জ্যামিতি আৰু কালি-পৰিমাপ

RRB পৰীক্ষাৰ প্ৰস্তুতিৰ বাবে জ্যামিতি আৰু কালি-পৰিমাপৰ ধাৰণাসমূহ সূত্ৰ, ধৰ্ম আৰু সমস্যা সমাধান কৌশলৰ ব্যাপক আৱৰণৰ সৈতে মাষ্টাৰ কৰক।

মৌলিক জ্যামিতি

বিন্দু, ৰেখা আৰু কোণ

মৌলিক ধাৰণাসমূহ

• বিন্দু: কোনো আকাৰ বা মাত্ৰা নথকা স্থান
• ৰেখা: দুয়োটা দিশত অসীমভাৱে বিকশিত হোৱা বিন্দুৰ সমষ্টি
• ৰেখাখণ্ড: দুটা শেষবিন্দু থকা ৰেখাৰ অংশ
• ৰশ্মি: এটা শেষবিন্দু থকা আৰু অসীমভাৱে বিকশিত হোৱা ৰেখাৰ অংশ

ৰেখাৰ প্ৰকাৰ

• সমান্তৰাল ৰেখা: কেতিয়াও ছেদ নকৰা ৰেখাসমূহ
• লম্ব ৰেখা: 90° ত ছেদ হোৱা ৰেখাসমূহ
• ছেদ হোৱা ৰেখা: একেৰে ক্ৰস কৰা ৰেখাসমূহ
• বক্ৰ ৰেখা: ছেদ নকৰা আৰু সমান্তৰাল নোহোৱা ৰেখা (3D)

কোণ

মাপ অনুসৰি শ্ৰেণীবিভাগ

• সূক্ষ্ম কোণ: < 90°
• সমকোণ: = 90°
• স্থূল কোণ: > 90° কিন্তু < 180°
• সৰল কোণ: = 180°
• প্ৰতিফলিত কোণ: > 180° কিন্তু < 360°
• পূৰ্ণ কোণ: = 360°

কোণৰ সম্পৰ্ক

• পূৰক কোণ: যোগফল = 90°
• অনুপূৰক কোণ: যোগফল = 180°
• সংলগ্ন কোণ: এটা সাধাৰণ বাহু ভাগ কৰে
• উল্লম্ব কোণ: ছেদ হোৱা ৰেখাৰ দ্বাৰা গঠিত বিপৰীত কোণ

ত্ৰিভুজ

ত্ৰিভুজ শ্ৰেণীবিভাগ

বাহু অনুসৰি

• সমবাহু ত্ৰিভুজ: সকলো বাহু সমান, সকলো কোণ 60°
• দ্বিসমবাহু ত্ৰিভুজ: দুটা বাহু সমান, দুটা ভূমি কোণ সমান
• বিসমবাহু ত্ৰিভুজ: সকলো বাহু ভিন্ন, সকলো কোণ ভিন্ন

কোণৰ দ্বাৰা

• সূক্ষ্ম-কোণীয় ত্ৰিভুজ: সকলো কোণ < 90°
• সমকোণীয় ত্ৰিভুজ: এটা কোণ = 90°
• স্থূল-কোণীয় ত্ৰিভুজ: এটা কোণ > 90°

ত্ৰিভুজৰ ধৰ্ম

কোণৰ যোগফল

• সকলো কোণৰ যোগফল = 180°

পিথাগোৰাচৰ উপপাদ্য

• সমকোণীয় ত্ৰিভুজৰ বাবে: a² + b² = c²
• য’ত ‘c’ হ’ল অতিভুজ (সবাতোকৈ ডাঙৰ বাহু)

কালি আৰু পৰিসীমা

• কালি = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
• পৰিসীমা = সকলো বাহুৰ যোগফল

বিশেষ সমকোণীয় ত্ৰিভুজ

• 30-60-90 ত্ৰিভুজ: বাহুৰ অনুপাত 1:√3:2
• 45-45-90 ত্ৰিভুজ: বাহুৰ অনুপাত 1:1:√2

চতুৰ্ভুজ

চতুৰ্ভুজৰ প্ৰকাৰ

সমান্তৰাল চতুৰ্ভুজ

• ধৰ্ম: বিপৰীত বাহু সমান্তৰাল আৰু সমান
• কালি = ভূমি × উচ্চতা
• পৰিসীমা = 2 × (দৈৰ্ঘ্য + প্রস্থ)

আয়ত

• ধৰ্ম: সকলো কোণ = 90° থকা সমান্তৰাল চতুৰ্ভুজ
• কালি = দৈৰ্ঘ্য × প্রস্থ
• পৰিসীমা = 2 × (দৈৰ্ঘ্য + প্রস্থ)
• কৰ্ণ = √(দৈৰ্ঘ্য² + প্রস্থ²)

বৰ্গ

• ধৰ্ম: সকলো বাহু সমান থকা আয়ত
• কালি = বাহু²
• পৰিসীমা = 4 × বাহু
• কৰ্ণ = বাহু × √2

সমচতুৰ্ভুজ

• ধৰ্ম: সকলো বাহু সমান থকা সমান্তৰাল চতুৰ্ভুজ
• কালি = (1/2) × d₁ × d₂ (কৰ্ণ দুটাৰ গুণফল)
• পৰিসীমা = 4 × বাহু

ট্ৰাপেজিয়াম (ট্ৰাপেজইড)

• ধৰ্ম: এজোপা সমান্তৰাল বাহু
• কালি = (1/2) × (সমান্তৰাল বাহু দুটাৰ যোগফল) × উচ্চতা
• পৰিসীমা = সকলো বাহুৰ যোগফল

বৃত্ত

বৃত্তৰ ধৰ্ম

মৌলিক সংজ্ঞা

• বৃত্ত: কেন্দ্ৰৰ পৰা সমদূৰত্বত থকা বিন্দুৰ সমষ্টি
• ব্যাসাৰ্ধ: কেন্দ্ৰৰ পৰা বৃত্তৰ যিকোনো বিন্দুলৈ দূৰত্ব
• ব্যাস: কেন্দ্ৰৰ জৰিয়ে যোৰা দীঘলীয়া জ্যা (২ × ব্যাসাৰ্ধ)
• পৰিধি: বৃত্তৰ পৰিসীমা
• জ্যা: বৃত্তৰ দুটা বিন্দু সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ড
• চাপ: পৰিধিৰ অংশ
• বৃত্তাংশ: দুটা ব্যাসাৰ্ধ আৰু এটা চাপৰেৰে বান্ধি থকা অঞ্চল

গুৰুত্বপূৰ্ণ সূত্ৰ

পৰিধি

• C = 2πr বা πd
• য’ত π ≈ 3.14 বা 22/7

কালি

• A = πr²

বৃত্তাংশৰ কালি

• কালি = (θ/360°) × πr²
• য’ত θ কেন্দ্ৰীয় কোণ

চাপৰ দৈৰ্ঘ্য

• দৈৰ্ঘ্য = (θ/360°) × 2πr

বৃত্তৰ উপপাদ্য

গুৰুত্বপূৰ্ণ উপপাদ্য

• সমান জ্যাই কেন্দ্ৰত সমান কোণ উৎপন্ন কৰে
• অৰ্ধবৃত্তৰ কোণ = 90°
• একে বৃত্তাংশৰ কোণ সমান হয়
• কেন্দ্ৰৰ পৰা জ্যালৈ অম্লম্ব জ্যাক সমানে বিভাজ কৰে

3D জ্যামিতি

ঘনক

• পৃষ্ঠৰ কালি = 6a²
• ঘনফল = a³
• কৰ্ণ = a√3

ঘনাআকৃতি

• পৃষ্ঠৰ কালি = 2(lw + lh + wh)
• ঘনফল = l × w × h
• কৰ্ণ = √(l² + w² + h²)

বেলুন

• বক্ৰ পৃষ্ঠৰ কালি = 2πrh
• মুঠ পৃষ্ঠৰ কালি = 2πr(r + h)
• ঘনফল = πr²h

শংকু

• ঢালু উচ্চতা = √(r² + h²)
• বক্ৰ পৃষ্ঠৰ কালি = πrl
• মুঠ পৃষ্ঠৰ কালি = πr(l + r)
• ঘনফল = (1/3)πr²h

গোলক

• পৃষ্ঠৰ কালি = 4πr²
• ঘনফল = (4/3)πr³

অৰ্ধগোলক

• বক্ৰ পৃষ্ঠৰ কালি = 2πr²
• মুঠ পৃষ্ঠৰ কালি = 3πr²
• ঘনফল = (2/3)πr³

কালি-ঘনফল

কালিৰ সূত্ৰ

2D আকৃতি

বৰ্গ

• কালি = বাহু²

আয়ত

• কালি = দৈৰ্ঘ্য × প্রস্থ

ত্ৰিভুজ

• কালি = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা

বৃত্ত

• কালি = πr²

সমান্তৰাল চতুৰ্ভুজ

• কালি = ভূমি × উচ্চতা

ট্ৰাপেজিয়াম

• কালি = (1/2) × (সমান্তৰাল বাহু দুটাৰ যোগফল) × উচ্চতা

ৰম্বাছ

• কালি = (1/2) × কৰ্ণ দুটাৰ গুণফল

পৰিসীমাৰ সূত্ৰ

2D আকৃতিসমূহ

বৰ্গ

• পৰিসীমা = 4 × বাহু

আয়ত

• পৰিসীমা = 2 × (দৈৰ্ঘ্য + প্রস্থ)

ত্ৰিভুজ

• পৰিসীমা = সকলো বাহুৰ যোগফল

বৃত্ত

• পৰিসীমা = 2πr

আয়তনৰ সূত্ৰ

3D আকৃতিসমূহ

ঘন

• আয়তন = বাহু³

ঘনাআয়ত

• আয়তন = দৈৰ্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা

চিলিণ্ডাৰ

• আয়তন = πr²h

চোকা

• আয়তন = (1/3)πr²h

গোলক

• আয়তন = (4/3)πr³

অৰ্ধগোলক

• আয়তন = (2/3)πr³

পৃষ্ঠৰ কালিৰ সূত্ৰ

3D আকৃতিসমূহ

ঘন

• পৃষ্ঠৰ কালি = 6 × বাহু²

ঘনাআয়ত

• পৃষ্ঠৰ কালি = 2(lw + lh + wh)

চিলিণ্ডাৰ

• বক্ৰ পৃষ্ঠৰ কালি = 2πrh
• মুঠ পৃষ্ঠৰ কালি = 2πr(r + h)

চোকা

• বক্ৰ পৃষ্ঠৰ কালি = πrl
• মুঠ পৃষ্ঠৰ কালি = πr(l + r)

গোলক

• পৃষ্ঠৰ কালি = 4πr²

অৰ্ধগোলক

• বক্ৰ পৃষ্ঠৰ কালি = 2πr²
• মুঠ পৃষ্ঠৰ কালি = 3πr²

সাদৃশ্য আৰু সমতুল্যতা

সদৃশ আকৃতিসমূহ

সদৃশ আকৃতিসমূহৰ বৈশিষ্ট্য

• অনুৰূপ কোণবোৰ সমান
• অনুৰূপ বাহুবোৰ সমানুপাতিক
• কালিসমূহ অনুৰূপ বাহুবোৰৰ বৰ্গৰ অনুপাতত থাকে
• আয়তনসমূহ অনুৰূপ বাহুবোৰৰ ঘনকৰ অনুপাতত থাকে

সাদৃশ্য অনুপাত

• ৰৈখিক অনুপাত: k (স্কেল গুণক)
• কালি অনুপাত: k²
• ঘনফল অনুপাত: k³

সৰ্বসম আকৃতিসমূহ

ত্ৰিভুজ সৰ্বসম নিয়ম

• SSS: বাহু-বাহু-বাহু
• SAS: বাহু-কোণ-বাহু
• ASA: কোণ-বাহু-কোণ
• RHS: সমকোণ-অতিভুজ-বাহু (সমকোণী ত্ৰিভুজৰ বাবে)

স্থানাংক জ্যামিতি

দূৰত্ব সূত্ৰ

• বিন্দু (x₁, y₁) আৰু (x₂, y₂)ৰ মাজৰ দূৰত্ব: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

বিভাজন সূত্ৰ

• বিন্দু (x₁, y₁) আৰু (x₂, y₂)ক m:n অনুপাতত ভাগ কৰা বিন্দু: x = (mx₂ + nx₁)/(m+n) y = (my₂ + ny₁)/(m+n)

ত্ৰিভুজৰ কালি

• শীৰ্ষবিন্দু (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) থকা ত্ৰিভুজ: কালি = (1/2) |x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)|

দ্ৰুত সন্ধান

গুৰুত্বপূৰ্ণ মান

• π ≈ 3.14 বা 22/7
• √2 ≈ 1.414
• √3 ≈ 1.732
• √5 ≈ 2.236

সাধাৰণ পৰিবৰ্তন

• 1 cm = 10 mm
• 1 m = 100 cm = 1000 mm
• 1 km = 1000 m
• 1 cm² = 100 mm²
• 1 m² = 10,000 cm² = 1,000,000 mm²
• 1 km² = 1,000,000 m²

সমস্যা সমাধান টিপ্‌স

জ্যামিতি সমস্যাৰ কৌশল

1. চিত্ৰ অঁকা: সদায় স্পষ্ট চিত্ৰ অঁকক
2. সকলো লেবেল কৰা: সকলো দিয়া তথ্য চিহ্নিত কৰক
3. কি দিয়া আছে চিনাক্ত কৰা: দিয়া তথ্য বুজি লওক
4. সম্পৰ্ক বিচাৰা: সৰুসম বা সৰ্বসম আকৃতি চিনাক্ত কৰক
5. সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰা: যথাযথ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰক
6. একক পৰীক্ষা কৰা: সুসংগত একক নিশ্চিত কৰক

সাধাৰণ ভুলসমূহ এড়োৱা

1. ভুল সূত্ৰ বাছনি: আকৃতিটোৰ বাবে সঠিক সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰা
2. **এককৰ ভুল: এককসমূহ অটুট ৰাখা
3. গণনাৰ ত্ৰুটি: গণনা দুবাৰ পৰীক্ষা কৰা
4. চিত্ৰৰ ত্ৰুটি: সঠিক চিত্ৰ অংকন কৰা
5. **সূত্ৰ স্থাপন: মানসমূহ সঠিকভাৱে স্থাপন কৰা

অনুশীলনী প্ৰশ্নসমূহ

প্ৰশ্ন 1

এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ 7 ছে.মি. হ’লে ইয়াৰ কালি নির্ণয় কৰা।

প্ৰশ্ন 2

এখন আয়তাকাৰ মাঠৰ মাপ 20মি. বাই 15মি. হ’লে ইয়াৰ পৰিসীমা নির্ণয় কৰা।

প্ৰশ্ন 3

এটা চিলিণ্ডাৰৰ ব্যাসাৰ্ধ 3ছে.মি. আৰু উচ্চতা 10ছে.মি. হ’লে ইয়াৰ আয়তন নির্ণয় কৰা।

প্ৰশ্ন 4

এটা ত্ৰিভুজৰ বাহুতিনিটো 5ছে.মি., 12ছে.মি., আৰু 13ছে.মি. হ’লে ইয়াৰ কালি নির্ণয় কৰা।

প্ৰশ্ন 5

এটা ঘনকৰ বাহু 4ছে.মি. হ’লে ইয়াৰ পৃষ্ঠৰ কালি নির্ণয় কৰা।

প্ৰশ্ন 6

এটা শংকুৰ ব্যাসাৰ্ধ 5ছে.মি. আৰু ঢাল উচ্চতা 13ছে.মি. হ’লে ইয়াৰ আয়তন নির্ণয় কৰা।

প্ৰশ্ন 7

এটা ট্ৰেপিজিয়ামৰ সমান্তৰাল বাহুদুটা 8ছে.মি. আৰু 12ছে.মি., আৰু উচ্চতা 5ছে.মি. হ’লে ইয়াৰ কালি নির্ণয় কৰা।

প্ৰশ্ন 8

এটা গোলকৰ ব্যাস 14ছে.মি. হ’লে ইয়াৰ পৃষ্ঠৰ কালি নির্ণয় কৰা।

প্ৰশ্ন 9

এটা ঘনবস্তুৰ মাপ 10ছে.মি. × 8ছে.মি. × 6ছে.মি. হ’লে ইয়াৰ আয়তন নির্ণয় কৰা।

প্ৰশ্ন 10

এটা বৃত্তখণ্ডৰ ব্যাসাৰ্ধ 6ছে.মি. আৰু কেন্দ্ৰীয় কোণ 60° হ’লে ইয়াৰ কালি নির্ণয় কৰা।

মানসিক গণিতৰ টিপ্‌স

দ্ৰুত গণনা

• 5 ৰে শেষ হোৱা সংখ্যাৰ বৰ্গ: নমুনা (n5)² = n(n+1)25 ব্যৱহাৰ কৰা
• 11 ৰে গুণ: দু অংকৰ সংখ্যাৰ বাবে, অংক দুটা যোগ কৰি মাজত ৰাখা
• সমকোণী ত্ৰিভুজৰ কালি: আয়ত কালিৰ অৰ্ধাংশ
• **পৰিধি আনুমানিক: দ্ৰুত আনুমানিকৰ বাবে ব্যাসৰ 3 গুণ

আনুমানিক পদ্ধতিসমূহ

• π ≈ 3: আনুমানিক গণনাৰ বাবে
• √2 ≈ 1.4: দ্ৰুত আনুমানিকৰ বাবে
• √3 ≈ 1.7: দ্ৰুত আনুমানিকৰ বাবে
• ঘনফল আনুমান: আনুমানিকৰ বাবে সৰল আকৃতি ব্যৱহাৰ কৰক

গণিতৰ বিষয়লৈ ঘূৰি যাওক

সকলো বিষয়ৰ প্ৰাক্টিচ