11.1 परिचय

क्या आप जानते हैं कि पृथ्वी का द्रव्यमान कितना है? यह

$5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg$ है!

क्या आप यह संख्या पढ़ सकते हैं?

यूरेनस का द्रव्यमान 86,800,000,000,000,000,000,000,000 kg है।

किसका द्रव्यमान अधिक है, पृथ्वी का या यूरेनस का?

सूर्य और शनि के बीच की दूरी 1,433,500,000,000 m है और शनि और यूरेनस के बीच की दूरी $1,439,000,000,000 m$ है। क्या आप ये संख्याएँ पढ़ सकते हैं? कौन-सी दूरी कम है?

ये बहुत बड़ी संख्याएँ पढ़ने, समझने और तुलना करने में कठिन होती हैं। इन संख्याओं को पढ़ने, समझने और तुलना करने में आसान बनाने के लिए हम घातांकों का प्रयोग करते हैं। इस अध्याय में हम घातांकों के बारे में सीखेंगे और यह भी सीखेंगे कि उनका प्रयोग कैसे करना है।

11.2 घातांक

हम बड़ी संख्याओं को घातांकों का प्रयोग करके छोटे रूप में लिख सकते हैं।

ध्यान दीजिए $\quad 10,000=10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{4}$

संक्षिप्त संकेत $10^{4}$ गुणनफल $10 \times 10 \times 10 \times 10$ के लिए प्रयोग होता है। यहाँ ‘10’ को आधार और ‘4’ को घातांक कहा जाता है। संख्या $10^{4}$ को 10 की घात 4 या सरलतः 10 की चौथी घात के रूप में पढ़ा जाता है। $10^{4}$ को 10,000 का घातांक रूप कहा जाता है।

हम इसी प्रकार 1,000 को 10 की घात के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। ध्यान दीजिए कि

$ 1000=10 \times 10 \times 10=10^{3} $

यहाँ फिर से, $10^{3}$ 1,000 का घातांक रूप है।

इसी प्रकार, $1,00,000=10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{5}$

$10^{5}$ संख्या $1,00,000$ का घातांक रूप है।

इन दोनों उदाहरणों में आधार 10 है; $10^{3}$ के मामले में घातांक 3 है और $10^{5}$ के मामले में घातांक 5 है।

हमने संख्याओं को विस्तारित रूप में लिखते समय $10,100,1000$ आदि जैसी संख्याओं का प्रयोग किया है। उदाहरण के लिए, $47561=4 \times 10000+7 \times 1000+5 \times 100+6 \times 10+1$

इसे $4 \times 10^{4}+7 \times 10^{3}+5 \times 10^{2}+6 \times 10+1$ के रूप में लिखा जा सकता है।

इन संख्याओं को इसी प्रकार लिखने का प्रयास करें $172,5642,6374$।

उपरोक्त सभी उदाहरणों में, हमने ऐसी संख्याएँ देखी हैं जिनका आधार 10 है। हालाँकि आधार कोई अन्य संख्या भी हो सकती है। उदाहरण के लिए:

$81=3 \times 3 \times 3 \times 3$ को $81=3^{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है, यहाँ 3 आधार है और 4 घातांक है।

कुछ घातों के विशेष नाम होते हैं। उदाहरण के लिए,

$10^{2}$, जो 10 की घात 2 है, इसे ‘10 वर्ग’ भी कहा जाता है और

$10^{3}$, जो 10 की घात 3 है, इसे ‘10 घन’ भी कहा जाता है।

क्या आप बता सकते हैं कि $5^{3}$ (5 घन) का क्या अर्थ है?

$ 5^{3}=5 \times 5 \times 5=125 $

इसलिए, हम कह सकते हैं कि 125, 5 की तीसरी घात है।

$5^{3}$ में घातांक और आधार क्या है?

इसी प्रकार, $2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32$, जो 2 की पाँचवीं घात है।

$2^{5}$ में, 2 आधार है और 5 घातांक है।

इसी तरह,

$ \begin{aligned} 243 & =3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3=3^{5} \ 64 & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{6} \ 625 & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4} \end{aligned} $

इन्हें आजमाएँ

ऐसे पाँच और उदाहरण खोजें, जहाँ एक संख्या को घातीय रूप में व्यक्त किया गया हो। प्रत्येक स्थिति में आधार और घातांक की भी पहचान करें।

आप इस लेखन की विधि को तब भी विस्तारित कर सकते हैं जब आधार एक ऋणात्मक पूर्णांक हो।

$(-2)^{3}$ का क्या अर्थ है?

यह है $\quad(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8$

क्या $\quad(-2)^{4}=16$ है? इसकी जाँच करें।

एक निश्चित संख्या लेने के बजाय आइए किसी भी पूर्णांक $a$ को आधार मानें और संख्याओं को इस प्रकार लिखें,

$ \begin{aligned} a \times a & =a^{2}(\text{ पढ़ें ’ } a \text{ वर्ग’ या ’ } a \text{ घातांक } 2 \text{ पर उठाया गया’ }) \\ a \times a \times a & =a^{3}(\text{ पढ़ें ’ } a \text{ घन’ या ’ } a \text{ घातांक } 3 \text{ पर उठाया गया’ }) \\ a \times a \times a \times a & =a^{4}(\text{ पढ़ें } a \text{ घातांक } 4 \text{ पर उठाया गया या } a \text{ की चौथी घात}) \end{aligned} $

$a \times a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{7}($ पढ़ें $a$ घातांक 7 पर उठाया गया या $.a$ की सातवीं घात) और इसी तरह।

$a \times a \times a \times b \times b$ को $a^{3} b^{2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (पढ़ें $a$ घन $b$ वर्ग)

इन्हें आज़माइए

व्यक्त कीजिए:

(i) 729 को 3 की घात के रूप में

(ii) 128 को 2 की घात के रूप में

(iii) 343 को 7 की घात के रूप में $a \times a \times b \times b \times b \times b$ को $a^{2} b^{4}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (पढ़ें $a$ वर्ग गुणा $b$ घातांक 4 पर उठाया गया)।

उदाहरण 1 256 को 2 की घात के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल

हमारे पास $256=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$।

इसलिए हम कह सकते हैं कि $256=2^{8}$

उदाहरण 2 कौन-सा बड़ा है $2^{3}$ या $3^{2}$ ?

हल हमारे पास, $2^{3}=2 \times 2 \times 2=8$ और $3^{2}=3 \times 3=9$।

चूँकि $9>8$, इसलिए, $3^{2}$ बड़ा है $2^{3}$ से।

उदाहरण 3 कौन-सा बड़ा है $8^{2}$ या $2^{8}$ ?

हल

$\quad 8^{2}=8 \times 8=64$ $2^{8}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=256$

स्पष्ट है, $\quad 2^{8}>8^{2}$

उदाहरण 4 $a^{3} b^{2}, a^{2} b^{3}, b^{2} a^{3}, b^{3} a^{2}$ का विस्तार कीजिए। क्या ये सभी समान हैं?

हल

$a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}$

$ \begin{aligned} & =(a \times a \times a) \times(b \times b) \ & =a \times a \times a \times b \times b \ a^{2} b^{3} & =a^{2} \times b^{3} \ & =a \times a \times b \times b \times b \ b^{2} a^{3} & =b^{2} \times a^{3} \ & =b \times b \times a \times a \times a \ b^{3} a^{2} & =b^{3} \times a^{2} \ & =b \times b \times b \times a \times a \end{aligned} $

ध्यान दीजिए कि पदों $a^{3} b^{2}$ और $a^{2} b^{3}$ में $a$ और $b$ की घातें भिन्न हैं। इस प्रकार $a^{3} b^{2}$ और $a^{2} b^{3}$ भिन्न हैं।

दूसरी ओर, $a^{3} b^{2}$ और $b^{2} a^{3}$ समान हैं, क्योंकि इन दोनों पदों में $a$ और $b$ की घातें समान हैं। गुणनखंडों का क्रम मायने नहीं रखता।

इस प्रकार, $a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}=b^{2} \times a^{3}=b^{2} a^{3}$। इसी प्रकार, $a^{2} b^{3}$ और $b^{3} a^{2}$ समान हैं।

उदाहरण 5 निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) 72

(ii) 432

(iii) 1000

(iv) 16000

हल

(i) $72=2 \times 36=2 \times 2 \times 18$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3=2^{3} \times 3^{2} \end{aligned} $

इस प्रकार, $72=2^{3} \times 3^{2} \quad$ (अभीष्ट अभाज्य गुणनफल रूप)

$\begin{array}{l|l} 2 & 72 \\ \hline 2 & 36 \\ \hline 2 & 18 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline & 3 \end{array}$

(ii) $432=2 \times 216=2 \times 2 \times 108=2 \times 2 \times 2 \times 54$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 27=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

या $\quad 432=2^{4} \times 3^{3}$

(अभीष्ट रूप)

(iii) $1000=2 \times 500=2 \times 2 \times 250=2 \times 2 \times 2 \times 125$

$ =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 25=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 $

या

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

अतुल इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल करना चाहता है:

$ \begin{aligned} 1000 & =10 \times 100=10 \times 10 \times 10 \\ & =(2 \times 5) \times(2 \times 5) \times(2 \times 5) \quad(\text{ क्योंकि } 10=2 \times 5) \\ & =2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \end{aligned} $

या

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

क्या अतुल की विधि सही है?

$ \begin{aligned} & \text{ (iv) } .16,000=16 \times 1000=(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times 1000=2^{4} \times 10^{3} \text{ (क्योंकि } 16=2 \times 2 \times 2 \times 2) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5)=2^{4} \times 2^{3} \times 5^{3} \\ & (\text{ चूँकि } 1000=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(5 \times 5 \times 5) \\ & \text{ या, } \quad 16,000=2^{7} \times 5^{3} \end{aligned} $

उदाहरण 6 $(1)^{5},(-1)^{3},(-1)^{4},(-10)^{3},(-5)^{4}$ का मान निकालें।

हल

(i) हमारे पास $(1)^{5}=1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1=1$

वास्तव में, आपको अहसास होगा कि 1 को किसी भी घात पर उठाने पर परिणाम 1 ही होता है।

(ii) $(-1)^{3}=(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times(-1)=-1$

(iii) $(-1)^{4}=(-1) \times(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times 1=1$

$\begin{array}{|ll|} \hline(-1)^{\text {odd number }} & =-1 \\ (-1)^{\text {even number }} & =+1 \\ \hline \end{array}$

आप जाँच सकते हैं कि $(-1)$ को किसी भी विषम घात पर उठाने पर परिणाम $(-1)$ होता है,

और $(-1)$ को किसी भी सम घात पर उठाने पर परिणाम $(+1)$ होता है।

(iv) $(-10)^{3}=(-10) \times(-10) \times(-10)=100 \times(-10)=-1000$

(v) $(-5)^{4}=(-5) \times(-5) \times(-5) \times(-5)=25 \times 25=625$

अभ्यास 11.1

1. मान ज्ञात कीजिए:

(i) $2^{6}$

(ii) $9^{3}$

(iii) $11^{2}$

(iv) $5^{4}$

2. निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) $6 \times 6 \times 6 \times 6$

(ii) $t \times t$

(iii) $b \times b \times b \times b$

(iv) $5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$

(v) $2 \times 2 \times a \times a$

(vi) $a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d$

3. निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या को घातांकीय संकेतन का प्रयोग करके व्यक्त कीजिए:

(i) 512

(ii) 343

(iii) 729

(iv) 3125

4. प्रत्येक स्थिति में, जहाँ संभव हो, बड़ी संख्या की पहचान कीजिए:

(i) $4^{3}$ या $3^{4}$

(ii) $5^{3}$ या $3^{5}$

(iii) $2^{8}$ या $8^{2}$

(iv) $100^{2}$ या $2^{100}$

(v) $2^{10}$ या $10^{2}$

5. निम्नलिखित में से प्रत्येक को अपने अभाज्य गुणनखंडों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) 648

(ii) 405

(iii) 540

(iv) 3,600

6. सरल कीजिए:

(i) $2 \times 10^{3}$

(ii) $7^{2} \times 2^{2}$

(iii) $2^{3} \times 5$

(iv) $3 \times 4^{4}$

(v) $0 \times 10^{2}$

(vi) $5^{2} \times 3^{3}$

(vii) $2^{4} \times 3^{2}$

(viii) $3^{2} \times 10^{4}$

7. सरल कीजिए:

(i) $(-4)^{3}$

(ii) $(-3) \times(-2)^{3}$

(iii) $(-3)^{2} \times(-5)^{2}$

(iv) $(-2)^{3} \times(-10)^{3}$

8. निम्नलिखित संख्याओं की तुलना कीजिए:

(i) $2.7 \times 10^{12} ; 1.5 \times 10^{8}$

(ii) $4 \times 10^{14} ; 3 \times 10^{17}$

11.3 घातांकों के नियम

11.3.1 समान आधार वाली घातों का गुणा

(i) आइए गणना करें $2^{2} \times 2^{3}$

$ \begin{aligned} 2^{2} \times 2^{3} & =(2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2) \ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{5}=2^{2+3} \end{aligned} $

ध्यान दें कि $2^{2}$ और $2^{3}$ में आधार समान है और घातांकों का योग, अर्थात् 2 और 3, 5 है

(ii) $(-3)^{4} \times(-3)^{3}=[(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3)] \times[(-3) \times(-3) \times(-3)]$

$ \begin{aligned} & =(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \\ & =(-3)^{7} \\ & =(-3)^{4+3} \end{aligned} $

पुनः ध्यान दें कि आधार समान है और घातांकों का योग, अर्थात् 4 और 3, 7 है

(iii) $a^{2} \times a^{4}=(a \times a) \times(a \times a \times a \times a)$

$ =a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{6} $

(नोट: आधार समान है और घातांकों का योग $2+4=6$ है)

इसी प्रकार सत्यापित करें:

$ \begin{aligned} & 4^{2} \times 4^{2}=4^{2+2} \\ & 3^{2} \times 3^{3}=3^{2+3} \end{aligned} $

क्या आप बॉक्स में उपयुक्त संख्या लिख सकते हैं।

$ \begin{aligned} & (-11)^{2} \times(-11)^{6}=\quad(-11) \square \\ & b^{2} \times b^{3}=b \square \text{ (याद रखें, आधार समान है; } b \text{ कोई पूर्णांक है). } \\ & c^{3} \times c^{4}=c \text{ (c कोई पूर्णांक है) } \\ & d^{10} \times d^{20}=d^{\square} \end{aligned} $

इससे हम सामान्यीकरण कर सकते हैं कि किसी भी अशून्य पूर्णांक $a$ के लिए, जहाँ $m$ और $n$ पूर्ण संख्याएँ हैं,

$\begin{array}{|ll|} \hline a^{m} \times a^{n}=a^{m+n} \\ \hline \end{array}$

इन्हें आज़माएँ

सरल करें और घातांकीय रूप में लिखें:

(i) $2^{5} \times 2^{3}$

(ii) $p^{3} \times p^{2}$

(iii) $4^{3} \times 4^{2}$

(iv) $a^{3} \times a^{2} \times a^{7}$

(v) $5^{3} \times 5^{7} \times 5^{12}$

(vi) $(-4)^{100} \times(-4)^{20}$

सावधानी!

$2^{3} \times 3^{2}$ पर विचार करें

क्या तुम घातांकों को जोड़ सकते हो? नहीं! क्या तुम देखते हो ‘क्यों’? $2^{3}$ का आधार 2 है और $3^{2}$ का आधार 3 है। आधार समान नहीं हैं।

11.3.2 समान आधार वाली घाताओं का भाग

आइए सरल करें $3^{7} \div 3^{4}$ ?

इस प्रकार

$ \begin{aligned} 3^{7} \div 3^{4} & =\frac{3^{7}}{3^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3} \ & =3 \times 3 \times 3=3^{3}=3^{7-4} \end{aligned} $

(ध्यान दें, $3^{7}$ और $3^{4}$ में आधार समान है और $3^{7} \div 3^{4}$ बन जाता है $3^{7-4}$ )

इसी प्रकार,

या

$ \begin{aligned} 5^{6} \div 5^{2} & =\frac{5^{6}}{5^{2}}=\frac{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5} \ & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4}=5^{6-2} \end{aligned} $

मान लीजिए $a$ एक अशून्य पूर्णांक है, तब,

या

$ \begin{aligned} & a^{4} \div a^{2}=\frac{a^{4}}{a^{2}}=\frac{a \times a \times a \times a}{a \times a}=a \times a=a^{2}=a^{4}{ }^{2} \ & a^{4} \div a^{2}=a^{4-2} \end{aligned} $

अब क्या तुम तुरंत उत्तर दे सकते हो?

$ \begin{aligned} 10^{8} \div 10^{3} & =10^{8-3}=10^{5} \ 7^{9} \div 7^{6} & =7 \ a^{8} \div a^{5} & =a \end{aligned} $

अशून्य पूर्णांकों $b$ और $c$ के लिए,

$ \begin{aligned} & b^{10} \div b^{5}=b^{\square} \ & c^{100} \div c^{90}=c^{\square} \end{aligned} $

सामान्यतः, किसी भी अशून्य पूर्णांक $a$ के लिए,

$ a^{m} \div a^{n}=a^{m-n} $

जहाँ $m$ और $n$ पूर्ण संख्याएँ हैं और $m>n$।

इन्हें आज़माओ

सरल करें और घातांकीय रूप में लिखें: उदा.,$11^6 \div 11^2=11^4$

(i) $2^9 \div 2^3\qquad$ (ii) $10^8 \div 10^4$

(iii) $9^{11}\div 9^7\qquad$ (iv) $20^{15} \div 20^{13}$

(v) $7^{13} \div 7^{10}$

11.3.3 घात का घात निकालना

निम्नलिखित पर विचार कीजिए

सरल कीजिए $(2^{3})^{2} ;(3^{2})^{4}$

अब, $(2^{3})^{2}$ का अर्थ है $2^{3}$ को स्वयं से दो बार गुणा किया गया है।

इस प्रकार

$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3} \times 2^{3} \\ & =2^{3+3}(\text{ चूँकि } a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}) \\ & =2^{6}=2^{3 \times 2} \end{aligned} $

इस प्रकार

$(2^{3})^{2}=2^{3 \times 2}$

इसी प्रकार

$ \begin{aligned} (3^{2})^{4} & =3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \\ & =3^{2+2+2+2} \\ & =3^{8}(\text{ ध्यान दीजिए } 8 \text{ गुणनफल है } 2 \text{ और } 4 \text{ का})। \\ & =3^{2 \times 4} \end{aligned} $

क्या आप बता सकते हैं $(7^{2})^{10}$ किसके बराबर होगा?

इसलिए

$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3 \times 2}=2^{6} \\ (3^{2})^{4} & =3^{2 \times 4}=3^{8} \\ & =7^{2 \times 10}=7^{20} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} (a^{2})^{3} & =a^{2 \times 3}=a^{6} \\ & =a^{m \times 3}=a^{3 m} \end{aligned} $

इससे हम किसी भी अशून्य पूर्णांक ’ $a$ ’ के लिए व्यापक नियम निकाल सकते हैं, जहाँ ’ $m$ ’ और ’ $n$ ’ पूर्ण संख्याएँ हैं,

$ (a^{m})^{n}=a^{m n} $

इन्हें आज़माइए

सरल कीजिए और उत्तर को घातांकीय रूप में लिखिए:

(i) $(6^{2})^{4}\qquad$ (ii) $(2^{2})^{100}$

(iii) $(7^{50})^{2}\qquad$ (iv) $(5^{3})^{7}$

उदाहरण 7 क्या आप बता सकते हैं कि कौन बड़ा है $(5^{2}) \times 3$ या $(5^{2})^{3}$ ?

हल

$(5^{2}) \times 3$ का अर्थ है $5^{2}$ को 3 से गुणा किया गया अर्थात् $5 \times 5 \times 3=75$

लेकिन $(5^{2})^{3}$ का अर्थ है $5^{2}$ को स्वयं से तीन बार गुणा किया गया है, अर्थात्

$ 5^{2} \times 5^{2} \times 5^{2}=5^{6}=15,625 $

इसलिए

$ (5^{2})^{3}>(5^{2}) \times 3 $

11.3.4 समान घातांक वाली घातों का गुणा

क्या आप $2^{3} \times 3^{3}$ को सरल कर सकते हैं? ध्यान दीजिए कि यहाँ दोनों पद $2^{3}$ और $3^{3}$ के भिन्न आधार हैं, परंतु समान घातांक हैं।

अब,

$ \begin{aligned} 2^{3} \times 3^{3} & =(2 \times 2 \times 2) \times(3 \times 3 \times 3) \ & =(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \ & =6 \times 6 \times 6 \ & =6^{3} \quad(\text{ध्यान दें } 6 \text{ आधारों } 2 \text{ और } 3 \text{ का गुणनफल है}) \ & =(4 \times 4 \times 4 \times 4) \times(3 \times 3 \times 3 \times 3) \ & =(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \ & =12 \times 12 \times 12 \times 12 \end{aligned} $

$4^{4} \times 3^{4}$ पर विचार कीजिए

$ =12^{4} $

इसी प्रकार, $3^{2} \times a^{2}$ पर विचार कीजिए

$ \begin{aligned} & =(3 \times 3) \times(a \times a) \ & =(3 \times a) \times(3 \times a) \ & =(3 \times a)^{2} \ & =(3 a)^{2} \quad(\text{ध्यान दें: } 3 \times a=3 a) \ & =(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) \ & =(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \ & =(a \times b)^{4} \ & =(a b)^{4} \quad(\text{ध्यान दें } a \times b=a b) \end{aligned} $

$ \text{इसी प्रकार, } a^{4} \times b^{4}=(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) $

सामान्यतः, किसी भी अशून्य पूर्णांक $a$ के लिए

$ a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m} \quad \text{ (जहाँ } m \text{ कोई पूर्ण संख्या है) } $

इन्हें आज़माइए

$a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$ का प्रयोग करके दूसरे रूप में लिखिए :

(i) $4^{3} \times 2^{3}$ (ii) $2^{5} \times b^{5}$

(iii) $a^{2} \times t^{2}$

(iv) $5^{6} \times(-2)^{6}$

(v) $(-2)^{4} \times(-3)^{4}$

उदाहरण 8 निम्नलिखित पदों को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए :

(i) $(2 \times 3)^{5}$

(ii) $(2 a)^{4}$

(iii) $(-4 m)^{3}$

हल

(i)

$ \begin{aligned} (2 \times 3)^{5} & =(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3) \\ & =2^{5} \times 3^{5} \end{aligned} $

(ii)

$ \begin{aligned} (2 a)^{4} & =2 a \times 2 a \times 2 a \times 2 a \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(a \times a \times a \times a) \\ & =2^{4} \times a^{4} \end{aligned} $

(iii) $(-4 m)^{3}=(-4 \times m)^{3}$

$=(-4 \times m) \times(-4 \times m) \times(-4 \times m)$

$=(-4) \times(-4) \times(-4) \times(m \times m \times m)=(-4)^{3} \times(m)^{3}$

11.3.5 समान घातांकों वाली घातों का भाग

निम्नलिखित सरलीकरणों को देखिए :

(i) $\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3 \times 3}=\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^{4}$

(ii) $\frac{a^{3}}{b^{3}}=\frac{a \times a \times a}{b \times b \times b}=\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b}=(\frac{a}{b})^{3}$

इन उदाहरणों से हम सामान्यीकरण कर सकते हैं

$ a^{m} \div b^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m} \text{ जहाँ } a \text{ और } b \text{ कोई भी शून्येतर पूर्णांक हैं } $

और $m$ एक पूर्ण संख्या है।

इन्हें आज़माइए

$a^{m} \div b^{m}=(\frac{a}{b})^{m}$ का प्रयोग करके दूसरे रूप में लिखिए :

(i) $4^{5} \div 3^{5}$

(ii) $2^{5} \div b^{5}$

(iii) $(-2)^{3} \div b^{3}$

(iv) $p^{4} \div q^{4}$

(v) $5^{6} \div(-2)^{6}$

उदाहरण 9 विस्तार कीजिए:

(i) $(\frac{3}{5})^{4}$

(ii) $(\frac{-4}{7})^{5}$

हल

(i) $(\frac{3}{5})^{4}=\frac{3^{4}}{5^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{5 \times 5 \times 5 \times 5}$

(ii) $(\frac{-4}{7})^{5}=\frac{(-4)^{5}}{7^{5}}=\frac{(-4) \times(-4) \times(-4) \times(-4) \times(-4)}{7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7}$

$a^0$ क्या है?

निम्नलिखित पैटर्न को देखिए:

$ \begin{aligned} 2^{6} & =64 \\ 2^{5} & =32 \\ 2^{4} & =16 \\ 2^{3} & =8 \\ 2^{2} & =? \\ 2^{1} & =? \\ 2^{0} & =? \end{aligned} $

आप पैटर्न का अध्ययन करके $2^{0}$ का मान अनुमान लगा सकते हैं!

आप पाते हैं कि $2^{0}=1$

यदि आप $3^{6}=729$ से शुरुआत करें, और ऊपर दिखाए अनुसार $3^{5}, 3^{4}, 3^{3}, \ldots$ आदि ज्ञात करें, तो $3^{0}=$ ? क्या होगा?

• शून्य घात वाली संख्याएँ

क्या आप बता सकते हैं कि $\frac{3^{5}}{3^{5}}$ किसके बराबर है?

$ \frac{3^{5}}{3^{5}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}=1 $

घातांक के नियमों का प्रयोग करने पर

$ 3^{5} \div 3^{5}=3^{5-5}=3^{0} $

इसलिए

$ 3^{0}=1 $

क्या आप बता सकते हैं कि $7^{0}$ किसके बराबर है?

और

$ 7^{3} \div 7^{3}=7^{3-3}=7^{0} $

$ \frac{7^{3}}{7^{3}}=\frac{7 \times 7 \times 7}{7 \times 7 \times 7}=1 $

अतः

$ 7^{0}=1 $

इसी प्रकार

$ a^{3} \div a^{3}=a^{3-3}=a^{0} $

और

$ a^{3} \div a^{3}=\frac{a^{3}}{a^{3}}=\frac{a \times a \times a}{a \times a \times a}=1 $

इस प्रकार

$ a^{0}=1(\text{ किसी भी शून्येतर पूर्णांक } a \text{ के लिए }) $

इसलिए हम कह सकते हैं कि कोई भी संख्या (शून्य को छोड़कर) घातांक 0 के साथ 1 के बराबर होती है।

11.4 घातांक के नियमों का प्रयोग करते हुए विविध उदाहरण

आइए कुछ उदाहरणों को घातांक के नियमों का प्रयोग करके हल करें।

उदाहरण 10 $8 \times 8 \times 8 \times 8$ को घातांकीय रूप में 2 को आधार मानकर लिखिए।

हल

हमारे पास, $8 \times 8 \times 8 \times 8=8^{4}$

परंतु हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} 8 & =2 \times 2 \times 2=2^{3} \ 8^{4} & =(2^{3})^{4}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \ & .=2^{3 \times 4} \quad \quad \quad \quad \text{ आप }(a^{m})^{n}=a^{m n}] \text{ का भी प्रयोग कर सकते हैं} \ & =2^{12} \quad \end{aligned} $

इसलिए

उदाहरण 11 सरल कीजिए और उत्तर को घातांकीय रूप में लिखिए।

(i) $(\frac{3^{7}}{3^{2}}) \times 3^{5}$

(ii) $2^{3} \times 2^{2} \times 5^{5}$

(iii) $(6^{2} \times 6^{4}) \div 6^{3}$

(iv) $[(2^{2})^{3} \times 3^{6}] \times 5^{6}$

(v) $8^{2} \div 2^{3}$

हल

(i) $(\frac{3^{7}}{3^{2}}) \times 3^{5}=(3^{7-2}) \times 3^{5}$

$ =3^{5} \times 3^{5}=3^{5+5}=3^{10} $

(ii) $2^{3} \times 2^{2} \times 5^{5}=2^{3+2} \times 5^{5}$

$ =2^{5} \times 5^{5}=(2 \times 5)^{5}=10^{5} $

(iii) $(6^{2} \times 6^{4}) \div 6^{3}=6^{2+4} \div 6^{3}$

$ =\frac{6^{6}}{6^{3}}=6^{6-3}=6^{3} $

(iv) $[(2^{2})^{3} \times 3^{6}] \times 5^{6}=[2^{6} \times 3^{6}] \times 5^{6}$

$ \begin{aligned} & =(2 \times 3)^{6} \times 5^{6} \\ & =(2 \times 3 \times 5)^{6}=30^{6} \end{aligned} $

(v) $8=2 \times 2 \times 2=2^{3}$

इसलिए $8^{2} \div 2^{3}=(2^{3})^{2} \div 2^{3}$

$ =2^{6} \div 2^{3}=2^{6-3}=2^{3} $

उदाहरण 12 सरल कीजिए:

(i) $\frac{12^{4} \times 9^{3} \times 4}{6^{3} \times 8^{2} \times 27}$

(ii) $2^{3} \times a^{3} \times 5 a^{4}$

(iii) $\frac{2 \times 3^{4} \times 2^{5}}{9 \times 4^{2}}$

हल

(i) हमारे पास

$ \begin{aligned} \frac{12^{4} \times 9^{3} \times 4}{6^{3} \times 8^{2} \times 27} & =\frac{(2^{2} \times 3)^{4} \times(3^{2})^{3} \times 2^{2}}{(2 \times 3)^{3} \times(2^{3})^{2} \times 3^{3}} \\ & =\frac{(2^{2})^{4} \times(3)^{4} \times 3^{2 \times 3} \times 2^{2}}{2^{3} \times 3^{3} \times 2^{2 \times 3} \times 3^{3}}=\frac{2^{8} \times 2^{2} \times 3^{4} \times 3^{6}}{2^{3} \times 2^{6} \times 3^{3} \times 3^{3}} \\ & =\frac{2^{8+2} \times 3^{4+6}}{2^{3+6} \times 3^{3+3}}=\frac{2^{10} \times 3^{10}}{2^{9} \times 3^{6}} \\ & =2^{10-9} \times 3^{10-6}=2^{1} \times 3^{4} \\ & =2 \times 81=162 \end{aligned} $

(ii) $2^{3} \times a^{3} \times 5 a^{4}=2^{3} \times a^{3} \times 5 \times a^{4}$

$ \begin{aligned} & =2^{3} \times 5 \times a^{3} \times a^{4}=8 \times 5 \times a^{3+4} \ & =40 a^{7} \end{aligned} $

(ii) $\frac{2 \times 3^{4} \times 2^{5}}{9 \times 4^{2}}=\frac{2 \times 3^{4} \times 2^{5}}{3^{2} \times(2^{2})^{2}}=\frac{2 \times 2^{5} \times 3^{4}}{3^{2} \times 2^{2 \times 2}}$

$ \begin{aligned} & =\frac{2^{1+5} \times 3^{4}}{2^{4} \times 3^{2}}=\frac{2^{6} \times 3^{4}}{2^{4} \times 3^{2}}=2^{6-4} \times 3^{4-2} \ & =2^{2} \times 3^{2}=4 \times 9=36 \end{aligned} $

नोट: इस अध्याय में लिए गए अधिकांश उदाहरणों में घात का आधार पूर्णांक लिया गया है। लेकिन अध्याय के सभी परिणाम समान रूप से एक ऐसे आधार पर भी लागू होते हैं जो एक परिमेय संख्या है।

प्रश्नावली 11.2

1. घातांक के नियमों का प्रयोग करके सरल कीजिए और उत्तर को घातीय रूप में लिखिए:

(i) $3^{2} \times 3^{4} \times 3^{8}$

(ii) $6^{15} \div 6^{10}$

(iii) $a^{3} \times a^{2}$

(iv) $7^{x} \times 7^{2}$

(v) $(5^{2})^{3} \div 5^{3}$

(vi) $2^{5} \times 5^{5}$

(vii) $a^{4} \times b^{4}$

(viii) $(3^{4})^{3}$

(ix) $(2^{20} \div 2^{15}) \times 2^{3}$

(x) $8^{t} \div 8^{2}$

2. सरल कीजिए और निम्नलिखित में से प्रत्येक को घातीय रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) $\frac{2^{3} \times 3^{4} \times 4}{3 \times 32}$

(ii) $((5^{2})^{3} \times 5^{4}) \div 5^{7}$

(iii) $25^{4} \div 5^{3}$

(iv) $\frac{3 \times 7^{2} \times 11^{8}}{21 \times 11^{3}}$

(v) $\frac{3^{7}}{3^{4} \times 3^{3}}$

(vi) $2^{0}+3^{0}+4^{0}$

(vii) $2^{0} \times 3^{0} \times 4^{0}$

(viii) $(3^{0}+2^{0}) \times 5^{0}$

(ix) $\frac{2^{8} \times a^{5}}{4^{3} \times a^{3}}$

(x) $(\frac{a^{5}}{a^{3}}) \times a^{8}$

(xi) $\frac{4^{5} \times a^{8} b^{3}}{4^{5} \times a^{5} b^{2}}$

(xii) $(2^{3} \times 2)^{2}$

3. सत्य या असत्य कहें और अपने उत्तर का औचित्य बताएँ:

(i) $10 \times 10^{11}=100^{11}$

(ii) $2^{3}>5^{2}$

(iii) $2^{3} \times 3^{2}=6^{5}$

(iv) $3^{0}=(1000)^{0}$

4. निम्नलिखित में से प्रत्येक को घातांकीय रूप में केवल अभाज्य गुणनफल के रूप में व्यक्त करें:

(i) $108 \times 192$

(ii) 270

(iii) $729 \times 64$

(iv) 768

5. सरल करें:

(i) $\frac{(2^{5})^{2} \times 7^{3}}{8^{3} \times 7}$

(ii) $\frac{25 \times 5^{2} \times t^{8}}{10^{3} \times t^{4}}$

(iii) $\frac{3^{5} \times 10^{5} \times 25}{5^{7} \times 6^{5}}$

11.5 दशमलव संख्या प्रणाली

आइए 47561 के विस्तार को देखें, जो हमें पहले से ही ज्ञात है:

$ 47561=4 \times 10000+7 \times 1000+5 \times 100+6 \times 10+1 $

हम इसे घातांकीय रूप में 10 की घातों का प्रयोग करके व्यक्त कर सकते हैं:

इसलिए, $47561=4 \times 10^{4}+7 \times 10^{3}+5 \times 10^{2}+6 \times 10^{1}+1 \times 10^{0}$

(ध्यान दें $10,000=10^{4}, 1000=10^{3}, 100=10^{2}, 10=10^{1}$ और $.1=10^{0})$

आइए एक और संख्या का विस्तार करें:

$ \begin{aligned} 104278 & =1 \times 100,000+0 \times 10,000+4 \times 1000+2 \times 100+7 \times 10+8 \times 1 \\ & =1 \times 10^{5}+0 \times 10^{4}+4 \times 10^{3}+2 \times 10^{2}+7 \times 10^{1}+8 \times 10^{0} \\ & =1 \times 10^{5}+4 \times 10^{3}+2 \times 10^{2}+7 \times 10^{1}+8 \times 10^{0} \end{aligned} $

ध्यान दीजिए कि 10 के घातांक अधिकतम मान 5 से प्रारंभ होकर बाएँ से दाएँ जाते हुए 1-1 घटते हुए 0 तक जाते हैं।

11.6 बड़ी संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त करना

अब हम अध्याय की शुरुआत पर लौटते हैं। हमने कहा था कि बड़ी संख्याओं को घातांकों का उपयोग करके सुविधाजनक रूप से व्यक्त किया जा सकता है। हमने अभी तक यह नहीं दिखाया है। अब हम यह करेंगे।

1. सूर्य हमारी आकाशगंगा मिल्की वे के केंद्र से $300,000,000,000,000,000,000 m$ दूर स्थित है।

2. हमारी आकाशगंगा में तारों की संख्या $100,000,000,000$ है।

3. पृथ्वी का द्रव्यमान $5,976,000,000,000,000,000,000,000 kg$ है।

ये संख्याएँ लिखने और पढ़ने में सुविधाजनक नहीं हैं। इन्हें सुविधाजनक बनाने के लिए हम घातों का उपयोग करते हैं।

निम्नलिखित को देखिए:

$ \begin{aligned} 59 & =5.9 \times 10=5.9 \times 10^{1} \\ 590 & =5.9 \times 100=5.9 \times 10^{2} \\ 5900 & =5.9 \times 1000=5.9 \times 10^{3} \\ 59000 & =5.9 \times 10000=5.9 \times 10^{4} \text{ इत्यादि। } \end{aligned} $

इन्हें आज़माइए

10 की घातों को घातांक रूप में व्यक्त करके विस्तार कीजिए:

(i) 172

(ii) 5,643

(iii) 56,439

(iv) $1,76,428$

हमने इन सभी संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त किया है। कोई भी संख्या 1.0 और 10.0 के बीच की एक दशमलव संख्या के रूप में व्यक्त की जा सकती है, जिसमें 1.0 सम्मिलित है, और उसे 10 की किसी घात से गुणा किया जाता है। संख्या का ऐसा रूप उसका मानक रूप कहलाता है। इस प्रकार,

$ 5,985=5.985 \times 1,000=5.985 \times 10^{3} \text{ यह } 5,985 \text{ का मानक रूप है।} $

ध्यान दें, 5,985 को $59.85 \times 100$ या $59.85 \times 10^{2}$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। लेकिन ये 5,985 के मानक रूप नहीं हैं। इसी प्रकार, $5,985=0.5985 \times 10,000=0.5985 \times 10^{4}$ भी 5,985 का मानक रूप नहीं है।

अब हम इस अध्याय की शुरुआत में आई बड़ी संख्याओं को इस रूप में व्यक्त करने के लिए तैयार हैं।

सूर्य की हमारी आकाशगंगा के केंद्र से दूरी अर्थात्,

$300,000,000,000,000,000,000 m$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$3.0 \times 100,000,000,000,000,000,000=3.0 \times 10^{20} m$

अब, क्या आप $40,000,000,000$ को इसी तरह व्यक्त कर सकते हैं?

इसमें शून्यों की संख्या गिनिए। यह 10 है।

इसलिए,

$ 40,000,000,000=4.0 \times 10^{10} $

पृथ्वी का द्रव्यमान $=5,976,000,000,000,000,000,000,000 kg$

$ =5.976 \times 10^{24} kg $

क्या आप इस बात से सहमत हैं कि जब संख्या को मानक रूप में लिखा जाता है तो उसे पढ़ना, समझना और तुलना करना उसे 25 अंकों के साथ लिखने की तुलना में बहुत आसान होता है? अब,

Let’s break this down step by step.

Understanding the Problem

We have four numbers to express in standard form (scientific notation):

1. 5985.3
2. 65,950
3. 3,430,000
4. 70,040,000,000

We are to write each in the form ( a \times 10^n ), where ( 1 \leq a < 10 ) and ( n ) is an integer.

Step 1: Express 5985.3 in standard form

5985.3
Move the decimal point to the left until the number is between 1 and 10:
5.9853
Count how many places we moved: 3
So, 5985.3 = 5.9853 × 10³

Step 2: Express 65,950 in standard form

65,950
Move the decimal point to the left: 6.595
Count the places: 4
Thus, 65,950 = 6.595 × 10⁴

Step 3: Express 3,430,000 in standard form

3,430,000
Move the decimal: 3.43
Places moved: 6
Hence, 3,430,000 = 3.43 × 10⁶

Step 4: Express 70,040,000,000 in standard form

70,040,000,000
Move the decimal: 7.004
Places moved: 10
Therefore, 70,040,000,000 = 7.004 × 10¹⁰

Final Answer:

(i) 5.9853 × 10³
(ii) 6.595 × 10⁴
(iii) 3.43 × 10⁶
(iv) 7.004 × 10¹⁰

व्यायाम 11.3

1. निम्नलिखित संख्याओं को विस्तारित रूप में लिखिए:

279404, 3006194, 2806196, 120719, 20068

2. निम्नलिखित विस्तारित रूपों से संख्या ज्ञात कीजिए:

(a) $8 \times 10^{4}+6 \times 10^{3}+0 \times 10^{2}+4 \times 10^{1}+5 \times 10^{0}$

(b) $4 \times 10^{5}+5 \times 10^{3}+3 \times 10^{2}+2 \times 10^{0}$

(c) $3 \times 10^{4}+7 \times 10^{2}+5 \times 10^{0}$

(d) $9 \times 10^{5}+2 \times 10^{2}+3 \times 10^{1}$

3. निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) $5,00,00,000$

(ii) $70,00,000$

(iii) $3,18,65,00,000$

(iv) $3,90,878$

(v) $39087.8$

(vi) $3908.78$

4. निम्नलिखित कथनों में आने वाली संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए।

(a) पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी $384,000,000 m$ है।

(b) निर्वात में प्रकाश की गति $300,000,000 m / s$ है।

(c) पृथ्वी का व्यास 1,27,56,000 m है।

(d) सूर्य का व्यास $1,400,000,000 m$ है।

(e) एक आकाशगंगा में औसतन 100,000,000,000 तारे होते हैं।

(f) ब्रह्मांड की आयु लगभग 12,000,000,000 वर्ष मानी जाती है।

(g) सूर्य की मिल्की वे आकाशगंगा के केंद्र से दूरी लगभग $300,000,000,000,000,000,000 m$ है।

(h) $1.8 gm$ वजन वाले पानी की एक बूंद में $60,230,000,000,000,000,000,000$ अणु होते हैं।

(i) पृथ्वी में 1,353,000,000 घन $km$ समुद्र जल है।

(j) मार्च 2001 में भारत की जनसंख्या लगभग 1,027,000,000 थी।

हमने क्या चर्चा की है?

1. बहुत बड़ी संख्याओं को पढ़ना, समझना, तुलना करना और उन पर संक्रियाएँ करना कठिन होता है। इन सभी को आसान बनाने के लिए हम घातांक का प्रयोग करते हैं, जिससे बड़ी संख्याओं को छोटे रूप में बदल देते हैं।

2. निम्नलिखित कुछ संख्याओं की घातांकीय रूप हैं?

$ \begin{aligned} 10,000 & =10^{4}(\text{ पढ़ा जाता है } 10 \text{ की घात } 4) \\ 243 & =3^{5}, 128=2^{7} . \end{aligned} $

यहाँ 10, 3 और 2 आधार हैं, जबकि 4, 5 और 7 उनके क्रमशः घातांक हैं। हम यह भी कहते हैं, 10,000 संख्या 10 की चौथी घात है, 243 संख्या 3 की पाँचवीं घात है, आदि।

3. घातांकीय रूप की संख्याएँ कुछ नियमों का पालन करती हैं, जो हैं:

किसी भी अशून्य पूर्णांक $a$ और $b$ और पूर्ण संख्याओं $m$ और $n$ के लिए,

(a) $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

(b) $a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}, \quad m>n$

(c) $(a^{m})^{n}=a^{m n}$

(d) $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$

(e) $a^{m} \div b^{m}=(\frac{a}{b})^{m}$

(f) $a^{0}=1$

(g) $(-1)^{\text{सम संख्या }}=1$

$(-1)^{\text{विषम संख्या }}=-1$