1.1 पूर्णांकों के योग और घटाव के गुणधर्म

हमने कक्षा छठी में पूर्ण संख्याओं और पूर्णांकों के बारे में सीखा है। हमने पूर्णांकों के योग और घटाव के बारे में भी सीखा है।

1.1.1 योग के अंतर्गत संवृत्तता

हमने सीखा है कि दो पूर्ण संख्याओं का योग फिर से एक पूर्ण संख्या होती है। उदाहरण के लिए, $17+24=41$ जो फिर से एक पूर्ण संख्या है। हम जानते हैं कि इस गुणधर्म को पूर्ण संख्याओं के योग के लिए संवृत्तता गुणधर्म कहा जाता है।

आइए देखें कि क्या यह गुणधर्म पूर्णांकों के लिए भी सत्य है या नहीं।

नीचे पूर्णांकों के कुछ युग्म दिए गए हैं। निम्नलिखित सारणी को देखें और इसे पूरा करें।

आप क्या अवलोकन करते हैं? क्या दो पूर्णांकों का योग सदैव एक पूर्णांक होता है?

क्या आपने ऐसा कोई पूर्णांक युग्म पाया जिसका योग पूर्णांक न हो?

चूँकि पूर्णांकों का योग पूर्णांक देता है, हम कहते हैं कि पूर्णांक योग के अंतर्गत संवृत हैं।

सामान्यतः, किन्हीं दो पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए, $a+b$ एक पूर्णांक होता है।

1.1.2 घटाव के अंतर्गत संवृत्तता

जब हम एक पूर्णांक से दूसरा पूर्णांक घटाते हैं तो क्या होता है? क्या हम कह सकते हैं कि उनका अंतर भी एक पूर्णांक होता है?

निम्नलिखित सारणी को देखें और इसे पूरा करें:

आप क्या देखते हैं? क्या कोई ऐसा पूर्णांक युग्म है जिसका अंतर पूर्णांक नहीं है? क्या हम कह सकते हैं कि पूर्णांक घटाव के अंतर्गत बंद हैं? हाँ, हम देख सकते हैं कि पूर्णांक घटाव के अंतर्गत बंद हैं।

इस प्रकार, यदि $a$ और $b$ दो पूर्णांक हैं तो $a-b$ भी एक पूर्णांक है। क्या पूर्ण संख्याएँ इस गुण को संतुष्ट करती हैं?

1.1.3 क्रमविनिमेय गुण

हम जानते हैं कि $3+5=5+3=8$, अर्थात् पूर्ण संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, योग पूर्ण संख्याओं के लिए क्रमविनिमेय है।

क्या हम पूर्णांकों के लिए भी यही कह सकते हैं?

हमारे पास $5+(-6)=-1$ और $(-6)+5=-1$

इसलिए, $5+(-6)=(-6)+5$

क्या निम्न समान हैं?

(i) $(-8)+(-9)$ और $(-9)+(-8)$

(ii) $(-23)+32$ और $32+(-23)$

(iii) $(-45)+0$ और $0+(-45)$

इसे पूर्णांकों के पाँच अन्य युग्मों के साथ आज़माइए। क्या आपको कोई ऐसा पूर्णांक युग्म मिलता है जिसके योग क्रम बदलने पर भिन्न होते हैं? निश्चित रूप से नहीं। हम कहते हैं कि योग पूर्णांकों के लिए क्रमविनिमेय है।

सामान्यतः, किन्हीं दो पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए हम कह सकते हैं

$ a+b=b+a $

• हम जानते हैं कि पूर्ण संख्याओं के लिए घटाव क्रमविनिमेय नहीं है। क्या यह पूर्णांकों के लिए क्रमविनिमेय है?

पूर्णांक 5 और (-3) पर विचार कीजिए।

क्या $5-(-3)$ और $(-3)-5$ समान हैं? नहीं, क्योंकि $5-(-3)=5+3=8$, और $(-3)-5$

$=-3-5=-8$।

कम से कम पाँच भिन्न-भिन्न पूर्णांक युग्म लीजिए और इसे जाँचिए।

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि पूर्णांकों के लिए घटाव क्रमविनिमेय नहीं है।

1.1.4 साहचर्य गुण

निम्नलिखित उदाहरणों को देखिए:

पूर्णांक $-3,-2$ और -5 पर विचार कीजिए।

$(-5)+[(-3)+(-2)]$ और $[(-5)+(-3)]+(-2)$ को देखिए।

पहली योग में (-3) और (-2) को एक साथ समूहबद्ध किया गया है और दूसरी में (-5) और (-3) को समूहबद्ध किया गया है। हम यह जाँचेंगे कि क्या हमें भिन्न परिणाम मिलते हैं।

$ (-5)+[(-3)+(-2)] $

$ [(-5)+(-3)]+(-2) $

दोनों ही स्थितियों में हमें -10 प्राप्त होता है।

अर्थात्,

$ (-5)+[(-3)+(-2)]=[(-5)+(-2)]+(-3) $

इसी प्रकार $-3,1$ और -7 पर विचार कीजिए।

$ \begin{aligned} & (-3)+[1+(-7)]=-3+……=…… \\ & [(-3)+1]+(-7)=-2+……=…… \end{aligned} $

क्या $(-3)+[1+(-7)]$ और $[(-3)+1]+(-7)$ समान हैं?

पाँच और ऐसे उदाहरण लीजिए। आपको कोई ऐसा उदाहरण नहीं मिलेगा जिसमें योग भिन्न हों। पूर्णांकों के लिए योग साहचर्य होता है।

सामान्यतः किसी भी पूर्णांक $a, b$ और $c$ के लिए हम कह सकते हैं

$ a+(b+c)=(a+b)+c $

1.1.5 योज्य तत्समक

जब हम किसी भी पूर्ण संख्या में शून्य जोड़ते हैं, तो हमें वही पूर्ण संख्या प्राप्त होती है। शून्य पूर्ण संख्याओं के लिए योज्य तत्समक है। क्या यह पुनः पूर्णांकों के लिए भी योज्य तत्समक है?

निम्नलिखित को देखिए और रिक्त स्थानों को भरिए:

(i) $(-8)+0=-8$

(ii) $0+(-8)=-8$

(iii) $(-23)+0=……$

(iv) $0+(-37)=-37$

(v) $0+(-59)=……$

(vi) $0+……$ $=-43$

(vii) $-61+……$ $=-61$

(viii) $……-0=……$

उपरोक्त उदाहरण दिखाते हैं कि शून्य पूर्णांकों के लिए योज्य तत्समक है।

आप इसे अन्य पाँच पूर्णांकों में शून्य जोड़कर सत्यापित कर सकते हैं।

सामान्यतः, किसी भी पूर्णांक $a$ के लिए

$ a+0=a=0+a $

इन्हें आज़माइए

1. पूर्णांकों के एक युग्म को लिखिए जिनका योग देता है

(a) एक ऋणात्मक पूर्णांक

(b) शून्य

(c) दोनों पूर्णांकों से छोटा एक पूर्णांक

(d) केवल एक पूर्णांक से छोटा एक पूर्णांक

(e) दोनों पूर्णांकों से बड़ा एक पूर्णांक

2. पूर्णांकों के एक युग्म को लिखिए जिनका अंतर देता है

(a) एक ऋणात्मक पूर्णांक

(b) शून्य

(c) दोनों पूर्णांकों से छोटा एक पूर्णांक

(d) केवल एक पूर्णांक से बड़ा एक पूर्णांक

(e) दोनों पूर्णांकों से बड़ा एक पूर्णांक

उदाहरण 1 एक पूर्णांक युग्म लिखिए जिनका

(a) योग -3 है $\qquad$ (b) अंतर -5 है

(c) अंतर 2 है $\quad$ (d) योग 0 है

हल

(a) $(-1)+(-2)=-3$ या $(-5)+2=-3$

(b) $(-9)-(-4)=-5$ या $(-2)-3=-5$

(c) $(-7)-(-9)=2$ या $1-(-1)=2$

(d) $(-10)+10=0$ या $5+(-5)=0$

क्या आप इन उदाहरणों में और अधिक युग्म लिख सकते हैं?

अभ्यास 1.1

1. पूर्णांकों के एक युग्म को लिखिए जिनका:

(a) योग -7 है $\qquad$ (b) अंतर -10 है $\qquad$ (c) योग 0 है

2. (a) एक ऐसी ऋणात्मक पूर्णांकों की युग्म लिखिए जिनके अंतर 8 आए।

(b) एक ऋणात्मक पूर्णांक और एक धनात्मक पूर्णांक लिखिए जिनका योग -5 हो।

(c) एक ऋणात्मक पूर्णांक और एक धनात्मक पूर्णांक लिखिए जिनके अंतर -3 हों।

3. एक प्रश्नोत्तरी में, टीम A ने तीन क्रमिक राउंडों में -40, 10, 0 अंक प्राप्त किए और टीम B ने 10, 0, -40 अंक प्राप्त किए। किस टीम ने अधिक अंक बनाए? क्या हम कह सकते हैं कि हम पूर्णांकों को किसी भी क्रम में जोड़ सकते हैं?

4. निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थान भरिए:

(i) $(-5)+(-8)=(-8)+(\ldots \ldots \ldots \ldots)$।

(ii) $-53+\ldots \ldots \ldots \ldots .=-53$

(iii) $17+\ldots \ldots \ldots \ldots=0$

(iv) $[13+(-12)]+(\ldots \ldots \ldots \ldots)=.13+[(-12)+(-7)]$

(v) $(-4)+[15+(-3)]=[-4+15]+\ldots \ldots \ldots$

1.2 पूर्णांकों का गुणा

हम पूर्णांकों को जोड़ और घटा सकते हैं। अब हम सीखते हैं कि पूर्णांकों का गुणा कैसे करें।

1.2.1 एक धनात्मक और एक ऋणात्मक पूर्णांक का गुणा

हम जानते हैं कि पूर्ण संख्याओं का गुणा बार-बार जोड़ना होता है। उदाहरण के लिए,

$ 5+5+5=3 \times 5=15 $

क्या आप पूर्णांकों के योग को भी इसी तरह दर्शा सकते हैं?

हम निम्नलिखित संख्या रेखा से देखते हैं, $(-5)+(-5)+(-5)=-15$

पर हम इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं

$ \qquad(-5)+(-5)+(-5)=3 \times(-5) $

इसलिए, $ \qquad 3 \times(-5)=-15 $

इन्हें आज़माइए

ज्ञात कीजिए:

$ \begin{aligned} & 4 \times(-8), \\ & 8 \times(-2), \\ & 3 \times(-7), \\ & 10 \times(-1) \end{aligned} $

संख्या रेखा का प्रयोग करते हुए।

इसी प्रकार

$ (-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)=5 \times(-4)=-20 $

$ \text{और}\quad (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=\ldots \ldots \ldots= \ldots \ldots \ldots $

$ \text{साथ ही, }\qquad(-7)+(-7)+(-7)=\ldots \ldots \ldots =\ldots \ldots \ldots $

आइए देखें कि किसी धनात्मक पूर्णांक और ऋणात्मक पूर्णांक का गुणनफल संख्या रेखा के बिना कैसे निकाला जाए।

आइए $3 \times(-5)$ को एक अलग तरीके से ज्ञात करें। पहले $3 \times 5$ निकालिए और फिर प्राप्त गुणनफल के पहले ऋण चिह्न (-) लगाइए। आपको -15 मिलता है। अर्थात् हम -15 पाने के लिए $-(3 \times 5)$ निकालते हैं।

इसी प्रकार, $ \qquad 5 \times(-4)=-(5 \times 4)=-20 . $

इसी तरह से ज्ञात कीजिए,

$ \begin{matrix} 4 \times(-8)= \ldots \ldots= \ldots \ldots , 3 \times(-7)=\ldots \ldots = \ldots \ldots \\ 6 \times(-5)=\ldots \ldots = \ldots \ldots , 2 \times(-9)= \ldots \ldots = \ldots \ldots \end{matrix} $

इन्हें आज़माइए

ज्ञात कीजिए:

(i) $6 \times(-19)$

(ii) $12 \times(-32)$

(iii) $7 \times(-22)$

इस विधि से हम इस प्रकार पाते हैं,

$ 10 \times(-43)=\ldots \ldots -(10 \times 43)=-430 $

अब तक हमने पूर्णांकों को (धनात्मक पूर्णांक) $\times$ (ऋणात्मक पूर्णांक) के रूप में गुणा किया है।

आइए अब उन्हें (ऋणात्मक पूर्णांक) $\times$ (धनात्मक पूर्णांक) के रूप में गुणा करें।

हम पहले $-3 \times 5$ ज्ञात करते हैं।

इसे ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित पैटर्न को देखें:

हमारे पास है,

$ \begin{aligned} & 3 \times 5=15 \\ & 2 \times 5=10=15-5 \\ & 1 \times 5=5=10-5 \\ & 0 \times 5=0=5-5 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{इसलिए} \quad & -1 \times 5=0-5=-5 \\ & -2 \times 5=-5-5=10=-5 \\ & -3 \times 5=-10-5=-15 \\ \end{aligned} $

हमारे पास पहले से ही है $\qquad 3 \times(-5)=-15$

इसलिए हम पाते हैं $\qquad (-3) \times 5=-15=3 \times(-5)$

इस तरह के पैटर्न का उपयोग करके, हम यह भी पाते हैं कि $(-5) \times 4=-20=5 \times(-4)$

पैटर्न का उपयोग करके, $(-4) \times 8,(-3) \times 7,(-6) \times 5$ और $(-2) \times 9$ ज्ञात करें।

जांच करें कि क्या, $(-4) \times 8=4 \times(-8),(-3) \times 7=3 \times(-7),(-6) \times 5=6 \times(-5)$ और

$ (-2) \times 9=2 \times(-9) $

इसका उपयोग करके हम पाते हैं,

$ (-33) \times 5=33 \times(-5)=-165 $

इस प्रकार हम पाते हैं कि जब हम एक धनात्मक पूर्णांक और एक ऋणात्मक पूर्णांक को गुणा करते हैं, तो हम उन्हें पूर्ण संख्याओं की तरह गुणा करते हैं और गुणनफल से पहले एक ऋण चिह्न (-) लगाते हैं। इस प्रकार हमें एक ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है।

इन्हें आजमाएं

1. ज्ञात करें:

(a) $15 \times(-16)\qquad $ (b) $21 \times(-32)$

(c) $(-42) \times 12\qquad $ (d) $-55 \times 15$

2. जांच करें कि क्या

(a) $25 \times(-21)=(-25) \times 21\qquad $ (b) $(-23) \times 20=23 \times(-20)$

इस तरह के पांच और उदाहरण लिखें।

सामान्य रूप में, किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए हम कह सकते हैं

$ a \times(-b)=(-a) \times b=-(a \times b) $

1.2.2 दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणा

क्या आप गुणनफल $(-3) \times(-2)$ ज्ञात कर सकते हैं?

निम्नलिखित को देखिए:

$ \begin{aligned} & -3 \times 4=-12 \ & -3 \times 3=-9=-12-(-3) \ & -3 \times 2=-6=-9-(-3) \ & -3 \times 1=-3=-6-(-3) \ & -3 \times 0=0=-3-(-3) \ & -3 \times-1=0-(-3)=0+3=3 \ & -3 \times-2=3-(-3)=3+3=6 \end{aligned} $

क्या आप कोई प्रतिरूप देखते हैं? देखें कि गुणनफल कैसे बदलते हैं।

इस प्रेक्षण के आधार पर, निम्नलिखित को पूर्ण कीजिए:

$ -3 \times-3=\ldots \ldots -3 \times-4=\ldots \ldots $

अब इन गुणनफलों को देखिए और रिक्त स्थान भरिए:

$ \begin{aligned} & -4 \times 4=-16 \ & -4 \times 3=-12=-16+4 \ & -4 \times 2= \ldots \ldots=-12+4 \ & -4 \times 1=\ldots \ldots \ & -4 \times 0=\ldots \ldots \ & -4 \times(-1)=\ldots \ldots \ & -4 \times(-2)= \ldots \ldots\ & -4 \times(-3)=\ldots \ldots \end{aligned} $

इन्हें आज़माइए

(i) $(-5) \times 4$ से प्रारंभ कर, $(-5) \times(-6)$ ज्ञात कीजिए

(ii) $(-6) \times 3$ से प्रारंभ कर, $(-6) \times(-7)$ ज्ञात कीजिए

इन प्रतिरूपों से हम देखते हैं कि,

$ \begin{aligned} & (-3) \times(-1)=3=3 \times 1 \ & (-3) \times(-2)=6=3 \times 2 \ & (-3) \times(-3)=9=3 \times 3 \ & \text{और} \quad (-4) \times(-1)=4=4 \times 1 \ & \text{इसलिए,} \quad(-4) \times(-2)=4 \times 2=\ldots \ldots \ & (-4) \times(-3)=\ldots \ldots=\ldots \ldots \end{aligned} $

इसलिए इन उत्पादों को देखकर हम कह सकते हैं कि दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है। हम दोनों ऋणात्मक पूर्णांकों को पूर्ण संख्याओं की तरह गुणा करते हैं और गुणनफल से पहले धनात्मक चिह्न लगाते हैं।

इस प्रकार, हमारे पास $\quad(-10) \times(-12)=+120=120$

इसी प्रकार $\quad(-15) \times(-6)=+90=90$

सामान्यतः, किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,

$ (-a) \times(-b)=a \times b $

इन्हें आज़माइए

ज्ञात कीजिए: $(-31) \times(-100),(-25) \times(-72),(-83) \times(-28)$

खेल 1

(i) -104 से 104 तक चिह्नित एक बोर्ड लीजिए जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

(ii) एक थैली लीजिए जिसमें दो नीली और दो लाल पासे हों। नीले पासों पर बिंदुओं की संख्या धनात्मक पूर्णांक दर्शाती है और लाल पासों पर बिंदुओं की संख्या ऋणात्मक पूर्णांक दर्शाती है।

(iii) प्रत्येक खिलाड़ी अपना काउंटर शून्य पर रखेगा।

(iv) प्रत्येक खिलाड़ी एक समय में थैली से दो पासे निकालेगा और उन्हें फेंकेगा।

(v) प्रत्येक फेंकने के बाद, खिलाड़ी को पासों पर अंकित संख्याओं को गुणा करना होगा।

(vi) यदि गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक है तो खिलाड़ी अपना काउंटर 104 की ओर खिसकाएगा; यदि गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक है तो खिलाड़ी अपना काउंटर -104 की ओर खिसकाएगा।

(vii) वह खिलाड़ी जो पहले या तो -104 या 104 तक पहुँचता है, विजेता होता है।

1.3 पूर्णांकों के गुणा के गुणधर्म

1.3.1 गुणा के अंतर्गत संवृतता

1. निम्नलिखित सारणी को देखें और इसे पूरा करें:

आप क्या देखते हैं? क्या आप दो पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म खोज सकते हैं जिसका गुणनफल पूर्णांक न हो? नहीं। यह हमें यह विचार देता है कि दो पूर्णांकों का गुणनफल पुनः एक पूर्णांक होता है। इसलिए हम कह सकते हैं कि पूर्णांक गुणा के अंतर्गत संवृत होते हैं।

सामान्यतः,

$a \times b$ एक पूर्णांक है, सभी पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए।

पाँच और पूर्णांक युग्मों का गुणनफल निकालें और उपरोक्त कथन की पुष्टि करें।

1.3.2 गुणा की क्रमविनिमेयता

हम जानते हैं कि गुणा पूर्ण संख्याओं के लिए क्रमविनिमेय होता है। क्या हम कह सकते हैं कि गुणा पूर्णांकों के लिए भी क्रमविनिमेय है?

निम्नलिखित सारणी को देखें और इसे पूरा करें:

आपके क्या प्रेक्षण हैं? उपर्युक्त उदाहरण यह सुझाते हैं कि पूर्णांकों के लिए गुणा क्रमविनिमय (कम्यूटेटिव) होता है। ऐसे पाँच और उदाहरण लिखिए और सत्यापित कीजिए।

सामान्यतः, किन्हीं दो पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,

$ a \times b = b \times a $

1.3.3 शून्य से गुणा

हम जानते हैं कि कोई भी पूर्ण संख्या शून्य से गुणा करने पर शून्य देती है। ऋणात्मक पूर्णांकों और शून्य के निम्नलिखित गुणनफलों को देखिए। ये पहले किए गए पैटर्न से प्राप्त किए गए हैं।

$ (-3) \times 0 = 0 $

$0 \times (-4) = 0$

$-5 \times 0 = ……$

$0 \times (-6) = ……$

यह दर्शाता है कि एक ऋणात्मक पूर्णांक और शून्य का गुणनफल शून्य होता है।

सामान्यतः, किसी भी पूर्णांक $a$ के लिए,

$ a \times 0 = 0 \times a = 0 $

1.3.4 गुणात्मक अद्वितीयता (Multiplicative Identity)

हम जानते हैं कि 1 पूर्ण संख्याओं के लिए गुणात्मक अद्वितीयता होता है।

जाँच कीजिए कि 1 पूर्णांकों के लिए भी गुणात्मक अद्वितीयता है या नहीं। पूर्णांकों का 1 से गुणा करने के निम्नलिखित गुणनफलों को देखिए।

$ \begin{matrix} (-3) \times 1 = -3 & 1 \times 5 = 5 \ (-4) \times 1 = \ldots \ldots & 1 \times 8 = \ldots \ldots \ 1 \times (-5) = \ldots \ldots & 3 \times 1 = \ldots \ldots \ 1 \times (-6) = \ldots \ldots & 7 \times 1 = \ldots \ldots \end{matrix} $

यह दर्शाता है कि 1 पूर्णांकों के लिए भी गुणात्मक अद्वितीयता होता है।

सामान्यतः, किसी भी पूर्णांक $a$ के लिए हमारे पास,

$ a \times 1 = 1 \times a = a $

जब हम किसी पूर्णांक को -1 से गुणा करते हैं तो क्या होता है? निम्नलिखित को पूर्ण कीजिए:

$(-3) \times (-1) = 3$

$3 \times (-1) = -3$

$(-6) \times (-1) = \ldots \ldots$

$(-1) \times 13 = \ldots \ldots$

$(-1) \times (-25) = \ldots \ldots$

$18 \times (-1) = \ldots \ldots$

0 योगात्मक तत्समक है जबकि 1 पूर्णांकों का गुणात्मक तत्समक है। जब हम किसी पूर्णांक a को $(-1)$ से गुणा करते हैं, तो हमें a का योगात्मक प्रतिलोम प्राप्त होता है, अर्थात् $a \times(-1)=(-1) \times a=-a$

आप क्या देखते हैं?

क्या हम कह सकते हैं कि -1 पूर्णांकों का गुणात्मक तत्समक है? नहीं।

1.3.5 गुणा के लिए साहचर्यता

ध्यान दीजिए $-3,-2$ और 5 पर।

देखिए $[(-3) \times(-2)] \times 5$ और $(-3) \times[(-2) \times 5]$ को।

पहले मामले में (-3) और (-2) को एक साथ समूहित किया गया है और दूसरे में (-2) और 5 को एक साथ समूहित किया गया है।

हम देखते हैं कि $[(-3) \times(-2)] \times 5=6 \times 5=30$

और $(-3) \times[(-2) \times 5]=(-3) \times(-10)=30$

इसलिए, हम दोनों मामलों में समान उत्तर प्राप्त करते हैं।

इस प्रकार, $\quad[(-3) \times(-2)] \times 5=(-3) \times[(-2) \times 5]$

इसे देखिए और गुणनफलों को पूरा कीजिए:

$ \begin{aligned} & {[(7) \times(-6)] \times 4=} \\ & 7 \times[(-6) \times 4]=7 \times 4= \\ & \text{ क्या }[7 \times(-6)] \times 4=7 \times[(-6) \times 4] ? \end{aligned} $

क्या पूर्णांकों के समूहन से पूर्णांकों का गुणनफल प्रभावित होता है? नहीं। सामान्यतः, किन्हीं भी तीन पूर्णांकों $a, b$ और $c$ के लिए

$ (a \times b) \times c=a \times(b \times c) $

$a, b$ और $c$ के लिए कोई भी पाँच मान लीजिए और इस गुणधर्म की पुष्टि कीजिए।

इस प्रकार, पूर्ण संख्याओं की तरह, तीन पूर्णांकों का गुणनफल पूर्णांकों के समूहन पर निर्भर नहीं करता और इसे पूर्णांकों के गुणा की साहचर्यता कहा जाता है।

1.3.6 वितरण गुण

हम जानते हैं

$16 \times(10+2)=(16 \times 10)+(16 \times 2) \quad$ [गुणन का योग पर वितरण]

आइए जांच करें कि क्या यह पूर्णांकों के लिए भी सत्य है।

निम्नलिखित को देखिए:

(a) $(-2) \times(3+5)=-2 \times 8=-16$

और $[(-2) \times 3]+[(-2) \times 5]=(-6)+(-10)=-16$

इसलिए, $\quad(-2) \times(3+5)=[(-2) \times 3]+[(-2) \times 5]$

(b) $(-4) \times[(-2)+7]=(-4) \times 5=-20$

और $[(-4) \times(-2)]+[(-4) \times 7]=8+(-28)=-20$

इसलिए, $\quad(-4) \times[(-2)+7]=[(-4) \times(-2)]+[(-4) \times 7]$

(c) $(-8) \times[(-2)+(-1)]=(-8) \times(-3)=24$

और $[(-8) \times(-2)]+[(-8) \times(-1)]=16+8=24$

इसलिए, $\quad(-8) \times[(-2)+(-1)]=[(-8) \times(-2)]+[(-8) \times(-1)]$

क्या हम कह सकते हैं कि गुणन का योग पर वितरण पूर्णांकों के लिए भी सत्य है? हाँ।

सामान्यतः, किन्हीं भी पूर्णांकों $a, b$ और $c$ के लिए,

$ a \times(b+c)=a \times b+a \times c $

$a, b$ और $c$ के लिए कम-से-कम पाँच भिन्न-भिन्न मान लीजिए और उपरोक्त वितरण गुणधर्म की पुष्टि कीजिए।

इन्हें आज़माइए

(i) क्या $10 \times[(6+(-2)]=10 \times 6+10 \times(-2)$ ?

(ii) क्या $(-15) \times[(-7)+(-1)]=(-15) \times(-7)+(-15) \times(-1)$ ?

अब निम्नलिखित पर विचार कीजिए:

क्या हम कह सकते हैं $4 \times(3-8)=4 \times 3-4 \times 8$ ?

आइए जांच करें:

$ \begin{aligned} & 4 \times(3-8)=4 \times(-5)=-20 \\ & 4 \times 3-4 \times 8=12-32=-20 \end{aligned} $

इसलिए, $4 \times(3-8)=4 \times 3-4 \times 8$।

निम्नलिखित को देखिए:

$ \begin{aligned} & (-5) \times[(-4)-(-6)]=(-5) \times 2=-10 \\ & {[(-5) \times(-4)]-[(-5) \times(-6)]=20-30=-10} \end{aligned} $

इसलिए, $\quad(-5) \times[(-4)-(-6)]=[(-5) \times(-4)]-[(-5) \times(-6)]$

इसकी जाँच करो $(-9) \times[10-(-3)]$ और $[(-9) \times 10]-[(-9) \times(-3)]$ के लिए

तुम पाओगे कि ये भी बराबर हैं।

सामान्यतः, किन्हीं तीन पूर्णांकों $a, b$ और $c$ के लिए,

$ a \times(b-c)=a \times b-a \times c $

प्रत्येक $a, b$ और $c$ के कम-से-कम पाँच भिन्न मान लेकर इस गुणधर्म की पुष्टि करो।

इन्हें आज़माओ

(i) क्या $10 \times(6-(-2)]=10 \times 6-10 \times(-2)$ है?

(ii) क्या $(-15) \times[(-7)-(-1)]=(-15) \times(-7)-(-15) \times(-1)$ है?

अभ्यास 1.2

1. निम्नलिखित प्रत्येक गुणनफल ज्ञात करो:

(a) $3 \times(-1)$

(b) $(-1) \times 225$

(c) $(-21) \times(-30)$

(d) $(-316) \times(-1)$

(e) $(-15) \times 0 \times(-18)$

(f) $(-12) \times(-11) \times(10)$

(g) $9 \times(-3) \times(-6)$

(h) $(-18) \times(-5) \times(-4)$

(i) $(-1) \times(-2) \times(-3) \times 4$

(j) $(-3) \times(-6) \times(-2) \times(-1)$

2. निम्नलिखित की पुष्टि करो:

(a) $18 \times[7+(-3)]=[18 \times 7]+[18 \times(-3)]$

(b) $(-21) \times[(-4)+(-6)]=[(-21) \times(-4)]+[(-21) \times(-6)]$

3. (i) किसी पूर्णांक $a$ के लिए, $(-1) \times a$ किसके बराबर है?

(ii) वह पूर्णांक निर्धारित करो जिसका (-1) से गुणनफल

(a) -22

(b) 37

(c) 0

4. $(-1) \times 5$ से प्रारंभ करते हुए, $(-1) \times(-1)=1$ दिखाने के लिए कुछ प्रतिरूप दिखाते हुए विभिन्न गुणनफल लिखो।

1.4 पूर्णांकों का विभाजन

हम जानते हैं कि भाग गुणा का व्युत्क्रम संक्रिया है। आइए पूर्ण संख्याओं के लिए एक उदाहरण देखें।

चूँकि $3 \times 5=15$

इसलिए $15 \div 5=3$ और $15 \div 3=5$

इसी प्रकार, $4 \times 3=12$ से $12 \div 4=3$ और $12 \div 3=4$

हम कह सकते हैं कि पूर्ण संख्याओं के प्रत्येक गुणा कथन के लिए दो भाग कथन होते हैं।

क्या आप पूर्णांकों के लिए गुणा कथन और उसके संगत भाग कथन लिख सकते हैं?

• निम्नलिखित को देखें और इसे पूरा करें।

उपर्युक्त से हम देखते हैं कि :

$ \begin{aligned} & (-12) \div 2=(-6) \\ & (-20) \div 5=(-4) \\ & (-32) \div 4=(-8) \\ & (-45) \div 5=(-9) \end{aligned} $

इन्हें आजमाइए

ज्ञात कीजिए:

(a) $(-100) \div 5\qquad$ (b) $(-81) \div 9$

(c) $(-75) \div 5\qquad$ (d) $(-32) \div 2$

हम देखते हैं कि जब हम एक ऋणात्मक पूर्णांक को एक धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करते हैं, तो हम उन्हें पूर्ण संख्याओं की तरह विभाजित करते हैं और फिर भागफल के पहले एक ऋण चिह्न (-) लगाते हैं।

• हम यह भी देखते हैं कि:

$ \begin{matrix} 72 \div(-8)=-9 & \text{ और } & 50 \div(-10)=-5 \\ 72 \div(-9)=-8 & & 50 \div(-5)=-10 \end{matrix} $

इसलिए हम कह सकते हैं कि जब हम एक धनात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करते हैं, तो हम पहले उन्हें पूर्ण संख्याओं की तरह विभाजित करते हैं और फिर भागफल के आगे एक ऋण चिह्न (-) लगाते हैं।

सामान्यतः, किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए

$ a \div(-b)=(-a) \div b \quad \text{ जहाँ } b \neq 0 $

क्या हम कह सकते हैं कि

$ (-48) \div 8=48 \div(-8) ? $

आइए जाँच करें। हम जानते हैं कि

$ (-48) \div 8=-6 $

और $48 \div(-8)=-6$

इसलिए $(-48) \div 8=48 \div(-8)$

इसे जाँचिए

(i) $90 \div(-45)$ और $(-90) \div 45$

(ii) $(-136) \div 4$ और $136 \div(-4)$

इन्हें आज़माइए

ज्ञात कीजिए: (a) $125 \div(-25)\qquad$ (b) $80 \div(-5)\qquad$ (c) $64 \div(-16)\qquad$

• अंत में, हम देखते हैं कि

$ (-12) \div(-6)=2 ;(-20) \div(-4)=5 ;(-32) \div(-8)=4 ;(-45) \div(-9)=5 $

इसलिए, हम कह सकते हैं कि जब हम एक ऋणात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करते हैं, तो हम पहले उन्हें पूर्ण संख्याओं की तरह विभाजित करते हैं और फिर भागफल के आगे एक धन चिह्न (+) लगाते हैं।

सामान्यतः, किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए

$ (-a) \div(-b)=a \div b \quad \text{ जहाँ } b \neq 0 $

इन्हें आज़माइए

ज्ञात कीजिए: (a) $(-36) \div(-4)\qquad$ (b) $(-201) \div(-3)\qquad$ (c) $(-325) \div(-13)\qquad$

1.5 पूर्णांकों के विभाजन के गुण

निम्नलिखित सारणी को देखिए और इसे पूर्ण कीजिए:

आप क्या देखते हैं? हम देखते हैं कि पूर्णांक विभाजन के अंतर्गत बंद नहीं होते।

इसे अपने पाँच और उदाहरण लेकर औचित्य दीजिए।

• हम जानते हैं कि भाग पूर्ण संख्याओं के लिए क्रमवाची नहीं होता। आइए इसे पूर्णांकों के लिए भी जाँचें।

आप सारणी से देख सकते हैं कि $(-8) \div(-4) \neq(-4) \div(-8)$।

क्या $(-9) \div 3$ वही है जो $3 \div(-9)$ है?

क्या $(-30) \div(-6)$ वही है जो $(-6) \div(-30)$ है?

क्या हम कह सकते हैं कि भाग पूर्णांकों के लिए क्रमवाची है? नहीं।

आप इसे पूर्णांकों के पाँच और युगल लेकर सत्यापित कर सकते हैं।

• पूर्ण संख्याओं की तरह, कोई भी पूर्णांक शून्य से विभाजित करना अर्थहीन है और शून्य को शून्येतर किसी पूर्णांक से विभाजित करने पर परिणाम शून्य होता है, अर्थात् किसी भी पूर्णांक $a$ के लिए, $a \div 0$ परिभाषित नहीं है परंतु $0 \div a=0$ है जबकि $a \neq 0$।
• जब हम किसी पूर्ण संख्या को 1 से विभाजित करते हैं तो वही पूर्ण संख्या प्राप्त होती है। आइए देखें कि क्या यह ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए भी सत्य है।

निम्नलिखित को देखिए :

$(-8) \div 1=(-8)\qquad$ $(-11) \div 1=-11\qquad$ $(-13) \div 1=-13$

$(-25) \div 1=\ldots \ldots \qquad$ $(-37) \div 1=\ldots \ldots \qquad$ $(-48) \div 1=\ldots \ldots$

यह दर्शाता है कि ऋणात्मक पूर्णांक को 1 से विभाजित करने पर वही ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है।

इसलिए, कोई भी पूर्णांक 1 से विभाजित करने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है।

सामान्यतः, किसी भी पूर्णांक $a$ के लिए,

$ a \div 1=a $

• जब हम कोई पूर्णांक $(-1)$ से विभाजित करते हैं तो क्या होता है? निम्नलिखित सारणी को पूर्ण कीजिए

$ \begin{matrix} (-8) \div(-1)=8 \qquad 11 \div(-1)=-11 \qquad 13 \div(-1)= ……\\ (-25) \div(-1)=…… \qquad (-37) \div(-1)= …… \qquad -48 \div(-1)= \end{matrix} $

आप क्या देखते हैं?

हम कह सकते हैं कि यदि किसी पूर्णांक को ( -1 ) से विभाजित किया जाए तो वही पूर्णांक नहीं मिलता।

• क्या हम कह सकते हैं कि $[(-16) \div 4] \div(-2)$ और $(-16) \div[4 \div(-2)]$ समान हैं?

हम जानते हैं कि $[(-16) \div 4] \div(-2)=(-4) \div(-2)=2$

इसलिए

$ \begin{aligned} & (-16) \div[4 \div(-2)]=(-16) \div(-2)=8 \\ & {[(-16) \div 4] \div(-2) \neq(-16) \div[4 \div(-2)]} \end{aligned} $

क्या आप कह सकते हैं कि पूर्णांकों के लिए भाग associative है? नहीं।

इसे अपने पाँच और उदाहरण लेकर सत्यापित कीजिए।

इन्हें आज़माइए

(i) $1 \div a=1$ है?

(ii) $a \div(-1)=-a$ है? किसी भी पूर्णांक $a$ के लिए।

$a$ के विभिन्न मान लीजिए और जाँच कीजिए। और

उदाहरण 2 एक परीक्षा में हर सही उत्तर के लिए (+5) अंक दिए जाते हैं और हर गलत उत्तर के लिए (-2) अंक दिए जाते हैं। (i) राधिका ने सभी प्रश्नों के उत्तर दिए और 30 अंक प्राप्त किए यद्यपि उसे 10 सही उत्तर मिले। (ii) जय ने भी सभी प्रश्नों के उत्तर दिए और (-12) अंक प्राप्त किए यद्यपि उसे 4 सही उत्तर मिले। उन्होंने कितने गलत उत्तर दिए थे?

हल

(i) एक सही उत्तर के लिए दिए गए अंक $=5$

इसलिए, 10 सही उत्तरों के लिए दिए गए अंक $=5 \times 10=50$

राधिका का स्कोर $=30$

गलत उत्तरों के लिए प्राप्त अंक $=30-50=-20$

एक गलत उत्तर के लिए दिए गए अंक $=(-2)$

इसलिए, गलत उत्तरों की संख्या $=(-20) \div(-2)=10$

(ii) 4 सही उत्तरों के लिए दिए गए अंक $=5 \times 4=20$

जय का स्कोर $=-12$

गलत उत्तरों के लिए प्राप्त अंक $=-12-20=-32$

एक गलत उत्तर के लिए दिए गए अंक $=(-2)$

इसलिए गलत उत्तरों की संख्या $=(-32) \div(-2)=16$

उदाहरण 3 एक दुकानदार एक पेन बेचने पर ₹ 1 का लाभ कमाता है और अपने पुराने स्टॉक की पेंसिलें बेचते समय प्रति पेंसिल 40 पैसे की हानि वहन करता है।

(i) एक विशेष महीने में वह ₹ 5 की हानि वहन करती है। इस अवधि में, उसने 45 पेन बेचे। इस अवधि में उसने कितनी पेंसिलें बेचीं?

(ii) अगले महीने वह न तो लाभ कमाती है और न ही हानि। यदि उसने 70 पेन बेचे, तो उसने कितनी पेंसिलें बेचीं?

हल

(i) एक पेन बेचने से प्राप्त लाभ $=₹ 1$

45 पेन बेचने से प्राप्त लाभ $=₹ 45$, जिसे हम $+₹ 45$ द्वारा दर्शाते हैं

कुल हानि दी गई $=₹ 5$, जिसे हम $-₹ 5$ द्वारा दर्शाते हैं

प्राप्त लाभ + वहन की गई हानि $=$ कुल हानि

इसलिए, वहन की गई हानि $=$ कुल हानि - प्राप्त लाभ

$=₹(-5-45)=₹(-50)=-5000$ पैसे

एक पेंसिल बेचने से वहन की गई हानि $=40$ पैसे जिसे हम -40 पैसे लिखते हैं

इसलिए, बेची गई पेंसिलों की संख्या $=(-5000) \div(-40)=125$ (ii) अगले महीने न तो लाभ है और न ही हानि।

इसलिए, प्राप्त लाभ + वहन की गई हानि $=0$

अर्थात्, प्राप्त लाभ $=-$ वहन की गई हानि।

अब, 70 पेन बेचने से प्राप्त लाभ $=₹ 70$

इसलिए, पेंसिलें बेचने से वहन की गई हानि $=₹ 70$ जिसे हम $₹ 70$ या $-7,000$ पैसे द्वारा दर्शाते हैं।

बेची गई कुल पेंसिलों की संख्या $=(-7000) \div(-40)=175$ पेंसिलें।

अभ्यास 1.3

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक का मूल्यांकन कीजिए:

(a) $(-30) \div 10$

(b) $50 \div(-5)$

(c) $(-36) \div(-9)$

(d) $(-49) \div(49)$

(e) $13 \div[(-2)+1]$

(f) $0 \div(-12)$

(g) $(-31) \div[(-30)+(-1)]$

(h) $[(-36) \div 12] \div 3$

(i) $[(-6)+5)] \div[(-2)+1]$

2. सत्यापित कीजिए कि $a \div(b+c) \neq(a \div b)+(a \div c)$ है, जब $a, b$ और $c$ के निम्नलिखित मान हों।

(a) $a=12, b=-4, c=2$

(b) $a=(-10), b=1, c=1$

3. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:

(a) $369 \div \ldots \ldots$ $=369$

(b) $(-75) \div \ldots \ldots$ $=-1$

(c) $(-206) \div \ldots \ldots$ $=1$

(d) $-87 \div \ldots \ldots$ $=87$

(e) $\ldots \ldots \div 1=-87$

(f) $\ldots \ldots 48=-1$

(g) $20 \div \ldots \ldots$ $=-2$

(h) $\ldots \ldots \div(4)=-3$

4. पाँच ऐसे पूर्णांक युग्म $(a, b)$ लिखिए जिनके लिए $a \div b=-3$ हो। एक ऐसा युग्म $(6,-2)$ है क्योंकि $6 \div(-2)=(-3)$।

5. 12 बजे दोपहर का तापमान शून्य से $10^{\circ} C$ ऊपर था। यदि यह प्रति घंटे $2^{\circ} C$ की दर से घटता है आधी रात तक, तो किस समय तापमान शून्य से $8^{\circ} C$ नीचे होगा? आधी रात को तापमान क्या होगा?

6. एक कक्षा परीक्षा में प्रत्येक सही उत्तर के लिए $(+3)$ अंक दिए जाते हैं और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए (-2) अंक दिए जाते हैं और किसी प्रश्न का प्रयास न करने पर कोई अंक नहीं दिया जाता। (i) राधिका ने 20 अंक प्राप्त किए। यदि उसे 12 सही उत्तर मिले हैं, तो उसने कितने प्रश्नों का गलत उत्तर दिया है? (ii) मोहिनी ने इस परीक्षा में -5 अंक प्राप्त किए, यद्यपि उसे 7 सही उत्तर मिले हैं। उसने कितने प्रश्नों का गलत उत्तर दिया है?

७. एक लिफ्ट खदान की शाफ्ट में $6 m / min$ की दर से उतरती है। यदि उतरना $10 m$ ऊपर से शुरू होता है, तो $-350 m$ तक पहुँचने में कितना समय लगेगा?

हमने क्या चर्चा की है?

१. अब हम योग और घटाव द्वारा संतुष्ट गुणों का अध्ययन करते हैं।

(क) पूर्णांक योग और घटाव दोनों के लिए बंद हैं। अर्थात्, $a+b$ और $a-b$ पुनः पूर्णांक होते हैं, जहाँ $a$ और $b$ कोई भी पूर्णांक हैं।

(ख) पूर्णांकों के लिए योग क्रमवाची होता है, अर्थात् सभी पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए $a+b=b+a$।

(ग) पूर्णांकों के लिए योग साहचर्य होता है, अर्थात् सभी पूर्णांकों $a, b$ और $c$ के लिए $(a+b)+c=a+(b+c)$।

(घ) पूर्णांक 0 योग के अंतर्गत तत्समक है। अर्थात् प्रत्येक पूर्णांक $a$ के लिए $a+0=0+a=a$।

२. हमने अध्ययन किया कि पूर्णांकों को गुणा कैसे किया जा सकता है, और पाया कि एक धनात्मक और एक ऋणात्मक पूर्णांक का गुणनफल ऋणात्मक पूर्णांक होता है, जबकि दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल धनात्मक पूर्णांक होता है। उदाहरण के लिए, $-2 \times 7=-14$ और $-3 \times-8=24$।

३. ऋणात्मक पूर्णांकों की सम संख्या का गुणनफल धनात्मक होता है, जबकि ऋणात्मक पूर्णांकों की विषम संख्या का गुणनफल ऋणात्मक होता है।

४. पूर्णांक गुणा के अंतर्गत कुछ गुण दर्शाते हैं।

(क) पूर्णांक गुणा के अंतर्गत बंद हैं। अर्थात् किन्हीं दो पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए $a \times b$ एक पूर्णांक है।

(ख) पूर्णांकों के लिए गुणा क्रमवाची होता है। अर्थात् किन्हीं पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए $a \times b=b \times a$।

(ग) पूर्णांक 1 गुणा के अंतर्गत तत्समक है, अर्थात् किसी भी पूर्णांक $a$ के लिए $1 \times a=a \times 1=a$।

(d) पूर्णांकों के लिए गुणा साहचर्य होती है, अर्थात् $(a \times b) \times c=a \times(b \times c)$ किन्हीं तीन पूर्णांकों $a, b$ और $c$ के लिए।

5. योग और गुणा के अन्तर्गत, पूर्णांक एक गुण दर्शाते हैं जिसे वितरण गुण कहा जाता है। अर्थात्, $a \times(b+c)=a \times b+a \times c$ किन्हीं तीन पूर्णांकों $a, b$ और $c$ के लिए।

6. योग और गुणा के अन्तर्गत क्रमविनिमेयता, साहचर्यता और वितरण गुण हमारी गणनाओं को आसान बनाने में हमारी सहायता करते हैं।

7. हमने यह भी सीखा कि पूर्णांकों को कैसे विभाजित किया जाता है। हमने पाया कि,

(a) जब एक धनात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित किया जाता है, तो प्राप्त भागफल ऋणात्मक होता है और इसका विपरीत भी सत्य है।

(b) एक ऋणात्मक पूर्णांक को दूसरे ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने पर भागफल धनात्मक प्राप्त होता है।

8. किसी भी पूर्णांक $a$ के लिए, हमारे पास

(a) $a \div 0$ परिभाषित नहीं है

(b) $a \div 1=a$