़माइए

1. (क) क्या आप अब एक समबाहु त्रिभुज के लिए घूर्णी सममिति की कोटि बता सकते हैं? (आकृति 12.14)

(ख) जब त्रिभुज को इसके केंद्र के चारों ओर $120^{\circ}$ से घुमाया जाता है, तो ऐसी कितनी स्थितियाँ हैं जहाँ त्रिभुज बिल्कुल वैसा ही दिखता है?

2. निम्नलिखित में से किन आकृतियों (आकृति 12.15) में चिह्नित बिंदु के परितः घूर्णी सममिति है?

इसे कीजिए

दो समरूप समांतर चतुर्भुज खींचिए, एक-ABCD कागज़ पर और दूसरा A’ B’ C’ D’ पारदर्शी शीट पर। उनके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिंदुओं को चिह्नित कीजिए, क्रमशः $O$ और $O^{\prime}$ (आकृति 12.16)। $O$ पर।

समांतर चतुर्भुजों को इस प्रकार रखिए कि $A^{\prime}$, A पर आ जाए, $B^{\prime}$, B पर आ जाए और इसी तरह। तब $O^{\prime}$ गिर जाता है

आकृति 12.16

आकृतियों में बिंदु $O$ पर पिन गाड़िए।

अब पारदर्शी आकृति को घड़ी की सुई की दिशा में घुमाइए।

एक पूर्ण चक्कर में आकृतियाँ कितनी बार एक-दूसरे के ऊपर आती हैं?

घूर्णन सममिति की कोटि क्या है?

जहाँ हमने पिन लगाया है, वह घूर्णन का केंद्र है। यह इस स्थिति में विकर्णों का प्रतिच्छेदी बिंदु है।

प्रत्येक वस्तु की घूर्णन सममिति की कोटि 1 होती है, क्योंकि यह $360^{\circ}$ के घूर्णन (अर्थात् एक पूर्ण चक्कर) के बाद भी वही स्थान घेरता है। ऐसे मामलों में हमारी कोई रुचि नहीं है।

आपके चारों-ओर ऐसी अनेक आकृतियाँ हैं, जिनमें घूर्णन सममिति होती है (चित्र 12.17)।

उदाहरण के लिए, जब आप कुछ फलों को काटते हैं, तो उनके अनुप्रस्थ-चित्त घूर्णन सममिति वाली आकृतियाँ होती हैं। यह देखकर आपको आश्चर्य हो सकता है जब आप इन्हें देखें [चित्र 12.17(i)]।

फिर ऐसे अनेक सड़क-चिह्न हैं जिनमें घूर्णन सममिति दिखाई देती है। अगली बार जब आप किसी व्यस्त सड़क पर चलें, तो ऐसे सड़क-चिह्नों को पहचानने और उनकी घूर्णन सममिति की कोटि ज्ञात करने का प्रयास करें [चित्र 12.17(ii)]।

घूर्णन सममिति के कुछ और उदाहरण सोचिए। प्रत्येक स्थिति में चर्चा करिए:

(i) घूर्णन का केंद्र (ii) घूर्णन का कोण

(iii) जिस दिशा में घूर्णन किया जाता है और

(iv) घूर्णन सममिति की कोटि।

इन्हें आज़माइए

दिए गए आकृतियों की घूर्णन सममितता का क्रम बताइए, बिंदु $\times$ के परितः (चित्र 12.17)।

व्यायाम 12.2

1. निम्नलिखित में से कौन-सी आकृतियों की घूर्णन सममितता का क्रम 1 से अधिक है :

2. प्रत्येक आकृति के लिए घूर्णन सममितता का क्रम बताइए :

12.4 रेखा सममितता और घूर्णन सममितता

आपने अब तक अनेक आकृतियों और उनकी सममितियों को देखा है। अब तक आप समझ गए होंगे कि कुछ आकृतियों में केवल रेखा सममितता होती है, कुछ में केवल घूर्णन सममितता होती है और कुछ में रेखा सममितता और घूर्णन सममितता दोनों होती हैं।

उदाहरण के लिए, वर्गाकार आकृति पर विचार कीजिए (चित्र 12.19)।

इसमें कितनी सममित रेखाएँ हैं?

क्या इसमें कोई घूर्णन सममितता है?

यदि ‘हाँ’, तो घूर्णन सममितता का क्रम क्या है?

इसके बारे में सोचिए।

चित्र 12.19

वृत्त सबसे परिपूर्ण सममित आकृति है, क्योंकि इसे अपने केंद्र के चारों ओर किसी भी कोण पर घुमाया जा सकता है और साथ ही इसकी असीमित संख्या में सममित रेखाएँ होती हैं। किसी भी वृत्तीय पैटर्न को देखें। केंद्र से गुजरने वाली प्रत्येक रेखा (अर्थात प्रत्येक व्यास) (प्रतिबिंब) सममिति की एक रेखा बनाती है और इसमें केंद्र के चारों ओर प्रत्येक कोण के लिए घूर्णन सममिति होती है।

इसे करें

अंग्रेज़ी वर्णमाला के कुछ अक्षरों में आकर्षक सममित संरचनाएँ होती हैं। कौन-से बड़े अक्षरों में केवल एक सममित रेखा होती है (जैसे $\mathbf{E}$)? कौन-से बड़े अक्षरों में घूर्णन सममिति क्रम 2 होती है (जैसे I)?

इसी तरह सोचने का प्रयास करने पर आप निम्न सारणी को भर सकेंगे:

अभ्यास 12.3

1. दो ऐसी आकृतियों के नाम बताइए जिनमें रेखा सममिति और घूर्णन सममिति दोनों हों।

2. जहाँ संभव हो, एक मोटा रफ स्केच बनाइए

(i) एक त्रिभुज जिसमें रेखा और घूर्णन सममिति दोनों 1 से अधिक क्रम के हों।

(ii) एक त्रिभुज जिसमें केवल रेखा सममिति हो और 1 से अधिक क्रम की कोई घूर्णन सममिति न हो।

(iii) एक चतुर्भुज जिसमें 1 से अधिक क्रम की घूर्णन सममिति हो लेकिन रेखा सममिति न हो।

(iv) एक चतुर्भुज जिसमें रेखा सममिति हो लेकिन 1 से अधिक क्रम की घूर्णन सममिति न हो।

3. यदि किसी आकृति में दो या अधिक रेखा सममितियाँ हों, तो क्या उसमें 1 से अधिक क्रम की घूर्णन सममिति होनी चाहिए?

4. रिक्त स्थानों को भरिए:

5. उन चतुर्भुजों के नाम बताइए जिनमें रेखा और घूर्णन सममिति दोनों 1 से अधिक क्रम की हों।

६. एक केंद्र के परितः $60^{\circ}$ घुमाने पर एक आकृति अपनी मूल स्थिति के समान ठीक वैसी ही प्रतीत होती है। इस आकृति के लिए यह और किन कोणों पर घटित होगा?

७. क्या हमारे पास 1 से अधिक क्रम की घूर्णन सममिति हो सकती है जिसका घूर्णन कोण

(i) $45^{\circ}$ है?

(ii) $17^{\circ}$ है?

हमने क्या चर्चा की है?

१. एक आकृति में रेखा सममिति होती है, यदि कोई ऐसी रेखा हो जिसके बारे में आकृति को मोड़ा जाए ताकि आकृति के दोनों भाग एक-दूसरे के संपाती हो जाएँ।

२. नियमित बहुभुजों की भुजाएँ और कोण समान होते हैं। उनमें एकाधिक (अर्थात् एक से अधिक) रेखा सममितियाँ होती हैं।

३. प्रत्येक नियमित बहुभुज में रेखा सममितियों की संख्या उतनी ही होती है जितनी उसकी भुजाएँ होती हैं।

४. दर्पण परावर्तन सममिति की ओर ले जाता है, जिसके अंतर्गत बाएँ-दाएँ अभिविन्यास का ध्यान रखना पड़ता है।

५. घूर्णन एक वस्तु को एक निश्चित बिंदु के परितः घुमाता है।

यह निश्चित बिंदु घूर्णन का केंद्र होता है।

जिस कोण से वस्तु घूमती है वह घूर्णन कोण होता है।

अर्ध-चक्र का अर्थ है $180^{\circ}$ से घूर्णन; चौथाई-चक्र का अर्थ है $90^{\circ}$ से घूर्णन। घूर्णन दक्षिणावर्त या वामावर्त हो सकता है।

६. यदि घूर्णन के पश्चात् कोई वस्तु ठीक वैसी ही प्रतीत हो, तो हम कहते हैं कि उसमें घूर्णन सममिति है।

7. एक पूर्ण चक्कर ($360^{\circ}$) में, जितनी बार कोई वस्तु बिल्कुल वैसी ही दिखाई देती है, उसे घूर्णन सममिति की कोटि कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक वर्ग की सममिति की कोटि 4 है, जबकि एक समबाहु त्रिभुज की यह 3 है।

8. कुछ आकृतियों में केवल एक सममिति रेखा होती है, जैसे अक्षर E; कुछ में केवल घूर्णन सममिति होती है, जैसे अक्षर $S$; और कुछ में दोनों प्रकार की सममितियाँ होती हैं, जैसे अक्षर $H$।

सममिति का अध्ययन महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका दैनिक जीवन में बार-बार उपयोग होता है और इससे भी अधिक इसलिए कि यह हमें सुंदर डिज़ाइन प्रदान कर सकती है।